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无网格法的应用无网格方法的研究应用与进展引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA 是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds 无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20 世纪70 年代。
Perrone，Kao 最早采用任意网格技术将传统有限差分进行扩展，提出了有限差分法，这可看作无网格技术的最初萌芽。
1977年Lucy 和Monaghan 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法（Smoothed Particle Hydrocynamics：SPH），这是一种纯拉格朗日法，无需网格。
无网格法（无网格流体模拟）简介无网格法（无网格流体模拟）是一种用于模拟流体行为的数值计算方法。
与传统的网格法相比，无网格法不需要预先划分网格，因此可以灵活地模拟各种复杂的流体现象。
无网格法的主要优势在于能够处理大变形、大位移和自适应网格等问题，在计算效率和精度方面都有较好的表现。
背景在过去的流体模拟中，通常使用网格来离散模拟空间。
然而，传统的网格法存在一些缺点。
首先，网格法需要预先划分网格，这在处理复杂几何体或大变形情况下往往具有挑战性。
其次，网格法在处理液体表面的运动时可能会出现不准确或不稳定的情况。
最后，网格法需要对整个领域进行求解，计算成本相对较高。
无网格法的基本原理无网格法通过将流体领域内的粒子进行离散化，并采用不同的数值计算技术来模拟流体的行为。
在传统的无网格法中，粒子通常是拉格朗日粒子（Lagrangian Particle），它们可以自由移动和变形，并且可以在计算中重新连接和分离。
无网格法的核心是描述流体的运动方程。
在拉格朗日粒子的模拟中，通常使用基于质点的方法来计算粒子运动的方程。
在每个时间步长中，根据质点的受力和刚体动力学原理，可以确定质点的加速度、速度和位置。
通过不断迭代计算所有质点的运动方程，可以得到流体领域内的流体运动状态。
除了描述粒子运动方程之外，无网格法还需要考虑粒子之间的相互作用和液体的流动特性。
为了模拟粒子之间的相互作用，可以使用诸如领域分解、体积渗透、弹簧网格等技术。
而为了模拟流体的流动特性，可以使用诸如斯托克斯流体方程、连续介质力学等数值方法。
无网格法的应用无网格法在计算流体力学和计算物理等领域都具有广泛的应用。
在流体力学方面，无网格法可以模拟复杂的流体现象，如自由表面流动、液滴碰撞、流体-结构相互作用等。
在计算物理方面，无网格法可以用于模拟固体材料的变形和破裂行为，如弹性体的形变、破坏和碎裂等。
此外，无网格法还具有适应性网格的特点，可以根据流体的运动状态自动调整粒子的分布和连接，从而实现更高的计算效率和精度。
无网格法及其在岩石力学与工程中的应用
无网格法是一种建模技术，用于模拟复杂结构的变形和破坏过程。
它可以被用来模拟岩石力学与工程中的各种复杂场景，如岩石挤压、爆破、摩擦剪切、抗震等现象。
无网格法的优点是它可以模拟复杂的物理场，而不需要使用大量网格点，从而减少计算复杂度。
此外，无网格法可以模拟多媒质系统，如岩石中的空气和水，以及岩石的结构和力学性质。
无网格法的应用在岩石力学与工程中有很多，如模拟岩石挤压、爆破、摩擦剪切、抗震等现象，以及模拟岩石在地震、洪水、滑坡等自然灾害中的变形和破坏过程。
此外，无网格法还可以用于模拟岩石的结构和力学性质，以及模拟岩石在深层采矿过程中的变形和破坏。
无网格法的理论及其应用张雄清华大学航天航空学院无网格法，清华大学出版社/有限元法存在的某些困难无网格法是直接利用分布在求解域中的离有限元法存在的某些困难七十年代：非规则网格有限差分法(Nayroles等)Liu等、RKPM）Onate等，FPM）年：单位分解有限元法和广义有限元将无网格法的思想引入有限元法中紧支径向基函数配点法Computer Methods in Engineering有限元法存在的某些困难紧支试函数只定义在局部域中有限元法存在的某些困难(Kernel approximation)用积分核变换近似在边界附近不满足对非均匀布点不能满足含伸缩系数的紧支核函数有限元单位分解近似单位分解条件()1x IIφ=∑()x I φ—定义在子域上ΩI 的非零函数1()()(())x x x m h kII iI i I i u u b q φ==⋅+⋅∑∑(x )I I u u =iI b —待定系数()x i q —基函数hp云团法点插值法m∑ uh (x) = Pi (x) ⋅ ai (x) = P(x)a(x) i =1与MLS类似，但取n = m 是一种插值 系数矩阵的奇异性问题基于径向基函数的点插值法Nm∑ ∑ g(x) = ck ⋅φ( x − xk ) + bi pi (x)k =1i =12005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄无网格法的理论及其应用 有限元法存在的某些困难 无网格法的研究历史 紧支试函数加权残量法¾紧支试函数 ¾加权残量法 无网格法总结 无网格法的应用2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄加权残量法 控制方程 A(u(x)) = 0 In Ω B(u(x)) = 0 On Γ∫ ∫ WA(uh (x)) d Ω + WB(uh (x)) d Γ = 0 Γ Ω2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄加权残量法 Galerkin Collocation Local Petrov Galerkin Least Square Collocation Weighted Least Square Galerkin Least Square Galerkin Collocation2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Collocation 微分方程在域内节点处满足，边界条件在 边界节点处满足A(uh (xI )) = 0 ∀xI ∈ Ω B(uh (xI )) = 0 ∀xI ∈ Γ¾ 计算效率高，方法简单 ¾ 精度差，稳定性差 ¾ 系数矩阵不对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Galerkin 在域内取W = φJ，在边界上取 W = −φJ∫ ∫ ΩφJ [ A(uh (x))]dΩ − ΓφJ [B(uh (x))]dΓ = 0¾ 计算量大 ¾ 精度高，稳定性好 ¾ 系数矩阵对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Galerkin 积分 ¾ 背景网格积分 ¾ 有限元网格积分 ¾ 节点积分（稳定化方案） ¾ 单位分解积分 本质边界条件的处理 ¾ 拉格朗日乘子法 ¾ 修正变分原理 ¾ 罚函数法 ¾ 位移约束方程法 ¾ 变换法2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Local Petrov-Galerkin 残差在各个节点的子域中消除，且 W ≠ φJ∫ ∫ WA(uh (x))dΩ + WB(uh (x))dΓ = 0ΩIΓI¾ 不需要背景网格 ¾ 需使用特殊的积分方案 ¾ 系数矩阵不对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Least square collocation 除节点外，在域内设置一些辅助点。
关于无网格法的几点研究无网格法又称分解法，是近年来在计算机中运用较多的解决微分方程组的一种方法。
这种方法属于近似分析，将复杂的微分方程组分割成一系列简单的子问题，用现成的算法来解决。
本文将探讨无网格法更新的重要性，以及它的数值精确性与速度的比较，从而使读者对无网格法有更深入的了解。
无网格法作为近似方法，它可以大大减少计算量，但也失去了某些精度。
因此，广泛使用无网格法解决数值方程组的关键是正确地控制精度。
当存在多个方程组时，可以采用无网格法来分解复杂的方程，从而在提高精度的同时提高计算效率。
无网格法中采用的“分解”技术会使精度受到更大影响。
因此，准确的精度控制要求采用相同的分解法来解决多个方程组，并确保分解准确度。
无网格法比传统的网格运算方法具有更高的数值精确性。
无网格法采用了恰当的迭代步骤和精确的边界条件来确保精度，而网格运算则取决于网格步长和有限差分等步骤。
因此，无网格法可以更好地控制精度，保证解决的问题的准确性。
无网格法的处理速度上也比传统的网格法具有显著优势。
虽然由于每组迭代计算产生的更多的计算，无网格法的计算次数比网格法的计算次数多，但无网格法的每次计算只需要少量的计算量，而网格法则需要大量的计算量。
因此，无网格法比网格法更快。
在使用无网格法时，还应特别注意计算机硬件的计算能力问题。
计算机硬件的计算能力决定了无网格法的计算能力，包括速度和精度。
由于计算机硬件的性能有限，无网格法往往难以实现在短时间内得到高精度的计算结果。
因此，在使用无网格法时，应考虑到计算机的性能，并采取恰当的步骤提高计算精度，以减少结果的误差。
综上所说，无网格法除了可以大大减少计算量，提高数值精度，提高速度外，还应注意到计算机硬件的计算能力问题。
正确的精度控制要求应该采用相同的分解法来解决多个方程组，并在使用无网格法时，采取恰当的步骤来提高计算精度，以减少结果的误差。
本文探讨了无网格法的更新的重要性，以及它的数值精确性和速度的比较，从而使读者对无网格法有更深入的了解。
无网格方法的研究应用与进展
引言
有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA 是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
无网格方法的概述
无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds 无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
无网格方法国内外研究的进展
无网格法起源于20 世纪70 年代。
Perrone，Kao 最早采用任意网格技术将传统有限差分进行扩展，提出了有限差分法，这可看作无网格技术的最初萌芽。
1977年Lucy 和Monaghan 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法（Smoothed Particle Hydrocynamics：SPH），这是一种纯拉格朗日法，无需网格。
最初运用SPH 方法解决了无边界天体物理问题。
Monaghan 在对SPH 方法深入研究后，将其解释为核（kernel）近似方法。
Swegle 等指出了SPH 方法不稳定的原因，并提出了一个黏度系数来保证其运算稳定。
Dyka 则提出了应力粒子法来改善其稳定性。
SPH 方法已经被应用于水下爆炸数值模拟、弹丸侵彻混凝土数值模拟、高速碰撞等材料动态响应的数值模拟等。
近年，我国学者张锁春对SPH 方法进行了综述，贝新源等将SPH 方法用于高速碰撞问题，宋顺成等将SPH 方法用于模拟弹丸侵彻混凝土。
78ANSYS在机械工程中的应用25例
Nayroles 首先提出移动最小二乘法（MLS）并应用于边值问题的求解，进而提出了模糊单元法（DEM）。
移动最小二乘法的提出为无网格方法的发展奠定了基础。
陈美娟、程玉民等提出了改进的移动最小二乘法。
张雄等提出移动最小二乘配点法（Least-Squares CollocationMeshless Method），是一种有限点法。
Belytschko 提出了著名的无网格枷辽（EFGM），给出了误差分析，并成功地应用于动态裂纹扩展数值模拟和三维撞击分析。
Belytschkohe 等将EFG 方法模拟动态裂纹扩展问题。
Krysl 等将EFG 用于板壳分析中。
Belytschko 和Du 等将EFG 用于三维撞击和流体晃动分析。
Xu 等将EFG 法用于求解弹塑性材料的裂纹扩展问题。
张雄等将EFG 方法的思想用于节理岩体的分析中，周维垣等对EFG 方法进行了详细介绍，并应用于裂纹扩展分析中。
J.T.Oden 等提出了基于云团概念的Hp－clouds 无单元法（HPCM），这种方法适合进行自适应分析。
Oden等对这种方法进行了严格的数学论证。
Mendoncca 等将这种方法用于求解铁摩辛柯梁问题。
刘欣等将其用于平面裂纹问题的自适应分析。
波兰学者Liszka 等提出了Hp 无网格云团法(HPMCM)，是一种纯无网格法。
美国学者Babuska 等提出了单位分解法（PUM）。
刘欣等将单位分解法用于求解奇异问题中。
Li 和Liu 提出移动最小二乘重构粒子方法。
Liu 等提出了再生核质点法（RKPM），接着他又提出了多尺度重构核粒子法（MPKPM）和小波粒子方法，并实现了RKPM 的自适应分析。
Onate 和Idelsohn 等提出了有限点法（FPM）。
Zhu，Zhang 和Arluri 建立了在规则局部子域上的局部边界积分方程（LBIE），运用移动最小二乘法构造局部子域上的插值函数，提出了局部边界积分方程无网格法（MLBIEM）。
Arluri 和Zhu 在局部边界积分方程的基础上，导出了无网格局部Petrov －Galerkin 方法（MLPGM）。
张见明等提出了杂交边界点法。
Mukherjee等人提出了边界点法（BNM）；程玉民等人提出了边界无单元法（BEFG）。
近年来发展了多种无网格方法与有限元法或边界元法的耦合方法：无单元Galerkin 法与有限元法耦合、无单元Galerkin 与边界元法耦合、无单元Galerkin 法与杂交边界元法耦合、无网格局部Petrov－Galerkin 法和有限元法及边界元法耦合等。
耦合既可提高运算的精确度，也可提高运算效率。
无网格方法的应用及其发展前景
目前无网格法研究的重点之一是应用无网格法来解决实际工程与科学问题。
无网格法主要应用于下面几个领域：1）传统的计算力学领域。
应用目的主要是通过和其它方法的比较来探讨无网格方法的性质，此应用不能真正体现其特有的优势。
2）传统方法不易解决的一些特殊问题。
如大变形问题、高速冲击问题、接触问题、裂纹问题、金属材料成型问题、材料裂变问题、高速爆炸问题、穿透问题等。
3）一些新兴的工程和科学领域。
如生命科学、微尺度、纳米技术等热点研究领域。
最近几年来无网格法越来越多地应用于纳米级多尺度问题、细胞渗透、血液流动、生物微电子系统等问题。
无网格法才刚刚起步, 没有形成有效的通用软件，因此有待于探索和研究来开发无网格方法通用的商业软件包。
另外, 用MLS 和RKPM 等建立无网格近似函数时, 涉
第9例各种坐标系的应用实例—圆轴扭转分析79 及到对矩阵求逆, 计算量较大。
与有限元法不同, 无网格法的近似函数大都不是多项式, 因而基于Galerkin 法的无网格法需要在每个背景网格中使用高阶高斯积分以保证计算精度, 因此无网格法的计算量一般大于有限元法。
因此如何提高无网格法的计算效率也是近年来的研究热点，这也是影响其应用与发展的一个因素。
目前，计算机硬件技术的迅速发展，使得并行计算具备了硬件条件。
并行计算已经应用到了有限元、边界元中，进行有限元和边界元并行计算，极大的提高了计算的效率，有良好的效果。
如果把并行算法应用于无网格方法中，将会推动无网格方法的发展。
目前，基于有限元法和边界元法具有一定的发展的成熟性，无网格方法和这些方法耦合可以得到满意的结果。
无网格法不需要网格, 因此它在超高速碰撞、爆炸、裂纹扩展、金属加工成型等领域中具有广阔的发展前景。
相信随着研究的不断深入, 无网格法理论与软件会日臻完善, 能发展成为如有限元法一样功能强大的数值方法, 并将得到更广泛的应用。
