导数中双变量问题的四种策略

导数中双变量处理策略

Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

导数-双变量问题处理策略

1.构造函数利用单调性证明

2.任意性与存在性问题

3.整体换元—双变单

4.极值点偏移

【构造函数利用单调性证明】

形式如：1212|()()|||fxfxmxx

例1、设函数．

(1)讨论函数在定义域内的单调性；

(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围．

【任意与存在性问题】

例2、 已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．

（1）若函数xfy在e,1上的图像恒在xgy的上方，求实数a的取值范围．

（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，

求实数a的取值范围．

【整体换元——双变单】

例3、已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线.

(Ⅰ) 当时, 求的最大值;

(Ⅱ) 设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 且, 求证:

.

【对称轴问题12xx的证明】

例4、已知函数

⑴求函数的单调区间和极值；

⑵已知函数对任意满足，证明：当时，

⑶如果，且，证明： 221()(2)ln(0)axfxaxax()fx(3,2)a12,[1,3]xx12(ln3)2ln3|()()|mafxfxmxxxfln)(Cbaxxg21)(l3,2ba)()()(xgxfxFlC21,xx21xx2)()(2121xxgxx11()(xxfxxeR).()fx()ygxx()(4)gxfx2x()();fxgx12xx12()()fxfx124.xx

【实战演练】

1.已知函数f(x)=x2－ax+(a－1)，.

（1）讨论函数的单调性；

精心整理

精心整理导数-双变量问题处理策略

1.构造函数利用单调性证明

2.任意性与存在性问题

3.整体换元—双变单

4.极值点偏移

【构造函数利用单调性证明】

形式如：

1212|()()|||fxfxmxx

例1、设函数221

()(2)ln(0)ax

fxaxa

x．

(1)讨论函数()fx在定义域内的单调性；

(2)当(3,2)a时，任意12,[1,3]xx，12(ln3)2ln3|()()|mafxfx恒成立，求实数m的取值范围．

【任意与存在性问题】

例2、已知函数2a

fxx

x，lngxxx，其中0a．

（1）若函数xfy在e,1上的图像恒在xgy的上方，求实数a的取值范围．

（2）若对任意的

12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有

1fx≥

2gx成立，

求实数a的取值范围．

【整体换元——双变单】

例3、已知函数

xx

xfln

)(的图象为曲线C,函数baxxg

21

)(的图象为直线l.

(Ⅰ)当3,2ba时,求)()()(xgxfxF的最大值;

(Ⅱ)设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为21,xx,且21xx,求证:2)()(

2121xxgxx.

精心整理

精心整理【对称轴问题

12xx的证明】

例4、已知函数11

()(xx

fxx

eR).

⑴求函数()fx的单调区间和极值；

⑵已知函数()ygx对任意x满足()(4)gxfx，证明：当2x时，()();fxgx

⑶如果12xx，且12()()fxfx，证明：124.xx

【实战演练】

1.已知函数f(x)=

21

x2－ax+(a－1)lnx，1a.

（1）讨论函数()fx的单调性；

（2）证明：若5a，则对任意x

1,x2(0,)，x1x2，有12

12()()

1fxfx

xx.

2.设3x是函数23,xfxxaxbexR的一个极值点.

（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求fx的单调区间；

（2）设225

0,

4xagxae，若存在12,0,4，使得121fg成立，求a的取值范围.

3.已知函数21

()ln(1)(0)

学霸养成.2020高考数学热点难点必杀技系列—导数

近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.

1.【2018全国卷Ⅰ】已知函数1()lnfxxaxx．

(1)讨论()fx的单调性；

(2)若()fx存在两个极值点12,xx,证明：1212()()2fxfxaxx．

一、与函数单调性有关的双变量问题

此类问题一般是给出含有1212,,,xxfxfx的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.

【例1】【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟】

已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【对点训练】【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟】已知函数()ln1fxxax,其中a为实常数.

（1）若当0a时,()fx在区间[1,]e上的最大值为1,求a的值；

（2）对任意不同两点11,Axfx,22,Bxfx,设直线AB的斜率为k,若120xxk恒成立,求a的取值范围.

二、与极值点有关的双变量问题

与极值点12,xx有关的双变量问题,一般是根据12,xx是方程0fx的两个根,确定12,xx的关系,再通过消元转化为只含有1x或2x的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为12,xx的齐次式,然后转化为关于21xx的函数.

【例2】【山东省潍坊市2019届高三5月三模】已知函数2()ln2()fxxaxxaR.

（1）求()fx的单调递增区间；

（2）若函数()fx有两个极值点1212,()xxxx且12()0fxmx恒成立,求实数m的取值范围.

浅析高中数学中双变量函数问题的解决策略

作者：叶珂源

来源：《高考·下》2019年第01期

摘 要：近几年来，双变量函数作为高考数学的压轴题越来越受命题人的青睐。本文将从双变量问题出发，探讨、归纳了双变量函数中单调性和特殊点处不等式恒成立问题的解决方法和解题思路，希望能为解决这类问题提供一些启发和帮助。

关键词：高考数学;双变量;单调性 在新课改的背景下，要求高考生除了具备基本的数学逻辑、推理、分析能力之外，还对数学的整体思维和逻辑性也越来越重视[1]。其中，函数的双变量问题的单调性及特殊点处的不等式恒成立问题既是对导数知识的应用，也是数学研究中对于不等式探讨的热点问题，这两者的结合不仅是对基本数学概念、能力的考察，还能体现综合知识和能力[2]。而这类存在着大量的恒成立问题双变量函数[3]，也一直是高考、学业水平考试中考查的热点与重点，笔者将通过方法总结和解析例题的方式来突破该难点。

若函数f（x）的表达式在定义域的范围内除自变量x外，还有一个未知常数a，求解函数f（x）在定义域内的单调性，并且证明在特殊点（极值点、零点等）处的恒成立问题。这就是我们说的双变量问题，这类题目，通常按照以下思路来解题：

（1）先利用f（x）求出其導函数f'（x），通过化简整理为多项式乘积的形式，并利用导函数等于0时求出未知数a的值，然后在不同的区间对a进行分类讨论，从而得出函数的单调性结果。

（2）利用函数在特殊点（x1，x2）处的一些特殊等量关系，并通过一些结论或等式得到x1和x2的关系式，利用的结果或者用换元法替换，对换元后的函数进行求导，讨论该函数的单调性，得到关于x1和x2的不等式关系，得到结论。

总结

双变量函数常作为压轴大题，因不知如何入手，让大多数人放弃，但这类问题分数比重较大，容易拉开差距。因此，要提高解决该问题的能力，就要善于构造函数和巧用换元，转化为简单函数的单调性及极值问题。通过平时的归纳、总结、练习，有意识的培养这部分的能力，从而提高分数。

1 第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理

【知识要点】

在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学

生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到

很棘手，或在解题中出现知识性错误.

1、双存在性问题

“存在),(

1bax

，存在),(

2dcx

，使得)()(

21xgxf

成立”称为不等式的双存在性问

题，存在),(

1bax

，存在),(

2dcx

，使得)()(

21xgxf

成立，即)(xf

在区间),(ba

内

至少有一个值)(xf

比函数)(xg

在区间),(dc

内的一个函数值小.，即

maxmin)()(xgxf

.

（见下图1）

“存在),(

1bax

，存在),(

2dcx

，使得)()(

21xgxf

成立”，即在区间),(ba

内至少有

一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一个函数值大，即

minmax)()(xgxf

.（见下图

2）

2、双任意性问题

“任意),(

1bax

，对任意的),(

2dcx

，使得)()(

21xgxf

成立”称为不等式的双任意

性问题. 任意),(

1bax

，对任意的),(

2dcx

，使得)()(

21xgxf

成立，即)(xf

在区间

),(ba任意一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要小，即

maxmin()()fxgx

.

“任意),(

1bax

，对任意的),(

2dcx

，使得)()(

21xgxf

成立”，即)(xf在区间

),(ba

内任意一

2 个值)(xf

比函数)(xg

在区间),(dc

内的任意一个函数值都要大,即

minmax()()fxgx

.

3、存在任意性问题

“存在),(

1bax

，对任意的),(

2dcx

，使得)()(

21xgxf

成立”称为不等式的存在任

意性问题. 存在),(

1bax

，对任意的),(

2dcx

，使得)()(

21xgxf

成立，即)(xf在区

间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要小，即

双变量的“存在性或任意性”问题，是高考的热点之一，尤其在函数、导数、不等式中出现较

多．解决此类问题的关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间

的关系或两个函数最值的大小比较．

类型一形如“对任意x1∈A，都存在x

2∈B，使得f(x

1)＝g(x

2)成立”

∀x1∈A，∃x

2∈B，使得f(x

1)＝g(x

2)等价于函数f(x)在A上的值域是g(x)在B上的值域的子集．其

等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的任意一个函数值都等于函数y＝g(x)在区间

B上的某一个函数值，即函数y＝f(x)在区间A上的函数值都在函数y＝g(x)在区间B上的值域之中．

例1已知幂函数f(x)＝(a2－3)x1

2a2

＋a－2在(0，＋∞)上单调递减，函数h(x)＝3x＋m，对任意x1

∈[1，3]，总存在x

2∈[1，2]，使得f(x

1)＝h(x

2)，则m的取值范围为________．

答案－8

，－26

9

解析∵f(x)＝(a2－3)x1

2a2

＋a－2是幂函数，∴a2－3＝1，即a＝±2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递

减，则1

2a2＋a－2<0，可得a＝－2，∴f(x)＝x－2＝1

x2，∴f(x)在[1，

3]上的值域为1

9，1

.又h(x)

在[1，2]上的值域为[3＋m，9＋m]，

根据题意得9＋m≥1，

3＋m≤1

9，解得－8≤m≤－26

9，∴m的取

值范围为－8，

－26

9.

理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等

价转化为求值域，即函数f(x)在区间A上的值域是g(x)在区间B上的值域的子集，若改为∃x1

∈A，∀x

2∈B，使得f(x

1)＝g(x

2)，则函数g(x)在区间B上的值域是f(x)在区间A上的值域的子

集．

1．设函数f(x)＝4x

2x－1－2，g(x)＝x2－ax＋1，若∀x1∈[1，2]，∃x

2∈[1，2]，f(x

1)＝g(x

2)，求正

实数a的取值范围．

解f(x)＝4x

2x－1－2＝(2x)2－1＋1

双变量单函数问题处理办法

一、普通12,xx型

总结一：对形如2122()()fxfxmxx在任意1212,(,),xxabxx上恒成立的多元问题求参中，一般可以通过限定12,xx的大小，比如12,xx通过等价变形，构造形如()()Fxfxmx的函数，转化为()Fx在区间,ab上单调性问题进行求解.

总结二：对形如2121()()fxfxmxx在任意1212,(,),xxabxx上恒成立的多元问题求参中，一般可以通过限定12,xx大小，如12,xx结合函数在区间(,)ab上单调性去绝对值，转化为无绝对值形式处理.

结论三：双变量单函数绝对值型

1212maxmin1212maxmin(1),,()()()();(2),,()()()();xxDfxfxmfxfxmxxDfxfxmfxfxm

【例1】已知函数()ln,,mfxxmRx若对任意()()0,1fbfababa恒成立，求m的取值范围.

【练1】（2020重庆巴蜀3月质检）已知函数()ln,fxx若对于任意的120,xxa都有211212()()1,xfxxfxxx

求实数a的最大值.

【例2】已知函数2()3ln.fxxxx

（1）求函数()fx的极值；

（2）若对任意1212,(1,),,xxxx都有1212()()fxfxkxx恒成立，求实数k的取值范围.

【练2】已知函数2()(1)ln1.fxaxax

（1）讨论函数()fx的单调性；

（2）设1,a如果对任意121212,(0,),()()4,xxfxfxxx求a的取值范围.

【例3】已知函数2()ln,(0,1).xfxaxxaaa

（1）当1a时，对1212,1,1,()()1xxfxfxe恒成立，求a的取值范围；

数学

篇方法集锦双变量问题比较复杂，且具有较强的综合性.其考查形式呈现多样化的特点，对同学们的数学思维和运算能力有较高的要求.当题目中出现了双变量时，很多同学会习惯性地把自变量看成主元，导致解题过程繁琐，甚至有时不知该如何下手.那么，如何高效地解答这类问题呢？有三个“妙招”.一、分离参数若已知一个变量的取值范围，要求另外一个变量的取值范围，则不能按照常规思路，将已知取值范围的变量作为主元，而要变换一下思路，采用分离参数法，将要求的变量分离出来，并构造出新函数，将问题转化为关于另一个变量的函数最值问题.利用导数法或函数的性质求最值，就可以得到另一个变量的取值范围.例1.对任意n∈N*,恒有(1+1n)2n+a≤e2恒成立，求实数a的最大值.解：在(1+1n)2n+a≤e2的两边取对数得：(n+a2)ln(1+1n)≤1.所以a2≤1lnæèöø1+1n-n，设F()x=1ln()1+x-1x(x∈(0,1]),则F′()x=(1+x)ln2()1+x-x2x2(1+x)ln2(1+x),设h()x=(1+x)ln2()1+x-x2，则h′()x=ln2()1+x+2ln()1+x-2x，h″()x=2[ln()1+x-x]1+x，再设m()x=ln(1+x)-x，则m′()x=11+x-1<0，所以m(x)在(0,1]上单调递减，则m()x

-2.将a分离出来，再将离散的变量n用连续的变量x表示出来，把问题变成函数最值问题，就可以用函数思想来解题.二、确立主元对于含有两个变量的问题，有时可以将其中的一个变量看作常数，将另外一个变量看成主元来求解.运用这种方法解题，要明确两个变量对已知关系式和目标式的影响，选取合适的变量作为主元.一般地，若已知变量的取值范围或已知含有该变量的等量关系式，则可以将该变量视为主元.例2.试证明：e2x-2t()ex+x+x2+2t2+1≥32.证明：令f()x=e2x-2t()ex+x+x2+2t2+1=2(t-ex+x2)2+12(ex-x)2+1≥12(ex-x)2+1.令g()x=ex-x,则g′()x=ex-1，所以g(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，易得g(x)的最小值为g()0=1，即12(ex-x)2+1≥32，综上可得，e2x-2t()ex+x+x2+2t2+1≥32.三、利用函数的单调性因为双变量问题中含有变量，所以可以构造函数，将问题看作函数问题，利用函数的单调性来求得问题的答案.可根据函数单调性的定义判断函数的单调性，也可根据导函数与函数单调性之间的关系来进行判断.例3.已知函数f()x=lnx+kx.对任意x1>x2>0,f()x1-f()x20)，因为f()x1-f()x2

双变量问题——韦达定理妙用

大招总结

题型特点：函数求导后主导函数为二次函数，涉及两根（两极值点）问题，可以利用两根和与积的关系进行消元，代换后变成单变量问题，题目就迎刃而解了。

典型例题

.2ln2-3)()(,,)()2()()1().0(ln--)(1

21212

＞证明：有两个极值点若的单调性；讨论＞：已知函数例

xfxfxxxfxfaxaxxxf

+=

。＞所以＞上递增，在所以，＞，则＞设元，多元化单元韦达定理整体利用，消有两个极值点，且时，函数＜＜）知当）证明：由（（上递增。上递减，在，在，＞时，，当＜时，及当有两个不相等的正根，方程＞时，＜＜上单调递减，当在函数故，时，当的判别式的方程则关于＞，＞不妨设＞，＞）（解：

2ln2-3)()(,2ln2-3)4()(),4()(022-1-21)(),(1ln-2121ln-41421.121ln-41)ln(-]2-)[(-)()().ln(-)(-)(ln--ln--)()(.21,21)(81012),()∞,(),0()(∴0)(),(∈0)()∞,(∈),0(∈,48-11,48-1-1,,0)(0Δ810)∞,0()(∴,0≤)(,0≥)(0≤Δ81≥,8-1Δ01-2),00(1-2)(),00(1-2-)(1

212121221212122212122221211212121212121212121222

xfxfhththtttththttaataaaxxxxxxaxxxxxxaxxxaxxxaxxxfxfaxxaxxxfaxxxxxfxfxxxxfxxxxaaxaaxxxxfaxfxfxgaaxaxxaxxaxxgaxxxaxxf

+=+∞==′=+=+=+=++=++=+=+==++′′++===′+′==++=+=′

.2--)(-)(,,)()2()()1(.ln-1)(2

212121axxxfxfxxxfxfxaxxxf

＜证明：存在两个极值点若的单调性；讨论：已知函数例+=

1导数中的利用韦达定理研究双变量问题

题型一：利用韦达定理消元求范围问题

【精选例题】

1已知函数fx=x2+2lnx+1．

(1)求曲线y=fx

在点1,f1

处的切线方程；

(2)若函数gx

=fx

-2axa∈R

有两个极值点x

1,x

2，且x

1

2

1-gx

2的取值范围．

【答案】(1)4x-y-2=0；(2)0,e2-1

e2-4

【详解】(1)fx=x2+2lnx+1,fx

=2x+2

x，∴f1=2,f1

=4,∴曲线y=fx

在点1,f1

处的切

线方程为y-2=4x-1，即4x-y-2=0.

(2)gx

=x2-2ax+2lnx+1，则函数gx

的定义域为0,+∞

,gx

=2x-2a+2

x=2x2-ax+1

x，

若函数gx有两个极值点x

1,x

2，且x

1

20，且x

1+x

2=

a>0,x

1x

2=1，∴x

2=1

x

1

e

1<1．∴gx

1-gx

2=x2

1-2ax

1+2lnx

1-x2

2+2ax

2-2lnx

2

=x

1+x

2x

1-x

2-2ax

1-x

2+2lnx

1-2lnx

2=x

1+x

2x

1-x

2-2x

1+x

2x

1-x

2+2lnx

1-2ln1

x

1

=-x

1+x

2x

1-x

2+4lnx

1=-x

1+1

x

1x

1-1

x

1+4lnx

1=1

x2

1-x2

1+4lnx

11

e

1<1

．

设ht=1

t2-t2+4lnt1

e

，则ht

=-2

t3-2t+4

t=-2t2-12

t3<0在t∈1

e,1

上恒成立．

故ht在1

e,1

单调递减，从而ht>h1=0,ht

e=e2-1

e2-4．因此，gx

1-gx

2的取值

范围是0,e2-1

e2-4

．

【跟踪训练】

1已知函数fx=lnx+a

x+1-2a(a∈R).

(1)讨论函数fx

的单调性；

(2)若fx

两个极值点x

1，x

2，且x

1∈e,e2

，求fx

双变量问题

【方法技巧与总结】

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等

式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【题型归纳目录】

题型一：双变量单调问题

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题

题型四：双变量不等式:中点型

题型五：双变量不等式:剪刀模型

题型六：双变量不等式:主元法

【典例例题】

题型一：双变量单调问题

例1.(2022•苏州三模)已知函数f(x)=(x-1)ex-

a

2x2，其中a∈R．

(Ⅰ)函数f(x)的图象能否与x轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；

(Ⅱ)求最大的整数a，使得对任意x

1∈R，x

2∈(0,+∞)，不等式f(x

1+x

2)-f(x

1-x

2)>-2x

2恒成立．

例2.(2020秋•龙岩期中)已知函数g(x)=x-alnx．

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)若a>2，且f(x)=1

x-g(x)存在两个极值点x

1，x2(x

1

2)，证明：f(x

1)-f(x

2)>(a-2)(x

1-

x

2)．

例3.(2022•辽宁)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设a<-1．如果对任意x

1，x2∈(0,+∞)，|f(x

1)-f(x

2)|≥4|x

1-x

2|，求a的取值范围．

例4.(2020春•平顶山期末)已知函数f(x)=2lnx+

m

x，m>0．

(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数g(x)=f(x)-x的单调性；

(3)若m≥1，证明：对于任意b>a>0，f(b)-f(a)

b-a<1．

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

例5.(2021春•海曙区校级期中)已知函数f(x)=1

x-x+alnx．

(1)讨论f(x)的单调性；

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备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇

专题十六 与双变量有关的恒成立问题

一、问题指引

函数背景下的双变量问题，一直是高考的热点与难点，求解基本方法是利用相关知识转化为一个变量的函数问题．

二、方法详解

（一）构造齐次式，换元

【例】（2020年河南高三期末）已知函数2lnfxxaxbx，曲线yfx在点1,1f处的切线方程为2yx.

（1）求实数,ab的值；

（2）设21212,,0FxfxxmxmRxxxx分别是函数Fx的两个零点，求证：120Fxx.

【解析】（1）1,1ab；

（2）2lnfxxxx，1lnFxmxx，11Fxmx，

因为12,xx分别是函数Fx的两个零点，所以11221ln1lnmxxmxx， 两式相减，得1212lnln1xxmxx，

1212121212lnln111xxFxxmxxxxxx，要证明120Fxx，只需证121212lnln1xxxxxx.

思路一：因为120xx，只需证1211122212121lnlnln0xxxxxxxxxxxx.

令120,1xtx，即证12ln0ttt. 令12ln01httttt，则22212110thtttt，

所以函数ht在0,1上单调递减，10hth，即证12ln0ttt.由上述分析可知120Fxx.

【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,xx转化为t的函数，常把12,xx的关系变形为齐次式，设12111222,ln,,xxxxtttxxtexx等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法.

八个视角处理双变量导数压轴题

在高中数学中，导数算是难度天梯里排No.1的存在，在高考出题人的心中，导数算是一个

超赞的存在，天生的守门员。但其实，现在同学们接触的只是导数世界的“皮毛”，真正的精髓还

是要到大学中才会学习。导数大题是近年来高考的重点和热点问题，也是高考必考的板块之

一，不管是简答题还是选择、填空都有涉及，也是拉分项。

我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分地夸大。像导数、函数这样的大板块，同学

们必须会解题。遇到一个问题应该认真分析题型与问题条件，反复思考结论，每步做到“言必有

据，步步合理”不用题海战术，每个板块都能攻克了！今天给大家整理总结了高考导数大题的常

见类型及求解策略方法，大家通做一遍，复习提分效果更佳！

热点题型

1构造偏导数

2整体规划统一变量

3比(差)值换元

4同构性双变量

5切线估计与剪刀差模型

6不等式放缩

7主元法

8多项式拟合

经典例题

1.构造偏函数

注：

1.构造偏差函数的基本应用

①.函数fx的极值点为x

0；

②.函数fx

1=fx

2，然后证明：x

1+x

2>2x

0或x

1+x

2<2x

0.

2.构造偏差证明极值点偏移的基本方法：

①.构造一元差函数Fx=fx-f2x

0-x

或是Fx

=fx+x

0-fx

0-x

；

②.对差函数Fx求导，判断单调性；

③.结合F(x

0)=0或F(0)=0，判断Fx

的符号，从而确定fx

与f2x

0-x

的大小关系；

④.由fx

1=fx

2=fx

0-x

0-x

2_____fx

0+x

0-x

2=f2x

0-x

2的大小关系，得到fx

1_

___f2x

0-x

2，(横线上为不等号)；

⑤.结合fx单调性得到x

1____2x

0-x

2，进而得到x

1+x

2

2___x

0.

例1.(2023届福建七市联考)已知函数f(x)=ex-ax2

2,a>0．

(1)讨论fx

的极值点个数；

(2)若fx

有两个极值点x

1,x

2，且x

1

2，当e

学生版

275第15讲函数中的双变量系列问题

脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶

题型一双变量问题之转化同构

思维导图-----方法梳理

若问题的不等式或等式中含有

1x，

2x两个变量，我们称这类题型为双变量问题，双变量问题有若干细

分题型，本题型先分析：若对任意的

1x，

2x在区间D上，某关于

1x和

2x的具有轮换对称性的不等式恒成立，

求参数取值范围.这类问题一般将原不等式等价转化为

12fxfx这种同构形式，根据函数

fx的单调

性来研究参数的取值范围.

围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹

例1.已知函数1

2lnfxx

x.

（1）求曲线

yfx在点1,1f处的切线方程；

（2）若对任意的

12,0,xx，不等式

12

1211

fxfxm

xx恒成立，求实数m的取值范围.

学生版

276例2.已知函数xfxe，其中2.71828e为自然对数的底数.

（1）设函数

223gxxaxafx，aR，试讨论函数

gx的单调性；

（2）设函数2hxfxmxx，mR，若

121

,,2

2xx





且

12xx，都有

21121221xhxxhxxxxx成立，

求实数m的取值范围.

套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫

1.（多选）若正实数a、b满足lnlnsinsinbababa，则下列不等式可能成立的有（）

A.01abB.1baC.01baD.01ab

2．已知函数

sinfxxax，若对任意

12,xxR且

12xx，不等式

12

12fxfx

a

xx



恒成立，则实数a的取值范

围为（）

A.1

,

2





B.1

,

2





C.1

,

2





D.1

,

2







3．已知函数

lnfxmxaxm，

1xx

gx

e，其中m、a均为实数.

（1）求

双变量问题重难点【九大题型】

【题型1 双变量单调性问题】................................................................................................................................2

【题型2 双变量的最值（取值范围）问题】........................................................................................................3

【题型3 双变量问题转化为单变量问题】............................................................................................................4

【题型4 与极值点有关的双变量问题】................................................................................................................5

【题型5 与零点有关的双变量问题】....................................................................................................................6

【题型6 双变量的恒成立问题】............................................................................................................................7

1培优系列：双变量问题

题型分类

(一)与函数单调性有关的双变量问题

此类问题一般是给出含有

1212,,,xxfxfx的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利

用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.

【例1】（2021届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第五次模拟）已知函数

lnfxxx,

21

2gxx.

（1）求函数

fx在

21

,1

e



上的最值；

（2）若对0ba,总有

mgbgafbfa

成立,求实数m

的取值范围.

【分析】（1）因为

ln1fxx单调递增,

211

,x

ee





时

fx单调递减；1

,1x

e





时

fx单调递增.由11

eef





,

2212

f

ee





,

10f,得

min11

()fxf

ee





,

max()10fxf.

（2）

mgbgafbfa

等价于

mgbfbmgafa,

令2ln

2m

hxmgxfxxxx,则

hx在

0,上单调递增.

问题化为

ln10hxmxx对

0,x恒成立.分离参数得ln1

x

m

x对

0,x恒成立.令ln1x

x

x

,

max11x,

故m

的取值范围是

1,.

(二)与极值点有关的双变量问题

与极值点

12,xx有关的双变量问题,一般是根据

12,xx是方程

0fx的两个根,确定

12,xx的关系,再通过

消元转化为只含有

1x或

2x的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为

12,xx的齐次式,然后转化为关于2

1x

x的函数.

【例2】（2021届福建省福州一中高三五模）已知函数

1

ln

1mx

fxx

x



,mR.

（1）讨论

fx的零点个数；

（2）若

fx有两个极值点

1x,

2x

,且8

3m,证明：