含参不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。

一． 二次项系数为常数

例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x

解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0(两根是1和-m ，谁大？)

（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m

（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122

>+-x x ∴x ≠1

（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1

综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11

(){}1|,12≠-=x x m 时当

(){}1-|,13><->x m x x m 或时当

例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422--=∆（方程有没有根，取决于谁？）

()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆

()()32432

404222+=-==--=∆a a a a 或时当

（i ）13324-≠-=x a 时，解得：当

（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当

()()时或即当32432

404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-=

，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22a

a a x a

a a x --+->----<或此时解得：

综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （4）当324-a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,2

48)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数

例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax

解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0

x x a x 1

0)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x

若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；

（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔

x a

； （3）当10<

①当0

②当0=a 时，{1>x x }；

③当10<

④当1=a 时，φ；

⑤当1>a 时，{11<

x

}.

例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax

解：.012<-+ax ax

（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为

（2）当0>a 时，此时a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，a

a a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--a a a a x 242++-<< （3）当a<0时,原式可化为：012>-+a

x x

a a 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ；

②当0=∆即4-=a 时，解得：2

1-≠x ;

③当0>∆即4-a

a a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)； （2）当04≤<-a 时，解集为R ；

（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,2

1);

（4）当4-

解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a

解：033)1(22>++-ax x a )(*

1012=⇒=-a a 或1-=a ；

203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；

∴当2--a 且0<∆，)(*解集为R ；

当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；

当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，

)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,2

2312322

a a a )； 当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；

当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，

)(*解集为(22312322----a a a ,2

2312322

--+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；

当21<-a 且0>∆，