含参不等式的解法(教师版)

参数不等式与基本不等式学习目标：① 含参数的一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式； ②不等式的解集与方程的根相关； ③基本不等式及其应用一、基础知识1、含参不等式20ax bx c ++≥需讨论二次项系数正负或零以及两根的大小； 2、含参分式不等式先将其转化为整式不等式；3、基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤ 4、利用重要不等式求函数最值时，谨记：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针5、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <2). 能成立问题（有解问题 ）若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立, 则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立, 则等价于在区间D 上的()min f x B <.如3). 恰成立问题不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价()A x f >的解集为D ； 不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价()B x f <的解集为D .二、题型归类（一）含字母参数一元二次不等式的问题1. 当0a <时，不等式22420x ax a +-≤的解集是____________2. 已知不等式210ax bx ++≥的解集为{51}x x -≤≤，则2a b +=____________ 3. 实数k 在什么范围内取值时，不等式220kx kx -+>的解集是实数集R ？解集会不会是空集？4. 若不等式组()22201ax x x x a x ⎧--≤⎨-≥-⎩的解集为R ,求a 的取值范围是____________5.已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或。

含参不等式的解法教案一、教学目标1. 让学生掌握含参数的不等式的解法，提高解题能力。

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3. 通过教学，使学生能够运用含参数的不等式解法解决实际问题。

二、教学内容1. 含参数不等式的概念及特点。

2. 含参数不等式的解法：图像法、代数法、不等式组法等。

3. 典型例题解析及练习。

三、教学重点与难点1. 教学重点：含参数不等式的解法及应用。

2. 教学难点：含参数不等式解法在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等相结合的教学方法。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示含参数不等式的解法过程。

3. 组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程1. 导入新课：复习相关知识点，如不等式的概念、性质等，引出含参数不等式。

2. 讲解含参数不等式的解法：a) 图像法：通过绘制不等式的图像，找出解集。

b) 代数法：运用不等式的性质，求解含参数的不等式。

c) 不等式组法：将多个含参数的不等式组合起来，求解公共解集。

3. 典型例题解析：分析例题，引导学生运用所学解法解决问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，提醒学生注意解题中可能出现的问题。

6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对含参数不等式解法的掌握程度以及解决实际问题的能力。

2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人总结等。

3. 评价内容：a) 学生能理解含参数不等式的概念及特点。

b) 学生能运用图像法、代数法、不等式组法等解法解决含参数不等式问题。

c) 学生能将所学知识应用于实际问题，提高问题解决能力。

七、教学反思1. 教师应在课后对教学效果进行反思，分析学生的反馈意见，调整教学方法及内容。

2. 关注学生在解题过程中的困难，针对性地进行辅导，提高学生的解题技巧。

含参二元一次不等式的解法引言含参二元一次不等式是数学中常见的问题之一。

解决这类不等式可以帮助我们找到变量的取值范围，从而更准确地描述问题的解空间。

本文将介绍含参二元一次不等式的解法。

解法概述解决含参二元一次不等式的方法可以分为以下几步：1. 将不等式转化为标准形式；2. 求解不等式中的参数；3. 根据参数的取值范围，确定不等式的解集。

步骤详解步骤一：将不等式转化为标准形式例如，将含参二元一次不等式 $ax + by > c$ 转化为标准形式，可通过以下方式：1. 将参数 $a$ 和 $b$ 提取出来，即将不等式变为$a(x+b\frac{c}{b}) + by > c$；2. 化简不等式，得到 $ax + ab\frac{c}{b} + by > c$；3. 将不等于符号 $>$ 改为等于符号 $=$，得到 $ax +ab\frac{c}{b} + by = c$。

步骤二：求解不等式中的参数在标准形式的基础上，解不等式中的参数有助于确定解集的取值范围。

通过对参数进行分析和运算，可以得到参数的取值范围，进而确定不等式的解集。

步骤三：确定不等式的解集根据参数的取值范围，可以确定不等式的解集。

根据参数的限制条件，可以得到不等式的解集是一个或多个区间，或者是特定的取值。

结论含参二元一次不等式的解法可以通过将不等式转化为标准形式并求解参数的方法来实现。

这种解法能够帮助我们更准确地描述变量的取值范围，从而更好地分析问题的解空间。

注意：本文所提供的解法仅适用于简单的含参二元一次不等式，对于涉及复杂的法律问题的不等式，需要进行更深入的研究和分析。

请在使用本文提供的解法时，根据具体情况谨慎使用，并确保所引用的内容经过确认。

含参不等式的解法教案一、教学目标：1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。

2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容：1. 含参不等式的定义及分类。

2. 含参不等式的解法：图像法、代入法、不等式法、参数分离法等。

3. 含参不等式在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：含参不等式的解法及其应用。

2. 教学难点：含参不等式解法在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解含参不等式的基本概念和解法。

2. 利用案例分析法，分析含参不等式在实际问题中的应用。

3. 组织小组讨论法，让学生合作探究含参不等式的解法。

五、教学过程：1. 导入：通过简单的不等式问题，引导学生思考含参不等式的概念。

2. 讲解：讲解含参不等式的定义、分类和解法，结合实际例子进行分析。

3. 练习：布置练习题，让学生巩固含参不等式的解法。

4. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决实际问题。

5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享含参不等式的解法心得。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调含参不等式的解法及其应用。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生的掌握情况，针对存在的问题进行调整教学方法，以提高学生对含参不等式的理解和应用能力。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对含参不等式解法的掌握程度。

3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，包括分析问题的能力、运用所学知识解决问题的能力。

七、教学拓展：1. 对比分析：引导学生对比含参不等式与一般不等式的异同，加深对含参不等式的理解。

2. 研究性问题：提出研究性问题，引导学生进行深入探究，如探讨含参不等式在实际应用中的局限性等。

一、教学目标1. 让学生掌握含参数的不等式的解法，提高他们的数学解题能力。

2. 通过解决实际问题，培养学生运用不等式解决问题的意识。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 含参数不等式的基本概念。

2. 含参数不等式的解法：图像法、代数法、分析法。

3. 实际问题中的应用案例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：含参数不等式的解法。

2. 教学难点：如何运用不同的解法解决实际问题。

四、教学方法1. 采用案例教学法，让学生在解决实际问题的过程中掌握含参数不等式的解法。

2. 运用分组讨论法，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。

3. 利用多媒体教学，直观地展示含参数不等式的解法过程。

五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入含参数不等式的概念。

2. 基本概念：讲解含参数不等式的定义和性质。

3. 解法讲解：a. 图像法：通过绘制函数图像，分析不等式的解集。

b. 代数法：运用代数运算，求解不等式的解集。

c. 分析法：从不等式的性质出发，推导出解集。

4. 案例分析：运用不同的解法解决实际问题，巩固所学知识。

5. 课堂练习：布置相关练习题，检测学生对含参数不等式解法的掌握程度。

7. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，及时了解学生对知识的掌握情况，针对性地进行讲解和辅导。

2. 课后作业：布置适量作业，要求学生在规定时间内完成，以检验他们对知识的掌握程度。

3. 小组讨论：观察学生在分组讨论中的表现，了解他们的团队协作能力和逻辑思维能力。

4. 期中期末考试：通过考试全面评估学生对含参数不等式解法的掌握情况。

七、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统的学习资源。

2. 教案：制定详细的教学计划和教案，确保教学目标的实现。

3. 课件：制作生动、直观的课件，帮助学生更好地理解含参数不等式的解法。

4. 练习题：收集和编写各类练习题，巩固学生所学知识。

含参不等式(实数解问题)(人教版)一、简介本文档主要讨论含参不等式的实数解问题。

含参不等式是指在不等式中含有未知数的不等式，我们将通过实例详细介绍解决这类问题的方法和步骤。

二、解决方法解决含参不等式的实数解问题可以采取以下步骤：1. 确定不等式的范围：首先，要确定不等式的范围，即确定未知数的取值范围。

这可以通过对不等式进行变形和化简来实现。

2. 根据范围解不等式：根据确定的范围，将未知数代入不等式，并求解。

可以采用试探法、代入法或图像法等方法求解。

3. 验证解的有效性：求解出不等式的解之后，需要验证这些解是否满足原始的不等式。

通过将解代入不等式并判断不等式是否成立来验证解的有效性。

三、实例分析以下是一个实例分析，展示了如何解决含参不等式的实数解问题：例题：求解不等式 |x - a| < b，其中 a > 0，b > 0。

解：首先，根据不等式 |x - a| < b 的定义，可以得到两个不等式：1) x - a < b；2) -(x - a) < b。

将两个不等式进行化简：1) x < a + b；2) x > a - b。

因此，不等式的解是 a - b < x < a + b。

需要注意的是，这个解是根据 a > 0，b > 0 的条件得出的。

接下来，我们需要验证解的有效性。

将解代入原始不等式 |x - a| < b 可得：1) |(a - b) - a| = b，成立；2) |(a + b) - a| = b，成立。

因此，解 a - b < x < a + b 是原始不等式的实数解。

四、总结通过本文档的介绍，我们了解到解决含参不等式实数解问题的方法和步骤。

关键是确定范围、带入求解，并验证解的有效性。

通过实例的分析，我们可以更好地掌握和应用这些方法，解决含参不等式的实数解问题。

以上是对含参不等式(实数解问题)(人教版)的文档概述，希望对您有所帮助。

含参不等式以及含参不等式组的解法不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。

本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。

含参不等式：解不等式5（x-1）<3x+1通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式57x -<32-x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>831,故可以得出最小整数为4.在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。

例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集 移项、合并同类项、讨论取值2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b 移项、合并同类项、讨论取值（2）（m-1）x>a 2+1对于任意x 都成立，则参数m 的值为 练习 ：1、求不等式kx+2>3的解集2、（1）求不等式mx-2<-7-nx 的解集 （2）求不等式m 2x+1<-x+5的解集3、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解满足2<x<10，求m 的取值范围。

2、解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->+-<-8)21(563x m x mx mxmx3、如果一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-ax x 432（1）有解，求a 的取值范围。

（2）无解，求a 的取值范围。

(3)有且只有一个解，求a 的取值范围。

（4）只有两个整数解，求a 的取值范围。

1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。

20.6.156.15.202021:5021:50:33Jun-2021:502、心不清则无以见道，志不确则无以定功。

二〇二〇年六月十五日2020年6月15日星期一3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。

21:506.15.202021:506.15.202021:5021:50:336.15.202021:506.15.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。

含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

含参数的不等式的解法解含参数的不等式的步骤： 1.(,,)x a x a x a x a ><≥≤型的不等式在解答时，需讨论a 的取值范围。

2. 含参数的一元二次不等式的解答步骤：（1）二次项若含有参数应讨论是小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正数的形式进行解答；(2)若不能判断相应的二次方程的判别式∆的符号，则分0,0,0∆>∆=∆<三种情况进行讨论；（3）若不等式对应的方程的两个根的大小不能确定，则按两个根的大小进行分类讨论。

例1.解关于x 的不等式：|23|1x a +-<例2.解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当例3:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解）解：()a a 422--=∆ （方程有没有根，取决于谁？）()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当 （i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a两根为()242)2(21a a a x --+-=，()242)2(22aa a x ----=.()()242)2(242)2(22aa a x a a a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （4）当324-<a 或324+>a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )；例4、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式a x x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a x )(*其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故（1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a ；（3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为：①当0<a 时，{11><x a x x 或}；②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ； ⑤当1>a 时，{11<<x a x }.例5、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时， 此时 a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--aa a a x 242++-<< （3）当a<0时, 原式可化为：012>-+ax xa a 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ； ②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ;③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)； （2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21);（4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a a a a ). 方法总结：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类。

含参不等式(多项式解问题)(人教版)引言本文档旨在介绍并解决人教版教材中的含参不等式(多项式解问题)。

我们将探讨该类问题的基本概念、解题思路和解题方法。

基本概念含参不等式(多项式解问题)是指含有未知参数的不等式，其解集可以用一元多项式的形式表示。

通过求解该多项式，我们可以找到不等式的解集。

解题思路解决含参不等式(多项式解问题)的关键思路如下：1. 确定不等式的形式：根据题目给出的不等式关系，确定不等式的类型，如大于等于、小于等于等。

2. 求解多项式：将含有未知参数的不等式转化为一元多项式，然后通过求解多项式找到不等式的解集。

3. 分析解集的范围：根据题目要求，分析解集的范围并进行简化，去除不在范围内的解。

解题方法解决含参不等式(多项式解问题)的常用方法如下：1. 代入法：将含参不等式中的参数分别代入多项式，求解多项式得到解集。

2. 预估法：根据参数的取值范围，预估不等式解集的范围，然后逐个检验解集的合法性，得出最终解。

3. 图像法：利用图像、函数图像等工具，观察不等式解集的特点和变化趋势，进而得到解集。

以上方法可以根据具体题目的特点和要求选择合适的方法进行求解。

结论含参不等式(多项式解问题)是数学中常见的问题类型，在解题过程中需要准确把握不等式的类型、求解多项式和分析解集的范围。

通过代入法、预估法和图像法等解题方法，我们可以解决人教版教材中的含参不等式(多项式解问题)。

多练相关题目，加深对该类问题的理解和掌握。

感谢阅读本文档，希望能对你的研究和解题有所帮助！如有任何问题，请及时与我联系。

教学过程一、课堂导入上次课我们学习了一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系，一元二次不等式的解法。

问题：如果遇到含参不等式的时候应该如何求解？二、复习预习一元二次不等式的解法：△＞x1=x2=不｛＞△=0x1=x2=x0=不等式解集｛｜x≠x解集为3△＜为解集为5三、知识讲解考点1含参不等式对应方程能因式分解类，讨论两个根的大小解不等式。

按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<含参不等式对应方程不能因式分解，讨论判别式。

按判别式∆的符号分类，即0>∆；∆∆,0,0<=最高次项系数含参，先考虑最高次项系数为0情况。

按2x项的系数a的符号分类，即0aa;>a=,0<,07高次不等式的解法元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0，其中a1＜a2＜…＜a n.把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：9四、例题精析例1【题干】解不等式06522>+-a ax x ，0≠a【答案】{}|23x x a x a ><或【解析】原不等式可化为：，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23a a ，解集为{}|23x x a x a ><或()0)3(2>--a x a x例2【题干】解不等式042>x+ax+11【答案】∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或【解析】∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例3【题干】解不等式()()R+0-4121+m≥xxm∈213【答案】因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

For personal use only in study and research; not for commercial use当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。

⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。

⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。

不等式恒成立与有解问题解法归纳一、分离变换法： （一）分离参数法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，即分离参数法。

基本步骤为：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论. 分离参数法有以下几种类型： I.常规法分离参数所谓常规法分离参数，就是通过解不等式或解方程把参数解出来，再研究分离出来的函数的值域或最值，从而求出参数取值范围。

例、若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)【解析】f′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518【例】已知函数H (x )＝ln x x －λ()x 2－1，若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0，求实数λ的取值范围．【分析】H (x )≤0＝H (1)恒成立转化为H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0恒成立，再分离参数求解【解析】设函数H (x )＝ln x x －λ()x 2－1，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立．又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x ≤2λ恒成立时， 函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln xx 2≤0，所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增． 于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意； 当0＜λ＜12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ＞1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ＞0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ＞H ′(1)＝1－2λ＞0，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增． 于是当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，H (x )＞0成立，不符合题意； 【变式训练】1、已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．2、设124()lg ,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

含参不等式的解法教案第一章：不等式概述1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，形式以及基本性质。

强调不等式与等式的区别。

1.2 不等式的分类分类介绍简单不等式、复合不等式、含参不等式等。

分析各种不等式的特点和求解方法。

第二章：简单不等式的解法2.1 符号规则介绍不等式中的符号规则，如“<”和“>”的转换。

强调不等式两边加减乘除同一数的规则。

2.2 解简单不等式利用符号规则，求解具体简单不等式。

举例讲解如何通过移项、合并同类项来求解简单不等式。

第三章：含参不等式的解法（一）3.1 含参不等式的概念解释含参不等式的定义，强调参数在不等式中的作用。

举例说明含参不等式的形式。

3.2 参数的分类讨论介绍参数在不同情况下对不等式解集的影响。

强调分类讨论的方法和步骤。

第四章：含参不等式的解法（二）4.1 利用图像解含参不等式介绍利用图像解含参不等式的方法。

举例讲解如何通过分析图像来确定不等式的解集。

4.2 利用代数方法解含参不等式介绍利用代数方法解含参不等式的方法。

举例讲解如何通过代数运算来求解含参不等式。

第五章：综合练习5.1 综合练习题提供一系列综合性的练习题，涵盖前四章的内容。

要求学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5.2 解答与解析提供练习题的解答和解析。

分析学生的常见错误，并进行讲解和指导。

第六章：含参不等式的应用6.1 应用背景介绍介绍含参不等式在实际问题中的应用背景。

强调含参不等式解决实际问题的方法和步骤。

6.2 案例分析提供具体案例，让学生运用含参不等式解决问题。

引导学生通过分析和计算，得出案例的解答。

第七章：含参不等式的转换与化简7.1 不等式的转换介绍如何将含参不等式进行转换，例如从一边不等式转换到另一边不等式。

举例讲解转换的方法和步骤。

7.2 不等式的化简介绍如何将含参不等式进行化简，例如合并同类项、消去参数等。

举例讲解化简的方法和步骤。

第八章：含参不等式的图像解法8.1 图像解法原理介绍含参不等式的图像解法原理。

含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。

二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。

三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。

四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。

含参不等式的解法教案一、教学目标1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。

2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1. 含参不等式的定义及分类。

2. 含参不等式的解法：图像法、代数法、不等式组法。

3. 含参不等式在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：含参不等式的解法及其应用。

2. 难点：含参不等式解法的灵活运用。

四、教学方法与手段1. 采用案例分析法、讨论法、实践教学法等多种教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段辅助教学。

五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入含参不等式的概念，激发学生兴趣。

2. 讲解：讲解含参不等式的定义、分类和解法。

3. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用，引导学生学会解决问题。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课内容进行总结，强调重点和难点。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 课堂互动：通过提问、讨论等方式，让学生积极参与课堂，提高课堂氛围。

2. 小组合作：分组练习含参不等式的解法，培养学生的团队协作能力。

3. 课后实践：布置实践性作业，让学生将所学知识应用于实际问题中。

七、教学评价1. 课堂表现：评价学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 练习作业：评价学生课后作业的完成情况，检查掌握程度。

3. 实践成果：评价学生在实际问题中的应用能力，展示成果。

八、教学反思1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的适用性。

2. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学效果。

3. 搜集学生反馈意见，不断优化教学内容和方法。

九、教学拓展1. 探讨含参不等式与实际生活中的联系，引导学生关注数学在生活中的应用。

2. 介绍含参不等式的相关研究动态和最新成果，激发学生的学习兴趣。

3. 推荐相关的学习资料，引导学生开展课外学习。

十、教学时间表1. 第1-2课时：介绍含参不等式的定义、分类和解法。