含参不等式以及含参不等式组的解法

含有参数的不等式组解法一般来说，含有参数的不等式组的解法可以分为以下几步：第一步：确定参数的取值范围。

根据问题的条件或约束，找出参数可以取得的范围。

这通常需要对问题进行分析和推理。

第二步：将未知数用符号表示。

用一个字母（通常是x）表示不等式中的未知数。

第三步：将所有不等式整理成标准形式。

标准形式是指不等式两边都是关于x的多项式，并且不等号是"≥"或"≤"，而不是">"或"<"。

如果不等式中有分数、根式或绝对值等，可以通过一系列代数运算将其转化为标准形式。

第四步：通过分析求解。

根据参数的取值范围，可以分析出不等式中的未知数的取值范围。

进而，通过对不等式中两边同时进行一系列代数运算，可以推导出满足条件的解集。

第五步：对参数取值范围的讨论。

有时，不等式的解集对参数的取值范围有限制。

这时，需要根据参数的取值范围对解集进行讨论。

这通常需要对不等式进行分析和推导，以找出对应于不同参数取值范围的解集。

下面我们通过一个例子来说明含有参数的不等式组的解法。

例题：设0＜a＜b＜c，解不等式组：，x-a，+，x-b，+，x-c，≤a+b+c解法：首先，确定参数的取值范围。

由于0＜a＜b＜c，所以参数a、b、c 的取值范围是存在实数并满足0＜a＜b＜c的范围。

然后，将未知数用符号表示。

我们用x表示不等式中的未知数。

接下来，将不等式整理成标准形式。

由于不等式中已经是绝对值不等式的形式，所以不需要进行额外的变形。

然后，通过分析求解。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下三个不等式：1.当x≤a时，x-a，=a-x。

2.当a＜x≤b时，x-a，=x-a，x-b，=x-b。

3.当x＞b时，x-b，=x-b，x-c，=x-c。

将这三个不等式分别代入原始不等式，我们可以得到以下三个不等式：1.a-x+b-x+c-x≤a+b+c，即-3x+2b+c≤3a+2c。

含参不等式组问题在数学中，含参不等式组是指一组包含参数的不等式。

这些参数可以是任意实数，通常用来表示问题中的变量或未知数。

含参不等式组的解集通常是关于参数的表达式，通过对参数的取值范围进行分析可以得到不等式组的解集。

对于含参不等式组的求解，通常需要进行以下步骤：1. 分析每个不等式的条件：首先，需要确定每个不等式的条件，即参数的取值范围。

这可以通过对不等式进行化简和变形来获得。

例如，对于形如ax + b > c的不等式，可以将其转化为ax > c - b，然后根据a的正负性确定参数x的取值范围。

2. 求解每个不等式的解集：根据不等式的条件，可以确定每个不等式的解集。

这可以通过绘制数轴图或使用数值法来确定。

例如，对于形如ax + b > c的不等式，可以绘制一个数轴，然后根据a的正负性确定参数x的解集。

3. 综合每个不等式的解集：最后，需要根据每个不等式的解集，确定整个不等式组的解集。

这可以通过对每个不等式的解集进行交集或并集运算来获得。

例如，如果有两个不等式ax + b > c和dx + e < f，可以通过求解这两个不等式的解集，然后取交集来确定不等式组的解集。

含参不等式组在实际问题中的应用非常广泛。

例如，在经济学中，含参不等式组可以用来表示供求关系，帮助决策者制定合理的价格和数量策略。

在物理学中，含参不等式组可以用来描述力学系统的平衡条件，帮助研究者找到系统的稳定解。

总之，含参不等式组是数学中一个重要的概念，在解决实际问题中起着重要的作用。

通过对不等式的条件和解集进行分析，可以得到含参不等式组的解集，从而对问题进行求解和分析。

含参方程与不等式求解在数学中，含参方程与不等式是常见的数学问题类型，需要通过一定的方法来解决。

本文将介绍含参方程与不等式的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识点。

一、含参方程的求解方法含参方程是指方程中含有未知参数的方程，通过改变参数的值可以得到不同的解。

常见的含参方程有一元一次方程、一元二次方程等。

1. 一元一次方程的求解方法一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x 为未知数。

将方程进行变形，可得到x = -b/a。

根据这个公式，可以通过给定的参数值计算出方程的解。

举例说明：对于方程3x + 5 = 0，将参数3代入公式中，可得到x = -5/3。

同理，对于参数为2的情况，解为x = -5/2。

2. 一元二次方程的求解方法一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。

通过求解方程的根可以得到方程的解。

常用的求解一元二次方程的方法有公式法和配方法。

公式法：根据一元二次方程的求解公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以通过给定的参数值计算出方程的解。

配方法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过将其转化为完全平方的形式来求解。

具体的配方法需要根据具体的方程形式进行操作。

举例说明：对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，根据公式法，可以得到x = -1和x = -2为其解。

二、含参不等式的求解方法含参不等式是指不等式中含有未知参数的不等式，通过改变参数的值可以得到不同的解。

常见的含参不等式有一元一次不等式、一元二次不等式等。

1. 一元一次不等式的求解方法一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0（或<、≥、≤），其中a和b为已知常数，x为未知数。

通过确定不等式的区间可以得到不等式的解。

举例说明：对于不等式3x + 5 > 0，当参数3代入时，解为x > -5/3；当参数2代入时，解为x > -5/2。

考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。

初中数学含参不等式组知识点及解法一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组.要点诠释： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上.(2) 这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(3) 有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2. 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。

含参数的一元二次不等式的解法：二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥∆） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。

解：0)1)((2>--x a x1,0)1)((==⇒=--x a x x a x 令 为方程的两个根（因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当1<a 时，不等式的解集为}1|{a x x x <>或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x综上所述：（1）当1<a 时，不等式的解集为}1|{a x x x <>或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x例2、解关于x 的不等式022≤-+k kx x分析：此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解 )8(82+=+=∆k k k k(1) 当02,08,02=-+>-<>∆k kx x k k 方程时或既有两个不相等的实根。

含有参数的不等式组解法在解不等式组时，我们常常需要考虑参数的存在，并将其纳入我们的解法中。

含有参数的不等式组解法相较于一般的不等式组解法更为复杂，因为我们需要找到参数的取值范围，使得不等式组的解集合在该参数范围内成立。

本文将介绍一种生动、全面、有指导意义的含有参数的不等式组解法。

首先，我们需要明确什么是含有参数的不等式组。

通常，不等式组是由多个不等式组成的方程系统。

而含有参数的不等式组是指在不等式组中存在一个或多个未知参数，我们需要求出这些参数的取值范围使得不等式组成立。

解决含有参数的不等式组的第一步是观察不等式组中是否存在特殊的条件或关系。

通过观察可以发现，有时候不等式组中的不等式之间存在特殊的关系，比如不等式是相互约束的、对称的或有递增或递减的性质。

这些特殊的关系对于求解参数的取值范围非常重要，我们需要利用这些关系来简化不等式组的求解过程。

其次，我们需要以图像的方式来理解含有参数的不等式组。

通过绘制不等式组的图像，我们能够更加直观地看清不等式之间的关系，并能够更好地找到参数的取值范围。

同时，绘制图像也能够帮助我们将不等式组与坐标系联系起来，从而更好地理解概念和思考问题。

在解含有参数的不等式组时，我们还需要采用代数方法。

通过代数方法，我们可以将含有参数的不等式组转化为一般的不等式组，从而更好地求解问题。

常用的代数方法包括代入法、消元法、换元法等。

通过灵活运用这些方法，我们能够将含有参数的不等式组转化为一般的不等式组，并进一步求解出参数的取值范围。

最后，我们需要检验参数的解集是否满足不等式组。

求解出参数的取值范围后，我们需要将这些取值代入不等式组，并检验不等式组是否成立。

如果成立，则这些参数是不等式组的解集；如果不成立，则需要重新找到参数的取值范围。

通过反复检验和调整，我们能够找到合适的参数的取值范围，进而找到不等式组的解集。

综上所述，解含有参数的不等式组是一个相对复杂的问题，需要我们综合运用观察、图像、代数等方法来解决。

参数的几何意义可以通过图像 来表示，例如在二次函数 y=ax^2+bx+c中，参数a、b、 c决定了图像的形状和位置
添加标题
参数的几何意义也可以通过代数 方法来表示，例如在二次函数 y=ax^2+bx+c中，参数a、b、 c决定了图像的对称轴、顶点和开 口方向
添加标题
参数的几何意义还可以通过几何 意义来理解，例如在二次函数 y=ax^2+bx+c中，参数a、b、 c决定了图像的顶点坐标和图像的 斜率
含参等式与含参不等式在数学、 物理、化学等学科中的应用
在日常生活中的应用，如计 算、比较、决策等
在人工智能、大数据等领域 中的应用
物理：在力学、电磁学等领域，含参等式和不等式可以用来描述物理现象和规律。
化学：在化学反应速率、平衡常数等方面，含参等式和不等式可以用来描述化学反应的规律 和性质。
生物：在生物代谢、遗传等方面，含参等式和不等式可以用来描述生物体的生长、发育和遗 传规律。
经济：在经济学中，含参等式和不等式可以用来描述经济现象和规律，如供需平衡、价格波 动等。
汇报人：XXX
求解微分方程：含参等式和含参不 等式可以用于求解微分方程，例如 求解常微分方程、偏微分方程等。
力学问题：求解物 体的运动轨迹、速 度、加速度等
热力学问题：求解 物体的温度、热力 学函数等
电磁学问题：求解 电磁场的强度、方 向等
光学问题：求解光 的传播、折射、反 射等
在工程、经济、金融等领域 中的应用
常数参数：在等式中保持不变的参数 变量参数：在等式中可以变化的参数 线性参数：等式中的参数与变量呈线性关系 非线性参数：等式中的参数与变量呈非线性关系
含参等式：等式两边含有未知 参数

几何法
总结词
通过几何意义和图形，将含参不等式问题转化为几何问题。
详细描述
几何法是一种直观的解含参不等式的方法，它通过几何意义和图形，将含参不等式问题转化为几何问题。这种方 法需要了解平面几何、解析几何等基础知识，能够根据不等式的几何意义画出图形，通过观察图形找到不等式的 解。
参数分离法
总结词
将含参不等式中的参数分离出来，转化为容易解决的不等式。
意事项
解题技巧
因式分解法
配方法
对于形如$ax^2 + bx + c > 0$的不等式，如果$a > 0$ ，则可以将不等式化为$(x
+ frac{b}{2a})^2 + frac{4ac - b^2}{4a} > 0$ 的形式，然后进行因式分解
。
对于形如$ax^2 + bx + c > 0$的不等式，如果$a < 0$， 则可以通过配方将其化为$(x + frac{b}{2a})^2 - frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0$的形式，
在制定计划和决策时，含参不 等式可以用来解决资源分配、 成本预算等问题。
含参不等式在优化资源配置、 提高效率等方面发挥着重要作 用。
在其他学科中的应用
01
含参不等式在其他学科 中也有着重要的应用， 例如物理学、化学、生 物学等。
02
在物理学中，含参不等 式可以用来描述物理现 象和规律，如力学、热 学等。
03
在化学中，含参不等式 可以用来描述化学反应 和平衡状态。
04
在生物学中，含参不等 式可以用来描述生物种 群的增长和变化规律。
04
含参不等式的变式与拓展

含参数的不等式组是指不等式中含有某个参数，需要求出该参数的取值范围使得不等
式组的解存在或满足某种条件。

以下是解含参数的不等式组的一般步骤：
1. 列出不等式组
首先需要根据问题的具体条件列出含有参数的不等式组表达式，包括不等式的符号和
参数的系数和变量。

2. 对每个不等式进行分析
对于每个不等式，需要根据符号及系数来分析其解的取值范围，从而得到该参数的约
束条件。

若不等式为一次不等式，则可以使用代数方法求出其解；若不等式为二次不
等式，则需要使用平方根解法等方法。

3. 将约束条件组合起来
将得到的每个约束条件组合起来，作为参数的取值范围。

通常来说，解析式的形式越
简单，越容易定位参数取值范围。

4. 判断不等式组解的存在性
根据参数的取值范围和不等式组的解的性质，判断该不等式组是否有解或满足某种条件。

可以使用图像法或算法确定解的情况，同时需要注意区分解的类型和数量等问题。

5. 求解不等式组
如果不等式组的解存在，可以使用代入法、换元法等方法求出解析式，并根据问题的
具体条件验证解的正确性。

需要注意的是，含参数的不等式组的求解需要灵活运用数学方法和技巧，在求解过程
中还需注意对角线法则等问题，防止求解错误。

含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。

含参不等式组的解法在数学中，含参不等式组是一类常见的数学问题。

含参不等式组中含有未知数，并且不等式中的不等式常数（即系数和常数项）均含有参数，因此需要通过对参数的不同取值进行分析，得到不等式组的解。

在解决含参不等式组的问题时，需要掌握一些重要的技巧和方法，下面我们就来详细了解一下。

首先，对于含参不等式组，我们需要对其进行分类讨论。

一般情况下，含参不等式组可以分为两类：一类是一元不等式组，即只含有一个未知数的不等式组，另一类是多元不等式组，即含有多个未知数的不等式组。

对于不同类型的含参不等式组，需要采用不同的方法进行解答。

对于一元不等式组，我们常用的解题方法有以下几种：代数法、图像法、函数法、极值法等。

其中代数法是最常用的方法。

我们可以通过变量替换、置换、解方程等代数方法来找到解题的思路。

对于一元不等式组，我们还可以通过图像法来得到解的范围。

将不等式中的各项表示成两条直线，然后找到两条直线的交点，直线上方的部分即为不等式解的范围。

函数法是在原函数图像变形后的函数图像进行判断解的范围，其计算方法较为简单；而极值法则是通过对函数的一阶导数和二阶导数进行判定，得出函数的极值，从而确定不等式的解。

对于多元不等式组，我们需要采用代数法、几何法、线性规划、拉格朗日乘数法等方法进行解决。

代数法仍然是最常用的方法。

我们需要采用类似于一元不等式组的代数方法，通过消元、替换、解方程等技巧，将多元不等式组转化为一元或二元不等式组，进而得到其解的范围。

几何法则是通过对多元不等式组中各项函数的几何特性进行分析。

利用二维平面或三维空间中的图像，可以清晰地表示出函数之间的关系，从而得到不等式的解。

线性规划是一种常用的数学方法，它可以找到满足约束条件的最优解，常用于工程、经济、管理等领域。

拉格朗日乘数法则是通过对函数的一阶偏导数等条件进行分析，并添加拉格朗日乘数来解决多元不等式组的问题。

总之，解决含参不等式组的问题需要掌握一些基本的解题方法和技巧，同时需要对数学知识有一定的理解和掌握。

含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(总8页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

不等式组含参问题解法口诀不等式组含参问题是初中数学中比较重要和难点的一部分内容，不等式组含参有多种解法，这里介绍一些方法及其口诀。

一、图像法通过画出不等式组所对应的直线，在图像上判断交点位置的方法称为图像法。

步骤：1、根据不等式求出直线方程。

2、将直线画出。

3、根据问题中的参数值或限制条件，逐一判断交点位置。

4、找出合法的参数范围，即可得到不等式组的解。

口诀：直线而行，标志清晰。

参数解，交点全描。

于原点，交点证。

或无限，一致性。

例如：解不等式组x+y≥2k2x-y≤3k1、由不等式x+y≥2k 可得直线方程y≥-x+2k ，将其画出。

2、由不等式 2x-y≤3k 可得直线方程 2x-3k≤y，将其画出。

图像如下：3、根据参数k的取值，判断交点位置。

当k=0时，两条直线的交点为(0,2)，满足不等式组。

当k=1时，两条直线的交点为(1,1)，满足不等式组。

当k=2时，两条直线的交点为(2,0)，不满足不等式组。

4、所以，该不等式组的解为0≤k<2 。

二、代入法将一部分不等式中的变量用其他变量表示出来，然后代入另一不等式中去，消去被替换的变量，可以得到只含一个变量的不等式，从而求出参数的范围。

步骤：1、将其中一个不等式中的变量用另一个不等式中的变量表示出来。

2、将代入后的不等式化简，得到只含一种变量的不等式。

3、根据这个变量的取值范围，推出原来不等式组的解。

口诀：解纠结，化简薄。

一变化，再推进。

终得范，系统定。

例如：解不等式组m+n≥203m-2n≤151、将第二个不等式中的 n 用第一个不等式中的式子代入，得到 3m-2(m+n)≤15 。

化简得 m-2n+20≤0 。

2、得到只含 m 的一元一次不等式m≤2n-20 。

3、根据该不等式即可推出原来不等式组的解为n≤10,m≤0 或n≥10,m≥0 。

三、函数法通过将不等式中的变量用函数表达式表示出来，然后研究函数的性质，从而得到参数的取值范围。

模块一 含参方程（组）的题型 1．同解问题 2．整数解问题 3．错解问题模块二 含参方程（组）的基本解法1．含参方程和含参方程组当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，这些字母系数称为参数，因此也叫做含参数的方程，简称含参方程．由至少一个含参方程组成的方程组叫做含参方程组．2．含参一元一次方程含参的一元一次方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a ，b 的取值范围分类讨论．①当0a ≠时，方程有唯一解bx a=；②当0a =，且0b =时，方程有无数个解，解是任意数； ③当0a =，且0b ≠时，方程无解．3．含参二元一次方程组对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，需要先通过消元转化为一元方程后再对解的情况进行讨论．①当1122a b a b ≠时，方程有唯一解； ②当111222a b ca b c ==时，方程有无数个解；③当111222a b ca b c =≠时，方程无解．模块三 含参不等式的基本解法1．含参不等式ax b <①当0a >，解集为bx a <；②当0a <，解集为bx a>；③当0a =，若0b >，则解集为任意数；若0b ≤，则这个不等式无解．（1）已知关于x 的方程1(1)12x k -=-和351148x k x +--=的解相同，则k 的值为____．（2）关于x ，y 的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则()b a -=_____．（1）两个方程的解分别为21x k =-和72x k =-，由于两个方程的解相同，有1272k k -+=-，解得2k =． （2）8-．【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的同解问题．（1）（2014石室联中期末）关于x 的方程38764x k x +=+的解比关于x 的方程1123x x-+=的解大3，则k 的值为____________．（2）（西川半期）已知关于x 、y 的二元一次方程组323221y x k y x k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足6x y +=，则k 的值为 ．（1）38764x k x +=+的解为2838k x -=， 1123x x -+=的解为3-，所以28308k -=，328k =． （2）解方程得：947517k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，代入，求得：32k =．【教师备课提示】这道题主要考查已知方程根的情况，求参数的值． 模块一 含参方程（组）的题型（1）（树德期末）当方程组2520x ay x y +=⎧⎨-=⎩的解是正整数时，整数a 的值为 ．（2）m 为正整数，已知二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m =_______．（1）解方程得：10454x a y a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴41,2,5,10a +=；41,5a +=．∴3a =-或1.（2）解方程得：103153x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴35,10m +=；35,15m +=．得2m =，24m =．【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的整数解问题．（1）解方程组87ax y x by +=⎧⎨-=⎩时，由于粗心，小宝看错了方程组中的a ，得到解为35x y =-⎧⎨=⎩，小茹看错了方程组中的b ，得到解为110x y =-⎧⎨=⎩．求方程正确的解．（2）已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩，小超解题时把c 抄错了，因此得到的解为1213x y =⎧⎨=-⎩，则22a b c 2++的值为____________．（1）小宝看错了a 意味着b 是正确的，即解满足方程第二式，代入得357b --=；小茹看错了b 意味着a 是正确的，即满足方程第一式，代入得108a -+=．解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以32x y =⎧⎨=⎩．（2）22234a b c ++=．【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的错解问题．（1）解关于x 的方程：428ax x-=+．（2）当a、b满足什么条件时，方程251x a bx+-=-满足：①有唯一解；②有无数解；③无解．（1）原方程可化为(2)12a x-=．当2a≠时，方程有唯一解122xa=-；当2a=时，有012=，方程无解．（2）方程化为(2)4b x a+=-，①有唯一解时，20b+≠，即2b≠-．②有无数解时，20b+=，40a-=，42a b==-，∴．③无解时，2040b a+=-≠，，24b a=-≠，∴．【教师备课提示】这道题主要考查含参方程的基本解法．（1）（2014成外期末）已知关于x的方程(23)3125a x bx x++=+有无数多个解，则a=_________，b=_________．（2）若a、b为定值，关于x的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k为何值时，它的解总是1x=，求23a b+的值．（1）原方程整理为(2312)53a b x a+-=-，则由题意得，23120530a ba+-=⎧⎨-=⎩，解得53269ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）方程2236kx a x bk+--=可化为：(41)212k x a bk-++=，由该方程总有解1x=可知，41212k a bk-++=，即(4)132b k a+=-，又k为任意值，故401320ba+=⎧⎨-=⎩，解得1324ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴231a b+=．【教师备课提示】这道题主要考查已知解的情况，求参数的值．模块二含参方程（组）的基本解法求k ，b 为何值时，方程组(31)2y kx by k x =+⎧⎨=-+⎩的解满足：①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解．方程组可化为：(21)2k x b -=-， ①当210k -≠，即12k ≠时，方程(21)2k x b -=-有唯一解，从而原方程组有唯一解；②当210k -=且20b -≠，即12k =且2b ≠时，方程(21)2k x b -=-无解，从而原方程组无解；③当210k -=且20b -=，即12k =且2b =时，方程()212k x b -=-有无数个解，从而原方程组有无数组解． 【教师备课提示】这道题主要考查含参方程组的基本解法．解关于x 的不等式： （1）13kx +> （2）132kx x +>-（3）2(1)2m x +<（4）36mx nx +<--（1）移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k >当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 （2）移项，合并同类项得：(3)3k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->-当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数.模块三 含参不等式的基本解法（3）∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+ （4）不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.（1）若关于x 的方程5342x x =-和12524ax ax x -=+有相同的解，则a 的值为______．（2）若关于x 的方程()40k m x ++=和(2)10k m x --=有相同的解，则2km-的值___．（3）（石室联中期末，B26）若方程组2376x y ax by +=⎧⎨-=⎩与方程组4453ax by x y +=⎧⎨-=⎩有相同的解，求102a b -+.（1）方程5342x x =-的解为8x =-， 把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得12a =．（2）法一：方程()40k m x ++=的解为4x k m -=+，方程(2)10k m x --=的解为12x k m=-，∴412k m k m -=+-，∴3m k =，∴523k m -=-. 法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故48k m m k +=-，则523k m -=-．模块一 含参方程（组）的题型巩 固（3）由237453x y x y +=⎧⎨-=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，代入：2624a b a b -=⎧⎨+=⎩，可求得：521a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴10227a b -+=-．（1）当a = 时，方程组3522718x y ax y a -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，此时方程组的解为 ．（2）若关于x 、y 的方程组364x my x y +=⎧⎨+=⎩的解都是正整数，则整数m = ．（3）甲、乙二人同解方程组232ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩，甲正确解得11x y =⎧⎨=-⎩，乙因抄错了c ，解得26x y =⎧⎨=-⎩，求a ，b ，c 的值．（1）∵0x y +=，上述方程组化简为82518y a y a -=⎧⎨=-⎩，∴1845a a y -=-=，解之得8a =，于是24a y =-=-，2523a yx +==， 故8a =时，方程组的解为22x y =⎧⎨=-⎩．（2）3-，0，1．（3）52a =，12b =，5c =-.解关于x 的方程(3)(3)(3)49m x n m n n ++=-+++．去括号，化简可得：mx n =.当0m ≠时，方程的解为nx m=.当00m n ==，时，方程的解为任意数. 当00m n =≠，时，方程无解.如果关于x 的方程2(3)15(23)326kx x +++=有无数个解，求k 的值．原方程整理得(410)0k x -=， 由方程有无数个解得4100k -=，52k =．已知关于x 、y 的方程组3624x my x y a+=⎧⎨+=⎩，求m ，a 为何值时方程组：（1）无解；（2）有无穷解．将m ，a 视为参数求解方程组得到3-⨯①②：(6)612m y a -=- ③.（1）方程组无解，即③无解，③无解的条件为：60m -=，6120a -≠.6m =∴，12a ≠. 此时y 无解，自然22x y =-亦无解.（2）方程组有无穷解，即③有无穷解，③有无穷解的条件为：60m -=，6120a -=.6m =∴，12a =.此时y 有无穷解，自然22x y =-亦有无穷解.模块二 含参方程（组）的基本解法已知(21)1m x +>的解集是121x m <+，求m 的取值范围．12m <-．模块三 含参不等式的基本解法。

含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。

二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。

三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。

四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。

当 时，原不等式的解集为：
小结：通过这个题目，同学们可以掌握含参数不等式的基本步骤和解法，这里我们再重复以下要点：
1．写出不等式的等价形式
2．解出含有参数的不等式的解
3．对参数进行讨论并写出结论
在写结论时要注意，这个题目的不等式的解集为这两个不等式组的并集，同学们定不要忽略。
提示：下面请同学们用我们讲的办法去试试解几个题目，如果都没有问题，说明你这一课已经掌握得很好了，祝你成功！
当 或式的解集为： ；
当 或 时，原不等式无解.
综上所述，当 或 时，原不等式的解集为： ；
当 时，原不等式的解集为： ；
当 或 时，原不等式的解集为 .
小结：通过这个题目，同学们可以掌握含参数不等式的基本步骤和解法，这里我们再重复以下要点：
1.把参数看成常数写出不等式的等价形式
体验思路：这个不等式是我们熟悉的分式不等式，首先我们把a看成常数并求出这个不等式的解，然后对a进行讨论，写出不等式的解集。
体验过程：第一步：首先把参数当成一个常数，写出不等式的等价形式
分式不等式可以等价于整式不等式，所以原不等式等价于：
第二步：写出含有未知参数的不等式的解
这个不等式的两个根为： 和
第三步：对参数进行讨论
大思路
这类题目的大思路对于同学们来说非常重要，它可以使同学们举一反三，触类旁通，含参数不等的问题我们分以下三步进行求解：
1）首先把参数当成一个常数，按一般解不等式的步骤写出不等式的等价形式
2）写出含有未知参数的不等式的解
3）对参数进行讨论，按参数的不同取值范围分别写出不等式的解集
体验1：解关于x的不等式
所以原不等式等价于：(1) 或（2）
第二步：写出含有未知参数的不等式的解