第五章多自由度系统振动的近似解法

= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：

t kuξ t 0 Muξ
由正交性得解耦的方程为
t uT kuξ t 0 uT Muξ
t K ξ t 0 Mr ξ r
(5.4-3)
式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对 角矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
mv0 1 0.459701 k q t 0.577350 sin 0.796226 t m m 0.627693 k mv0 1 0.888074 k 0.577350 sin1.538188 t m m 0.325057 k 0.265408 m k v0 sin 0.796226 t m 0.362555 k 0.512730 m k v0 sin1.53818 8 t m 0.187672 k
q t uη t
代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置 uT 左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 t Λη t 0 η
r t r2r t 0
r 1, 2, , n
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
r0 u
r T r T 0 Mq0 ,r0 u Mq
(r 1,2,, n) (5.4-11)
由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为
q t uη t
n
u r t u
r
r 1 n r 1
n
r
r0 sin r t r0 cos r t r
5.5 瑞利(Rayleigh)商
瑞利商法的提出意义

分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。

多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为 比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原 理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性 具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。

系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组

在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。

本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。

1、邓克利法由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。

自由振动作用力方程：0KX XM =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X XD =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。

位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：0)()1(1111=++++---n n n nna a a λλλD tr d d d a nn -=+++-=)(22111例：022211211=--λλd d d d0)]()([)1(21122211221122=-++--d d d d d d λλ当 M 为对角阵时：)(FM D tr tr =∑==ni iii m f 1特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ有：∑=-=ni i a 11λtrD -=∑=-=ni i ii m f 1∑∑===ni iii ni im f 11λ∑∑===ni i ii ni im f 1121ω如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：iii ii i m f m k 12==ω例：两自由度系统柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=2111111111k k k k kF （1）只保留 m 1 时1111k f =，1121m k =ω（2）只保留 m 2 时122122111k k k f =+=，21222m k =ω将2i ω代入：22221121111nni iωωωω+++=∑=对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111nωωωω+++≈例：三自由度系统⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002223101220010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：m k /3730.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286.23=ω邓克利法当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω当 m3 单独存在时：kk k k k 251111321123=++=，52123k k =，mk 523=ω代入邓克利法公式：22221211111nωωωω+++≈，mk /3535.01=ω2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。

多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:

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４.１
多自由度系统的振动微分方程

或更一般地写成

该式可简单地写成

式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状

3. 与 他 人 交 往 平 淡

一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状







任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。

(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
上一页

X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 φ ： 令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
（不生弹性变形 ）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统

代入振动方程可得
K 2 M A 0 -----------振型方程
K11 m1 2
K 21 K n1
K12

K22 m2 2


K1n
K2n
0

Kn2
Knn mn 2
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
振动方程------受力平衡方程
m1
mm21yy21
(t (t
) )

FEK1 FEK 2
0 0
m1y1(t)
mm21yy21
(t) (t)

K11 y1 (t) K21 y1 (t)
方程（1）的解设为 ： y(t) Asin(t ) 式中， A A1 A2 An T
把 y(t) Asin(t ) 代入（1）
A 2 M A
M EA 0
记


1
2
----------------（2）
3）振型图
画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2 个位移方向相协同。
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
1
1
1
1
第一振型
第二振型
多自由度振动
重 点：频率、振型 难 点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2(t) 由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1

代入上式， 代入上式，有 ：
0 M P1 ( t ) k 11 ... k 1 j ... k 1 n k 1 j P ( t ) k ... k ... k 0 k 2j 2n 2j 2 = 21 P (t ) = 1 = M .......... .......... . M 0 Pn ( t ) k n 1 ... k nj ... k nn M k nj 0
k11 = k1 + k 2
k12 = −k 2
k13 = 0
k 21 = − k 2
k 31 = 0
k 22 = k 2 + k 3 + k 5 + k 6
k 32 = −k 3
k 23 = −k 3
k 33 = k 3 + k 4
− k3 k3 &刚度矩阵：
&& MX + KX = P (t )
X ∈ Rn
确定后，系统动力方程即可完全确定。 当 M、K 确定后，系统动力方程即可完全确定。 那么M、K 该如何确定？ 讨论刚度阵K 加速度为零。 && 假设外力是以准静态方式施加于系统， 加速度为零。X 假设外力是以准静态方式施加于系统， KX = P (t ) 则：
振动理论与声学原理
——刚度矩阵和质量矩阵 一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
0 M P (t) k11...k1 j ...k1n k1 j 1 P (t) k ...k ...k 0 k 2 = 21 2 j 2n 1 = 2 j P(t) = M ..................... M 0 n P (t) kn1...knj ...knn M knj 0

0
0 m
x

y


3 i 1
ki
sincosi 2cosi i
sin i
sin
cos
2 i
i


x y


Qx Qy

5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定
理
1.固有振型的正交性——例题：正交性验证（例：5.3-1）
将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度矩阵，得
3
i1
ki
cos2 i sini cosi
sini cosi
sin 2 i


k
1 0
0 0

k

1
4 3
4
3 34
4

k

34 34
3 4 1 4

k
2 0
0 1
或
Cr u(r)T Mw
单位矩阵，模态刚度矩阵为固有频率平方的对角
矩阵，即
1


Mr

uT Mu

I


1


(5.3-17)


1
5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定 理
2.模态矩阵
12
Kr

uT Ku

Λ

22





(5.3-18)
n2

●由于振型向量只表示系统作固有振动时各 坐标间幅值的相对大小，所以模态质量和模态刚 度的值依赖于正则化方法，只有进行正则化后， 才能确定振型向量各元素的具体数值，也才能使 Mr和Kr具有确定的值。

1 1 1 1 即： =
n1 11 22
nn
(8)
例：质量为 m1 ，长为 的均质悬臂梁，其端部有集 中质量 m ，试确定 n1 。假设梁的弯曲刚度为EI。 EI 1 解：对于端部带有质量m，而 m 略去梁本身质量的悬臂梁，其固频 为： 2 3EI 11 3 m 均质悬臂梁的第一阶固频为：
1 9 1.00 设 V 1 1 进行迭代： V 2 G V 1 15 9 1.67 9 1.00 1
[M ]{u} [K ]{u}

2 n
将上式两端前乘柔度矩阵[D]得：
[D][M]{u}={u}
或写成： ([D][M]1
(1) (2)

2 n
[I]){u}={0}
以两个自由度系统为例来说明二个自由度系统，其特 征值问题方程为：
d11 d12 m11 d 21 d 22 0
n 1 的求法 四、
而 n1 j 的解不可能由 n n1求得 。 由(11)知，要求得 n 1 ，关键是求得 n1 j ( j 1.2n)
除{u}1 外振型矩阵[u]中的其它列向量仍是未知 的。
为了得到n1 j (j=1,2,,n),利用特征向量的正交关系 ：
u M u M 1 T M u M u I
q1 n11 q2 0 q 0 3 n12 1 0 n3 0 1
1
0 0 0 q1 0 1 0 q 2 q 0 0 1 3
或{q} [n]1{q}
n11 [n]1 0 0
2 1 s 1
由方程(7)知：当S足够大时，级数(6)的第一项是决定 性的，级数将收敛于 c1u1 ，即vs 和vs 1 都可认为是 u1 1 满足方程(2)。vs 和vs 1 相互成比例，比例常数为 ，由 1 u1 和1 此得：

1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；

I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。

1
X r1 l X r l
l 1,2,, n 向量中的任一元素
每次迭代后，将迭代向量归一化。即向量的最后一个元素为 1 。
迭代步骤：求一阶固有频率和一阶主振型
1、选取初始迭代向量{X}1，使其最后一个元素为 1 。
2、对{X}1作矩阵迭代， Y 1 AX 1 归一化：X 2
Y 1 Y 1 n
3、重复步骤2、，直到第 r 次迭代：Y r AX r 4、若收敛精度允许：X r1 X r
§5.4 矩阵迭代法 （利用位移方程求解）
1、第一阶固有频率和主振型
A A F M K1M Ai ii
设：X 1 为初始迭代向量 （各阶主振型的线性组合）
X 1 a11 a22 ann 第一次迭代：X 2 AX 1 即： X 2 AX 1 a111 a222 annn
1T M X 1 M p1 a1
a1
1 M p1
T 1
M
X
1
一次迭代后： 取：X 2 AX 1 a111
A
1
M p1
1
T 1
M
X
1
X 2 b111 b222 bnnn 有误差，仍含有 1
同样由正交性得到：b1
1 M p1
T 1
迭代后取： X 3 AX 2 b111
M
X 2
EJ ml 3
邓克莱解 精确解 误差为 2.6%
第五章 多自由度系统振动的近似解法
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§5.2 瑞利法 （能量法）
设：主振动 x X sinnt 系统的动能：T 1 xT M x
2
Tm a x
1 2
n2X T
M
X
系统的势能：U 1 xT Kx

第五章 多自由度系统振动的 近似解法
多自由度系统的固有振动分析归结为示解 矩阵特征值的问题，当自由度数较大时， 上一章介绍的对特征多项式求根的方法手 算不再有实际意义。 本章重点介绍： 邓柯莱法 迭代法
邓柯莱法——求基频
• 记n阶方阵A为系统的动力矩阵，它定义为 • A=FM=K-1M
•式:
Kφ = 1
λ
Mφ
邓柯莱法——求基频 邓柯莱法——求基频
邓柯莱法——求基频
邓柯莱法——求基频
邓柯莱法——求基频
邓柯莱法——求基频
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭Байду номын сангаас法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率
矩阵迭代法——求前几阶固有频率

x1 A1(1) sin p1t 1
(1) x2 A2 sin p1t 1 (1) xn An sin p1t 1
每个坐标均以同一圆频率p1及同一相位角 1作简谐振动，称为 系统第一阶主振动。
1 类似的，当系统在某些特殊的初始条件下，还可以产生系统的 第二阶、第三阶、…一直到第n阶主振动，具有与第一阶主振动 完全类似的性质。




2 2 2 m p A k m p A k m p 21 21 j 1 22 22 j 2 2 n 1 2 n 1 j An 1




k1n m1n p 2 j An k 2 n m2 n p 2 j An






y1 11 P 1 m1 y1 12 P 2 m2 y 2 1n P n mn y n y2 21 P 1 m1 y1 22 P 2 m2 y 2 2 n P n mn yn yn n1 P 1 m1 y1 n 2 P 2 m2 y2 nn P n mn y n
化简后得
1 K1 K 2 x1 K 2 x2 P m1 x 1 2 K 2 x1 K 2 K 3 x2 K 3 x3 P2 m2 x 3 K 3 x2 K 3 x3 P3 m3 x
此式可用矩阵形式表达式
K x P M x
11 12 1n 2n 21 22 , n1 n 2 nn
m1 0 0 m 2 M 0 0
0 0 mn