第4章多自由度系统振动
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第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
j 1
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
多自由度振动
4.1.4
完整的保守系统的拉格朗日运动方程
& i 的函数。即 n 个自由度的系统，在一般情况下，动能可能是时间 t、广义坐标 qi 以及广义速度 q &1 , q & 2 , L, q &n ) T = T (t; q1 , q 2 , L , q λ ; q 而势函数只是广义坐标 qi 的函数，即
t =t2
= 0 （即 t1 与 t2 时刻虚位移δRj 为零） ，则有
t2 t1
∫
其中， T =
t2 t1
δAin dt = ∫
& ∑m R
j =1 j
N
j
t2 d δR j dt = ∫ t1 dt
& δR & dt = ∑m R ∫
j =1 j j j
N
t2 t1
δTdt
(4-15)
∑
j =1
V = V (q1 , q 2 ,L , q n )
73
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将 T 与Π代入式(4-18)中，进行变分运算，得到：
∫ ∑ (Q δq )dt + ∫ ∑ ∂q
t2 t2 t1 i i i =1 n t1 n i =1 t2
第4章
多自由度系统的振动
实际的物体与工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系统具有无限多个自由度。为简化研究 和便于计算，可采用质量聚缩法或其它方法离散化，使系统简化为有限多个自由振动系统，或称为 多自由度振动系统。它的运动需要 n 个独立的坐标来描述。
4.1 变分原理与拉格朗日（Lagrange）运动方程
(i = 1, 2, L, n)
结构动力学4-1
&& [ M ]{u(t )} + [ K ]{u(t )} = {0}
(−ω 2 [M ] + [K ]){φ }sin(ωt + θ ) = {0}
因为sin(ωt + θ)为任意的，可以消去，因此，
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
2
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自 振频率的关系 ，称为运动方程的特征方程。 由特征方程可解得自振频率ω和振型{φ}。
1
k22=1800
k23=－600
(c)
(d)
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
1.0 u 1=1 u3 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 运动方程的特征方程：
0⎤ ⎡ 2. 0 0 ⎢ 0 1. 5 0 ⎥ [M ] = ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 .0 ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ 3000 − 1200 ⎢− 1200 1800 − 600⎥ [K ] = ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 600 600 ⎥ ⎦ ⎣
算例1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间 刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。 结构模型及各刚度元素：
1.0 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 u 1=1 u3 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
(−ω 2 [M ] + [K ]){φ }sin(ωt + θ ) = {0}
因为sin(ωt + θ)为任意的，可以消去，因此，
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
2
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自 振频率的关系 ，称为运动方程的特征方程。 由特征方程可解得自振频率ω和振型{φ}。
1
k22=1800
k23=－600
(c)
(d)
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
1.0 u 1=1 u3 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 运动方程的特征方程：
0⎤ ⎡ 2. 0 0 ⎢ 0 1. 5 0 ⎥ [M ] = ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 .0 ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ 3000 − 1200 ⎢− 1200 1800 − 600⎥ [K ] = ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 600 600 ⎥ ⎦ ⎣
算例1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间 刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。 结构模型及各刚度元素：
1.0 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 u 1=1 u3 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
第四章多自由度系统
j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1
lr
mij
)
u jr usr
lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T
1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
1 2 2 最大动能 Tmax = J00 n 2
得：
最大势能：
1 Umax = ka202 2
由
Tmax =Umax
1 2 2 1 2 2 J0 = k a 0 2 0 n 2
系统的固有频率
ka 2 n= J0
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-1求特征值法 对于多自由度振动系统，其无阻尼自由振动运动微分方
与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差 二阶固有频率的相对计算误差
1.35%
-2 6 .9 2 %
第4章 固有频率的实用计算方法
二、邓克利法（Dunkenley法） 对于多自由度振动系统，若用柔度法建立的运动微分 方程可表示为：
X M X
同样地令
X {} us i n t n
4-2-8
，即
1 22 1 12
1
2 1
2 1
因此有
1
2
1
1
2 2
m m 1 1 1 2 2
第4章 固有频率的实用计算方法
二、邓克利法（Dunkenley法） 一般地，对于具有n个自由度的振动系统
n 111 1 + + mm + + m = m 1 1 2 2 2 n n n i i i 2 2 2 2 1 1 1 2 n i 1
令其特征方程的系数行列式等于0得
2 2k m
k
= 0 k 2 m
2
k
即：
2 2 2 ( 2 k m ) ( k 2 m ) k = 0
可得固有频率
2 = 0 .2 1 9 2 1 2 2 = 2 .2 8 0 8
得：
最大势能：
1 Umax = ka202 2
由
Tmax =Umax
1 2 2 1 2 2 J0 = k a 0 2 0 n 2
系统的固有频率
ka 2 n= J0
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-1求特征值法 对于多自由度振动系统，其无阻尼自由振动运动微分方
与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差 二阶固有频率的相对计算误差
1.35%
-2 6 .9 2 %
第4章 固有频率的实用计算方法
二、邓克利法（Dunkenley法） 对于多自由度振动系统，若用柔度法建立的运动微分 方程可表示为：
X M X
同样地令
X {} us i n t n
4-2-8
，即
1 22 1 12
1
2 1
2 1
因此有
1
2
1
1
2 2
m m 1 1 1 2 2
第4章 固有频率的实用计算方法
二、邓克利法（Dunkenley法） 一般地，对于具有n个自由度的振动系统
n 111 1 + + mm + + m = m 1 1 2 2 2 n n n i i i 2 2 2 2 1 1 1 2 n i 1
令其特征方程的系数行列式等于0得
2 2k m
k
= 0 k 2 m
2
k
即：
2 2 2 ( 2 k m ) ( k 2 m ) k = 0
可得固有频率
2 = 0 .2 1 9 2 1 2 2 = 2 .2 8 0 8
第四章 多自由度系统
频率方程为 则频率方程为：
(1)
2 为方程的解，代入（ ），得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解，代入（1），得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根， 当 [ K ] > 0 时，系统有n个大于零的正实根， 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标（见上图）。 系统的广义坐标（见上图）。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知，当简支梁受力作用时， 由材料力学得知，当简支梁受力作用时，其挠度计算公式为 ： Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义， 根据柔度影响系数的定义，我们首先在坐 处作用一单位力，则在坐标y 标y1处作用一单位力，则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移， 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移，即系统第j个坐标上
(1)
2 为方程的解，代入（ ），得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解，代入（1），得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根， 当 [ K ] > 0 时，系统有n个大于零的正实根， 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标（见上图）。 系统的广义坐标（见上图）。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知，当简支梁受力作用时， 由材料力学得知，当简支梁受力作用时，其挠度计算公式为 ： Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义， 根据柔度影响系数的定义，我们首先在坐 处作用一单位力，则在坐标y 标y1处作用一单位力，则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移， 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移，即系统第j个坐标上
机械动力学-多自由度系统
j =1
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化 规律，即有着相同的时间函数。 规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3） ）
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10） ） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11） ） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12） ） 系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式 系统的特征行列式， 方程（ 方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程， ）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程 是 λ或 阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（ 叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只 ）可见， 决定于系统的物理参数，是系统固有的。 决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多 实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的， 对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程， 代入动能和势能方程，有
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化 规律，即有着相同的时间函数。 规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3） ）
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10） ） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11） ） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12） ） 系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式 系统的特征行列式， 方程（ 方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程， ）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程 是 λ或 阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（ 叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只 ）可见， 决定于系统的物理参数，是系统固有的。 决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多 实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的， 对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程， 代入动能和势能方程，有
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
(4.19)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
第4章多自由度系统的振动题解
习 题4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。
解：由题3-10的结果22121111)(l g m l g m m k k +++=，2221l gm k -=，2212l g m k -=，22222l gm k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg lmg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mgl mg lmgmp lmg B 0242222242=+-∴l g m p l g m p m l g p )22(1-=∴ ，lgp )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mp lmg adjB 2分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A题4-1图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,k k ，由平衡条件得到，222111a k b k k +=， a k k 221-=设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ，得031222222212221=----+p m a k ak a k p a m a k b k4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。
第四章(第1节) 两自由度系统的振动
(4.1-1)
方程 (4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由振动的 微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。 方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成
x1 k1 k2 m1 0 0 m 2 x2 k2
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家
是荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 (Christian Huygens 1629-1695) 。根据 伽利略 (Galileo Galilei 1564-1642)发现 的钟摆的等时性原理，他于 1656 年把 单摆引入了机械钟，研制成第一个摆 钟。 1665 年 2 月的一天，因为身体不适，他躺在家里休 养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意外地在他自 己发明的摆钟上，发现了一个有趣的现象。
方程(4.1-12)称为特征方程或频率方程， 它是2的二次方程，其根为 12 1 m1k22 m2 k11 2 m1m2 2 2
2 1 m1k22 m2 k11 k11k22 k12 4 2 m1m2 m1m2 2
(4.1-12)
(4.1-13)
式中1和2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度， 称为系统的固有频率。1为第一阶固有频率，简称为基 频；2为第二阶固有频率。
多自由度系统的振动、响应和求解
E
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为
4多自由度系统的振动解析
( K pi2 M ) A(i ) 0
A(i)为对应于 pi的特征矢量。它表示系统在以 pi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第 i 阶主振型， 也称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
归一化后，得到三个主振型
A1 . 10000 10000 . . 10000 , A 2 . 10000 0.2808 0.6404 , A1 . 10000 17808 . 0.3904
(i ) 令 An 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i )
(i ) A2
1
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为 1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
Mechanical and Structural Vibration
4.1 固有频率 主振型
4.1.2主振型
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
1 I 2 p
特征矩阵Biblioteka 频率方程M1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
Mechanical and Structural Vibration
于是，得到
A(i)为对应于 pi的特征矢量。它表示系统在以 pi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第 i 阶主振型， 也称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
归一化后，得到三个主振型
A1 . 10000 10000 . . 10000 , A 2 . 10000 0.2808 0.6404 , A1 . 10000 17808 . 0.3904
(i ) 令 An 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i )
(i ) A2
1
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为 1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
Mechanical and Structural Vibration
4.1 固有频率 主振型
4.1.2主振型
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
1 I 2 p
特征矩阵Biblioteka 频率方程M1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
Mechanical and Structural Vibration
于是，得到
第四章多自由度系统
kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )
结构动力学-第四章 MDOF(Part 1)
华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
⎧ u1 ⎫ ⎧φ1 ⎫ ⎧a ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (ωt + θ ) = β ⎨ ⎬ sin (ωt + θ ) ⎩1 ⎭ ⎩u2 ⎭ ⎩φ2 ⎭
结构动力学 第四章 多自由度体系 5 of 42
或者
§4.1 两自由度体系的振动分析
算例 4.1 设 m1 = m2 = 1,000kg , k1 = 1,500 N / m, k2 = 1,000 N / m 求圆频率和振型
{d }1 {d }2
⎧φ1(1) ⎫ = ⎨ (1) ⎬ ⎩φ2 ⎭ ⎧φ1(2) ⎫ = ⎨ (2) ⎬ ⎩φ2 ⎭
用功能互等定理
{ f }1 {d }2 = { f }2 {d }1
将表达式代入并整理后,可得
(ω
结构动力学
2 1
− ω2 2 )( m1φ1(1)φ1(2) + m2φ2 (1)φ2 (2) ) = 0
结构动力学 第四章 多自由度体系 3 of 42 华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
§4.1 两自由度体系的振动分析
为得到非零解，必须有
2 Q (ω ) = m1m2ω 4 − ⎣ ω ⎡ m1k2 + m2 ( k1 + k2 )⎤ ⎦ + k1k2 = 0
方程的解
⎛ ⎡ k 1 k +k ω1 = ⎜ ⎢ 1 2 + 2 − ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎛ ⎡ 1 ⎢ k1 + k2 k2 ⎜ + + ω2 = ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎤⎞ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ + − 4 ⎜ m ⎟ m m1m2 ⎥ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎦⎠ 12 2 ⎞ ⎤ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ ⎜ m + m ⎟ −4mm ⎟ 1 2 ⎠ 1 2 ⎥ ⎝ ⎦⎠
⎧ u1 ⎫ ⎧φ1 ⎫ ⎧a ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (ωt + θ ) = β ⎨ ⎬ sin (ωt + θ ) ⎩1 ⎭ ⎩u2 ⎭ ⎩φ2 ⎭
结构动力学 第四章 多自由度体系 5 of 42
或者
§4.1 两自由度体系的振动分析
算例 4.1 设 m1 = m2 = 1,000kg , k1 = 1,500 N / m, k2 = 1,000 N / m 求圆频率和振型
{d }1 {d }2
⎧φ1(1) ⎫ = ⎨ (1) ⎬ ⎩φ2 ⎭ ⎧φ1(2) ⎫ = ⎨ (2) ⎬ ⎩φ2 ⎭
用功能互等定理
{ f }1 {d }2 = { f }2 {d }1
将表达式代入并整理后,可得
(ω
结构动力学
2 1
− ω2 2 )( m1φ1(1)φ1(2) + m2φ2 (1)φ2 (2) ) = 0
结构动力学 第四章 多自由度体系 3 of 42 华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
§4.1 两自由度体系的振动分析
为得到非零解，必须有
2 Q (ω ) = m1m2ω 4 − ⎣ ω ⎡ m1k2 + m2 ( k1 + k2 )⎤ ⎦ + k1k2 = 0
方程的解
⎛ ⎡ k 1 k +k ω1 = ⎜ ⎢ 1 2 + 2 − ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎛ ⎡ 1 ⎢ k1 + k2 k2 ⎜ + + ω2 = ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎤⎞ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ + − 4 ⎜ m ⎟ m m1m2 ⎥ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎦⎠ 12 2 ⎞ ⎤ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ ⎜ m + m ⎟ −4mm ⎟ 1 2 ⎠ 1 2 ⎥ ⎝ ⎦⎠
机械振动基础--第四章--多自由度系统PPT课件
.
5
例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。
解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即 {x}={yA,yB,y1,y2}T
各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。
.
6
(1) 求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位 移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时： 外力{f}=???
x2 ) c3 x2
[M ]{x} [C]{x} [K]{x} {F(t)}
.
1
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
2) 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法； 3) 用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。
.
2
§4.1 运动微分方程
kij
2U xix j
2U x jxi
k ji
质量矩阵、阻尼矩阵和刚度. 矩阵均是对称矩阵。 9
针对本例：系统的动能为杆的平动 动能和转动动能与两个质量的动能 之和，设杆的质心在杆的中点，质 量为M。系统的动能为：
ET
M 2
y A
2
yB
2
I 2
yB
L
y A
2
1 2
m1 y12
1 2
在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、 各自由度上所受到的外力关系为：
{ f } [K]{x}
——如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移， 其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状 态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施 加的外力就是kij。
.
4
系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移 为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。
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坐标X下系统：
MX KX P
坐标Y 下系统：
T T MTY T T KTY T T P
如果恰巧Y 是主坐标： T T MT T T KT 对角阵
2021年3月6日
第4章多自由度系统振动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这样的T 是否存在？如何寻找？
4
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT） 合同。
2021年3月6日
8
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
三自由度系统
振动形式1
振动形式2
振动形式3
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相 同外，随时间变化的规律都相同的运动 。
2021年3月6日
思考：同步振动是不是解耦振动？
9
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
柔度矩阵： F中的元素fij是使系统仅在第 j 个坐标受到单位力 作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移.
柔度矩阵与刚度矩阵的关系： F K 1 FK I
2021年3月6日 位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。 3
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：耦合与坐标变换
小结：作用力方程、位移方程和矩阵
作用力方程 位移方程
MX KXP(t)
XF(PM X )
质量矩阵 ：M 中的元素 mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
刚度矩阵： K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位 位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率；
2021年3月6日
2、求解标准方程。
6
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法 • 模态截断法
2021年3月6日
代入振动方程： (K 2M )φ 0 φ 有非零解的充分必要条件： K2M0 特征方程
k112m11 k122m12 k1n 2m1n
k212m21
k222m22
k2n 2m2n
0
k m k m k m 2021年3月6日
• 多自由度系统的固有频率 作用力方程： M X KX P(t) XRn
自由振动方程： M X KX 0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间
变化的规律都相同的运动。
Xφf(t)
f (t)R1
常数列向量 代表着振动的形状
运动规律的时间函数
线性代数知: 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。
对称性质： 若矩阵A 对称，则（TTAT）对称。
证明： 矩阵A 对称，A＝AT
则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT 正定性质：若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。
因此坐标变换X ＝TY 不改变系统的正定性质。 对于质量矩阵也如此。
2021年3月6日
5
第4章多自由度系统振动
回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
2021年3月6日
M X KX 0
Xφf(t)
12
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
首先讨论正定系统的主振动：
正定系统： M X KX 0 XRn M 正定，K 正定
主振动： X φ asi nt () 0 φ [1 2 n]T
将常数 a 并入φ 中 Xφ si nt ()
7
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MXKXP(t) XRn
自由振动方程： MXKX0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同 步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外， 随时间变化的规律都相同的运动 。
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。
刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
不出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度只在该坐标上引起 惯性力.
不出现弹性耦合时，一个坐标上 产生的位移只在该坐标上引起弹 性恢复力.
耦合的表现形式取决于坐标的选择
同一个系统选择两种不同的坐标X 和Y 有变换关系：
X TY 其中T 是非奇异矩阵
2
M 正定，K 正定或半正定
对于非零列向量φ ： φTMφ0 φTKφ0
令： 2 0
2021年3月6日 对于正定系统必有 0 对于半正定系统，有 0 11
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
ff((tt))φ φTTM Kφ φ2
f(t)2f(t)0
a、b、 为常数
2021年3月6日
X[x1 x2 xn]T φ [1 2 n]T 10
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
MX+KX=0
Xφf(t)
XRn φRn
代入，并左乘 φ T ： φ TM φ f(t) φ TK φ f(t)0
：常数
f(t) f (t)
φ φTTM Kφ φ
第四章
多自由度系统振动
3
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2021年3月6日
2
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
f(t)asint(), 0
f(t)a tb,
0
（1）正定系统 0
主振动
只可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动。
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统 0
可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动。
也可能出现形如 Xφ(a tb)的同步运动（不发生弹性变形 ）。