第2章 多自由度系统的振动讲解

多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。

在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。

本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。

一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。

每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。

多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。

二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。

每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。

振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。

三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。

常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。

有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。

模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。

2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。

模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。

实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。

数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。

四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。

首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。

其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。

此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。

船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。

141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。

完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。

不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。

具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。

151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。

梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。

的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。

船体振动基础1第2章多自由度系统的振动第章多自由度系统的振一、引言二、两自由度系统的振动2上节课内容的回顾1.几个重要概念主振型第阶主振型第二阶主振型多自由度系统主振型，第一阶主振型，第二阶主振型基频，第一阶固有频率，第二阶固有频率,……主振动，模态个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P37)⎬⎫=++−=−++00)(2212111x k k x k xm x k x k k xm &&&&⎭)(2321222个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P41-43)m &&⎭⎬⎫=++−=−++0)(0)(23212222212111x k k x k xm x k x k k x&&①假设简谐形式的解振动时，两个质量按相同频率和相位角作简谐振动。

()()⎭⎬⎫+=+=θωθωt A x t A x n n sin sin 2211上节课内容的回顾将简谐振动解代入运动方程式上节课内容的回顾解特征方程式的根，可以得到：上节课内容的回顾将特征值代入②的振幅A1和振幅A2，得到对应于和的振幅A1和振幅A2之间的两个确定的比值：21ω上节课内容的回顾⑥主振动的确定。

z 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，z 称为系统的主振动(1)(1)⎫第一阶主振动为：()1111(1)(1)(1)22111111sin()sin()sin x A t xA t A t ωθωθβωθ=+⎪⎬=+=+⎪⎭第二阶主振动为：(2)(2)1122sin()x A t ωθ⎫=+⎪()(2)(2)(2)22222122sin()sin x A t A t ωθβωθ⎬=+=+⎪⎭z 系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，z 以确定的频率和振型作简谐振动。

上节课内容的回顾⑦一般情况下自由振动的通解。

并非在任何情况下系统都会作主振动形式的运动，一般情况下系统运动方程的通解为上述两种主振动的叠加：o在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的线性组合，其结果不一定是简谐振动。

船体振动基础1第2章多自由度系统的振动第章多自由度系统的振一、引言二、两自由度系统的振动2正则振型上节课内容的回顾⎪⎫⎪⎧)(1i Φ⎪⎫⎪⎧)()(1)(i n i ΦΦ⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎨=Φ)(2)(i i ΦM 取1)(=i n Φ⎪⎪⎪⎬⎪)()(2)(i n i ΦΦM上节课内容的回顾1=pi iM c 2=1=书上例题P49：例2.9¾振动方程组解耦F1F2k1k2m1m k3两自由度弹簧-质量(1) 21211F kx kx xm =−+&&(2) 22212F kx kx xm =+−&&(2)－(1)：121212)(3)(F F x x k x x m −=−+−&&&&(2)＋(1)：&&&&121212)()(F F x x k x x m +=+++121x x y −=F F Q −=122x x y +=引入坐标变换：定义广义力：122121F F Q +=m +&&1113Q ky y =222Q ky y m =+&&质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵:[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k K 003质量矩阵和刚度矩阵的形式与坐标选取有关上节课内容的回顾¾通过选取坐标系直接使质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵难以实现。

¾通过坐标变换使振动微分方程组质量矩阵和刚度矩阵同时对角化（解耦）——振动模态分析的基本思路。

•系统的振动表示为所有n个主振动的叠加¾对多自由度系统振动求响应求解的类型：无阻尼振动系统对初始条件的响应无阻尼振动系统对任意激励的响应有阻尼振动系统对各种激励的响应（简谐激励、周期激励、任意激励）阻尼的表达与处理：一、什么情况下需要讨论阻尼的影响？1、系统的阻尼很小，而且激励频率又远离共振频率，阻尼效应影响很小，可以忽略不计。

多自由度系统振动分析典型教案第一篇：多自由度系统振动分析典型教案第2章多自由度系统的振动基本要点：① 建立系统微分方程的几种方法；② 固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；③ 多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。

引言多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。

§2.1 多自由度系统的振动方程λ方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力§2.2 建立系统微分方程的方法λ影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数λ刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法§2.3 无阻尼系统的自由振动λ二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。

λ二自由度系统的自由振动λ二自由度系统的运动耦合与解耦⌝弹性耦合，惯性耦合；⌝振动系统的耦合取决于坐标系的选择；λ多自由度系统的固有振动⌝固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；⌝固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；⌝刚体模态；λ运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。

λ多自由度系统的自由振动§2.4 无阻尼系统的受迫振动λ频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反共振问题。

λ时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速度法。

§2.5 比例阻尼系统的振动λ多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。

λ自由振动λ受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。

§2.6 一般粘性阻尼系统的振动λ自由振动：物理空间描述，状态空间描述。

λ受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。

思考题：① 刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解释？② 为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？③ 证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。

船体振动基础1第2章多自由度系统的振动第章多自由度系统的振一、引言二、两自由度系统的振动2上节课内容的回顾周期激励下系统的响应上节课内容的回顾周期激励下系统的响应上节课内容的回顾任意激励下系统的响应——冲击对于上述初始条件，产生的有阻尼自由振动响应为：ˆsin n d ζωω−=t F x e t dωm上节课内容的回顾2.任意激励下系统的响应上节课内容的回顾2.任意激励下系统的响应在（0，t 1）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用⎨⎧≤≤=100,)(t t t P t P )(t P 0P ⎩>1,0t 01t t求：系统响应上节课内容的回顾教材习题：习题P33 1.19第2章多自由度系统的振动1•实际工程问题中，经常会遇到不能简化为单自由度系统的振1.引言动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动问题。

•多自由度系统，就是在任何瞬时，系统的位置都必须用两个或者更多的广义坐标才能确定的系统。

9第2章多自由度系统的振动11.引言• 船舶作为一个刚体，具有六个自由度；在研究总纵强度时，只考虑船舶的升沉运动和纵摇运动，即约束四个自由度，可(z ，。

θ视为两自由度系统()y 10第2章多自由度系统的振动11.引言• 一般来说，工程上各种机械都是由杆、梁、板、壳或其他元件组成的复杂的弹性结构，理论上都是无限自由度系统。

• 对于这些具有分布质量无限多自由度系统，往往要对质量和11弹性体进行离散化处理，即转化为有限个自由度系统。

第2章多自由度系统的振动11.引言• 至于取多少个自由度，可根据工程上实际所要求的精度来确定，广义坐尽可能取在能反映结构特征的那些点上，以便更好的逼近实际的动挠度曲线好的逼近实际的动挠度曲线。

12多自由度系统的特点：某自由度的振动往各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。

往导致整个系统的振动运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程解联立方程。