多自由度系统的振动

多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。

在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。

本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。

一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。

每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。

多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。

二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。

每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。

振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。

三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。

常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。

有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。

模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。

2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。

模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。

实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。

数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。

四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。

首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。

其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。

此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。

多自由度系统振动的研究1.建立系统的数学模型：多自由度系统的数学模型通常可以通过运动微分方程来描述，这些微分方程可以由拉格朗日方程或哈密顿方程获得。

建立系统的数学模型是研究多自由度系统的第一步，它能够定量描述系统的振动特性。

2.振动模态分析：振动模态是指各种独立振动模式对应的特征值及特征向量。

在多自由度系统中，有多个振动模态，每个振动模态都有对应的特征值和特征向量，它们描述了系统在不同振动模态下的振动特性。

振动模态分析可以帮助我们理解系统的振动特性、模式和共振现象，并为系统的设计和优化提供依据。

3.模态叠加方法：模态叠加方法是一种常用的分析多自由度系统振动响应的方法。

该方法将系统的初始条件和外力激励在模态基下展开，通过将各模态响应相加，得到系统的总体振动响应。

模态叠加方法可以简化计算，使得问题的求解更加方便，应用广泛。

4.模态分析与结构动力学：多自由度系统的模态分析与结构动力学密切相关。

结构动力学是研究结构体受外力激励下的振动响应的学科，它通常涉及到多自由度系统的模态分析、频率响应和时域分析等。

模态分析为结构动力学提供了基础，通过分析结构的振动模态，可以预测结构在不同激励下的振动响应。

5.数值模拟与实验验证：在研究多自由度系统的振动过程中，可以借助于数值模拟和实验验证相结合的方法。

数值模拟可以通过有限元、边界元或半经验法等方法，对系统的振动响应进行计算和预测。

实验验证可以通过振动台试验或实验模态分析等方式，对系统的振动特性进行实测，从而验证数值模拟的准确性。

总之，研究多自由度系统振动是一个复杂而又重要的课题。

通过建立数学模型、进行振动模态分析、应用模态叠加方法以及进行数值模拟和实验验证等手段，可以更深入地了解多自由度系统的振动特性，为实际工程问题的求解和优化提供科学依据。

第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。

单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。

多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。

主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。

多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。

多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。

直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。

振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。

因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。

3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。

[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。

三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。

图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。

质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。

每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。

船体振动基础1第2章多自由度系统的振动第章多自由度系统的振一、引言二、两自由度系统的振动2上节课内容的回顾1.几个重要概念主振型第阶主振型第二阶主振型多自由度系统主振型，第一阶主振型，第二阶主振型基频，第一阶固有频率，第二阶固有频率,……主振动，模态个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P37)⎬⎫=++−=−++00)(2212111x k k x k xm x k x k k xm &&&&⎭)(2321222个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P41-43)m &&⎭⎬⎫=++−=−++0)(0)(23212222212111x k k x k xm x k x k k x&&①假设简谐形式的解振动时，两个质量按相同频率和相位角作简谐振动。

()()⎭⎬⎫+=+=θωθωt A x t A x n n sin sin 2211上节课内容的回顾将简谐振动解代入运动方程式上节课内容的回顾解特征方程式的根，可以得到：上节课内容的回顾将特征值代入②的振幅A1和振幅A2，得到对应于和的振幅A1和振幅A2之间的两个确定的比值：21ω上节课内容的回顾⑥主振动的确定。

z 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，z 称为系统的主振动(1)(1)⎫第一阶主振动为：()1111(1)(1)(1)22111111sin()sin()sin x A t xA t A t ωθωθβωθ=+⎪⎬=+=+⎪⎭第二阶主振动为：(2)(2)1122sin()x A t ωθ⎫=+⎪()(2)(2)(2)22222122sin()sin x A t A t ωθβωθ⎬=+=+⎪⎭z 系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，z 以确定的频率和振型作简谐振动。

上节课内容的回顾⑦一般情况下自由振动的通解。

并非在任何情况下系统都会作主振动形式的运动，一般情况下系统运动方程的通解为上述两种主振动的叠加：o在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的线性组合，其结果不一定是简谐振动。

第一章多自由度系统的固有振动特性§1.1概述实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。

多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。

因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。

§1.2 无阻尼系统的自由振动1．振动方程（1－1），为广义位移矢量2．质量矩阵物理意义动能（1－2）（1）质量矩阵反映了系统的动能（2）质量矩阵是正定的（3）质量矩阵是对称的例外：纯静态位移使（1－3）如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。

即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。

3．刚度矩阵的物理意义势能（1－4）（1）刚度矩阵反映了系统的势能（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）（3）刚度矩阵是对称的刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义——柔度矩阵使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动方程，分别称为“力法”、“位移法”4．特征方程各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。

（1－5）求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。

5．几个基本概念（1）固有频率特征方程的根为，即为固有频率，它反映了结构自由振动随时间的变化特性。

（2）固有模态或固有振型对应于特征方程根的特征矢量（1－6）它反映了结构自由振动在空间的变化特性。

（3）标准模态对固有模态归一化（1－7）则称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有：1）置中某一分量为12）置中绝对值最大的分量为13）置模态质量为1，（1－8）（4）刚体模态：对应于（1－9）纯刚体模态：仅含有一种刚体运动（5）纯静态模态：使的模态，在非一致质量阵中，某些对角元素可以为零，可以找到一组位移使（1－10）（6）单频：称为单频。

（7）重频：称为重频，但相应有两个模态。

（8）密频或近频：通常当时，可以称为密频§1.3 固有频率与固有模态的特性1．正交性指模态对刚度矩阵[K]及质量阵[M]的加权正交性：（1－11）证明：由（1－12）分别前乘，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。