多自由度系统振动分析典型教案
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汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
j 1
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
第三部分 多自由度系统的振动
q t uη(t) u r t
r
r 1
n
u11 u12 u1n u u u 21 22 2n 1 (t ) 2 (t ) n (t ) un1 un 2 unn
(r )
1
r
u
(r )
r u
( r )T
Mu( r )
正则振型
主振型 正则化因子
组成正则振型矩阵
u u
(1)
u
(2)
u
(n )
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）
q t uη t 令 代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程
2 r t 2 rrr t r r t Nr (t )
r 1,2,, n
(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应 各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的 响应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
η0 u q0 T η0 u Mq0 ,
u( s )T Ku(r ) 0
(r s )
u( r )T Ku(r ) r2
M r u Mu
T
K r uT Ku 12 2 2 Λ 2 n
1 1 I 1
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的类型： 无阻尼振动系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对任意激励的响应 有阻尼振动系统对各种激励的响应 （简谐激励、周期激励、任意激励）
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
两自由度是多自由度系统最简单的情况。
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
第三章 多自由度系统的振动课件
有非零解的充要条件是 | A | 0
定义 奇次方程组（1）的一组解1,2,L ,t 称为（1）的一个基
础解系，如果
1.(1)的任一个解都能表示成 1,2,L ,t 的线性组合； 2. 1,2,L ,t 线性无关。
定理 在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的
个数等于 nr。
r:
是系数矩阵的秩。
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽 然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动 形态已经确定。
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的? 结论:
(Kr2M)r 0
当<<振 动r 力不学是特>>征刘延方柱程第的7重4根页时).,上述方程只有N-1个方程是独立的(见
② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数； ③ 对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式
n
W Qi qi i 1
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；
⑤ 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.
上次课内容回顾
3. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
理解固有振型
如何理解固有振型 从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；
从物理上看：第i阶固有振型向量 i 中的一列元素，就是系统做 第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， i 描述了
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽
然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动
(K2M)0
有非零
1
1 1
2
1
1
定义 奇次方程组（1）的一组解1,2,L ,t 称为（1）的一个基
础解系，如果
1.(1)的任一个解都能表示成 1,2,L ,t 的线性组合； 2. 1,2,L ,t 线性无关。
定理 在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的
个数等于 nr。
r:
是系数矩阵的秩。
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽 然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动 形态已经确定。
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的? 结论:
(Kr2M)r 0
当<<振 动r 力不学是特>>征刘延方柱程第的7重4根页时).,上述方程只有N-1个方程是独立的(见
② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数； ③ 对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式
n
W Qi qi i 1
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；
⑤ 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.
上次课内容回顾
3. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
理解固有振型
如何理解固有振型 从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；
从物理上看：第i阶固有振型向量 i 中的一列元素，就是系统做 第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， i 描述了
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽
然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动
(K2M)0
有非零
1
1 1
2
1
1
第2章 多自由度系统振动
2 M K )u 0 ( n
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
12.6 多自由度体系的自由振动
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将D展开，整理后，得 展开，整理后， 展开
k11 k22 2 k11k22 − k12k21 (ω ) − + =0 m m ω + m1m2 2 1 的两个根， 由此可以解出ω2的两个根，即
2 2
ω12， = ( 2
2
1
k 22
F S1
1
1
k 11
1
k 12
结构所受的力 FS1 、 S 2 与结构的位移 y1 、 y2 之间 F 应满足刚度方程
FS1 = −(k11 y1 + k12 y 2 ) FS 2 = −(k 21 y1 + k 22 y 2 ) 是结构的刚度系数 kij 是结构的刚度系数
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代入振型方程 得
( k11 − ω 2 m1 )Y12 + k12Y22 = 0 2 k21Y12 + ( k 22 − ω 2 m2 )Y22 = 0
2
同样， 同样，也可求得
Y12 − k12 ρ2 = = 2 Y22 k11 − ω2 m1
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1
2
ω …， n 。 ，
i
n
[Y 2) 确定振型（振动形式），即[Y ( ) ]， ( ) ] ，[Y ( ) ] … [Y ( ) ]，或振型常数 确定振型（振动形式）， ），即 仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性—— ）。并讨论振型的特性 ρ1，ρ2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性 主振型的正交性。 主振型的正交性。
将D展开，整理后，得 展开，整理后， 展开
k11 k22 2 k11k22 − k12k21 (ω ) − + =0 m m ω + m1m2 2 1 的两个根， 由此可以解出ω2的两个根，即
2 2
ω12， = ( 2
2
1
k 22
F S1
1
1
k 11
1
k 12
结构所受的力 FS1 、 S 2 与结构的位移 y1 、 y2 之间 F 应满足刚度方程
FS1 = −(k11 y1 + k12 y 2 ) FS 2 = −(k 21 y1 + k 22 y 2 ) 是结构的刚度系数 kij 是结构的刚度系数
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代入振型方程 得
( k11 − ω 2 m1 )Y12 + k12Y22 = 0 2 k21Y12 + ( k 22 − ω 2 m2 )Y22 = 0
2
同样， 同样，也可求得
Y12 − k12 ρ2 = = 2 Y22 k11 − ω2 m1
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1
2
ω …， n 。 ，
i
n
[Y 2) 确定振型（振动形式），即[Y ( ) ]， ( ) ] ，[Y ( ) ] … [Y ( ) ]，或振型常数 确定振型（振动形式）， ），即 仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性—— ）。并讨论振型的特性 ρ1，ρ2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性 主振型的正交性。 主振型的正交性。
多自由度系统振动分析典型教案
第2章多自由度系统的振动基本要点：①建立系统微分方程的几种方法；②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。
引言多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。
§2.1多自由度系统的振动方程●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力§2.2建立系统微分方程的方法●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法§2.3无阻尼系统的自由振动●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。
●二自由度系统的自由振动●二自由度系统的运动耦合与解耦➢弹性耦合，惯性耦合；➢振动系统的耦合取决于坐标系的选择；●多自由度系统的固有振动➢固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；➢固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；➢刚体模态；●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。
●多自由度系统的自由振动§2.4无阻尼系统的受迫振动●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反共振问题。
●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速度法。
§2.5比例阻尼系统的振动●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。
●自由振动●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。
§2.6一般粘性阻尼系统的振动●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。
●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。
思考题：①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解释？②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。
第三章 多自由度系统振动分析
x1 A1eit , x2 A2eit
a normal mode oscillation is one in which each mass undergoes harmonic motion of the same frequency
Substituting into the equations of motion yields
xnn表示其中各个归一化表示其中各个归一化主振型矢量主振型矢量xxii分别代表模态坐标轴的单位矢分别代表模态坐标轴的单位矢另一方面从广义坐标法的角度来看系统在原坐标系中另一方面从广义坐标法的角度来看系统在原坐标系中动能动能ekek与势能与势能epep可分别表示为可分别表示为kx经模态变换xay后在模态坐标系中系统的动能与势能分别表示为3333经典阻尼实模态分析经典阻尼实模态分析设线性阻尼系统的运动微分方程可表示为设线性阻尼系统的运动微分方程可表示为能否利用上述实模态变换来使系统解耦关键在于阻尼矩阵c在上述实模态变换下能否化为对角阵
例3-4
在上例的 2 自由度系统中，设在左质量上作用有复谐和扰力 并进一步求出系统的频率响应矩阵。
解：这时，系统的运动微分方程为
。试求系统的定常强迫振动；
仍利用上例中的实模态变换
，可将原系统化为如下模态运动微分方程
对应于复谐和激励，定常模态响应可设为
其中
为待定的复振幅列阵。将它们代入模态运动微分方程，可得
其中
于是有
注意，系统的频率响应函数定义为系统的定常复谐和响应与输入
之比
因而
代表对应于复谐和输入
的系统模态频率响应列阵
表示为
返回到原系统，对应于输入
的系统频率响应列阵
同理有：
这样，对应于复谐和双输入，系统的频率响应矩阵可表示为
第五章(第3节)多自由度系统的振动讲解
0
0 m
x
y
3 i 1
ki
sincosi 2cosi i
sin i
sin
cos
2 i
i
x y
Qx Qy
5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定
理
1.固有振型的正交性——例题：正交性验证（例：5.3-1）
将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度矩阵，得
3
i1
ki
cos2 i sini cosi
sini cosi
sin 2 i
k
1 0
0 0
k
1
4 3
4
3 34
4
k
34 34
3 4 1 4
k
2 0
0 1
或
Cr u(r)T Mw
单位矩阵，模态刚度矩阵为固有频率平方的对角
矩阵，即
1
Mr
uT Mu
I
1
(5.3-17)
1
5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定 理
2.模态矩阵
12
Kr
uT Ku
Λ
22
(5.3-18)
n2
●由于振型向量只表示系统作固有振动时各 坐标间幅值的相对大小，所以模态质量和模态刚 度的值依赖于正则化方法，只有进行正则化后， 才能确定振型向量各元素的具体数值，也才能使 Mr和Kr具有确定的值。
《多自由度系统振动》PPT课件教案资料
2022/2/12 《振动力学》
代入，得： (FM I)φ 0 特征方程： FMI 0 18
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
• 多自由度系统的模态（主振型）
正定系统： M X KX 0
主振动： X φ asi nt ()
XRn M、 KRnn
0 φRn
特征值问题： (K2M)φ0
7
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MXKXP(t) XRn
自由振动方程： MXKX0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同 步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外， 随时间变化的规律都相同的运动 。
则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT 正定性质：若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。
因此坐标变换X ＝TY 不改变系统的正定性质。 对于质量矩阵也如此。
2022/2/12
5
《振动力学》
回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
f(t)asint(), 0
f(t)a tb,
0
主振动
（1）正定系统 0
只可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动。
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统 0
多自由度体系的振动
振动的基本概念
振动定义
振动是指物体在平衡位置附近进行的往复运动。在多自由度体系中，各质点间的振动相互 作用和能量传递使得整个体系呈现出复杂的振动行为。
振动分类
根据振动频率的不同，可以分为低频振动和高频振动；根据振动原因的不同，可以分为自 然振动和受迫振动。
振动分析方法
对多自由度体系的振动进行分析时，可以采用模态分析法、直接积分法、传递矩阵法等多 种方法。模态分析法是一种常用的简化分析方法，通过求解体系的特征值和特征向量来确 定体系的模态参数，进而分析其振动特性。
振动控制的方法
01
02
03
主动控制
通过向系统输入能量或信 号，主动改变系统的振动 状态，以达到减振的目的。
被动控制
通过吸收、隔离或阻尼系 统振动能量，被动地抑制 系统振动。
混合控制
结合主动和被动控制方法 的优点，以提高减振效果。
主动控制
主动控制利用外部能源向系统提供控 制力，通过实时监测和反馈系统振动 状态，主动调整控制力的大小和方向 ，以达到减振的目的。
将结构划分为有限个单元，通过建立单元 间的传递矩阵来描述振动能量的传递和散 射。
模态分析
模态振型
描述结构在不同频率下的振动 形态。
模态频率
结构的固有频率，对应于特定 的模态振型。
模态刚度和模态阻尼
描述模态的力学特性和能量耗 散特性。
模态分析的应用
用于结构的动力学特性分析、 振动控制和优化设计等。
响应分析
数据采集系统
将振动传感器采集到的信号进行放大、 滤波和模数转换，以便进行后续处理 和分析。
振动隔离技术
主动控制技术
通过传感器检测多自由度体系的 振动，并使用主动控制算法产生
多自由度(线性)阻尼系统振动讲义
第3章 多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移 ，定 义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广 义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1
第四章 多自由度系统的振动分析
方程（1）可变形为： d
(
T qi
)
T qi
1 2
U qi
2
dt
Q i 0 , i 1, 2 , 3 ... n
U 1 2 kx
2
例：无阻尼单自由度自由振动系统：
T
mx
d dt
(
T qi
)
d dt
( (
1
mx ) ) m x 1 kx ) kx
4.2 多自由度系统的运动微分方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令
x1 1 x2 x3 0
k 1变形量 1 1， k 2 变形量 2 1， k 3 变形量 3 0
在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力
k 11 、 k 21 、 k 31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
2
2
2 x ( 2 x
T qi
0
U qi
m kx 0 x
Qi 0
对于系统中质量较多时，运用牛顿力方程较为复杂，而拉格朗日方程 或能量法较为简便。拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的 一个普遍的简单而又统一的方法。
10
4.2 多自由度系统的运动微分方程
mg k
带入方程2中，得到系统的运动微分方程为：
mg l g 0 k
15
4.2 多自由度系统的运动微分方程
三、刚度影响系数和作用力方程
一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式：
m 1 1 x 1 m 1 2 x 2 m 1 n x n k 1 1 x 1 k 1 2 x 2 k 1 n x n 0 m 21 x 1 m 22 x 2 m 2 n x n k 21 x 1 k 22 x 2 k 2 n x n 0 m n1 x 1 m n 2 x 2 m nn x n k n1 x 1 k n 2 x 2 k nn x n 0
(
T qi
)
T qi
1 2
U qi
2
dt
Q i 0 , i 1, 2 , 3 ... n
U 1 2 kx
2
例：无阻尼单自由度自由振动系统：
T
mx
d dt
(
T qi
)
d dt
( (
1
mx ) ) m x 1 kx ) kx
4.2 多自由度系统的运动微分方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令
x1 1 x2 x3 0
k 1变形量 1 1， k 2 变形量 2 1， k 3 变形量 3 0
在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力
k 11 、 k 21 、 k 31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
2
2
2 x ( 2 x
T qi
0
U qi
m kx 0 x
Qi 0
对于系统中质量较多时，运用牛顿力方程较为复杂，而拉格朗日方程 或能量法较为简便。拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的 一个普遍的简单而又统一的方法。
10
4.2 多自由度系统的运动微分方程
mg k
带入方程2中，得到系统的运动微分方程为：
mg l g 0 k
15
4.2 多自由度系统的运动微分方程
三、刚度影响系数和作用力方程
一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式：
m 1 1 x 1 m 1 2 x 2 m 1 n x n k 1 1 x 1 k 1 2 x 2 k 1 n x n 0 m 21 x 1 m 22 x 2 m 2 n x n k 21 x 1 k 22 x 2 k 2 n x n 0 m n1 x 1 m n 2 x 2 m nn x n k n1 x 1 k n 2 x 2 k nn x n 0
大学机械振动学教案
课程名称：机械振动学授课对象：机械工程专业本科生授课学时：16学时教学目标：1. 理解机械振动的概念、分类及其基本特性；2. 掌握单自由度、两自由度和多自由度系统的振动分析；3. 了解机械振动在工程中的应用及其危害；4. 能够运用振动学原理解决实际振动问题。
教学内容：一、绪论1. 机械振动的定义及分类2. 机械振动的基本特性3. 机械振动学的研究内容二、单自由度系统的振动1. 简谐振动及其表示2. 单自由度系统的自由振动3. 单自由度系统的受迫振动4. 系统的响应分析三、两自由度系统的振动1. 两自由度系统的自由振动2. 两自由度系统的受迫振动3. 系统的响应分析四、多自由度系统的振动1. 多自由度系统的自由振动2. 多自由度系统的受迫振动3. 系统的响应分析五、弹性体的振动1. 弹性体的自由振动2. 弹性体的受迫振动3. 系统的响应分析六、机械振动在工程中的应用1. 机械振动在机械设计中的应用2. 机械振动在结构工程中的应用3. 机械振动在噪声控制中的应用七、机械振动的危害及控制1. 机械振动的危害2. 机械振动的控制方法3. 振动监测与故障诊断教学方法和手段：1. 讲授法：结合实例，深入浅出地讲解机械振动学的基本概念、原理和方法；2. 讨论法：组织学生讨论机械振动在工程中的应用及其危害，培养学生的分析和解决问题的能力；3. 案例分析法：选取典型工程案例，引导学生分析振动问题，提高学生的实际应用能力；4. 多媒体教学：利用PPT、视频等媒体，形象生动地展示振动现象和振动分析方法。
教学进度安排：第1-2学时：绪论第3-4学时：单自由度系统的振动第5-6学时：两自由度系统的振动第7-8学时：多自由度系统的振动第9-10学时：弹性体的振动第11-12学时：机械振动在工程中的应用第13-14学时：机械振动的危害及控制第15-16学时：总结与复习考核方式：1. 平时成绩：占30%，包括课堂表现、作业完成情况等；2. 期中考试：占30%，测试学生对机械振动学基本概念、原理和方法的掌握程度；3. 期末考试：占40%，测试学生对振动学知识的综合运用能力。
多自由度系统振动分析典型教案
多自由度系统振动分析典型教案第一篇：多自由度系统振动分析典型教案第2章多自由度系统的振动基本要点：① 建立系统微分方程的几种方法；② 固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；③ 多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。
引言多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。
§2.1 多自由度系统的振动方程λ方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力§2.2 建立系统微分方程的方法λ影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数λ刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法§2.3 无阻尼系统的自由振动λ二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。
λ二自由度系统的自由振动λ二自由度系统的运动耦合与解耦⌝弹性耦合，惯性耦合；⌝振动系统的耦合取决于坐标系的选择；λ多自由度系统的固有振动⌝固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；⌝固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；⌝刚体模态；λ运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。
λ多自由度系统的自由振动§2.4 无阻尼系统的受迫振动λ频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反共振问题。
λ时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速度法。
§2.5 比例阻尼系统的振动λ多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。
λ自由振动λ受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。
§2.6 一般粘性阻尼系统的振动λ自由振动：物理空间描述，状态空间描述。
λ受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。
思考题：① 刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解释？② 为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？③ 证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。
第4章多自由度系统的振动
m1 m 2 m 3 m , l1 l 2 l 3 l
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3
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第2章多自由度系统的振动
基本要点：
①建立系统微分方程的几种方法；
②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；
③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。
引言
多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。
§2.1多自由度系统的振动方程
●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力
§2.2建立系统微分方程的方法
●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数
●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法
§2.3无阻尼系统的自由振动
●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。
●二自由度系统的自由振动
●二自由度系统的运动耦合与解耦
弹性耦合，惯性耦合；
振动系统的耦合取决于坐标系的选择；
●多自由度系统的固有振动
固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；
固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；
刚体模态；
●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。
●多自由度系统的自由振动
§2.4无阻尼系统的受迫振动
●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反
共振问题。
●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速
度法。
§2.5比例阻尼系统的振动
●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。
●自由振动
●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。
§2.6一般粘性阻尼系统的振动
●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。
●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。
思考题：
①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解
释？
②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？
③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。
④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？
参考书目
1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002
2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005
3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。
（图书馆索引号：TH113.1/1010）
4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。
（图书馆索引号：
TH113.1/1003-A）
5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引
号：TH113.1/WR32)。