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第五章(第4,5节)多自由度系统的振动

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多自由度系统振动

多自由度系统振动

= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：

第五章(第4,5节)多自由度系统的振动

第五章(第4,5节)多自由度系统的振动

t kuξ t 0 Muξ
由正交性得解耦的方程为
t uT kuξ t 0 uT Muξ
t K ξ t 0 Mr ξ r
(5.4-3)
式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对 角矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
mv0 1 0.459701 k q t 0.577350 sin 0.796226 t m m 0.627693 k mv0 1 0.888074 k 0.577350 sin1.538188 t m m 0.325057 k 0.265408 m k v0 sin 0.796226 t m 0.362555 k 0.512730 m k v0 sin1.53818 8 t m 0.187672 k
q t uη t
代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置 uT 左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 t Λη t 0 η
r t r2r t 0
r 1, 2, , n
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
r0 u
r T r T 0 Mq0 ,r0 u Mq
(r 1,2,, n) (5.4-11)
由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为
q t uη t
n
u r t u
r
r 1 n r 1
n
r
r0 sin r t r0 cos r t r
5.5 瑞利(Rayleigh)商
瑞利商法的提出意义

多自由度振动

多自由度振动

4.1.4
完整的保守系统的拉格朗日运动方程
& i 的函数。即 n 个自由度的系统，在一般情况下，动能可能是时间 t、广义坐标 qi 以及广义速度 q &1 , q & 2 , L, q &n ) T = T (t; q1 , q 2 , L , q λ ; q 而势函数只是广义坐标 qi 的函数，即
t =t2
= 0 （即 t1 与 t2 时刻虚位移δRj 为零） ，则有
t2 t1
∫
其中， T =
t2 t1
δAin dt = ∫
& ∑m R
j =1 j
N
j
t2 d δR j dt = ∫ t1 dt
& δR & dt = ∑m R ∫
j =1 j j j
N
t2 t1
δTdt
(4-15)
∑
j =1
V = V (q1 , q 2 ,L , q n )
73
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将 T 与Π代入式(4-18)中，进行变分运算，得到：
∫ ∑ (Q δq )dt + ∫ ∑ ∂q
t2 t2 t1 i i i =1 n t1 n i =1 t2
第4章
多自由度系统的振动
实际的物体与工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系统具有无限多个自由度。为简化研究 和便于计算，可采用质量聚缩法或其它方法离散化，使系统简化为有限多个自由振动系统，或称为 多自由度振动系统。它的运动需要 n 个独立的坐标来描述。
4.1 变分原理与拉格朗日（Lagrange）运动方程
(i = 1, 2, L, n)

多自由度系统振动(a)

多自由度系统振动(a)

振动对系统的影响
振动可能导致系统性能下降，如机械 零件磨损、设备失效等。
振动可能引发安全问题，如桥梁垮塌 、建筑物倒塌等。
多自由度系统振动的研究意义
多自由度系统振动是研究复杂振动现象的重要手段，有助于 深入了解振动本质。
研究多自由度系统振动有助于解决实际工程中的振动问题， 提高系统稳定性和可靠性。
传递矩阵法
总结词
传递矩阵法是一种通过建立系统的传递矩阵来描述系统的动态特性的方法。
详细描述
传递矩阵法的基本思想是通过建立系统的传递矩阵来描述系统的动态特性，其 中传递矩阵包含了系统各元素之间的相互作用关系。这种方法适用于线性时不 变系统，能够方便地处理多自由度系统的振动问题。
模态叠加法
总结词
模态叠加法是一种通过将系统的振动表示为若干个模态的线性组合，然后对每个 模态分别进行分析的方法。
多自由度系统振动(a)
• 引言 • 多自由度系统振动的基本理论 • 多自由度系统振动的分析方法 • 多自由度系统振动的控制策略 • 多自由度系统振动的应用实例 • 结论与展望
01
引言
振动现象的普遍性
01
振动是自然界和工程领域中普遍 存在的现象，如机械运转、地震 、建筑结构等。
02
振动可以由多种因素引起，如外 部激励、内部干扰等。
03
多自由度系统振动的分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种将连续的弹性体离散为有限个小的单元体的组合，通过求解每个单元的力学特性，进而得到整个 弹性体的振动特性的方法。
详细描述
有限元法的基本思想是将复杂的振动问题分解为若干个简单的子问题，通过求解这些子问题，再将这些解组合起 来得到原问题的解。这种方法能够处理复杂的边界条件和材料属性，适用于各种形状和大小的物体，具有很高的 灵活性和通用性。

《多自由度系统振动》课件

《多自由度系统振动》课件
多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为 比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原 理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性 具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。

多自由度系统振动b

多自由度系统振动b

x3 2k
(K 2 M ) φ 0
0 k 3k
3k m 2 k 0
3 1 0 1 2 1
3k K k 0
k 2k k
k 2k m 2 k
1 k 2 0 3k m 2 3 0
2018年11月7日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
n n n n
(K i2 M )φ(i ) 0
φ(i ) [1(i ) n(i ) ]T
n 个方程 奇次方程组
当 i 不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有φ( i ) 的某个元 (i ) 素（例如 n ）的项全部移到等号右端
（自由振动方程）
KX P (t ) MX
KX 0 MX
X Rn
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都相同的运动
运动规律的时间函数
X φ f (t )
f (t ) R1
常数列向量 代表着振动的形状
1 ：基频
9
固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数 2018年11月7日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率
X FP (t ) 位移方程： FMX
X 0 自由振动： FMX
X Rn
F K 1 柔度矩阵
主振动：
X φsin( t )
特征值
1/ 2
特征根按降序排列： 1 2 n 0

机械振动-第五章多自由度系统的振动

机械振动-第五章多自由度系统的振动

5-2 多自由度系统振动方程式
1）质量弹簧系统
根据牛顿运动定律，列出各质点的运动方程式
1 P m1 x 1 K1 x1 K 2 x2 x1 2 P2 K 2 x2 x1 K 3 x3 x2 m2 x 3 P3 K 3 x3 x2 m3 x
列向量
系数矩阵
x1 x x 2 , x 3
1 x 2 , x x x 3
P 1 P P 2 P 3
m1 0 M 0 m2 0 0




矩阵形式表达式
K A p 2 M A 0
其中
A1 A2 A An
有非零解的条件是系数行列式等于零
k11 m11 p 2 k 21 m21 p 2 k n1 mn1 p 2
k12 m12 p 2 k1n m1n p 2 k 22 m22 p 2 k 2 n m2 n p 2 k n 2 mn 2 p 2 k nn mnn p 2
或
K x 0 M x
列向量
0 0 0 0
2）梁上具有集中质量的横向振动系统
梁上具有任意n个集中质量，系统运动时各质量的横向位移 为y1、y2、…yn，作用在各质量上的外力为P1、P2…Pn，惯性 1 , m2 2 , mn n ，由柔度影响系数的定义及力 y y y 力为 m1 的叠加原理，可列出下述关系式
当外力不存在时，得到系统自由振动方程式
y M y
或
0 y M y K y 0 M y
当系统存在阻尼时，如果是粘性阻尼，引入一个n阶正定 的阻尼方阵，使具有阻尼的多自由度系统的振动方程式具有 下述一般形式。

多自由度系统振动理论及应用

多自由度系统振动理论及应用
多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:

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４.１
多自由度系统的振动微分方程

或更一般地写成

该式可简单地写成

式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状

3. 与 他 人 交 往 平 淡

一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状







任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。

(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
上一页

5多自由度系统振动解析

5多自由度系统振动解析

X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 φ ： 令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
（不生弹性变形 ）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统

多自由度体系自由振动讲解

多自由度体系自由振动讲解

代入振动方程可得
K 2 M A 0 -----------振型方程
K11 m1 2
K 21 K n1
K12

K22 m2 2


K1n
K2n
0

Kn2
Knn mn 2
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
振动方程------受力平衡方程
m1
mm21yy21
(t (t
) )

FEK1 FEK 2
0 0
m1y1(t)
mm21yy21
(t) (t)

K11 y1 (t) K21 y1 (t)
方程（1）的解设为 ： y(t) Asin(t ) 式中， A A1 A2 An T
把 y(t) Asin(t ) 代入（1）
A 2 M A
M EA 0
记


1
2
----------------（2）
3）振型图
画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2 个位移方向相协同。
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
1
1
1
1
第一振型
第二振型
多自由度振动
重 点：频率、振型 难 点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2(t) 由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1

第五章-多自由度系统的振动

第五章-多自由度系统的振动
代入上式， 代入上式，有 ：
0 M P1 ( t ) k 11 ... k 1 j ... k 1 n k 1 j P ( t ) k ... k ... k 0 k 2j 2n 2j 2 = 21 P (t ) = 1 = M .......... .......... . M 0 Pn ( t ) k n 1 ... k nj ... k nn M k nj 0
k11 = k1 + k 2
k12 = −k 2
k13 = 0
k 21 = − k 2
k 31 = 0
k 22 = k 2 + k 3 + k 5 + k 6
k 32 = −k 3
k 23 = −k 3
k 33 = k 3 + k 4
− k3 k3 &刚度矩阵：
&& MX + KX = P (t )
X ∈ Rn
确定后，系统动力方程即可完全确定。 当 M、K 确定后，系统动力方程即可完全确定。 那么M、K 该如何确定？ 讨论刚度阵K 加速度为零。 && 假设外力是以准静态方式施加于系统， 加速度为零。X 假设外力是以准静态方式施加于系统， KX = P (t ) 则：
振动理论与声学原理
——刚度矩阵和质量矩阵 一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
0 M P (t) k11...k1 j ...k1n k1 j 1 P (t) k ...k ...k 0 k 2 = 21 2 j 2n 1 = 2 j P(t) = M ..................... M 0 n P (t) kn1...knj ...knn M knj 0

第5章--两自由度系统的振动

第5章--两自由度系统的振动
图5-6双摆拍振 , 的时间历程
5.3
5.3.l
如前所述，一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为
可见在质点m1和m2的运动方程式中，都含有坐标x1和x2。这表明，两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。
像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1
5.1.1
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得
主振型为
系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。
例5-2在图示5-3所示系统中，已知 ，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， ；（2） 。
，
系统的第一阶和第二阶主振型为
，
于是得到第一主振动
,
第二主振动
,
在任意初始条件下，系统振动的一般解
如果初始条件是：t= 0时， ， ，代入上式得到
，
因此得到双摆作自由振动的规律
,
如果弹簧的刚度k很小，即
＜＜
这时 相差很少，将上式写成
，
令 则上式为
,
这表明，两个摆的运动可以看作是频率为 的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数 和 ，这种现象称为拍振。

多自由度系统的振动__1

多自由度系统的振动__1

多自由度系统的振动 / 拉格朗日法
d T T U ( ) 0 dt q q q
引入拉格朗日算子： 则：
保守系统
L T V
d L L ( ) Qi i qi dt q
多自由度系统的振动 / 拉格朗日法
： 如图所示
图 刚体微幅运动
多自由度系统的振动 / 拉格朗日法
————————
———————
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
—————
———
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
———
————————————
—————————————
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
——————
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
————————
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
多自由度系统的振动
————————
——————————— —
———————— ————
——————————————————
多自由度系统的振动
线性变换 —— 将描述实际问题 的广义坐标用一组新的
坐标代替
多自由度系统与单自由度系统的一个重要区别是 它有多个固有频率和相应的振型。由此引出了特征值 —————————————— 问题及其解答（固有频率与主振型），这是模态分析 法的基础。

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；

多自由度系统振动

多自由度系统振动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组

结构动力学多自由度体系的自由振动

结构动力学多自由度体系的自由振动
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
Y 1
1 1
Y
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
三.求多自由度体系频率、振型例题
例1.求图示体系的频率、振型
解
11
22
4 243
l3 EI
12
21
7 486
l3 EI
I 2 m 0
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2
令
1
11m1
2
1 12 / 11 0 21 / 11 1
(I 2 m)Y 0
频率方程
I 2 m 0
6。求振型、频率可列幅值方程.
按振型振动时
y1 y2
Y1 sin( t ) Y2 sin( t )
yy21
Y1 2 Y2 2
sin( t sin( t
) )
FI
1
(t
)
FI 2 (t)
m1Y12 sin( t ) m2Y22 sin( t )
YY1222
s
in(2t
2)
通解
yy12((tt))
A1
YY1211

高等结构动力学 多自由度系统的振动

高等结构动力学 多自由度系统的振动

(i n
)
]T
An
[] [{}(1) {}(2)
{}(n1) ]——模态矩阵
系统按第i阶固有频率所作的振动称作系统的第 i 阶主振动.
{x}(i) i{}(i) sin(it i )
其中 i 为i 任意常数，取决于初始运动条件。
例
K
x1
K
x2 K
x3
m
m
m
m
0
0 m
0 0
2.当 0 时
X1 1P X 2 2P
m121X1 (m222 1/ 2 ) X 2 2P / 2
解方程,得
X1
1
X2
2
其中
(m1112 1) X1 m212 X 22 1P
2m121X1 (2m222 1) X 2 2P
3.当 时 X1 0 X 2 0
§3.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析
1
1
m2
k2
和弹簧 为辅助系统，称
m2
x2
k2
m1
x1
F sint
k1
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2
x1 x2
F
0
sin
t
设其稳态响应为
x1 x2
X1 X2
sin
t
(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
X 2 21(P I1) 22I2
X1 I1 / m1 2 X 2 I2 / m22
P sin t
m1
m2
l / 3 x1 lE/I3x2 l / 3
P
X1 I1
X2 I2
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5.5 瑞利(Rayleigh)商
瑞利商法的提出意义
●在有些情况下，并不需要知道特征值问题的全部 解，而只要估算系统的固有频率，特别是求出基频就足 够了，这种估算可以用瑞利商法来实现。 设r和u(r)(r=1,2,…,n)为特征值问题的全部解，即满 足 r r 2 r Mu Ku , λr r (r 1,2,, n) (5.5-1)
1.000000 u 1 , 1.366025 式中1和2为待定常数。
1
u
2
1.000000 2 0.366025
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
第一阶主振型
第二阶主振型
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
r0 u
r T r T 0 Mq0 ,r0 u Mq
(r 1,2,, n) (5.4-11)
由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为
q t uη t
n
u r t u
r
r 1 n r 1
n
r
r0 sin r t r0 cos r t r
式中 uTMu=I为单位矩阵，uTKu=为对角元素是各阶固 有频率平方的对角矩阵。 ●正则坐标下的运动方程具有单位模态质量矩阵和 由n阶固有频率平方组成的模态刚度矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
把方程(5.4-5)写成分量的形式为
r t t 0 (r 1,2,,n)
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.5-1)
例5.4-1 考虑图5.4-1所示的两自由度系统。 q q 1 0 v0 ， 2 0 0， 若给定初始条件q1(0)=q2(0)=0， 求系统的响应。 解：系统的运动 微分方程为 m1q 1 k1 k2 q1 k2 q2 0 m2 q 2 k2 q1 k2 k3 q2 0 图 5.4-1 写成矩阵形式为
0 q 0 来 度，它由给定的原坐标的初始条件q(0)=q0和 q 确定。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
由式(5.4-4)得
(5.4-8) 为了避免求逆矩阵的繁琐运算，可以在方程 (5.4-4)两边 同时左乘uTM，有
η t u1q t
uT Mq t uT Muη t
●前面已经阐述了方程的耦合不是系统本身固有的 属性，而是由坐标系的选择所决定的。
●借助于固有振型或正则振型进行坐标变换，就可 以找到使方程解耦的一组广义坐标，避免求解联立方程， 这就是振型叠加法的长处。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
解方程 (5.4-1)的特征值问题，求得系统的振型矩阵 u，取u为坐标变换矩阵，可以将方程(5.4-1)解耦。令 q t uξ t (5.4-2) 称(t)为固有坐标向量。 将式(5.4-2)代入方程(5.5-1)后，得 用uT左乘方程两边，得
2 r r
(5.4-6)
由此可见，由固有坐标和正则坐标表达的运动微分方程 (5.4-3) 和 (5.4-5) 在形式上与单自由度系统是一样的，所 以应有与无阻尼单自由度系统自由振动方程相类似的解， 即
r 0 r t r 0 cos r t sin r t (r 1,2,,n) (5.4-7) r r 0(r=1,2,…,n)为正则坐标的初始位移和初始速 式中r0和
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
由此得正则化振型为 1 0.459701 1 0.888074 1 2 u , u m 0.627963 m 0.325057 组成系统的振型矩阵u，有 取u为坐标变换矩阵，即
1 2 u22 u u 22
n
r
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
1
其中
1
u
1 T
0 Mq
T
2
1 1 0.459701 m 0 v0 0 0.627963 0 2 m 0.796226 k m m mv0 0.577350 k 1 2 T 0 u Mq
1 1 0.888074 m 0 v0 1.538188 k m m 0.325057 0 2m 0 mv0 0.577350 k
T
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
于是，得其响应为
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
其解为
正则坐标向量和原坐标向量的初始条件变换关系为
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
r T
(r 1, 2, , n)
r0 u
Mq0 ,
r T 0 (r 1,2,, n) r0 u Mq
求解公式的推导
若取正则振型矩阵u为坐标变换矩阵，有
q t uη t
(5.4-4)
称(t)为正则坐标向量。
同样将式 (5.4-4) 代入方程 (5.4-1) 后，并用正则振型 矩阵的转置uT左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程 为 t Λη t 0 η (5.4-5)
q t uη t
代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置 uT 左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 t Λη t 0 η
r t r2r t 0
r 1, 2, , n
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
u
r 1
r
(5.4-12) 上 式 表 达 了 系 统 对 初 始 位 移 向 量 q0 和 初 始 速 度 向 量 q 0 的响应，是由 n个简谐运动叠加而成。
r T 1 r T u Mq0 sin r t u Mq0 cos r t r
由此多自由度系统对于初始条件的一般响应为 q t uη t
r T 1 r T 0 sin r t u u Mq0 cos r t u Mq r r 1 根据初始条件q1(0)=q2(0)=0， q q 2 0 0 ，所以响 1 0 v0， 应为 2 r 1 r T 0 sin r t q t u u Mq r 1 r
mv0 1 0.459701 k q t 0.577350 sin 0.796226 t m m 0.627693 k mv0 1 0.888074 k 0.577350 sin1.538188 t m m 0.325057 k 0.265408 m k v0 sin 0.796226 t m 0.362555 k 0.512730 m k v0 sin1.53818 8 t m 0.187672 k
(5.4-9) 这里必须注意的是 u 为正则振型矩阵。这样正则坐标向 量的初始条件为
q t uη t
T
η t u Mq t
η0 uT Mq0 ,
0 uT Mq 0 η
(5.4-10)
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
r0初始速度可以表示为 所以正则坐标的初始位移r0和
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解初始条件响应的方法
●一般来说，式 (5.4-1) 是耦合 ( 弹性耦合或惯性耦 合 ) 方程，这样在给定 2n 个初始条件下，要求解联立方 程组。 ●显然理想的情况是把方程解耦，使每一个方程中 只有一个待求的坐标，方程之间无耦合，如同单自由度 系统一样，每个方程可以独立求解。
Mu
2
1.000000 0.366025 2 1.267949m 2 1
2 2
T
m 0 1.000000 0 2m 0.366025
0.888074 2 m
得到常数
0.459701 1 , m
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
t kuξ t 0 Muξ
由正交性得解耦的方程为
t uT kuξ t 0 uT Muξ
t K ξ t 0 Mr ξ r
(5.4-3)
式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对 角矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
Ku Mu
2
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
为了求出固有振型，把固有频率代入特征值问题，有 2k r2mu1r ku2r 0
r ku1 r 2k 2 r2 m u2 0 解得固有振型为 1 1.000000 2 1.000000 u , u 1.366025 0.366025 为了确定系统对初始条件的响应，还需把振型向量进行 正则化。为此，假定正则化振型向量具有如下形式
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
特征值问题为
特征方程为 2 2 k m k 2 2 4 2 2 2 m 6 km 3 k 0 2 k 2k 2 m 求得固有频率为
3 1 k k 1 1 0.796226 2 m 3m 3 1 k k 2 1 1.538188 2 m 3m
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
振型叠加法总结
振型叠加法： ●采用振型矩阵作为坐标变换矩阵； ●将原广义坐标下耦合的运动微分方程变换 为固有坐标或正则坐标表示的相互独立的运动微 分方程； ●广义坐标的响应是固有坐标或正则坐标表 示的各阶固有振型的线形组合； ●振型叠加法的理论基础为展开定理。