高中数学易错题
数学概念的理解不透
必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 2
1
【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-2
1
或a ≥2
1，所以选A.
【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口
向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120
a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.
必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)
x
x
-+11的奇偶性为____________________
【错解】偶函数.f(x)=
(x -===，所以
()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.
【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：
(1)(1)0101110
1x x x
x x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.
1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥
(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；
【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.
必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .
【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b
成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.
排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:
（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81
【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83
=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.
公式理解与记忆不准
（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则y
x
41+的最小值为___________.
【错解】 y x 4
1+8)2(1
4422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】
y
x 41+=945)(4≥++=+++y
x x
y y
y x x
y x
（8）函数y=sin 4x+cos 4x －4
3的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.
【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －4
3=1cos 44
x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2
π，增区间为….
【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －4
3
=11cos 4sin(4)4
4
2
x x π=+.相位为42
x π
+，初相为2π，周期为2
π，
单调递增区间为21[,]()42
k k k Z π
π-∈. 审题不严 （1）读题不清
必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1
()()12
x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是
【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12
x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当1
0,0()1,122
x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合
（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .
【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.
【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率1
2425
0.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+0
2525(10.01)C ⋅-.
（2）忽视隐含条件
必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）
不存在)D (18
)C (8
)B (4
49
)A (-
【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++2349
4().44
k =--选A.
【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++
2349
4().44
k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒
.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；
当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 2
4
=1, 求x 2+y 2的取值范围.
【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+3
28
， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2
的取值范围是(－∞, 283
].
【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+3
28 由于(x+2)2
+ y 2
4 =1 ⇒ (x+2)2
=1－ y 2
4
≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，
从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 28
3 ].（此题也可以利用三
角函数和的平方等于一进行求解）
必修一（13） 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=
11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=
1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.
【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=
111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪
-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩
所以解集为{2}.
字母意义含混不清
（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为5
4
，则两条渐近线的方程为（ ）
A.0916x y ±
= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043
x y
±= 【错解】选D.
22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222
222211x y y x a b b a
-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.
4.运算错误
（1）数字与代数式运算出错
若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ
，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.
【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r
.
【正确解析】
(5,72)
a b λλλ+=--+r r
，（
b
a ρρλ+）
19()052(72)05
b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r
必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和
2
l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________
【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到
1
2
k
=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.
【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线
1
l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），
11
,
62
k k
=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.
（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错
必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQ
OP⋅的值为.
【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22
(1)650
m x x
+-+=，令1122
(,),(,)
P x y Q x y，则1212
22
65
,
11
x x x x
m m
+=⋅=
++
，则2
2
12122
5
1
m
y y m x x
m
==
+
，由于向量OP
uuu r
与向量OQ
uuu r
共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以
2
121222
55
5
11
m
OP OQ OP OQ x x y y
m m
⋅=⋅=+=+=
++
u u u r u u u r
.
【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222
325
OP OQ OT
⋅==-=.
（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错
曲线x2－1
2
2
=
y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=
AB，则这样的直线有___________条.
【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各
一条（关于x 轴对称），所以共4条.
【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为2222
41
b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨
（1）数学公式或结论的条件不充分
24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y
++的最小值为 .
【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y
++≥4,所以z 的最小值是4.
【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，
所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y x
xy xy x y
+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++
=+-，令t=xy, 则210(
)24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值33
4
.
（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况
必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________
解析：（1）【错解】1[,)2
+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以
1
[,)2
x ∈+∞
【正确解析】}1{),2
1[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为
1
[,){1}2
x ∈+∞⋃-.
必修一(2)函数y =
的定义域为 .
(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x
+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.
【正解】(1)(1)0(1)(1)0
10111011x x x x x x x x x
+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨
⎨-≠≠-⎩⎩
（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a
【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，
1
1
1
1(21)(2
1)22
2
n
n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13
(1)2(2)
n n n a n -⎧=⎪=⎨
≥⎪⎩
.
选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
1
2=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 2
12=联立，消去y ， 得 ).0(01)2
12(22≥=-+--x a x a x ①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.
01021
202a a ， 解之得.817=a
【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有
两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩
⎨⎧<->∆.010
2a 解之，得.11<<-a
因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
1
2=有两个公共点.
(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .
【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)
1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得
--q q q
1q 2
4
q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 3
3
3
3
6
=-
=∴=-+∴=--≠或得方程由.
【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，
故1≠q .
又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)
1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01
q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(3
3
=-+q q 因为1≠q ，所以,013
≠-q 所以.0123
=+q 解得 .2
4
3
-
=q
空间识图不准
必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与
l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .
【错解】如右图.由最小角定理，
12221cos cos cos 23
BAC BAC πθθ∠=⋅=
⨯=⇒∠=. 【正确解析】3
π或23
π.如下图.当6
CAF π∠=时，由最小角定理，
时，
12221cos cos cos 2223
BAC BAC π
θθ∠=⋅=
⨯=⇒∠=；
当AC 在另一边DA 位置
23
BAC π
∠=
.
高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
高一数学必修一易错点高一数学易错题 高一数学必修一易错点(一) 1.元素的三性(确定,互异,无序);已知集合A={某,某y,lg某y},集合B={0,|某|,y},且A=B,则某+y= 2.集合代表元素已知集合M={y|y=某2,某∈R},N={y|y=某2+1,某 ∈R},求M∩N;与集合M={(某,y)|y=某2,某∈R},N={(某,y)|y=某2+1,某∈R}求M∩N的区别。 3.求集合的子集时是否忘记. 4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如满足条件的集合M共有多少个 5.韦恩图的应用;某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法 6.两集合之间的关系。 7.摩根定律(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B);; 8.你对映射的概念了解了吗映射f：A→B中，A中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射A中有m个元素B中有n个元素，f：A→B的映射有多少个 9.函数的几个重要性质： ①如果函数对于一切，都有或f(2a-某)=f(某)，那么函数的图象关于直线对称.
②函数与函数的图象关于直线对称; 函数与函数的图象关于直线对称; 函数与函数的图象关于坐标原点对称. 高一数学必修一易错点(二) 1、函数的图象的平移、及沿向量平移公式易混： ①函数的图象的平移为“左+右-,上+下-”;②按向量平移得 ⑤函数的图象是把函数的图象沿某轴向左平移a个单位得到的;函数(的图象是把函数的图象沿某轴向右平移个单位得到的; 函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下平移个单位得到的. 2、求函数的定义域的常见类型记住了吗函数y=的定义域是; 复合函数的定义域，函数的定义域是[0,1],求的定义域.函数的定义域是[],求函数的定义域 3、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数y=ain2某+2co 某-a-2(a∈R)的最小值为m,求m的表达11. 12.用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性. 4、判断函数的奇偶性时注意定义域是否关于原点对称。在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 5、根据定义证明函数的单调性时，规范格式(取值,作差,判正负.)
高中数学错题集 1、“直线ax+y +1=0和直线4x+ay -2=0”平行的充要条件为”a = “.2 2、.已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0,-2),B(-3,2)是其图像上的两点，那么不等式|f(x -2)|>2的解集为 . 请将错误的一个改正为 . 3、已知正数x,y 满足x+ty =1，其中t 是给定的正实数，若1/x +1/y 的最小值为16，则实数t 的值为 . 4、已知,,x y z R + ∈，230x y z -+=，则2 y xz 的最小值 ．3 4、若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 。（5，7）. 5、已知正数x,y 满足4x-y=xy 则,x-y 的做小值为 . 6、偶函数f(x)在[0，+∞]上是增函数，若f(ax+1)>f(x-3)在[1,2]上恒成立，则实数的取值范围为 .(a>1ora<-3) 7、若数列{a n }的通项公式⋅⋅2n-2 n-1n 22 a =5() -4()5 5 ，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为 第y 项，则x+y=_______________. 12. 3 8、已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量, 且1=⋅=⋅b c a c 2=,则对0>t a t ++ 的最小值是 。9、定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 10． 154 函数f(x)=sin(ωx+π/3)（ω>0）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的取值范围是 . 10.设D 、P 为△ABC 内的两点，且满足,5 1 ),(41+=+= 则ABC APD S S ∆∆= .0.1 11、设D 为ABC ∆的边AB 上的点，P 为ABC ∆内一点，且满足 52,43+== ，则=∆∆ABC APD S S ．103
高中数学易错题集 函数错题集 1． 方程组11 x y x y +=??-=-?的解集是___________ [错解一]{}0,1x y ==或{0,1}[错解二](){,01}x y x ory == [错解分析]用列举法把答案写成{}0,1x y ==或{0,1}，既不是列举法也不是描述法，也就是不符合集合表示法的基本模式，而集合{0,1}(){0,1}≠．或用描述法把集合写成(){,01}x y x ory ==也是不正确的．这个集合的元素有无限多个，它表示这样的点()0,y 或(),1x [正解](){0,1} 2． "23""5"x y x y ≠≠+≠且是的____________条件 [错解]充分但不必要条件 [错解分析]未能搞清原命题与逆否命题的等价关系 [正解]既不充分也不必要条件 3．在R 内，下列对应是否是一对一映射？若是，说明之，若不是，能否对x 或k 加以限制，使之成为一一映射？（1）x y kx →= （2）x y x →= [错解]上述对应皆为一对一映射[错解分析]概念不清，考虑问题不严谨 [正解]（1）0k =时，不是一对一映射，0k ≠时，是一对一映射 （2）不是一对一映射，当0(0)x x ≥≤或时，是一对一映射 4．若函数2 2 2(3)lg 4x f x x -=-，则()f x 的定义域为 [错解]{}22x x orx ><-[错解分析]()f x 与()23f x -是两个不同的函数，有不同的定义域和对应法则 [正解]{} 1x x > 5．函数()(f x x =-的奇偶性是 ______ [错解]()f x 为偶函数[错解分析]没有考虑定义域且变形是出现了错误[正解] ()f x 为非奇非偶函数 6．函数2(1)y x x =≤-的反函数是________________ [错解]0)y x =≥[错解分析]一是符合错误，二是定义域未从原函数值域去确定[正解]1)y x =≥ ７．当[]0,2x ∈时，函数2()4(1)3f x ax a =+--在2x =时取最大值，则实数a 的取值范围是 ______________
高中数学易错题 数学概念的理解不透 必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 2 1 【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-2 1 或a ≥2 1，所以选A. 【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口 向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120 a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩. 必修一（2）判断函数f(x)=(x －1) x x -+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)= (x -===，所以 ()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数. 【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为： (1)(1)0101110 1x x x x x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数. 1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥ (C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；
1、设集合 M={x|x2-x＜0},N={x||x|＜2}，则…（） A.M∩N= B.M∩N=M C.M∪N=M D.M∪N=R 参考答案与解析:解：M={x|0＜J＜1}，N={x|-2＜x＜2}，MN． ∴M∩N=M，M∪N=N． 答案：B 主要考察知识点:集合 2、下列四个集合中,是空集的是( ) A. {x|x+3=3} B. {(x, y)| y2=-x2, x、y∈R} C. {x|x2≤0} D. {x|x2-x+1=0} 参考答案与解析:解析：空集指不含任何元素的集合. 答案:D 3、下列说法：①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③任何集合最少有两个不同子集;④{x|x2+1=0,x∈R}；⑤{3n-1|n∈Z}={3n+2|n∈Z}.其中说确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 参考答案与解析:解析：空集、子集、真子集是本题考查的重点,要明确空集是除了它自身之外的任何一个集合的真子集,当然是任何集合的子集.根据集合的含义、性质和运算法则逐一判断真假. 空集也有子集，是它本身，所以①不正确；空集不是它自身的真子集，所以②也是不正确的；空集就只有一个子集，所以③也是不正确的；因为空集是任何集合的子集，所以④是正确的；设A={3n-1|n∈Z}，B={3n+2|n∈Z}，则
A={3n-1|n∈Z}={3(k+1)-1|(k+1)∈Z}={3k+2|k∈Z}=B={3n+2|n∈Z}，所以⑤也是正确的.因此，选C. 答案：C 主要考察知识点:集合 4、函数f(x)=-1的定义域是( ) A.x≤1或x≥-3 B.(-∞,1)∪［-3,+∞） C.-3≤x≤1 D.［-3,1］ 参考答案与解析:思路解析:考查函数的定义域.由1-x≥0,x+3≥0可知,-3≤x≤1,所以原函数的定义域为［-3,1］,故选D. 答案:D 主要考察知识点:函数 5、下列各组函数中，表示同一个函数的是（） A.y=x-1和y= B.y=x0和y=1 C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D.f(x)=和g(x)= 参考答案与解析:解析：A中两函数定义域不同；B中y=x0=1(x≠0)与y=1的定义域不同；C 中两函数的对应关系不同；D中f(x)==1(x＞0),g(x)==1(x＞0).∴D正确. 答案：D 主要考察知识点:函数 6、函数f(x)=若f(x)=3,则x的值是（） A.1 B.± C.,1 D. 参考答案与解析:解析：若x+2=3,则x=1(-∞,-1),应舍去. 若x2=3,则x=±,∵-(-1,2),应舍去. 若2x=3,∴x=［2,+∞）,应舍去.
高一数学知识点大全易错题数学是一门需要掌握基础知识并运用逻辑思维的学科，而在高一阶段，学生们会接触到更多的数学知识点。然而，由于新知识的涌入以及知识点的复杂性，易错题也相应增多。以下是一些高一数学知识点大全易错题的总结，希望能帮助同学们更好地理解和记忆这些知识。 1. 二次函数 易错点：判断开口方向和对称轴位置 例题：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 5)，并且在x轴上的截距为4。求函数的解析式。 解析：由于已知函数的图像经过点(1, 5)，代入得到一个方程：a + b + c = 5。又因为函数在x轴上的截距为4，所以另一个方程为c = 4。将c代入前一个方程得到 a + b = 1。 因此，我们可以得到方程组：a + b = 1，a + b + c = 5，c = 4。 解该方程组，得到a = -2，b = 3，c = 4。
所以，函数的解析式为y = -2x^2 + 3x + 4。 2. 概率 易错点：计算概率时的漏算或重算 例题：一个袋子里有8个红球和4个蓝球。从袋子中先后取两 个球，不放回，求取出的两球颜色相同的概率。 解析：首先计算取出两个红球的概率。第一次取到红球的概率 为8/12，第二次取到红球的概率为7/11。因为两个事件是独立的，所以将两个概率相乘，得到取出两个红球的概率为(8/12) * (7/11) = 14/33。 同理，计算取出两个蓝球的概率为(4/12) * (3/11) = 1/11。 所以，取出的两球颜色相同的概率为14/33 + 1/11 = 17/33。 3. 平面向量
易错点：向量的方向和数量运算的错误 例题：已知向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 4)，求向量a和向量b 的数量积和向量积。 解析：首先计算向量的数量积。数量积计算公式为a·b = |a| * |b| * cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示两个向 量的夹角。 计算|a| = √(2^2 + (-3)^2) = √13，|b| = √((-1)^2 + 4^2) = √17。 因为a·b = |a| * |b| * cosθ，所以a·b = √13 * √17 * cosθ。 然后计算向量的向量积。向量积计算公式为a x b = |a| * |b| * sinθ * n，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示两个向量的夹角，n表示两个向量所确定的法向量。 计算a x b = √13 * √17 * sinθ * n。
高中数学易错题集 函数错题集 1． 方程组1 1 x y x y +=⎧⎨ -=-⎩的解集是___________ [错解一]{}0,1x y ==或{0,1}[错解二](){,01}x y x ory == [错解分析]用列举法把答案写成{}0,1x y ==或{0,1}，既不是列举法也不是描述法，也就是不符合集合表示法的基本模式，而集合{0,1}(){0,1}≠．或用描述法把集合写成(){,01}x y x ory ==也是不正确的．这个集合的元素有无限多个，它表示这样的点()0,y 或(),1x [正解](){0,1} 2． "23""5"x y x y ≠≠+≠且是的____________条件 [错解]充分但不必要条件 [错解分析]未能搞清原命题与逆否命题的等价关系 [正解]既不充分也不必要条件 3．在R 内，下列对应是否是一对一映射？若是，说明之，若不是，能否对x 或k 加以限制，使之成为一一映射？（1）x y kx →= （2）x y x →= [错解]上述对应皆为一对一映射[错解分析]概念不清，考虑问题不严谨 [正解]（1）0k =时，不是一对一映射，0k ≠时，是一对一映射 （2）不是一对一映射，当0(0)x x ≥≤或时，是一对一映射 4．若函数2 2 2(3)lg 4 x f x x -=-，则()f x 的定义域为 [错解]{}22x x orx ><-[错解分析]()f x 与() 2 3f x -是两个不同的函数，有不同的定义域和对应法则 [正解]{} 1x x > 5．函数()(f x x =-的奇偶性是 ______ [错解]()f x 为偶函数[错解分析]没有考虑定义域且变形是出现了错误[正解] ()f x 为非奇非偶函数 6．函数2 (1)y x x =≤-的反函数是________________ [错解]0)y x = ≥[错解分析]一是符合错误，二是定义域未从原函数值域去确定[正解]1)y x =≥ ７．当[]0,2x ∈时，函数2 ()4(1)3f x ax a =+--在2x =时取最大值，则实数a 的取值范围是 ______________
高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{} {}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 2 1． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈ A ，1≠a 且1∉A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1 ∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
高中数学易错题100道 数学是一门需要逻辑思维和严密推理的学科，对于很多学生来说，高中数学是一门难以逾越的学科。在学习过程中，我们常常会遇到一些易错题，这些题目看似简单，但却容易让我们犯错。下面是100道高中数学易错题，希望能帮助大家更好地理解和掌握数学知识。 1. 2的平方根是多少？ 2. 一个等边三角形的内角是多少？ 3. 一个圆的直径是5cm，那么它的半径是多少？ 4. 一个矩形的长是3cm，宽是4cm，那么它的面积是多少？ 5. 一个正方形的边长是2cm，那么它的面积是多少？ 6. 一个长方体的长是3cm，宽是4cm，高是5cm，那么它的体积是多少？ 7. 一个圆的半径是3cm，那么它的周长是多少？ 8. 一个圆的半径是3cm，那么它的面积是多少？ 9. 一个圆的直径是6cm，那么它的周长是多少？ 10. 一个圆的直径是6cm，那么它的面积是多少？ 11. 一个等边三角形的外角是多少？ 12. 一个正方形的对角线长是多少？
13. 一个长方形的对角线长是多少？ 14. 一个长方体的表面积是多少？ 15. 一个圆的周长是多少？ 16. 一个圆的面积是多少？ 17. 一个圆的直径是4cm，那么它的半径是多少？ 18. 一个圆的半径是4cm，那么它的直径是多少？ 19. 一个圆的周长是12cm，那么它的半径是多少？ 20. 一个圆的面积是12cm²，那么它的半径是多少？ 21. 一个圆的面积是12cm²，那么它的直径是多少？ 22. 一个圆的周长是12cm，那么它的直径是多少？ 23. 一个圆的周长是12cm，那么它的面积是多少？ 24. 一个圆的半径是12cm，那么它的周长是多少？ 25. 一个圆的半径是12cm，那么它的面积是多少？ 26. 一个圆的直径是12cm，那么它的周长是多少？ 27. 一个圆的直径是12cm，那么它的面积是多少？ 28. 一个正方形的面积是16cm²，那么它的边长是多少？ 29. 一个长方形的面积是16cm²，长是4cm，那么它的宽是多少？
高考数学易做易错题示例 一、集合与简易逻辑部分 1．已知集合A=｛x x2+(p+2)x+1=0, p∈R｝,若A∩R+= 。则实数P的取值范围为。 2．已知集合A={x| －2≤x≤7 }, B={x|m+1＜x＜2m－1｝，若A∪B=A，则函数m的取值范围是_________________。 A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4 C．2＜m＜4 D．m≤4 3．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题是（） A．与原命题真值相异 B．与原命题的否命题真值相异C．与原命题的逆否命题的真值不同 D．与原命题真值相同 二、函数部分 4．函数y= 的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是_____________ 5．判断函数f(x)=(x－1) 的奇偶性为____________________ 6．设函数f(x)= ,函数y=g(x)的图象与函数y=f－1(x+1)的图象关于直线y=x对称，则g （3）=_____________ 7. 方程log 2(9 x－1－5)－log 2 (3 x－1－2)－2=0的解集为___________________- 三、数列部分 8．x= 是a、x、b成等比数列的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 9．已知数列｛a n ｝的前n项和S n =a n－1(a ),则数列｛a n ｝_______________ A.一定是A·P B.一定是G·P C.或者是A·P或者是G·P D.既非等差数列又非等比数列 10．A·P｛a n ｝中, a 1 =25, S 17 =S 9 ,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为____ ___。 四、三角函数部分 11．设 =tan 成立，则的取值范围是_______________ 12.函数y=sin4x+cos4x－的相位____________，初相为__________ 。周期为_________，单调递增区间为____________。 13．函数f(x)= 的值域为______________。 14．若2sin2α的取值范围是______________ 15.已知函数f (x) =2cos( )－5的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值是_______
必修2易错填空题集锦 2011-10-26 1. 下列四个命题： ① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； ② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线； ③ 平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变； ④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。 其中错误的说法有 ①、② 、④。 2. 有下列四个命题： ① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面平行； ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。 其中正确的命题是 ②、③ 。（写出所有正确命题的序号） 3. 以下四个命题： ① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等； ② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行，则α//β； ③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β； ④ α、β为两斜相交平面，面α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直. 其中正确命题的序号是 ④ 4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是： ①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。 上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。（写出所有正确结论的序号） 5. 直线,l m 与平面,αβ满足,l m αβ⊥⊂，有下列命题： ①//l m αβ⇒⊥ ；②//;l m αβ⊥⇒； ③//.l m αβ⇒⊥ 其中正确的命题是 ① ③ 。（写出所有正确命题的序号） 6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： （1）若,//n m n αβ=，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥； （4）若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥ 其中所有正确命题的序号是 （2）（4） 7. 已知直线a 、b 、c ，平面α、β、γ，并给出以下命题： ①若α∥β，β∥γ，则α∥γ， ②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ， ③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ； ④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ． 其中正确的命题有 . ①②④ 8. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。 其中正确命题的序号是 ②④
第一章 空间向量与立体几何 易错点一：空间向量的加减运算 1．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量 D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（ ） A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内 C ．在平面11BA D 内 D ．在平面11AB C 内 3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式 中:①AB CB AC -=;②''''AC AB B C CC =++;③''AA CC =;④'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____. 易错点二：空间向量的数量积 1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒ ∠=∠=∠=︒则1BD =（ ） A ．31- B ．21- C ．32- D ．32- 2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1 cos ,6 EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 3．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()() a c b c -⋅-的最小值为__________． 易错点三：用空间基底表示向量 1．在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析 高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析 第一部分高考函数考点易错题 【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1．设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。 【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论． （2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。 【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例2、已知,求的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
集合部分错题库 1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)} 3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a 2 }，若A B ，则实数a 的范围为 A.［6，+∞) B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0 高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011•江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________． 9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是 第一章 集合与常用逻辑用语典型易错题集 易错点1．忽视（漏）空集致错 【典型例题1】（2021·全国高一课时练习）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}121B x a x a =-≤≤-，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．01a ≤≤ D ．01a << 【错解C 】 要使B A ⊆， 则需满足11,211, a a -≥-⎧⎨-≤⎩解得01a ≤≤． 点评：本题错误原因在于忽视了B =∅的情况，导致漏解，∅是任何集合的子集，考试在解题时常常忽略了∅ 【正解A 】 若B =∅，即211a a -<-，即0a <时，满足B A ⊆； 若B ≠∅，即121a a -≤-，亦即0a ≥时， 要使B A ⊆， 则需满足11, 211,a a -≥-⎧⎨-≤⎩解得01a ≤≤． 综上所述，1a ≤． 故选：A ． 易错点2．忽视最高项系数为0时。 【典型例题2】（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知集合{} 2 60M x x x =+-=，{}10N x mx =-=， 若N M ⊆，则实数m 的取值构成的集合为___________. 【错解1 2 m =或13m =-】 ∵集合{} 2 60M x x x =+-=， ∴集合{}2,3M =-， ∵N M ⊆，{}10N x mx =-=， ∵{}10N x mx =-=， ∴12x m ==，∴12 m =； 13x m = =-，∴13 m =-； 所以1 2 m =或13m =- 点评：本题忽略了10mx -=，当0m =时，N =∅，此时N M ⊆符合题意，考生很容易忽视最高项系数为0的情况。 【正解】110,,23⎧⎫ -⎨⎬⎩⎭ 【详解】 ∵集合{} 2 60M x x x =+-=， ∴集合{}2,3M =-， ∵N M ⊆，{}10N x mx =-=， ∴N =∅，或{}2N =，或{}3N =-三种情况， 当N =∅时，可得0m =； 当{}2N =时，∵{}10N x mx =-=，∴12x m ==，∴1 2 m =； 当{}3N =-，13x m = =-，∴13 m =-； ∴实数m 的取值构成的集合为110,,23⎧⎫ -⎨⎬⎩⎭， 故答案为：110,,23⎧⎫ -⎨⎬⎩⎭ 易错点3．忽视集合元素的互异性 【典型例题3】（2021·浙江高一月考）已知集合(){ } 2 2 2,133A a a a a =++++,，若1A ∈，则实数a 的取值 集合为（ ） A ．{}1,0,2-- B ．{}0,2- C ．{}1- D ．{}0 【错解A 】 ①若21a +=，即1a =-时 ②若()2 11a +=，即0a =或2a =-时， ③若2331a a ++=，即1a =-或2a =-时， 所以：1a =-或者0a =或者2a =- 点评：集合元素的互异性是集合的特征之一，考生容易忽视集合元素互异性导致错解。 【正解】D 【详解】 ①若21a +=，即1a =-时，()2 10a +=，2331a a ++=，即2233a a a +=++，不符合集合元素互异性， 高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知A = {x | x > 0}, B = {y y > 1}，求A B 。 错解：A B =Φ 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B =B 【问题】2: 已知A = {y | y =x + 2}, B = {(x, y) | x 2 +y 2 = 4} ，求A B 。 错解： A B = {(0, 2), (-2, 0)} 正确答案：A B =Φ 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视 集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知A = {x | 2a (完整版)高中数学易错题(含答案)
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