一、选择题
1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]
2.12=，若函数
()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知函数()2,1
25,1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()
12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a < C ．2a > D ．R
3．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设
()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q
中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16-
B ．16
C ．8a
D ．816a -
4．对二次函数()2
f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值
D ．点()2,8在()f x 的图象上
5．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]4,-+∞
B ．9,4⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
C ．9,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,4
6．已知定义在R 上的函数()2||
·
x f x x e =， (a f log =， 312b f log ⎛
=⎫ ⎪⎝⎭
，()ln3c f = ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c a b >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
7．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数
{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12
x =
有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果
()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ）
A ．](
2-∞，
B ．[)2，+∞
C ．[]24-，
D ．[]1
4， 9．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有
()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣
⎦成立，若()()22
11f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]- C ．(,1)(2,)
-∞-+∞
D ．(,1][2,)-∞-+∞
11．函数sin sin 12
2x
x
y =+
的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．函数()()2
212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3a ≤-
B ．3a ≥-
C ．5a ≥
D ．3a ≥
二、填空题
13．函数()2
f x x a =- 在区间[]1,1-上的最大值()M a 的最小值是__________．
14．已知二次函数()()2
2,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间[]
0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________
15．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________. 16．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2
x
g x f f x =+-的定义域是________.
17．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；
②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；
③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数． 期中正确命题的序号是___________．
18．若函数()log (3)4,1(43)41,1a x x f x a x a x ++≥-⎧=⎨-+-<-⎩
且满足对任意的实数m n ≠都有
()()
0f m f n m n
-<-成立，则实数a 的取值范围____．
19．已知函数()2
()10f x x ax a =++>，若“()f x 的值域为[)0,+∞”为真命题，则
()3f =________.
20．已知函数22, 1
()+1, 1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩
，若()f x 在定义域上不是单调函数，则实数a 的取
值范围是_______．
三、解答题
21．已知二次函数()2
(f x ax bx c a R =++∈且2a >-），(1)1f =，且对任意的
x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，且方程()42f x x =-有唯一实数解.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）是否存在区间[],()m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ？若存在，请求出区间[],m n ，若不存在，请说明理由. 22．已知函数()2()01
ax
f x a x =
≠+. （1）判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若2a =，函数满足44
()55
f x -
≤≤，求x 的取值范围. 23．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.
（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ； 24．已知函数()2
22f x x ax =++，[]5,5x ∈-．
（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值．
25．已知函数()0k
y x k x
=+>在区间(单调递减，在区间)
+∞单调递增．
（1）求函数2
y x x
=+
在区间(),0-∞的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数()()213
1
x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成
立，求实数a 的取值范围．
26．已知二次函数2()1(,)f x ax bx a b R =++∈，x ∈R .
（1）若函数()f x 的最小值为(1)0f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据[]
x 表示不超过x 的最大整数，分5种情况讨论，分别求出[]x 和[2]x 的值，即可以计算()3[][2]f x x x =-的函数值，相加即可得答案． 【详解】
因为[]
x 表示不超过x 的最大整数，所以： 当1
02
x <时，有021x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]0x =，此时()0f x =， 当
1
12
x <时，有122x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]1x =，此时()1f x =-， 当3
12
x <时，有223x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]2x =，此时()1f x =， 当
3
22
x <时，有324x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]3x =，此时()0f x =， 当2x =时，24=x ，则[]2x =，则3[]6x =，[2]4x =，此时()2f x =， 函数()f x 在区间[0，2]上所有可能取值的和为011022-+++=； 故选：B ．
【点睛】
结论点睛：分类讨论思想的常见类型
（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； （2）问题中的条件是分类给出的；
（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
2．A
解析：A 【分析】
首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =
，分别在12
a <和12a
≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】
当1x ≤时，()2
f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2
a
x =
的二次函数， ①当
12a
<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a
≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图
所示：
即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.
3．A
解析：A 【分析】
根据()()22
()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由
()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到
max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.
【详解】
因为函数2
2
()2(2)f x x a x a =-++，2
3
()2(2)8g x x a x a =-+--+， 所以()()2
2
()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+， 如图所示：
当2x a =+时，()()44f x g x a ==--， 当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+， 因为max ()412g x a =-+，
所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+， 因为min ()44f x a =--，
所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--， 所以44,412A a B a =--=-+， 所以16A B -=-， 故选：A 【点睛】
方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．
4．A
解析：A 【分析】
可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】
①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得2
12434428
b a a
c b
a
a b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨
⎪++=⎪⎪⎩
，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，
3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得2
0434428
a b c ac b a a b c -+=⎧⎪
-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得012428
a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩
，不合乎题意；
④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
可得2
012434a b c b a ac b a
⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得34
3294a b c ⎧=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩，不合乎题意. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.
5．B
解析：B 【分析】
结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】
因为函数()()()
2
1f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1
x =对称，
所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以
()()()22223f x x x x x =---，令()2
22111t x x x =-=--≥-，则
()()
2
2
3933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭
. 故选：B 【点睛】
关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：
（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.
6．A
解析：A 【分析】
可看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，且得出3(log 2)b f =
，并且可得出33ln 3log log 2>，根据增函数的定义即可得出a ，b ，c 的大小关系．
【详解】
0x >时，2()x f x x e =是增函数，且()()f x f x -=，
33(log 2)(log 2)b f f ∴=-=，
33330log 1log 2log log 31=<<<=，ln3ln 1e >=，
∴
33ln 3log log 2>>， ∴
33(ln 3)(log (log 2)f f f >>，
c a b ∴>>． 故选：A ． 【点睛】
解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也
可以两种方法综合应用.
7．B
解析：B 【分析】
根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]
x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】
①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，
，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]1
2x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52
=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不
是增函数，故错误； ④
函数{}x 的定义域是R ,而{}[]
{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误；
综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】
本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．
8．C
解析：C 【分析】
根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得
(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．
【详解】
函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，
由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】
将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
9．B
解析：B 【分析】
这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】
对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;
关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;
关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．
10．A
解析：A 【分析】
由函数的单调性列x 的不等式求解即可. 【详解】
由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在R 上为增函数，
由(
)(
)
2
2
11f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，
故22
min 1(1)m m x --<+，即211m m --<解得12m -<<.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题
11．D
解析：D 【解析】 因为()sin()
sin sin()
sin 11()222
2
x x x x
f x y f x ---=+
==
+=，
所以函数sin sin 122x
x
y =+
是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；
又sin
2
sin
2
1
15()2
22
222
f π
π
π
=+=+=，排除C ，
综上，函数sin sin 12
2x
x
y =+大致的图象应为D 项，故选D.
12．A
解析：A 【分析】
分析函数()()2
212f x x a x =+--的图象和性质，结合已知可得41a ≤-，解得答案.
【详解】
函数()()2
212f x x a x =+--的图象是开口朝上，且以直线1x a =-为对称轴的抛物
线，若函数()()2
212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，
41a ∴≤-, 解得: 3a ≤-， 故选：A 【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.
二、填空题
13．【分析】由题意函数为偶函数分和去掉绝对值然后根据单调性求出最大值再根据单调性求出的最小值【详解】解：由题意函数为偶函数①当时在上单调递增则；②当时当即时在上单调递减则；当即时在上单调递减在上单调递增 解析：
12
【分析】
由题意，函数()2
f x x a =-为偶函数，分0a ≤和0a >去掉绝对值，然后根据单调性求
出最大值()M a ，再根据单调性求出()M a 的最小值． 【详解】
解：由题意，函数()2
f x x a =-为偶函数，
①当0a ≤时，()2
f x x a =-，()f x 在[]0,1上单调递增，
则()()()111M a f f a ==-=-；
②当0a >时，(
)22
,,x a x x f x a x x ⎧-≤≥⎪=⎨-<<⎪⎩或
1即1a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减，则()()0M a f a ==；
1<即01a <<时，()f x
在⎡⎣
上单调递减，在⎤⎦上单调递增，
∵()0f a =，()11f a =-， 由1a a 得
1
12
a <<，此时()M a a =； 由1a a ≤-得1
02
a <≤
，此时()1M a a =-； ∴()11,2
1,2a a M a a a ⎧
-≤⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
，
∴()min 11
22
M a M ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12
． 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，本题的关键在于分类讨论去掉绝对值，然后再根据单调性求出最值，属于中档题．
14．【分析】求出函数的对称轴通过讨论的范围求出函数的单调区间求出的最小值即可【详解】由题意二次函数其对称轴为当即时在区间上为增函数当即时在区间上为减函数当即时在区间上为减函数在区间上为增函数；当即时在区 解析：2
【分析】
求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】
由题意，二次函数()2
22
2248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝
⎭，其对称轴为4a x =-， 当04
a
-
≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数， ∴()228M f a b ==++，()0m f b ==， ∴288M m a -=+≥，
当24
a
-
≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数， ∴()0M f b ==，()282m f a b ==++， ∴828M m a -=--≥，
当014a <-
≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上
为增函数，
∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，∴()21828M m a -=+≥；
当124a <-
<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上为增函数，
∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，∴2
28a M m -=>.
综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．
15．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力
解析：18 【分析】
根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】
因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】
本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.
16．【分析】根据题意得到函数满足即可求解【详解】由题意函数的定义域为则函数满足即解得即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象
函数的定义域的求解其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的 解析：()0,2
【分析】
根据题意，得到函数()g x 满足11
2
111
x x ⎧
-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即可求解. 【详解】
由题意，函数()f x 的定义域为(1,1)-，
则函数()()(1)2x
g x f f x =+-满足112
111
x x ⎧
-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即2202x x -<<⎧⎨<<⎩，解得02x <<， 即函数()g x 的定义域为()0,2. 故答案为：()0,2. 【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
17．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③
解析：②③ 【分析】
结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】
命题①：对于函数4
()f x x =()R x ∈，设()4400f x x a ==，则0x a =±，由a 与a -可能相等，也可能互为相反数，即4
()f x x =不是单函数，故①错误；
命题②：假设12()()f x f x =，因为函数()f x 为单函数，所以12x x =，与已知12x x ≠矛盾，故12()()f x f x ≠，即命题②正确；
命题③：若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，()b f a =，假设不只有一个原象与其对应，设为12,,
a a ，则()()12f a f a ==
，根据单函数定义，可得12a a ==
，
又因为原象中元素不重复，故函数:f A B →至多有一个原象，即命题③正确； 命题④：函数()f x 在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的12,x x ，使得12()()f x f x =，不符合单函数的定义，故命题④错误. 综上可知，真命题为②③. 故答案为②③．
【点睛】
关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
18．【分析】根据对任意实数都有成立得出在R 上单调递减从而得出解出a 的范围即可【详解】函数对任意的实数都有成立得在R 上单调递减∴故答案为：【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减利用分段
解析：
324
a ≤<. 【分析】
根据对任意实数m n ≠，都有
()()
0f m f n m n
-<-成立，得出()f x 在R 上单调递减，从而
得出()()()4300143141log 134
a a a a a ⎧-<⎪
<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩
，解出a 的范围即可．
【详解】
函数()f x 对任意的实数m n ≠，都有
()()
0f m f n m n
-<-成立，得()f x 在R 上单调递减，
∴()()()43001
43141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++
⎩3430142a a a a ⎧<⎪⎪⎪
⇒<<⇒≤<⎨⎪
⎪≥⎪⎩
.
故答案为：3
24
a ≤<. 【点睛】
关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减，利用分段函数的单调性求解.
19．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键
解析：16 【分析】
二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到240a ∆=-=求得a 值得解 【详解】
因为()2
()10f x x ax a =++>的值域为[0,)+∞，所以240a ∆=-=，
则2a =±.又0a >，所以2,a =.
22()21,(3)323116f x x x f ∴=++∴=+⨯+=
故答案为：16 【点睛】
二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到0∆=是解题关键.
20．【分析】结合二次函数的图象与性质按照分类再由分段函数的单调性即可得解【详解】因为函数的图象开口朝下对称轴为且所以当时函数在上不单调符合题意；当时函数在上均单调递增若要使在定义域上不是单调函数则解得故 解析：(),1(2,)-∞+∞
【分析】
结合二次函数的图象与性质，按照1a <、1a ≥分类，再由分段函数的单调性即可得解. 【详解】
因为函数2
2y x ax =-+的图象开口朝下，对称轴为x a =，且
22,?1()+1,?
1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，
所以当1a <时，函数()f x 在(],1-∞上不单调，符合题意； 当1a ≥时，函数()f x 在(],1-∞，()1,+∞上均单调递增， 若要使()f x 在定义域上不是单调函数，
则2121a a -+>+，解得2a >，故2a >符合题意； 综上，实数a 的取值范围是(),1(,)2-∞⋃+∞. 故答案为：(),1(,)2-∞⋃+∞. 【点睛】
解决本题的关键是将分段函数不单调转化为两种情况，分类求解.
三、解答题
21．（1）()2
2f x x x =-+；（2）()12-∞，
；（3）存在，所求区间为：[]4,0-. 【分析】
（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；
（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数k 的取值范围； （3）对于存在性问题，可先假设存在区间[],m n ，再利用二次函数的单调性，求出m 、n 的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在. 【详解】
（1）对于()2
f x ax bx c =++，
由(1)1f =得到：0a b c ++=①；
∵对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，取x =3，得：(2)(0)f f = 即42=a b c c ++②
又方程()42f x x =-有唯一实数解，得：
()()2
=2440b a c ∆+--=③
①②③联立，解得：1,2,0a b c =-==（其中25
9
a =-舍去） 所以()2
2f x x x =-+.
（2）不等式不等式()2160f x kx k +--<可化为：不等式()2
2216k x x x -<-+
∴当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，
∴26()2161=22,21,2
0x x k x x x x -+<-++--∈+∞
记()16
22,2
(10,)g x x x x -+
+=∈+∞-，只需()min k g x < 对于()16
222
g x x x =-++-在(10,)+∞上单调递增，∴()()min =10=12g x g ∴12k <，
即k 的取值范围为()12-∞，
. （3）假设存在区间[],()m n m n <符合题意。
由()()2
111f x x =-++≤可得：()f x 的对称轴为1x =，且()max =1f x
故有：661m n <≤，所以1
6
m n <≤
， ∴()f x 在区间[],m n 上单调递增，则有：
()()66f m m
f n n ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
，即222626m m m n n n ⎧-+=⎨-+=⎩解得=4=0m n -⎧⎨⎩ 故所求区间为：[]4,0-. 【点睛】
（1）待定系数法是求解析式的最常用的方法之一； （2）恒（能）成立问题用分离参数法转化为求函数的最值；
（3）“是否存在性”问题的解题策略：先假设存在，再经过正确的推导，若得出的结论符合题意即为存在；若得出的结论与题设条件、公理、定理、事实相矛盾，说明假设不成立，即不存在.
22．（1）答案见解析；（2）(][)11,2,2,22⎡⎤
-∞--+∞⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）先设﹣1＜x 1＜x 2＜1，然后利用作差法比较f （x 2）与f （x 1）的大小即可判断函数的单调性，
（2）把a ＝2代入后，然后把分式不等式转化为二次不等式组求解即可．
【详解】
（1）当0a >时，函数()f x 在()1,1-上是增函数；当0a <时，()f x 在()1,1-上是减函数. 理由如下：当0a >时，任取1211x x -<<<，
21
212
221()()11
ax ax f x f x x x -=-++ 21122
221()(1)
(1)(1)
a x x x x x x --=
++. 因为111x -<<，211x -<<，∴1211x x -<<，1210x x ->，
2212(1)(1)0x x ++>，210x x ->，
所以211222
12()(1)
0(1)(1)
x x x x x x -->++， 当0a >时，得21()()f x f x >，故函数()f x 在()1,1-上是增函数；
同理可证，当0a <时，21()()f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是减函数，得证.
（2）2a =时，得22()1
x
f x x =
+， ∴44()55f x -≤≤，即2
424
515
x x -≤≤+，∴22
252011
2,,2222520
x x x x x x x ⎧++≥⇒≤--≤≤≥⎨-+≥⎩. 由此可得，x 的取值范围是(][)11,2,2,22⎡⎤
-∞--+∞⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
过程点睛：用定义证明单调性时，第一步，任取12,x x 并规定大小；第二步，将函数值作差并化简；第三步，判断每个因式符号进而得到函数值大小；第四步，下结论.
23．（1）[4,)-+∞；（2）226,27
(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪
+-⎪=-
-<<⎨⎪
-≥⎪⎩
. 【分析】
（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得1
22
m -≤，计算即可. （2）分类讨论112m -≤-，1112m -<-<，1
12
m -≥，分别计算即可. 【详解】
（1）由题可知，函数2
()7f x x mx m =++-()m R ∈开口向上，
对称轴的方程为2
m
x =-，若使得函数()f x 在[2,4]上单调递增， 则满足1
22
m -
≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞. （2）①当1
12
m -
≤-即2m ≥时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递增，
所以函数()y f x =的最小值为()(1)6g m f =-=-； ②当1
112
m -<-
<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫
=-=-
+- ⎪⎝⎭； ③当1
12
m -
≥即2m ≤-时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递减，
所以函数()y f x =的最小值为()(1)26g m g m ==-，
综上可得，函数的最小值为226,
27
(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪
+-⎪=-
-<<⎨⎪
-≥⎪⎩
. 【点睛】
结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系. 24．（1）最大值为37，最小值为1；（2）(]
[),55,-∞-+∞；（3）
()22710,5
2,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪
=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【分析】
（1）利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值和最小值； （2）分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，然后对函数()y f x =在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；
（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]5,5-上的单调性，进而可求得()g a 关于a 的表达式，并求出a 在不同取值下()g a 的取值范围，由此可得出
()g a 的最大值.
【详解】
（1）当1a =-时，()()2
22211f x x x x =-+=-+.
所以，函数()f x 在区间[]5,1-上为减函数，在区间[]1,5上为减函数， 当[]5,5x ∈-时，()()min 11f x f ==，
()517f =，()537f -=，所以，()()max 537f x f =-=；
（2）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-.
①若函数()y f x =在区间[]5,5-上是增函数，则5a -≤-，解得5a ≥； ②若函数()y f x =在区间[]5,5-上是减函数，则5a -≥，解得5a ≤-. 综上所述，实数a 的取值范围是(]
[),55,-∞-+∞；
（3）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-. ①当5a -≤-时，即当5a ≥时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为增函数， 则()()52710g a f a =-=-，此时()23g a ≤-； ②当55a -<-<时，即当55a -<<时，
函数()y f x =在区间[)5,a --上为减函数，在区间(]
,5a -上为增函数， 则()()2
2g a f a a =-=-，此时()(]2223,2g a a =-∈-；
③当5a -≥时，即当5a ≤-时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为减函数，
则()()52710g a f a ==+，此时()271023g a a =+≤-.
综上所述，()2
2710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
25．（1
）在区间(,-∞
的单调递增，在区间()
的单调递减；（2）
2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【分析】
（1）利用对勾函数的性质，直接写出结论即可；
一、选择题 1．已知函数( )f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．04m ≤≤ B ．04m <≤ C ．04m ≤< D ．04m << 2．函数25,1 (),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪ =⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有 ()()1212 0f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤< B ．32a --≤≤ C ．2a ≤- D ．0a < 3．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3- B ．[] 3,7- C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,32⎡⎤ - ⎢⎥⎣⎦ 4．如果函数()()()2 121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则 32a b +的最大值为（ ） A ．4 B ．1- C ． 23 D ．6 5．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9) B ．(3,+)∞ C ．(,9)-∞ D ．(0,9) 6．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与 2(22)f a a ++的大小关系是（ ） A ． 2(1)(22)f f a a ->++ B ．2(1)(22)f f a a -<++ C ．2(1)(22)f f a a -≥++ D ． 2(1)(22)f f a a -≤++ 7．若定义运算,,b a b a b a a b ≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2 242g x x x x =--+*-+的值域为 （ ） A ．(],4-∞ B ．(],2-∞ C ．[)1,+∞ D ．(),4-∞ 8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且 ()1 12 f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ） A ．(] [),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞