高一数学必修一易错题集锦答案
1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）
解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．
∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1},
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．
2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2}
3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个)
解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,
∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。
4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围．
解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．
分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，
a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，
∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，
即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21
．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11
∈A ，1≠a 且1∉A.
⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a∈A，证明：1－a 1
∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21
∈A ⇒ 2∈A
∴ A 中至少还有两个元素：－1和21
⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11
即12+-a a ＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集
⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a
--1111
∈A ⇒111---a a
∈A ，即1－a 1
∈A
⑷由⑶知a∈A 时，a -11
∈A， 1－a 1
∈A .现在证明a,1－a 1, a -11
三数互不相等.
①若a=a -11
,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11
②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1
③若1－a 1 =a -11
，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11
.
综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
7 设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；
（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数. 解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
一共有27个映射
（2）符合条件的映射共有4个0
222
,2,2,0,0,2220
a a a a
b b b b
c c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩
8.已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域
解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤ 10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]
9根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .
（2）已知1)f x x x =+，求()f x
（3）若()f x 满足1
()2(),f x f ax x +=求()f x
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，
又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++
即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++
21
1021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21
1
22x x +
(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥）
（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解
用1
x 代x 可得：1
1
()2(),f f x a x x +=与 1
()2()f x f ax x +=
联列可消去1
()f x 得：()f x ＝233a ax
x -.
点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.
分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02
≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.
解 由 x y x 62322=+得.
20,0323
,0.
323
2222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x
x y 又,29
)3(21
32322222+--=+-=+x x x x y x
∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429
)32(21
2=+--
点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
由 x y x 62322=+得 ,323
22x x y +-=
1(0),1(1)
u x x x u u =+≥=-≥
,29)3(2132322222+--=+-
=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为2
9 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能
从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. 11设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有
()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.
解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =，
得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++
解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+
又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++
点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数1()(1)1x
f x x x -=++.
解：1()(1)1x f x x x -=++有意义时必须满足10111x
x x -≥⇒-<≤+
即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
13 判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性.
正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(222
2++-=+-+-=-x x x x x f ＝11
log 22++x x ＝)1(log
22++-x x ＝－)(x f ∴)(x f 是奇函数
方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x
)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数
14函数y=245x x --的单调增区间是_________. 解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2
()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--
15已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.
解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66
603333332x x x x 得,故0 <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2 分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时， 当x ＜2时，即x-2＜0时， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ <+--≥--=) 2(49 )21() 2(49 )21 (22x x x x y 这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图) (2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ； 当0＜x ＜1时，lgx ＜0， 所以 这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图) 点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像. 17若f(x)= 21 ++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围 解：设1212121211 2,()()22 ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++ 12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2) (2)(2) (22)(22) (2)(2) 22(21)() (2)(2)(2)(2) ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x x x x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++ 由f (x )=21 ++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得 12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. 18已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21 )=－1,当且仅当0 y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减 解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－ x )=f (21x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减. 令0 11 21x x x x --) ∵0 21x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<121 21x x x x --<1,由题意知f (2 1121x x x x --)<0， 即f (x 2) ∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数. 点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定2 11 21x x x x --的范围是解题的焦点. 19已知18log 9,185,b a ==求36log 45 解：∵185,b =∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9 log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b a a a a ++++=== ==+- ++ 20知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知 u y a log =应为增函数，∴a ＞1 又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 21已知函数()log (3)a f x ax =-. （1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围. （2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如 果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠ 显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜3 2 ∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，3 2） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝3 2此时3 ()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在. 点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决. 22已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a a x x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义， 求实数a 的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43 >0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141 (x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21 都是减函数， ∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43 , ∴ a >－43 , 故a 的取值范围是(－43 , +∞). 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141 (x x +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了 实数a 的取值范围.此法也叫主元法. 23若1 1 33(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围. 解：∵幂函数1 3y x -=有两个单调区间， ∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系 10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10 320.132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨ ->⎩③ 解三个不等式组：①得2 3＜a ＜3 2，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（2 3，3 2） 点评：幂函数1 3y x -=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认 为132a a +>-，从而导致解题错误. 24 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) = 12-a a (x －x 1 ) (1)求f(x)； (2)判断f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则 ).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x x x t t t ∈--=∴--==-- ,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a a a x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且 f(x)在R 上都是增函数. ) 1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f 又上是增函数是奇函数且在 .211 11111 1122<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-< -<-∴m m m m m 点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会. 25已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得7 3a ≤故此时a 不存在； (2) 当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －2 4a ≥0，得－6≤a ≤2 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； （3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4 故－7≤a ＜－4 综上，得－7≤a ≤2 26已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件. （2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内 又(0)f ＝1＞0 ∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2 或者②1 (1)02f m =-且0<<1得m 不存在 综上所得，m ＜－2 27.是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程 x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由. 解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2 (23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即2450 1 31 3 7 22 k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解 即不存在满足条件的k 值. 28已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121 [()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 解：设F （x ）＝()f x －121 [()()]2f x f x +， 则方程 ()f x ＝121 [()()]2f x f x + ① 与方程 F （x ）＝0 ② 等价 ∵F （x 1）＝1()f x －121 [()()]2f x f x +＝121[()()]2 f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2 f x f x -+ ∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2 121[()()]4 f x f x -，又12()()f x f x ≠ ∴F （x 1）·F （x 2）＜0 故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 点评：本题由于方程是()f x ＝121 [()()]2 f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121[()()]2 f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29试确定方程3 2 2420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数. 分析：只要构造函数()f x ＝3 2 242x x x --+，计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令()f x ＝3 2 242x x x --+ ∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 (2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 (1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0， ，(0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0 (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0， (2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0 根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内. 因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内. 点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解. 32242x x x --+ 221 (21)2(21)2()(2) 21 2()(2)(2) 2 x x x x x x x x =---=--=- 所以32 242x x x --+＝0有三个根： 1 2,22 -30设二次函数2 ()(0),f x ax bx c a =++>方程0)(=-x x f 的两个根21,x x ，满足0<21x x 1< . （1）当),0(1x x ∈时，证明1)(x x f x <<； （2）设函数2 ()(0),f x ax bx c a =++>的图像关于直线0x x =对称，证明： 2 1 0x x < . 分析：（1）用作差比较法证明不等式1)(x x f x <<； （2）函数2 ()(0),f x ax bx c a =++>图像关于直线0x x =对称，实际直线0x x =就是二次函数的对称轴，即a b x 20- =，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设))(()()(21x x x x a x x f x F --=-= 当),0(1x x ∈时，由于21x x <，∴0))((21>--x x x x ，又0>a ∴))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=>0即)(x f x < ) 1)(()1)(()()]([)(2121111ax x x ax ax x x x F x x x F x x x f x -->-+-=--=+-=- ∵0<21x x x < 1 <.∴01,021>->-ax x x ∴0)(1>-x f x 综合得1)(x x f x << （2）依题意知a b x 20-=，又a b x x 121--=+ ∴a ax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=- = ∵,012<-ax ∴2 21 10x a ax x =< 点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达 式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即a b x 20- = 31已知函数0)1(),1(2)(2 =<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. (1)求证：-3 (2)若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1< 及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号. (1)证明：由0)1(=f ，得1+2b+c=0,解得2 1 +-=c b ，又1<+- >2 1 解得3 13- <<-c ， 又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122 =+++c bx x 有实根， 故0)1(442 ≥+-=∆c b 即0)1(4)1(2 ≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由2 1 +- =c b ，得b ≥0. （2）c bx x x f ++=2)(2 =)1)(()1(2 --=++-x c x c x c x ∵01)(<-=m f ，∴c 点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题. 32定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当 0x >时，()01f x <<. （1）试求()0f 的值； （2）判断()f x 的单调性并证明你的结论； （3）设()()()(){}()({}2 2 ,1,,21,A x y f x f y f B x y f ax y a R = ⋅>=-=∈，若 A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围. （4）试举出一个满足条件的函数()f x . 解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==.得：()()()110f f f =⋅. 因为()10f ≠，所以，()01f =. （2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <. 在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为： ()()()2121f x f x f x x =⋅-. 由于210x x ->，所以()2110f x x >->. 为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可. 在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=. ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()() 1 10f x f x = >>-. 又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >. ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦. ∴ 函数()f x 在R 上单调递减. （3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子. ()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即， (()210f ax y f -==，即20ax y -+=. 由A B ⋂=∅，所以，直线20ax y -+=与圆面22 1x y +<无公共点.所以， 2 211 a ≥+. 解得 11a -≤≤. （4）如()12x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ . 点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值. 解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2 x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数 当0≠a 时，1)(2 +=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ， )()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠ 此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数 （2）（i ）当a x ≤时，4 3)2 1 (1)(2 2 ++-=++-=a x a x x x f 当2 1 ≤ a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f . 若21> a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()2 1 (a f f ≤. （ii ）当a x ≥时，函数4 3)21(1)(22 +-+=+-+=a x a x x x f 若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21 (a f f ≤- 若2 1 ->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为 1)(2+=a a f . 综上，当2 1- ≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12 +a 当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +4 3 . 点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过)()(x f x f =-代入有 1||1||)(22+-+=+--+-a x x a x x ，即||||a x a x -=+ 可得，当0=a 时，||||a x a x -=+，函数)()(x f x f =-函数为偶函数. 通过)()(x f x f -=-可得 1||1||)(2 2 ----=+--+-a x x a x x 化得 ||||222 a x a x x -++=+此式不管0=a 还是0≠a 都不恒成立， 所以函数不可能是奇函数. （2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查. 34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息). 已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售 量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元. （1）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后 还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关. 从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润. 解：（1）设该店的月利润为S 元，有职工m 名.则 ()4010060013200S q p m =-⨯--. 1 24584060q p 81 又由图可知：()() 2140, 405882 5881p p q p p -+≤≤⎧⎪=⎨ -+<≤⎪⎩. 所以，()()()()()() 21404010060013200 4058824010060013200 58<81p p m p S p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯--≤⎪⎩ 由已知，当52p =时，0S =，即 ()()214040100600132000p p m -+-⨯--=， 解得50m =.即此时该店有50名职工. （2）若该店只安排40名职工，则月利润 ()()()( )()()21404010037200 4058824010037200 58<81p p p S p p p -+-⨯-≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯-≤⎪⎩. 当4058p ≤≤时，求得55p =时，S 取最大值7800元. 当5881p <≤时，求得61p =时，S 取最大值6900元. 综上，当55p =时，S 有最大值7800元. 设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有 1278002680002000000n ⨯--≥. 解得5n ≥. 所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元. 点评：求解数学应用题必须突破三关： （1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义. （2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题. （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型. 高一数学(必修一)练习题及答案 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分) 1. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是b A.y=( )2 B.y= C.y= D.y= 2.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于a A.{x|x∈R} B.{y|y≥0} C.{(0,0),(1,1)} D. 3.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于a A.21 B.8 C.6 D.7 4. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是b A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x| 5.函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4］上递减,则a的取值范围是c A.［-3,+∞］ B.(-∞,-3) C.(-∞,5］ D.［3,+∞) 6. 函数y= +1(x≥1)的反函数是b A.y=x2-2x+2(x＜1) B.y=x2-2x+2(x≥1) C.y=x2-2x(x＜1) D.y=x2-2x(x≥1) 7. 已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是d A.0 2021年高一上学期数学易错题练习含答案 1.函数y=f(x)的图象与一条直线x=a有交点个数是（） （A）至少有一个（B）至多有一个（C）必有一个（D）有一个或两个【错解】：选A、C或D 【错解分析】：不理解函数的定义，函数是从非空数集A到非空数集B的映射，故定义域内的一个x值只能对应一个y值. 【正解】：B 2.判断函数的奇偶性 【错解】： 所以函数为非奇非偶函数 【错解分析】：判断函数的奇偶性首先求其定义域，定义域是否关于原点对称是函数是否是奇偶函数的前提，本题的错误之处在于忽略了对函数定义域的判断。【正解】：由且得或， ∴的定义域为，关于原点对称， ∵,∴是奇函数 3.设是定义在上的奇函数，且时，，求的解析式。 【错解1】：设则，∴。 又是奇函数，, ∴ 【错解2】：函数的解析式为 【错解3】：∴函数的解析式为 【错解4】：∴函数的解析式为 【错解分析】：（1）该函数的定义域为，只求出x<0时解析式，没有完整的下结论。 （2）所求的解析式中只有和的解析式，漏掉了x=0时。 （3）忽视了奇函数在x=0有定义时，函数，而直接将x=0代入到了x<0或x>0的解析式求f(0)。 【正解】：函数的解析式为 4.已知f(x)是定义在上的增函数，且f(x-2)＜f(1-x)，求x 的取值范围。 【错解】：由题意知 f(x)在上是增函数， ∴1-x ＞x-2， ∴ 【错解分析】：只考虑了增函数的性质，忽略了定义域的限制。 【正解】：由题意知f(x)在上是增函数 ∴， ∴???????≤≤≤≤3x 12x 023x ＜， ∴. 5.求二次函数的最大值和最小值. 【错解】当x=-3时,y=2；当x=0时,y=5； 图2 高一数学必修1习题及答案5篇 习题1：已知∠ABC=60°，AB=4，BC=6，求AC的长度。 解答：通过画图可知，△ABC为一个等边三角形，因此 AC=AB=4。 习题2：已知一条直线l1:x-2y+3=0，求平行于l1且过点P(1,2)的直线l2的方程式。 解答：l1的斜率为2，因此l2的斜率也为2。同时，由于l2过点P(1,2)，因此可得l2的方程式为y-2=2(x-1)，即y=2x。 习题3：已知函数f(x)=2x-1，求f(3)的值和f(-2)的值。 解答：将3代入f(x)=2x-1，可得f(3)=2(3)-1=5。将-2代入 f(x)=2x-1，可得f(-2)=2(-2)-1=-5。 习题4：已知弧AB所对的圆心角为60°，AB的弧长为π，求该圆的半径。 解答：圆心角60°所对的弧长为圆的1/6，即π/6。因此可知该圆的周长为2π，因此半径为1。 习题5：已知平面直角坐标系中两点A(2，5)和B(-3，-4)，求线段AB的长度。 解答：通过勾股定理可知，线段AB的长度为√(2-(-3))^2+(5-(- 4))^2=√25+81=√106。以上是数学必修1的5道典型习题及解答，这些题目涵盖了数学必修1的不同知识点，包括三角函数、直线方程、函数、圆和勾股定理等。对于高一学生来说，这些内容都是必须掌握的基础知识。 在学习数学时，不仅要了解知识点本身的定义和公式，还要学会思考如何运用所学知识解决问题。因此，在学习习题时，除了知晓解答方法和答案外，还需深入思考，理解其背后的思维过程和逻辑。 在解答习题时，需要注意的是细节问题。比如在第三道题中，如果没有注意到f(x)的定义式中有-1这一项，就会出现计算错误。因此，在解答问题时，不仅需要整体考虑，还需要对计算细节进行仔细检查。 在学习数学时，还需要注重实践操作和分类整理。对于复杂的习题和知识点，可以多练习相关问题，通过不断反复联系和思考，形成自己的解题思路和方法。同时，也可以对不同的知识点进行分类整理，制作知识点总结表和思维导图，帮助自己更好地理解和掌握学习内容。 总之，数学是一门需要思考和实践的学科，除了掌握基本的知识点和公式外，还需要通过习题练习和分类整理加深对知识的理解和掌握。在学习数学时，我们要保持耐心和恒心，不断探索和挑战自己，才能取得更好的成果。 高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2－c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21 ． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11 ∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－a 1 ∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. [高一数学易错点]高一数学易错题 高一数学易错点(一) 易错点1 遗忘空集致误 由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况. 易错点2 忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求. 易错点3 混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论. 易错点4 充分条件、必要条件颠倒致误 对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A 的必要条件;如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A⇔B，则A，B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断. 易错点5 “或”“且”“非”理解不准致误 命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真⇔p真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假);綈p真⇔p假，綈p假⇔p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来 进行理解，通过集合的运算求解. 易错点6 函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像 上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间 即可. 易错点7 判断函数的奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性 的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函 数一定是非奇非偶函数. 易错点8 函数零点定理使用不当致误 如果函数y=f(某)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有 f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(某)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y=f(某)在(a，b)内有零点.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题. 易错点9 导数的几何意义不明致误 函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率.但在许多 问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题， 一、选择题 1．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点 对”，已知函数()23,0 2,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩ ，则该函数的“镜像点对”有（ ）对. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()2 2x y x x R =-∈的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知函数|| ()2x f x =，记131(())4 a f =，37(log )2 b f =，13(log 5) c f =，则a ，b ， c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c a b >> 4．设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a b m 的值为（ ） A 2 B ． 2 C ．D ．2 ± 5．已知1311531log ,log ,363 a b c π -===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．c b a << D ．b c a << 6．已知函数 3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．b a c >> 7．设函数()21x f x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤ D ．222a c +< 8．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(] ,1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛ ⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．c b a << 9．已知()243,1log 2,1 a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有 ()() 1212 0f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ） A ．10,2 ⎛⎤ ⎥⎝ ⎦ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,23 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,13⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ 10．若函数112x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．10m -≤< C ．m 1≥ D ．01m <≤ 11．已知函数()2,0 1,0 x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 12．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()2 1y a x x =--在同一坐标系内的图象 可能是（ ） 高一数学必修一易错题集锦答案 2 1.已知集合M=y| y = x + 1,x € R},N={y| y = x+ 1,x € R}，贝U MA N=() 2 解：M={y| y=x + 1,x € R}={ y| y > 1}, N={y|y=x + 1,x € R}={y|y € R}. ??? M A N={y|y > 1} A {y|(y € R)}={ y|y> 1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2+ 1}、y|y=x2 2 + 1, x€ R}、{( x, y)| y=x + 1,x € R}，这三个集合是不同的. 2 .已知A={x|x2—3x + 2=0},B={ x|ax —2=0}且A U B=A 求实数a 组成的集合 C. 解：??? A U B=A ?圧 A 又A={x| x2—3x+ 2=0}={1 , 2} ? B# 或1 或2 ? C={0, 1, 2} 3 。已知m A, n B,且集合A= x | x 2a,a Z , B= x| x 2a 1, a Z，又C= x | x 4a 1,a Z，则有：m+n __________________________________ (填A,B,C 中的一个) 解：T m A, ???设m=2a1,a1 Z, 又T n B , ? n=2a2+1, a2 Z , ?n+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ? n+n B。 4 已知集合A={x|x 2—3x—10W 0},集合B={x|p + 1< x< 2p—1}.若荃A 求实数p 的取值范围. 解：①当B M * 时，即p + K 2p—1='p》2.由吐A得：一2< p+ 1 且2p —K 5. 由一3w p W 3. ?- 2w p W3 ②当B==时，即p + 1>2p—1=p v 2. 由①、②得：p W 3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A A B=±、A U B=±,心B等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 2 5 已知集合A={a,a + b,a + 2b} , B={a,ac,ac }.若A=B 求c 的值. 分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式. 解：分两种情况进行讨论. (1)若a+ b=ac 且a+ 2b=ac2，消去 b 得：a+ ac2—2ac=0, a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故0. ? c2—2c+仁0,即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解. (2)若a+ b=ac 且a+ 2b=ac,消去 b 得：2ac —ac —a=0, 2 -a M 0,.. 2c —c—仁0, 1 即(c —1)(2c + 1)=0，又C M 1,故c=— 2 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 1 6 设A是实数集，满足若a€ A,则——A, a 1且1 A. 1 a ⑴若2€ A,则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明 理由? 1 一 一、选择题 1．已知函数( )f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．04m ≤≤ B ．04m <≤ C ．04m ≤< D ．04m << 2．函数25,1 (),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪ =⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有 ()()1212 0f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤< B ．32a --≤≤ C ．2a ≤- D ．0a < 3．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3- B ．[] 3,7- C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,32⎡⎤ - ⎢⎥⎣⎦ 4．如果函数()()()2 121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则 32a b +的最大值为（ ） A ．4 B ．1- C ． 23 D ．6 5．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9) B ．(3,+)∞ C ．(,9)-∞ D ．(0,9) 6．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与 2(22)f a a ++的大小关系是（ ） A ． 2(1)(22)f f a a ->++ B ．2(1)(22)f f a a -<++ C ．2(1)(22)f f a a -≥++ D ． 2(1)(22)f f a a -≤++ 7．若定义运算,,b a b a b a a b ≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2 242g x x x x =--+*-+的值域为 （ ） A ．(],4-∞ B ．(],2-∞ C ．[)1,+∞ D ．(),4-∞ 8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且 ()1 12 f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ） A ．(] [),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞ 一、选择题 1．若函数2 ()f x x x a =--有四个零点，则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 2．已知函数()( )223,ln 1,x x x f x x x λ λ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是 （ ） A ．[) [)1,23,-+∞ B ．[)[)1,23,+∞ C ．[)()1,22,⋃+∞ D ．[)1,+∞ 3．已知函数21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪ =⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值 范围为（ ） A ．3[4 ，1] B ．3(4 ，1) C ．(0,1) D ．3(4 ，)+∞ 4．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]- B ．(,1)-∞- C ．[1，)+∞ D ．(1,)+∞ 5．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ， 是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220 ()20x x x x f x x e ⎧+<⎪ =⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24 ( ,)e +∞ B ．24(0, )e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞ 7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31x f x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”， 则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．21,33⎡⎤ - -⎢⎥⎣ ⎦ C ．2,03 ⎡⎤-⎢⎥⎣ ⎦ D ．(),0-∞ 8．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3ln 22,4e ⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭ 高一数学必修1习题及答案5篇 高一数学必修1习题及答案1 一、选择题：(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.若集合，则m∩p= ( ) a. b. c. d. 2.下列函数与有相同图象的一个函数是( ) a. b. c. d. 3. 设a={x|0≤x≤2}，b={y|1≤y≤2}，在下列各图中，能表示从集合a到集合b的映射的是( ) 4设，，，则，，的大小关系为( ) . . . . . 5.定义为与中值的较小者，则函数的值是( ) 6.若，则的表达式为( ) a. b. c. d. 7.函数的反函数是( ) a. b. c. d. 8若则的值为( ) a.8 b. c.2 d. 9若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) a.若，不存在实数使得; b.若，存在且只存在一个实数使得; c.若，有可能存在实数使得; d.若，有可能不存在实数使得; 10.求函数零点的个数为( ) a. b. c. d. 11.已知定义域为r的函数f(x)在区间(-∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t) =f(5-t)，那么下列式子一定成立的是( ) a.f(-1)f(9)f(13) p="" b.f(13)f(9)f(-1) c.f(9)f(-1)f(13) p="" d.f(13)f(-1)f(9) 12.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是( ) 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案直接填在题中横线上. 13、，则的取值范围是 14.已知实数满足等式，下列五个关系式： (1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) 其中可能成立的关系式有. 15.如果在函数的图象上任取不同的两点、，线段(端点除外)总在图象的下方，那么函数的图象给我们向上凸起的印象，我们称函数为上凸函数;反之，如果在函数的图象上任取不同的两点、，线段(端点除外)总在图象的上方，那么我们称函数为下凸函数.例如：就是一个上凸函数.请写出两个不同类型的下凸函数的解析式： 16.某批发商批发某种商品的单价p(单位：元/千克) 与一次性批发数量q(单位：千克)之间函数的图像 如图2，一零售商仅有现金2700元，他最多可购买这 高一数学必修1习题及答案5篇 进入高中一之后，第一个学习的重要数学学问点就是集合，同学需要通过练习巩固集合内容，那么,高一数学必修1习题及答案怎么写?以下是我细心收集整理的高一数学必修1习题及答案，下面我就和大家共享，来观赏一下吧。 高一数学必修1习题及答案1 一、选择题：(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.若集合，则m∩p= ( ) a. b. c. d. 2.下列函数与有相同图象的一个函数是( ) a. b. c. d. 3. 设a={x|0≤x≤2}，b={y|1≤y≤2}，在下列各图中，能表示从集合a到集合b的映射的是( ) 4设，，，则，，的大小关系为( ) . . . . . 5.定义为与中值的较小者，则函数的值是( ) 6.若，则的表达式为( ) a. b. c. d. 7.函数的反函数是( ) a. b. c. d. 8若则的值为( ) a.8 b. c.2 d. 9若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) a.若，不存在实数使得; b.若，存在且只存在一个实数使得; c.若，有可能存在实数使得; d.若，有可能不存在实数使得; 10.求函数零点的个数为( ) a. b. c. d. 11.已知定义域为r的函数f(x)在区间(-∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t) =f(5-t)，那么下列式子肯定成立的是( ) a.f(-1)f(9)f(13) p= b.f(13)f(9)f(-1) c.f(9)f(-1)f(13) p= d.f(13)f(-1)f(9) 12.某同学离家去学校，由于怕迟到，一开头就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该同学走法的是( ) 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案直接填在题中横线上. 13、，则的取值范围是 14.已知实数满意等式，下列五个关系式： 一、选择题 1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[] 2.12=，若函数 ()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知函数()2,1 25,1 x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()() 12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a < C ．2a > D ．R 3．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设 ()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q 中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16- B ．16 C ．8a D ．816a - 4．对二次函数()2 f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值 D ．点()2,8在()f x 的图象上 5．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]4,-+∞ B ．9,4⎡⎫ -+∞⎪⎢⎣⎭ C ．9,44⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ D ．[]0,4 6．已知定义在R 上的函数()2|| · x f x x e =， (a f log =， 312b f log ⎛ =⎫ ⎪⎝⎭ ，()ln3c f = ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c b a >> 7．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数 {}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12 x = 有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果 ()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ） 高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011•江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________． 9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是高一数学(必修一)练习题 及答案
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