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(易错题)高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题

1．已知函数(

)f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（）

A ．04m ≤≤

B ．04m <≤

C ．04m ≤<

D ．04m <<

2．函数25,1

(),1x ax x f x a x x

⎧---≤⎪

=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有

()()1212

0f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（） A ．30a -≤<

B ．32a --≤≤

C ．2a ≤-

D ．0a <

3．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（） A ．[]7,3-

B ．[]

3,7-

C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．1,32⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

4．如果函数()()()2

121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则

32a b +的最大值为（）

A ．4

B ．1-

C ．

D ．6

5．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,9)

B ．(3,+)∞

C ．(,9)-∞

D ．(0,9)

6．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与

2(22)f a a ++的大小关系是（）

A ． 2(1)(22)f f a a ->++

B ．2(1)(22)f f a a -<++

C ．2(1)(22)f f a a -≥++

D ． 2(1)(22)f f a a -≤++

7．若定义运算,,b a b a b a a b

≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2

242g x x x x =--+*-+的值域为

（） A ．(],4-∞

B ．(],2-∞

C ．[)1,+∞

D ．(),4-∞

8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且

()1

f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（）

A ．(]

[),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞

9．若函数2

()2(2)1

f x mx m x =+-+的值域为0,，则实数m 的取值范围是

（） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞

C ．(]

[)0,14,+∞

D ．[][)0,14,+∞ 10．已知函数()()2

20f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（） A ．1或3 B ．3或

134

C ．3

D ．

134

11．函数sin sin 12

y =+

的部分图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（） A ．()()()211f f f <-< B ．()()()121f f f <<- C ．()()()112f f f <-<

D ．()()()211f f f <<-

二、填空题

13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数() 21

f x f x x =-的定义域是__________.

14．已知存在[1,)x ∈+∞，不等式221

a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________. 15．若函数2

(21)1,0

()(2),0

b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨

-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．

16．若函数()22

()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使

()0f c >，则实数p 的取值范围为________.

17．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式

()

cos f x x

<0的解集为________．

18．若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .

19．若函数2()f x x k =+，若存在区间[,](,0]a b ⊆-∞，使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值范围恰为[,]a b ，则实数k 的取值范围是________. 20．已知(6)4,(1)

(),(1)

a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是

_________.

三、解答题

21．已知函数()2

1x f x x

=+．（1）求()122f f ⎛⎫+

⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

的值；

（2）求证：()1f x f x ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

是定值；（3）求()()11120202320202f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

的值． 22．已知二次函数()2

(f x ax bx c a R =++∈且2a >-），(1)1f =，且对任意的

x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，且方程()42f x x =-有唯一实数解.

（1）求()f x 的解析式；

（2）若当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，求实数k 的取值范围；

（3）是否存在区间[],()m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ？若存在，请求出区间[],m n ，若不存在，请说明理由. 23．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.

（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ；

24．已知函数()y f x =是[]1,1-上的奇函数，当10x ≤<时，()2

112

x f x x =

-+.

（1）判断并证明()y f x =在[)1,0-上的单调性；（2）求()y f x =的值域. 25．已知函数1

()1

f x x =

-，()1g x x x =+-.

（1）判断当()1,x ∈+∞时函数()f x 的单调性，并用定义证明；（2）用分段函数的形式表示()g x 函数，并画出函数()g x 的图像. 26．已知函数()11f x x x =++- （1）求()f x 的定义域和值域；（2）设2()216

h x x =

-+231

()42

h x m am ≤

-对于任意[1,1]x ∈-及任意[1,1]a ∈-都恒成立，求实数m 的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】

由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意；

当0m ≠时，则有2

40m m m >⎧⎨∆=-<⎩

，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】

结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设()()2

0f x ax bx c a =++≠

①()0f x >在R 上恒成立，则0

0a >⎧⎨∆<⎩；

②()0f x <在R 上恒成立，则0

0a <⎧⎨∆<⎩

；

③()0f x ≥在R 上恒成立，则0

0a >⎧⎨

∆≤⎩

； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则0

0a <⎧⎨∆≤⎩.

2．B

解析：B 【分析】

由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】

因为对任意12x x ≠都有

()()1212

0f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，

215

a a a a <⎧⎪⎪

-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B 【点睛】

分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.

3．C

解析：C 【分析】

由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】

因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，

要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得1

x ≤≤。所以()23f x -的定义域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦

. 故选：C 【点睛】

方法点睛：复合函数定义域的求法：

已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；

已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域.

4．C

解析：C 【分析】

分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得

32a b +的最大值. 【详解】

分以下几种情况讨论：

（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得

20b +<，

解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意；（2）当10a -<时，即当1a <时，

由于函数()()()2

121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()

121b a +-

≤-，

可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-，所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，

当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当23

43a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

时，等号成立，

则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-

+⨯= ⎪

⎝⎭

；（3）当10a ->时，即当1a >时，

由于函数()()()2

121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()

221b a +-

≥-，可得

42a b +≤，即24b a ≤-，

2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.

综上所述，32a b +的最大值为23

. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.

5．D

解析：D 【分析】

根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】

当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意；当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立；当0m >时，2109m m ∆=-+，若∆<0，即19m <<时，显然成立，

0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，1

x =-时不成立，

若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得：若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，

则必须有

302m

->，解得01m <<，综上可得：09m <<，故答案为：D. 【点睛】

本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有：（1）如果平方项有参数，则先讨论；

（2）再讨论根的判别式；（3）最后讨论根的分布.

6．C

解析：C 【分析】

由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2(22)f a a ++的大小即可，

而22

22(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与

2(22)f a a ++大小关系.

【详解】

因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，

又22

22(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，

所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2

(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．

7．A

解析：A 【分析】根据,,b a b

a b a a b

≥⎧*=⎨<⎩可得()g x 的解析式，画出图象可得答案.

【详解】

由,,b a b

a b a a b ≥⎧*=⎨<⎩

，得

()()

()222,[2,1]

24224,(1,)(,2)x x g x x x x x x x -+∈-⎧=--+*-+=⎨--+∈+∞⋃-∞-⎩

，

当[2,1]x ∈-，()2[1,4g x x =-+∈]，当(1,)

(,2)x ∈+∞-∞-，

()2

()154g x x =-++<，

可得()4g x ≤- 故选：A. 【点睛】

本题的关键点是根据已知定义求出函数解析式，然后画出图象求解.

8．B

解析：B 【分析】

计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()2

34f x f x

-⋅≥，可得出()()2

32f x

x f -≥-，再由函数()y f x =在R 上

的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】

由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=

，

()()

121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.

设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()2

34f x f x

-⋅≥，可得

()()232f x x f -≥-.

所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()2

34f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.

故选B. 【点睛】

本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

9．D

解析：D 【分析】

令t =

()0,t ∈+∞

()0,+∞，记

函数()2

2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】

令t =

1y t

=的值域为0,

，

根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞

()0,+∞，记函数()2

2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，

若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；

若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()2

4240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩

，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.

故选：D.

10．D

解析：D 【分析】

依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可．【详解】

解：因为函数()()2

20f x x mx m =-+>满足：①[]

()0,2,9x f x ∀∈≤；

②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()2

20f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，

因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下，当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减，故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，

2m 时，()f x 在[0，2]递增，

故()()2449max f x f m ==-=，解得：13

m =，符合题意，故选：D ．【点睛】

本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．

11．D

解析：D 【解析】因为()sin()

sin sin()

sin 11()2222x x x x

f x y f x ---=+

+=，

所以函数sin sin 122x

y =+

是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；

又sin

sin

()2

f π

=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 12

y =+大致的图象应为D 项，故选D.

12．B

解析：B 【分析】

由已知得函数f （x ）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系. 【详解】

解：∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0， ∴f （x ）在（-∞，1]上单调递减， ∵f （x ）=f （2-x ），

∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增， ∴f （-1）=f （3）>f （2）＞f （1）即f （-1）＞f （2）＞f （1）故选B ．【点睛】

本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．

二、填空题

13．【分析】求出抽象函数定义域与联立求解答可得【详解】因为函数的定义域是所以又所以故答案为：【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定解析：](1,2

【分析】

求出抽象函数()2f x 定义域与10x ->联立求解答可得【详解】

因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤

故答案为：](

1,2 【点睛】

对于抽象函数定义域的求解

(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式

()a g x b ≤≤求出；

(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[]a b ，，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．

14．【分析】问题转化为即可由令问题转化为求的最大值根据二次函数的性质求出的最大值从而求出的范围即可【详解】若存在不等式成立即即可由令问题转化为求的最大值而的最大值是2故故故答案为：【点睛】方法点睛：本题

解析：1

[,)2

+∞

【分析】

问题转化为2

2()2

min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由222

1221x x x x x =

-+-+，令

221

()1f x x x

-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，根据二次函数的性质求出()f x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】

若存在[1,)x ∈+∞，不等式

a x x x -+成立，即2

2()2

min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，

由222

1221x x x x x

-+-+，

令221

()1f x x x =

-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，而2

117

()2()4

f x x

=-+

，[1,)x ∈+∞的最大值是2，故221()22

min x x x =-+，

故1

，故答案为：1[,)2

+∞ 【点睛】

方法点睛：本题考查函数的有解问题，一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：

()f x m >有解max ()f x m ⇔>；

()f x m <有解min ()f x m ⇔<.

15．【分析】由已知得出单调增然后由及可得结论【详解】因为对任意都有成立所以为单调递增函数因此故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性分段函数在定义域内单调需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函解析：[1,2]

【分析】由已知

1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02

b b -->≥及10b -≥可得结论．【详解】

因为对任意12x x ≠，都有

()()1212

0f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，

因此21020210

b b b ->⎧⎪-⎪

≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤．故答案为：[1,2]．. 【点睛】

本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．

16．【分析】直接计算需分多种情况讨论故先求题干的否定即对于区间上任意一个x 都有只需满足列出不等式组求解即可得答案【详解】函数在区间上至少存在一个实数使的否定为：对于区间上任意一个x 都有则即整理得解得或所

解析：3(3,)2

【分析】

直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有

()0f x ≤，只需满足(1)0

(1)0

f f ≤⎧⎨-≤⎩，列出不等式组，求解即可得答案.

【详解】

函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的否定为：

对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，

则(1)0

(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，即22

42(2)21042(2)210p p p p p p ⎧----+≤⎨+---+≤⎩

，

整理得222390210

p p p p ⎧+-≥⎨--≥⎩，

解得3

p ≥

或3p ≤-，所以函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的实数p 的取值范围是

3(3,)2

故答案为：3(3,)2

- 【点睛】

本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.

17．【解析】在区间上不等式不成立在区间上要使不等式成立则所以所以在区间上不等式的解集为再由偶函数的对称性知在区间上不等式的解集为所以不等式的解集为点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想属于中档题解析：(,1)(1,)22

-⋃ 【解析】

在区间[]0,1 上，()0,cos 0f x x ≥>，不等式不成立，在区间[]1,4 上，()0f x ≤，要使不等式

()

0cos f x x <成立，则cos 0x >，所以(1,)2

x π∈，所以在区间[]0,4上，不等式的解集为(1,)2

π，再由偶函数的对称性知，在区间[)4,0-上，不等式的解集为(,1)2

--，所以

不等式的解集为(,1)(1,)22

-⋃．点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题．

18．7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解

解析：7 【解析】

由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,

又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =,

从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中, 令32

x =-

,得出33()()22f f -=,

又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出3

3()-()22

f f -=, 从而得到33()-()22f f =,即3()02

f =, 故933()(+3)()=0222

f f f ==,

从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022

f f f f f f f ======,共7个解.

19．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得

解析：31,4⎡

⎫--⎪⎢⎣

⎭

【分析】

根据二次函数的单调性得出2

()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，从而有()()f a b

f b a

=⎧⎨

=⎩，整

理得22a k b b k a

⎧+=⎨+=⎩，即关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记

2()1h a a a k =+++，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范围.

【详解】

∵函数2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，∴当[,]x a b ∈时，()()f a b

f b a =⎧⎨

=⎩

，即

a k b

b k a ⎧+=⎨+=⎩

，两式相减得22a b b a -=-，即(1)b a =-+，代入2a k b +=得210a a k +++=，由0a b <≤，且(1)b a =-+得1

12a -≤<-

，故关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫

⎪⎢⎣

⎭

内有实数解，记2

()1h a a a k =+++，所以函数()h a 在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，则()10

102h h ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-< ⎪

⎪⎝

⎭⎩，即

()()221110111022k k ⎧-+-++≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎩，解得31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故答案为：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭

. 【点睛】

关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调性.

20．【分析】根据分段函数的单调性在各个分段上递增且在衔接点处也要递增列式即可得解【详解】由是上的增函数则：解得故答案为：【点睛】本题考查了分段函数单调性问题考查了一次函数的单调性属于中档题求分段函数递增解析：[1,6)

【分析】

根据分段函数的单调性，在各个分段上递增，且在衔接点处也要递增，列式即可得解. 【详解】由(6)4,(1)

(),(1)

a x a x f x ax x --<⎧=⎨

≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，

则：60065a a a a ->⎧⎪

>⎨⎪-≤⎩

，解得16a ≤<，

故答案为：[1,6). 【点睛】

本题考查了分段函数单调性问题，考查了一次函数的单调性，属于中档题. 求分段函数递增（递减）要注意以下两点：（1）在各个分段上分别递增（递减）；

（2）在衔接点处也要递增（递减），此处为易错点.

三、解答题

21．（1）()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1313f f ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

；（2）证明见解析；（3）2019. 【分析】

（1）根据函数解析式，直接计算，即可得出结果；（2）根据函数解析式，计算1f x ⎛⎫

⎪⎝⎭，得出()12f x f x ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

即可；（3）根据（2）的结论，可直接得出结果. 【详解】

（1）

()2

1x f x x

=+ ()2

222

1124122121255112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭∴+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫

+ ⎪⎝⎭，()222

113913313131010113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

；（2）证明：

()2

22222222

11111111111x x x x f f x x x x x x

x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭

， ()1f x f x ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

∴是定值；

（3）()()()111232020232020f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++++⋅⋅⋅++

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()()()111232020232020f f f f f f ⎡

⎤⎡

⎤

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦

111=++⋅⋅⋅+ 2019=．

22．（1）()2

2f x x x =-+；（2）()12-∞，

；（3）存在，所求区间为：[]4,0-. 【分析】

（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；

（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数k 的取值范围；（3）对于存在性问题，可先假设存在区间[],m n ，再利用二次函数的单调性，求出m 、n 的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在. 【详解】

（1）对于()2

f x ax bx c =++，

由(1)1f =得到：0a b c ++=①；

∵对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，取x =3，得：(2)(0)f f = 即42=a b c c ++②

又方程()42f x x =-有唯一实数解，得：

()()2

=2440b a c ∆+--=③

①②③联立，解得：1,2,0a b c =-==（其中25

a =-舍去）所以()2

2f x x x =-+.

（2）不等式不等式()2160f x kx k +--<可化为：不等式()2

2216k x x x -<-+

∴当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，

∴26()2161=22,21,2

0x x k x x x x -+<-++--∈+∞

记()16

22,2

(10,)g x x x x -+

+=∈+∞-，只需()min k g x < 对于()16

222

g x x x =-++-在(10,)+∞上单调递增，∴()()min =10=12g x g ∴12k <，

即k 的取值范围为()12-∞，

. （3）假设存在区间[],()m n m n <符合题意。

由()()2

111f x x =-++≤可得：()f x 的对称轴为1x =，且()max =1f x

故有：661m n <≤，所以1

m n <≤

， ∴()f x 在区间[],m n 上单调递增，则有：

()()66f m m f n n ⎧=⎪

⎨=⎪⎩

，即222626m m m n n n ⎧-+=⎨-+=⎩解得=4=0m n -⎧⎨

⎩ 故所求区间为：[]4,0-. 【点睛】

（1）待定系数法是求解析式的最常用的方法之一；（2）恒（能）成立问题用分离参数法转化为求函数的最值；

（3）“是否存在性”问题的解题策略：先假设存在，再经过正确的推导，若得出的结论符合题意即为存在；若得出的结论与题设条件、公理、定理、事实相矛盾，说明假设不成立，即不存在.

23．（1）[4,)-+∞；（2）226,

(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪

+-⎪=-

-<<⎨⎪

-≥⎪⎩

. 【分析】

（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得1

m -

≤，计算即可.

（2）分类讨论112m -≤-，1112m -<-<，1

m -≥，分别计算即可. 【详解】

（1）由题可知，函数2

()7f x x mx m =++-()m R ∈开口向上，

对称轴的方程为2

x =-，若使得函数()f x 在[2,4]上单调递增，则满足1

m -

≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞. （2）①当1

m -

≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[1,1]-单调递增，

所以函数()y f x =的最小值为()(1)6g m f =-=-； ②当1

112

m -<-

<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递增，所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫

=-=-

+- ⎪⎝⎭； ③当1

m -

≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[1,1]-单调递减，

所以函数()y f x =的最小值为()(1)26g m g m ==-，

综上可得，函数的最小值为226,

(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪

+-⎪=-

-<<⎨⎪

-≥⎪⎩

. 【点睛】

结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系. 24．（1）单调递增，证明见解析；（2）{}111,0,122⎡⎫⎛⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦

. 【分析】

（1）利用定义设1210-≤<

（1）设1210-≤<

()()()()()()

122112

122222

121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=

-=++++，因为1210-≤<, 则()()120f x f x -<，()()12f x f x <，所以()f x 在[)1,0-上单调递增；（2）

函数()f x 在[)1,0-上是增函数，

∴()()()10f f x f -≤<，()11f -=-，()102f =-，∴()11,2f x ⎡

⎫∈--⎪⎢⎣

⎭

∴当10x -≤<时，()f x 的取值范围11,2⎡

⎫--

⎪⎢⎣⎭

∴而函数()f x 为奇函数，由对称性可知，函数()y f x =在(]0,1上的取值范围为1,12⎛⎤

⎥⎝⎦

又()00f =，故()y f x =的值域{}111,0,122⎡

⎫⎛⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦

. 【点睛】

思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取12x x <；（2）计算()()12f x f x -并化简整理；（3）判断()()12f x f x -的正负；

（4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则

()f x 单调递减.

25．（1）函数()f x 在()1,+∞为单调递减，证明见解析；（2）21,0

()1,0x x g x x -≥⎧=⎨-<⎩

，图

象答案见解析. 【分析】

（1）利用函数单调性定义：任意()12121,()f x x f x x <><成立，即可判定()f x 在

()1,+∞是单调递减；

（2）讨论0,0x x ><，去掉x 的绝对值即可得到函数()g x 的解析式. 【详解】

解：（1）函数()f x 在()1,+∞为单调递减. 证明如下：任取121x x <<，则()()()()

2112121211

1111x x f x f x x x x x --=

-=----，

(易错题)高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题 1．已知函数( )f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．04m ≤≤ B ．04m <≤ C ．04m ≤< D ．04m << 2．函数25,1 (),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪ =⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有 ()()1212 0f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（） A ．30a -≤< B ．32a --≤≤ C ．2a ≤- D ．0a < 3．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（） A ．[]7,3- B ．[] 3,7- C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,32⎡⎤ - ⎢⎥⎣⎦ 4．如果函数()()()2 121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则 32a b +的最大值为（） A ．4 B ．1- C ． 23 D ．6 5．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,9) B ．(3,+)∞ C ．(,9)-∞ D ．(0,9) 6．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与 2(22)f a a ++的大小关系是（） A ． 2(1)(22)f f a a ->++ B ．2(1)(22)f f a a -<++ C ．2(1)(22)f f a a -≥++ D ． 2(1)(22)f f a a -≤++ 7．若定义运算,,b a b a b a a b ≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2 242g x x x x =--+*-+的值域为（） A ．(],4-∞ B ．(],2-∞ C ．[)1,+∞ D ．(),4-∞ 8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且 ()1 12 f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（） A ．(] [),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞

(易错题)高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题 1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[] 2.12=，若函数 ()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知函数()2,1 25,1 x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()() 12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（） A ．4a D ．R 3．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设 ()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q 中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（） A ．16- B ．16 C ．8a D ．816a - 4．对二次函数()2 f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值 D ．点()2,8在()f x 的图象上 5．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（） A ．[]4,-+∞ B ．9,4⎡⎫ -+∞⎪⎢⎣⎭ C ．9,44⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ D ．[]0,4 6．已知定义在R 上的函数()2|| · x f x x e =， (a f log =， 312b f log ⎛ =⎫ ⎪⎝⎭ ，()ln3c f = ，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c a b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c b a >> 7．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数 {}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12 x = 有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果 ()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（）

人教A版数学必修一第二章基本初等函数(ⅰ)(一)a卷

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高中同步创优单元测评 A 卷数学班级：________ 姓名：________ 得分：________ 第二章基本初等函数(Ⅰ)(一) (指数与指数函数) [名师原创·基础卷] (时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算[(－2)2] － 12 的结果是( ) A.2 B ．－2 C.2 2 D ．－2 2 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭ ⎪⎫278 23 的值为( ) A ．－13 B.13 C.43 D.73 3．若a >1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a )x 2的图象可能是下列四个

选项中的( ) 4．下列结论中正确的个数是( ) ①当a <0时，(a 2 23 ＝a 3；②n a n ＝|a |(n ≥2，n ∈N )； ③函数y ＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)； ④6(－2)2＝32. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 6．函数y ＝21 x 的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1)∪(1，＋∞) D ．(1，＋∞) 7．函数y ＝|2x －2|的图象是( )

8．a ，b 满足00，a ≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( ) A ．a >1 B ．a >1，且m <0 C ．0 0 D ．0