线段中的动点问题专项训练（30道）
【类型1 一般性问题】
1．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；
①当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
2．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．
（1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？
（2）当P在线段AB上且P A＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；
3．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米．
①运动1秒后，求CD的长；
①当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是厘米．
4．如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s．
（1）求AB的长；
（2）设点P、Q出发时间为ts，
①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值；
①直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值．
5．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB ＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长．
6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【类型2 满足关系式问题】
7．如图，点B在线段AC上，点M、N分别是AC、BC的中点．
AC，则线段MN的长为
（1）若线段AC＝15，BC=2
5
（2）若B为线段AC上任一点，满足AC﹣BC＝m，其它条件不变，求MN的长；
（3）若原题中改为点B在直线AC上，满足AC＝a，BC＝b，（a≠b），其它条件不变，求MN的长．
8．如图，已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B 右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动．
（1）当b＝5时，试求线段AC的长；
AB，求此时（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB=1
2满足条件的b值．
（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，则此时的b的取值范围是．
9．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．
（1）若BC＝30，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R 从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？
10．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+EC
BE =3
2
，求CD
BD
的值．
11．已知数轴上有A、B两个点．
（1）如图1，若AB＝a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且AC
CB =3
4
，则AC
＝，CB＝，MC＝（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20．
①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB＝3BN．
①现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P 移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P 到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值．
12．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．
（1）求点C所表示的数；
（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；
（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜7
时，数轴上的
2有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T 不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．
【类型3 存在性问题】
13．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs．
（1）AC＝cm；
（2）当x＝s时，P、Q重合；
（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，求MN的长；
（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
15．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣
2、0、
3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
（1）当t＝0秒时，AC的长为，当t＝2秒时，AC的长为．
（2）用含有t的代数式表示AC的长为．
（3）当t＝秒时AC﹣BD＝5，当t＝秒时AC+BD＝15．
（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C 在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是；点C表示的数是；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．
【类型4 定值问题】
17．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB＝12，CE＝6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF＝2，则BE＝，若CF＝m，BE与CF的数量关系是；
（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD＝7，且DF＝3DE？若存在，请求出10DF
值；若不存在，请说明理由．
CF
18．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？
（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；
=3，若（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−AP
PC 存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知线段AB＝15cm，CD＝3cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点．
（1）若AC＝4cm，求线段EF的长；
（2）当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长度；若变化，请说明理由．
20．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，①AB＝cm，①此时线段CD的长度＝cm；
（2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长；
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；
若变化，请说明理由．
21．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM；
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；①MN+PN 的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数；
（2）点P所表示的数；（用含t的代数式表示）；
（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
23．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC．
（1）线段AP与线段AB的数量关系是：；
（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求证：AP＝PQ；
AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=1
2
的值是否发生变化？若变化，请说明理由；
续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问MN
AB
的值．
若不变，请求出MN
AB
24．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．
（1）若BC＝30，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R 从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？
（3）在（1）的条件下，O为原点，动点P、Q分别从A、C同时出发，P向左运动，Q 向右运动，P点的运动速度为8个单位长度/秒，Q点的运动速度为4个单位长度/秒，N 为OP的中点，M为BQ的中点，在P、Q运动的过程中，PQ﹣2MN的值是否发生变化？
若不变，求其值；若变化，请说明理由．
【类型5 新定义问题】
25．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B
．
两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b
2
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；
①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
AB；
（3）求当t为何值时，PQ=1
2
（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
26．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．
（2）【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．
①点M在运动的过程中表示的数为（用含t的代数式表示）．
①求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．
①同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请
直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
27．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；
【解决问题】
（3）如图①，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由
28．直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=1
AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如
2
AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
图1，BC=1
2
若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．（1）MP＝cm；
（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．
29．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的1
，则称该点是其
2
BC，他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB=1
2此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有个，分别是；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
30．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
①若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
动点问题专题训练 1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ····················· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t = =秒， ∴51544 3 Q CQ v t ===厘米/秒． ················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 1532104x x =+⨯， 解得803 x =秒． ∴点P 共运动了803803 ⨯=厘米． ∵8022824=⨯+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
动点问题练习题 1、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． (1)线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ． 求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形 ABCD 中， 354245AD BC AD DC AB B ====?∥，，，，∠． 动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ， 点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． 4.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动 点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运 动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长 C P Q B A M N A D C B M N O M A N B C y x A P C Q B D
七年级（上）动点问题专题 1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|． （1）求线段AB的长． （2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值． （3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变． 2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）PA=_________；PB=_________（用含x的式子表示） （2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B 以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．
3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点， AB=14． （1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度； （2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关； （3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变； ②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值． 4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D 点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
线段中的动点问题专项训练（30道） 【类型1 一般性问题】 1．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts． （1）若AP＝8cm， ①运动1s后，求CD的长； ①当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD； （2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值． 2．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． （1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？ （2）当P在线段AB上且P A＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度； 3．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米． ①运动1秒后，求CD的长； ①当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD； （2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是厘米．
4．如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s． （1）求AB的长； （2）设点P、Q出发时间为ts， ①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值； ①直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值． 5．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB ＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动． ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长； ①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长． 6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
动点问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿 AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当t=时，四边形是平行四边形；6 当t=时，四边形是等腰梯形.8 2、如图2 则DN+MN 3点O CE ∥ （1的长为；（2）当解：（1（2∵∠α=在Rt △∴AB =4,∴BD =2.∴四边形4、在△ (1)当直线MN 绕点 C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=A D ＋B E ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加 以证明. 解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB ②∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE (3)当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC ， C B E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3
2020中考数学 动点问题专题训练 例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴 相交于点C ，顶点为D . ⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； ⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为； ① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，． 抛物线的对称轴是：1x =． ⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得： 303.k b b +=⎧⎨ =⎩ ， 解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，． 在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ， 当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，． ∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥ ∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形． ②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得： 3O B O M M B =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+． 即()1111 2222 S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅． ∴()()22139 3303222 S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．
动点问题专项训练（30道） 1．（2021秋•崇川区月考）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t＝0.5时，求点Q表示的数； （2）当t＝2.5时，求点Q表示的数； （3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 2．（2021秋•滨海县月考）点A．B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和8的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣6的两点之间的距离是； （2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是，若|AB|＝3，那么x为； （3）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q 同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q与点P相距1个单位？（请写出必要的求解过程） 3．（2021秋•佛山月考）如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是，线段BC的长＝； （2）若线段AB以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？ 4．（2021秋•九龙坡区校级月考）在如图所示的不完整的数轴上，相距30个单位长度的点A和点B表示的数互为相反数，将点B向右移动15个单位长度，得到点C，点P是该数轴上的一个动点，从点C出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动至点A，然后立即返回以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动．设点P的运动时间为t秒．
初一数学上学期线段中的动点问题专题汇编练习 1.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t ＞0）秒． （1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长； 解：（1）由题意得点B表示的数为－6；点P表示的数为8－5t； （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图） 则AC=5，BC=3， ∵AC－BC=AB ∴5－3="14" 解得：=7， ∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q； （3）没有变化．分两种情况： ①当点P在点A、B两点之间运动时： MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB="7"
②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP－NP= AP－BP=(AP－BP)=AB="7" ∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7； 2.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=______，PC=______． （2）当点P运动到B点时，点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，当点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离． 解：（1）PA=t，PC=36-t； （2）当16≤t≤24时PQ=t-3（t-16）=-2t+48， 当24＜t≤28时PQ=3（t-16）-t=2t-48， 当28＜t≤30时PQ=72-3（t-16）-t=120-4t， 当30＜t≤36时PQ=t-[72-3（t-16）]=4t-120． 3.已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______；（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=______，PC=______；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．①
思维特训(十七)线段上的动点问题 方法点津· 所谓“动点型问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题． 解决这类问题的关键是动中求静，灵敏运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系． 线段上的动点问题一般有两种类型： (1)动点无速度型，主要利用两点间的间隔、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解； (2)动点有速度型，主要利用路程＝时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解． 典题精练· 类型一动点无速度型 1．如图17－S－1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A，B间的间隔为100 km，A，C间的间隔为40 km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的间隔为x km. (1)用含x的式子表示车站到三个村庄的间隔之和； (2)假设车站到三个村庄的间隔之和为105 km，那么车站应设在何处？ (3)假设要使车站到三个村庄的间隔之和最小，那么车站应设在何处？ 图17－S－1 2．如图17－S－2，某公司有三个住宅小区A，B，C，A，B，C各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上(即A，B，C三点共线)，AB＝100米，BC＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？ 图17－S－2 3．数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且a，b满足等式(a＋9)2＋|7－b|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x. (1)求线段AB的长．
动点问题经典练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． 2、（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点从点出发沿C P Q B A M N C B
中考动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP. (2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. A B C O 图8 H 3(1)
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后， BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来 的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米， ∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··················································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t = =秒，
∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ··········································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15 32104 x x =+⨯， 解得80 3 x = 秒． ∴点P 共运动了80 3803 ⨯=厘米． ∵8022824=⨯+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过 80 3 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ··························· （12分） 2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 解（1）A （8，0）B （0，6） ··········· 1分 （2） 86OA OB ==， 10AB ∴= 点Q 由O 到A 的时间是 8 81 =（秒） ∴点P 的速度是 610 28 +=（单位/秒） · 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，
七年级—线段的动点问题（含答案） 一．解答题（共40小题） 1．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点C在原点位置，点B表示的数为﹣4，下表中A﹣B，B﹣C，D﹣C，E﹣D，F﹣E的含义为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如B﹣C为﹣4﹣0＝﹣4． A﹣B B﹣C D﹣C E﹣D F﹣E 10﹣4﹣1x2 （1）在数轴上表示出A，D两点； （2）当点A与点F的距离为3时，求x的值； （3）当点M以每秒1个单位长度的速度从点B出发向左运动时，同时点N从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，到达点C后立即以同样的速度反方向运动，那么出发秒钟时，点D 到点M，点N的距离相等（直接写出答案）． 2．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B 之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍． （1）点B表示的数是；点C表示的数是； （2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？ （3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．
3．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长． （2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动； 点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒． ①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值． ②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值． 4．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s 的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？