动点问题专题训练
1、如图，在直角梯形ABCD 中AB ∥CD, AD ⊥CD, AB=8, CD=12, AD=3,动点P 从点C 出发，以每秒2个单位的速度匀速向点D 运动，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度匀速向点B 运动.设P 、Q 同时出发，运动时间为t ，请回答下列问题：
（1） t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？ （2） t 为何值时，四边形PQBC 为等腰梯形？
（3） t 为何值时，四边形PQBC 为菱形？若不能，怎样改变Q 点的速度使四边形PQBC 为菱形.
（4） t 为何值时，PQ 将梯形ABCD 的面积平分？ （5） t 为何值时，PQ 将梯形ABCD 的周长平分？ （6） PQ 能否将梯形ABCD 的面积、周长同时平分？改变Q 点的速度后能否平分？
（7） 连接DQ, t 为何值时△DPQ 是直角三角形？ （8） t 为何值时△DPQ 是等腰三角形？ （9） △DPQ 能否成为等边三角形？
（10） 连接AC 交PQ 于M,点M 的位置是否随着PQ 的运动而改变位置? （11） 求出△AQM 的面积S 与t 的函数关系式. （12） t 为何值时PQ ⊥AC ? （13） t 为何值时DQ ⊥A C ?
2、如图，在等边△ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速
度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速
度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。
⑴ x 为何值时，PQ ⊥AC ；
⑵ 设△PQD 的面积为y ，当0＜x ＜2时，求y
与x 的函数关系式；最值？
3） 当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积； 4） x 为何值时，ABDQ 是等腰梯形。 5） x 为何值时，PBQ 是正三角形
6） x 为何值时，PDQ 的面积是ABC 的一半。（或直角三角形） 7） x 为何值时，AC ∥PQ
8） 探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系。请写出相应位置关系的x 的取值范围。
A
Q
B
9）能否通过改变Q 的运动速度，实现上述的不可能情况？ 请尝试？
3、已知：如图2，等边三角形ABC 的边长为6，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD =AE =2．若点F 从点B 开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒．当t ＞0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ． （1）设△EGA 的面积为S ，写出S 与t 的函数关系式； （2）当t 为何值时，AB ⊥GH ；
（3）请你证明△GFH 的面积为定值；
（4）当t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点．
4、如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，BC =16，DC =12，AD =21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t （秒）．
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO =OB 时，求∠BQP 的正切值； （4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
图2 B C D
P Q 图3
5、已知Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3厘米，OB =4厘米，以O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系。设
P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点，它们同时分别从点A 、
O 向B 点匀速运动，运动速度都是1厘米/秒。设P 、Q
运动时间为t 秒（0≤t ≤4）
（1）用t 表示P 点的坐标为 ； （2）求△OPQ 的面积S （cm 2
）与运动时间t （秒）之间
的函数关系式；并求出当t 为何值时，S 有最大值？S 的最大值是多少？ （3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？
6、如图5，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =3，
BC =6，tan ∠C =3
4
，与BC 平行的一条动直线交线段AB 于E ，交线段DC 于F ，设AE =x . （1）当x 为何值时，直线EF 将梯形ABCD 的周长分成相等的两部分？
（2）过点F 作FG ⊥BC 于G ，设四边形EBGF 的面积为y ，试求y 与x 之间的函数关系式；并说明当x 为何值时，
四边形EBGF 的面积最大？最大面积是多少？ （3）当x 为何值时，四边形EBGF 成正方形； （4）连结BF ，当x 为何值时，BF ⊥CD .
7、已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB ＝20厘米，BC ＝40厘米．点P 、Q 同时从点A 出发，分别以2厘米／秒、4厘米／秒的速度由A →B →C →D →A 的方向在矩形边上运动，只要Q 点回到点A ，运动全部停止．设运动时间为t 秒． （1）当点P 运动在AB （含B 点）上，点Q 运动在BC （含B 、C 点）上时， ①设PQ 的长为y ，求y 关于时间t 的函数关系式，并写出t 的取值范围？ ②当t 为何值时，△DPQ 是等腰三角形？
（2）在P 、Q 的整个运动过程中，分别判断下列两种情形是否存在？如果存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由．
①PQ 与BD 平行； ②PQ 与BD 垂直．
)
A
B C D
E F
G
图5
8、如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，6），C （8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 ⑴ 求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式。
⑵ 试在⑴中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。
⑶ 设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。 ⑷ 设从出发起，运动了t 秒。当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。
9、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°AC=BC=6㎝，正方形DEFG 的边长为2㎝，其一边EF 在BC 所在的直线L 上，开始时点F 与点C 重合，让正方形DEFG 沿直线L 向右以每秒1㎝的速度作匀速运动，最后点E 与点B 重合.
⑴请直接写出该正方形运动6秒时与△ABC 重叠部分面积的大小； ⑵设运动时间为x （秒），运动过程中正方形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为y （㎝2
）.
①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y 与x 之间的函数关系式；
②在该正方形整个运动过程中，求当x 为何值时，y=2
1.
A C B
E D
G （F ）
L
10、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝20 cm ，BC ＝4 cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4 cm / s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1 cm / s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t （s ）． (1) t 为何值时，四边形APQD 为矩形？
(2) 如图2，如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2 cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？
11、如图，矩形ABCD 表示一薄卡片，AB ＝20cm ，BC ＝16cm ，点M 在BC 边上，沿DM 折叠，使点C 落在点N 处，设CM ＝xcm ，四边形DNMC 的面积为ycm 2
（1）求y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。
（2）某同学在小制作活动中，要剪取形如四边形DNMC 的轴对称图形。
①若不允许拼接，则四边形DNMC 的面积最大是多少？此时M 点距C 多远？ ②若允许拼接，如何操作？四边形DNMC 的最大面积是多少？
（3）当x ＝12时，试确定点N 到AB 的距离NP 的值（保留2位小数）。
12、如图1和图2所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∠BCD ＝45°，AB ＝3，CD ＝6，点E 是BC 的中点，点F 是一动点，从点D 开始以每秒一个单位长的速度沿射线DC 的方向运动，运行时间为t ，连结FE ，
（1）是否存在t 的值，使得EF ⊥BD ，如果存在求出t 的值，如果不存在，请说明理由；
（2）当FE 的延长线AB 交于点G ，与BD 交于点H 时，是否存在t 的值，使得BH ∶HD ＝1∶4，如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由；
（3）是否存在t 值，使得△DEF 为等腰三角形，如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由.
13、如图1，Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝8cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上。令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图2），直到C 点与N 点重合为止。设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y 2cm 。求y 与x 之间的函数关系式。
F C D A
B
E 45°
F C
D A
G B
E H 45°
图1 图2
动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,敏捷运用有关数学学问解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开场沿AD边以 1cm/秒的速度挪动，点Q从C开场沿CB向点B以2 cm/秒的速度挪动，假如P，Q分别从A，C同时动身，设挪动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且 DM=1，N为对角线AC上随意一点，则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开场，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α． （1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为； O E C D A α l O C A
（2）当90α=°时，推断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300. ∴AB =4,AC =2 . ∴AO =1 2AC = .在 Rt △AOD 中，∠A =300，∴ AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形 4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E. (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB ② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴ C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3
数学动点问题及练习题附参考答案 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重 要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件 地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动 点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢下面结合中考 试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。二、应用比例式建立 函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所 以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特 殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点， 近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此 问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。二、解决动态 几何问题的常见方法有: 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式； 研究特殊情况下的函数值。 专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图 形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的 双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读 者欣赏.1以双动点为载体，探求函数图象问题。2以双动点为载体，探求 结论开放性问题。3以双动点为载体，探求存在性问题。4以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信 息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动 和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运 动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题， 题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的 有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 例1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1 个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停 止运动．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同 时停止运动；
动点问题专题训练 1、如图，已知△ABC中， AB=AC=10厘米， BC=8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与 CQP△是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等 （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇
2、直线y=-3/4+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出AB点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S=48/5时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的
速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ 于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ 的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
动点问题专题训练 1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ····················· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t = =秒， ∴51544 3 Q CQ v t ===厘米/秒． ················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 1532104x x =+⨯， 解得803 x =秒． ∴点P 共运动了803803 ⨯=厘米． ∵8022824=⨯+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练 1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)， A(3，33)，B(9，53)，C(14，0)．动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA－AB －BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3，3，5 2(单位长度/秒)．当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动． (1)求AB所在直线的函数表达式． (2)如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S 的最大值． (3)在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值． 图1 图2 2. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A，D重合). (1)求抛物线和直线l的解析式; (2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作
PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值; (3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由. 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点． （1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值． 4. 设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足 为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
动点问题专项训练 在数学中，动点问题是一类非常具有挑战性和实际应用价值的题目。这类问题涉及到点的运动，需要我们运用几何、代数等工具进行解决。动点问题不仅在数学领域有着广泛的应用，在其他学科如物理学、工程学等也有着重要的地位。 一、动点问题基本类型与解法 1.线段长度计算：这类问题中，动点在给定的图形（如三角形、矩形等）内 移动，要求计算某条线段的长度。基本解法是运用勾股定理、相似三角形等几何知识进行计算。 2.角度计算：这类问题中，动点可以改变图形中的角度，如三角形内角、四 边形对角等。基本解法是运用三角函数、平行线的性质等代数知识进行计算。 二、实际应用案例分析 以一道实际问题为例，说明如何分析和解决动点问题。题目描述了一个工程师在设计道路时，需要计算某段道路的长度。道路的一侧是一个斜坡，斜坡的长度和高度都是已知的，而斜坡与道路之间的距离也是已知的。工程师需要找出道路的长度。 解决这个问题的思路是：首先运用勾股定理计算出斜坡与道路之间的距离，然后运用相似三角形的性质计算出道路的长度。 三、训练题目与解题技巧分享 设计一些具有代表性的动点问题题目，并讲解如何运用所学技巧进行求解。例如，可以设计一个题目，要求计算一个正方形内一个动点走过的路程。解决这个问题的技巧是：首先将正方形分成若干个小正方形，然后运用数形结合的方法计算出动点走过的路程。 四、针对不同水平学生的教学策略 针对不同水平的学生，应该采取不同的教学策略。对于水平较低的学生，应该注重基础知识的掌握和理解，例如几何和代数的基础概念和定理。对于水平较高的学生，应该注重培养他们的独立思考能力和创新思维，例如引导他们自己发现和解决问题，或者让他们尝试解决更具有挑战性的问题。 五、创新思维与拓展训练 提供一些具有挑战性或创新性的动点问题作为补充练习，培养学生们从不同角度审视问题以及灵活运用所学知识进行解答能力。例如，可以设计一个题目，要求计算一个正方体内一个动点走过的体积。解决这个问题的技巧是：首先将正方体分成若干个小正方体，然后运用数形结合的方法计算出动点走过的体积。
线段中的动点问题专项训练（30道） 【类型1 一般性问题】 1．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts． （1）若AP＝8cm， ①运动1s后，求CD的长； ①当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD； （2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值． 2．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． （1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？ （2）当P在线段AB上且P A＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度； 3．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米． ①运动1秒后，求CD的长； ①当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD； （2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是厘米．
4．如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s． （1）求AB的长； （2）设点P、Q出发时间为ts， ①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值； ①直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值． 5．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB ＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动． ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长； ①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长． 6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
动点问题专题训练 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． C P Q B A M N C
初中数学压轴题---几何动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米， ∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， P
∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15 32104 x x =+⨯， 解得80 3 x = 秒． ∴点P 共运动了80 3803 ⨯=厘米． ∵8022824=⨯+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过 80 3 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········································· （12分） 2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 解（1）A （8，0）B （0，6） ··············· 1分 （2）86OA OB ==，
2020中考数学 动点问题专题训练 例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴 相交于点C ，顶点为D . ⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； ⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为； ① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，． 抛物线的对称轴是：1x =． ⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得： 303.k b b +=⎧⎨ =⎩ ， 解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，． 在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ， 当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，． ∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥ ∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形． ②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得： 3O B O M M B =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+． 即()1111 2222 S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅． ∴()()22139 3303222 S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．
动点问题专题训练 1、〔09XX 如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点． 〔1如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等？ 〔2若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：〔1①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米, ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点, ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米, ∴835PC =-=厘米, ∴PC BD =． 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠, ∴BPD CQP △≌△． ················································································ 〔4分 ②∵P Q v v ≠, ∴BP CQ ≠, 又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====，, ∴点P ,点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒, ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ···································································· 〔7分 〔2设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇, 由题意,得 15 32104x x =+⨯, 解得80 3 x =秒．
动点问题专项训练（30道） 1．（2021秋•崇川区月考）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t＝0.5时，求点Q表示的数； （2）当t＝2.5时，求点Q表示的数； （3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 2．（2021秋•滨海县月考）点A．B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和8的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣6的两点之间的距离是； （2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是，若|AB|＝3，那么x为； （3）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q 同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q与点P相距1个单位？（请写出必要的求解过程） 3．（2021秋•佛山月考）如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是，线段BC的长＝； （2）若线段AB以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？ 4．（2021秋•九龙坡区校级月考）在如图所示的不完整的数轴上，相距30个单位长度的点A和点B表示的数互为相反数，将点B向右移动15个单位长度，得到点C，点P是该数轴上的一个动点，从点C出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动至点A，然后立即返回以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动．设点P的运动时间为t秒．
动点问题专题训练 1、如图，ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．〔1〕如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △ 与CQP △是否全等，请说明理由； ②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ 〔2〕假设点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停顿．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． 〔1〕直接写出A B 、两点的坐标； 〔2〕设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； 〔3〕当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点
、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． O P Q 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P〔0，k〕是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. 〔1〕连结PA，假设PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； 〔2〕当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为〔－3，4〕， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H