动点问题专项训练
在数学中，动点问题是一类非常具有挑战性和实际应用价值的题目。这类问题涉及到点的运动，需要我们运用几何、代数等工具进行解决。动点问题不仅在数学领域有着广泛的应用，在其他学科如物理学、工程学等也有着重要的地位。
一、动点问题基本类型与解法
1.线段长度计算：这类问题中，动点在给定的图形（如三角形、矩形等）内
移动，要求计算某条线段的长度。基本解法是运用勾股定理、相似三角形等几何知识进行计算。
2.角度计算：这类问题中，动点可以改变图形中的角度，如三角形内角、四
边形对角等。基本解法是运用三角函数、平行线的性质等代数知识进行计算。
二、实际应用案例分析
以一道实际问题为例，说明如何分析和解决动点问题。题目描述了一个工程师在设计道路时，需要计算某段道路的长度。道路的一侧是一个斜坡，斜坡的长度和高度都是已知的，而斜坡与道路之间的距离也是已知的。工程师需要找出道路的长度。
解决这个问题的思路是：首先运用勾股定理计算出斜坡与道路之间的距离，然后运用相似三角形的性质计算出道路的长度。
三、训练题目与解题技巧分享
设计一些具有代表性的动点问题题目，并讲解如何运用所学技巧进行求解。例如，可以设计一个题目，要求计算一个正方形内一个动点走过的路程。解决这个问题的技巧是：首先将正方形分成若干个小正方形，然后运用数形结合的方法计算出动点走过的路程。
四、针对不同水平学生的教学策略
针对不同水平的学生，应该采取不同的教学策略。对于水平较低的学生，应该注重基础知识的掌握和理解，例如几何和代数的基础概念和定理。对于水平较高的学生，应该注重培养他们的独立思考能力和创新思维，例如引导他们自己发现和解决问题，或者让他们尝试解决更具有挑战性的问题。
五、创新思维与拓展训练
提供一些具有挑战性或创新性的动点问题作为补充练习，培养学生们从不同角度审视问题以及灵活运用所学知识进行解答能力。例如，可以设计一个题目，要求计算一个正方体内一个动点走过的体积。解决这个问题的技巧是：首先将正方体分成若干个小正方体，然后运用数形结合的方法计算出动点走过的体积。
六、总结与反思
回顾全文内容并总结重点。动点问题是一类非常具有挑战性和实际应用价值的题目。解决这类问题的关键是运用恰当的数学工具进行计算和分析。同时，还需要根据实际情况调整教学策略和创新思维拓展训练方式，以帮助学生更好地掌握知识和提高解决问题的能力。在实际操作时，需要加强师生互动配合，鼓励学生积极参与问题的分析和解答过程。
数学动点问题及练习题附参考答案 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重 要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件 地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动 点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢下面结合中考 试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。二、应用比例式建立 函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所 以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特 殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点， 近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此 问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。二、解决动态 几何问题的常见方法有: 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式； 研究特殊情况下的函数值。 专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图 形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的 双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读 者欣赏.1以双动点为载体，探求函数图象问题。2以双动点为载体，探求 结论开放性问题。3以双动点为载体，探求存在性问题。4以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信 息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动 和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运 动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题， 题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的 有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 例1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1 个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停 止运动．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同 时停止运动；
动点问题专题训练 1、如图，已知△ABC中， AB=AC=10厘米， BC=8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与 CQP△是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等 （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇
2、直线y=-3/4+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出AB点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S=48/5时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的
速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ 于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ 的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
动点问题专题训练 1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ····················· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t = =秒， ∴51544 3 Q CQ v t ===厘米/秒． ················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 1532104x x =+⨯， 解得803 x =秒． ∴点P 共运动了803803 ⨯=厘米． ∵8022824=⨯+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
动点问题专项训练 在数学中，动点问题是一类非常具有挑战性和实际应用价值的题目。这类问题涉及到点的运动，需要我们运用几何、代数等工具进行解决。动点问题不仅在数学领域有着广泛的应用，在其他学科如物理学、工程学等也有着重要的地位。 一、动点问题基本类型与解法 1.线段长度计算：这类问题中，动点在给定的图形（如三角形、矩形等）内 移动，要求计算某条线段的长度。基本解法是运用勾股定理、相似三角形等几何知识进行计算。 2.角度计算：这类问题中，动点可以改变图形中的角度，如三角形内角、四 边形对角等。基本解法是运用三角函数、平行线的性质等代数知识进行计算。 二、实际应用案例分析 以一道实际问题为例，说明如何分析和解决动点问题。题目描述了一个工程师在设计道路时，需要计算某段道路的长度。道路的一侧是一个斜坡，斜坡的长度和高度都是已知的，而斜坡与道路之间的距离也是已知的。工程师需要找出道路的长度。 解决这个问题的思路是：首先运用勾股定理计算出斜坡与道路之间的距离，然后运用相似三角形的性质计算出道路的长度。 三、训练题目与解题技巧分享 设计一些具有代表性的动点问题题目，并讲解如何运用所学技巧进行求解。例如，可以设计一个题目，要求计算一个正方形内一个动点走过的路程。解决这个问题的技巧是：首先将正方形分成若干个小正方形，然后运用数形结合的方法计算出动点走过的路程。 四、针对不同水平学生的教学策略 针对不同水平的学生，应该采取不同的教学策略。对于水平较低的学生，应该注重基础知识的掌握和理解，例如几何和代数的基础概念和定理。对于水平较高的学生，应该注重培养他们的独立思考能力和创新思维，例如引导他们自己发现和解决问题，或者让他们尝试解决更具有挑战性的问题。 五、创新思维与拓展训练 提供一些具有挑战性或创新性的动点问题作为补充练习，培养学生们从不同角度审视问题以及灵活运用所学知识进行解答能力。例如，可以设计一个题目，要求计算一个正方体内一个动点走过的体积。解决这个问题的技巧是：首先将正方体分成若干个小正方体，然后运用数形结合的方法计算出动点走过的体积。
线段中的动点问题专项训练（30道） 【类型1 一般性问题】 1．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts． （1）若AP＝8cm， ①运动1s后，求CD的长； ①当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD； （2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值． 2．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． （1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？ （2）当P在线段AB上且P A＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度； 3．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米． ①运动1秒后，求CD的长； ①当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD； （2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是厘米．
4．如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s． （1）求AB的长； （2）设点P、Q出发时间为ts， ①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值； ①直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值． 5．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB ＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动． ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长； ①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长． 6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
七上数学动点问题专项训练 1.点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，点B也从原点出发 向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度。已知，点B的速度比点A的速度快4个单位长度/秒。 （1）求出点A、B两点运动的速度，单位：单位长度/秒； （2）在数轴上标出A、B两点从原点出发3秒后的位置。 2.在一个600米的环形跑道上，点A、B两个加油站相距160米。 如果甲、乙两个人从不同的加油站同时同向出发，甲每秒跑4.5米，经过40秒之后，两个人相距多远？ 3.在一个300米的环形跑道上，甲和乙两名运动员同时从同一点 出发，分别以每秒25米和每秒20米的速度相向而行。当两人相遇时，跑了多少时间？ 4.在一个正方形的操场上，小明和小红两名同学同时从操场的一 个顶点出发，沿着正方形的边开始跑步。小明向北跑，小红向东跑，当小明跑到另一个顶点时，小红才跑了半圈。问小明和小红各跑了多少路程？ 5.在一个直角坐标系中，A、B两点分别位于第四象限和第二象限。 已知A点的坐标为（-3a，4a），B点的坐标为（b，-9），且
AB平行于x轴。求A、B两点的坐标。 6.在一个长为12厘米，宽为4厘米的长方形中，有一个动点P 从长方形的左上角开始，按逆时针方向绕着长方形边缘移动。 当点P再次回到起始位置时，所经过的路程是多少厘米？ 7.一个自行车队正在训练，第一名队员以每小时50千米的速度行 驶。当他行驶了8分钟后，第二名队员从后面追赶上来。他需要多少时间才能追上第一名队员？ 8.一条长度为21厘米的线段AB，被分成三段，每段的长度分别 为a、b、c（单位：厘米）。已知a、b、c都是整数，且满足a+b＞c的条件。求出这三段线段的长度。 9.在一个边长为10厘米的正方形中，有一个动点P从A点（0,0） 开始，按逆时针方向绕正方形边缘移动。当点P再次回到起始位置时，所经过的路程是多少厘米？ 10.在一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形中，有一个动点Q从 长方形的右上角开始，按顺时针方向绕着长方形边缘移动。当点Q再次回到起始位置时，所经过的路程是多少厘米？
动点问题专项训练（30道） 1．（2021秋•崇川区月考）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t＝0.5时，求点Q表示的数； （2）当t＝2.5时，求点Q表示的数； （3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 2．（2021秋•滨海县月考）点A．B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和8的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣6的两点之间的距离是； （2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是，若|AB|＝3，那么x为； （3）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q 同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q与点P相距1个单位？（请写出必要的求解过程） 3．（2021秋•佛山月考）如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是，线段BC的长＝； （2）若线段AB以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？ 4．（2021秋•九龙坡区校级月考）在如图所示的不完整的数轴上，相距30个单位长度的点A和点B表示的数互为相反数，将点B向右移动15个单位长度，得到点C，点P是该数轴上的一个动点，从点C出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动至点A，然后立即返回以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动．设点P的运动时间为t秒．
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
动点问题经典练习题 1、〔回族自治区〕：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动〔运动开场时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止〕，过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； 〔2〕线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． 〔1〕求BC 的长． 〔2〕当MN AB ∥时，求t 的值． 〔3〕试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停顿，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值围；S 是否有最小值？ 假设有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？ 假设存在，求出这时的t 值；假设不存在，请说明理由． 2、〔卷〕如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点 C P Q B A M N C
动点问题专题训练 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． C P Q B A M N C
2020中考数学 动点问题专题训练 例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴 相交于点C ，顶点为D . ⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； ⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为； ① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，． 抛物线的对称轴是：1x =． ⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得： 303.k b b +=⎧⎨ =⎩ ， 解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，． 在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ， 当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，． ∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥ ∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形． ②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得： 3O B O M M B =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+． 即()1111 2222 S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅． ∴()()22139 3303222 S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．
中考动点问题专项训练（含详细解析） 一、解答题 1. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是1cm/s；同时， 点Q从点C出发沿CB方向，在射线CB上匀速运动，速度是2cm/s，过点P作PE∥AC交DC于点E，连接PQ，QE，PQ交AC于点F．设运动时间为t(s)(0 中考数学模拟题汇总《圆的动点问题》专项练习(附答案解析) 一、综合题 1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线BF，过圆心O作AC 的平行线交直线BF于点F，交⊙O于点E，交BC于点D，连接CF . （1）判断CF与⊙O的位置关系，并证明结论； （2）若四边形ACFO是平行四边形，求DE 的值； OD =，请说明图形的运动过程. （3）若△ACB运动后能与△OFB重合，则DE OD 2．如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点． 已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）． （1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是； （2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标x K的取值范围； x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出m的取值范围．（3）已知点M（m，﹣1），若直线y＝1 2 3．如图，线段MN是周长为36cm的圆的直径（圆心为O），动点A从点M出发，以3cm/s的速 度沿顺时针方向在圆周上运动，经过点N时，其速度变为1.5cm/s，并以这个速度继续沿顺时针方向运 动之点M后停止。在动点A运动的同时，动点B从点N出发，以2cm/s的速度沿逆时针方向在圆周 上运动，绕一周后停止运动。设点A、点B运动时间为t(s)。 （1）连接OA、OB，当t=4时，∠AOB = °，在整个运动过程中，当t>6时，点A运动的路程为cm（第2空结果用含t的式子表示）； （2）当A、B两点相遇时，求运动时间t （3）连接OA、OB，当∠AOB=30∘时，请直接写出所有符合条件的运动时间t 4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b)和实数k(k>0)，给出如下定义：当ka+b>0时，以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的k倍相关圆. 例如，在如图1中，点P(1,1)的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆. （1）在点P1(2,1),P2(1,−3)中，存在1倍相关圆的点是，该点的1倍相关圆半径为. （2）如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON=30°，判断直线ON 倍相关圆的位置关系，并证明. 与点M的1 2 的图象经过点B，直线l与直线AB关于y （3）如图3，已知点A(0,3),B(1,m)，反比例函数y=6 x 轴对称. 动点问题专题训练 1、〔09XX 如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点． 〔1如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等？ 〔2若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：〔1①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米, ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点, ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米, ∴835PC =-=厘米, ∴PC BD =． 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠, ∴BPD CQP △≌△． ················································································ 〔4分 ②∵P Q v v ≠, ∴BP CQ ≠, 又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====，, ∴点P ,点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒, ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ···································································· 〔7分 〔2设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇, 由题意,得 15 32104x x =+⨯, 解得80 3 x =秒．中考数学模拟题汇总《圆的动点问题》专项练习(附答案解析)
初中数学几何的动点问题专题练习
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