数学动点问题及练习题附参考答案
专题一：建立动点问题的函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重
要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件
地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动
点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢下面结合中考
试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。二、应用比例式建立
函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所
以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特
殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，
近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此
问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
（一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。二、解决动态
几何问题的常见方法有:
2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；
研究特殊情况下的函数值。
专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图
形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的
双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读
者欣赏.1以双动点为载体，探求函数图象问题。2以双动点为载体，探求
结论开放性问题。3以双动点为载体，探求存在性问题。4以双动点为载体，探求函数最值问题。
双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信
息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动
和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运
动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。
专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题
专题五：以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，
题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的
有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。
例1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1
个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD
方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停
止运动．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同
时停止运动；
（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写
出t的取值范围；（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角
形是等腰三角形；（4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．
A
EODF
B
C
例2.正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，BC
上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
当M点在
（2）设BM某，梯形ABCN的面积为y，求y与某之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时某的值．
AD
N
BM
C
例3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，AB42，∠B动
45．点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运
动．设运动的时间为t秒．（09年济南中考）（1）求BC的长。AD（2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
BM
NC
例4.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建
立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）y（1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用
At表示）
（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
PM（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）若点P运动速度不变，改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值.
答案解析
F
E
OQB某例1.解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）
由题意可知：ED=t，BC=8，FD=2t-4，FC=2t．
A
∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴
D
FDED．FCBC∴
2t4t．解得t=4．2t8∴当t=4时，两点同时停止运动；……（3分）B
图2
C
（2）∵ED=t，CF=2t，∴S=S△BCE+S△BCF=
11某8某4+某2t某t=16+t2．22即
S=16+t2．（0≤t≤4）；………………………………………………………（6分）
（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF2=(2t4)t5t16t16，
EC2=4tt16，∴5t16t16=t16．∴t=4或t=0（舍去）；
2222②若EC=FC时，∵EC2=4tt16，FC2=4t2，
∴t16=4t2．∴t2222222243；3③若EF=FC时，∵EF2=(2t4)t5t16t16，
FC2=4t2，∴5t16t16=4t2．∴t1=1683（舍去），t2=1683．∴当t的值为4，222243，1683时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三3BCCF2，CDED角形；………………………………………………………………………………（9分）
（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，
∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．………………………………………（10分）∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则
∠BEC=∠BCE．即BE=BC．∵BE2=t16t80，∴t16t80=64．
22∴t1=1683（舍去），t2=1683．
∴当t=1683时，
∠BEC=∠BFC．……………………………………………（12分）例2.解：（1）在正方形ABCD中，
ABBCCD4，BC90°，AM⊥MN，AMN90°，
CMNAMB90°，
在Rt△ABM中，MABAMB90°，CMNMAB，
Rt△ABM∽Rt△MCN，
（2）Rt△ABM∽Rt△MCN，ABBM4某，，MCCN4某CNAD
N
B
M
某24某CN，
4yS梯形ABCN1某24某1124·4某22某8某210，2422当某2时，y取最大值，最大值为10．（3）
BAMN90°，
要使△ABM∽△AMN，必须有
由（1）知
AMAB，MNBMAMAB，MNMCBMMC，
当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时某2．
例3.解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形
∴KHAD3．
在Rt△ABK中，AKABin4542．242BKABco4542242在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC52423
∴BCBKKHHC43310AD
CBBKH
（图①）
A
D
N
G（图②）
M
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形∵MN∥AB∴MN∥DG∴BGAD3∴GC1037
由题意知，当M、N运动到t秒时，CNt，CM102t．∵DG∥MN
∴∠NMC∠DGC又∠C∠C
∴△MNC∽△GDC
CNCMCDCGt102t即5750解得，t
17∴
（3）分三种情况讨论：
①当NCMC时，如图③，即t102t∴t103DN
AAD
N
BBC
M
（图④）（图③）
②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E∵∠C∠C，
DHCNEC90∴△NEC∽△DHC
MHE
NCECDCHCt5t即53∴
动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,敏捷运用有关数学学问解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开场沿AD边以 1cm/秒的速度挪动，点Q从C开场沿CB向点B以2 cm/秒的速度挪动，假如P，Q分别从A，C同时动身，设挪动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且 DM=1，N为对角线AC上随意一点，则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开场，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α． （1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为； O E C D A α l O C A
（2）当90α=°时，推断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300. ∴AB =4,AC =2 . ∴AO =1 2AC = .在 Rt △AOD 中，∠A =300，∴ AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形 4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E. (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB ② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴ C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3
中考专题训练 动点问题 例1. 如图， 在ABC ?中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从 点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ， 当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >． （1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形； （2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ?的面积存在最大值， 当PEF ?的面积最大时， 求线段BP 的长； （3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ?为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ． 【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥， EF ∴为AD 的垂直平分线， AE DE ∴=，AF DF =． AB AC =，AD BC ⊥于点D ， AD BC ∴⊥，B C ∠=∠． //EF BC ∴， AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠， AEF AFE ∴∠=∠， AE AF ∴=， AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．
（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ， AEF ABC ∴??∽， ∴ EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5 102 EF t =-． 221155510 (10)210(2)10(0)222223 PEF S EF DH t t t t t t ?= =-=-+=--+<<， ∴当2t =秒时，PEF S ?存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==． （3） 解： 存在 ． 理由如下： ①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示， 此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =． //PE AD ，∴ PE BP AD BD =，即2385 t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示， 此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-． //PF AD ，∴ PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得40 17 t =； ③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．
初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的 边 AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运 动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面 积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形 ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ C P Q B A M N C B
中考数学之 动点问题 一、选择题： 1. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停顿，设点P运动的路程为*， △ABP的面积为y，如果y关于*的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是〔〕 A、10 B、16 C、18 D、20 二、填空题： 1. 如上右图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、 AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________〔把你认为正确的序号都填上〕。 三、解答题： 1．〔2008年大连〕如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、C H于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线A B于点F．设PD的长为*，EF的长为y． ⑴求PM的长(用*表示)； ⑵求y与*的函数关系式及自变量*的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E在线段AH上时，求*的取值范围(图14为备用图)． 2.〔2008年福建宁德〕如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、 Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时 0＜x＜，△DCQ的8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为*秒()8 面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米． ⑴求y1与*的函数关系，并在图2中画出y1的图象； ⑵如图2，y2的图象是抛物线的一局部，其顶点坐标是〔4，12〕，求点P的速度及AC的长； ⑶在图2中，点G是*轴正半轴上一点〔0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于*轴，分别交y1、y2于点E、F． ①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜*＜６时，求线段EF长的最大值．
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
数学动点问题及练习题附参考答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏. 1 以双动点为载体，探求函数图象问题。 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3 以双动点为载体，探求存在性问题。 4 以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。
初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的 边 AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合,点N 到达点B 时 运动终止)，过点M N 、分别作AB 边的垂线,与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的 时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积; （2)线段MN 在运动的过程中,四边形 MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积 S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图,在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从 B 点出发沿线段B C 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段C D 以 每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． (1)求BC 的长． (2）当MN AB ∥时，求t 的值． (3）试探究：t 为何值时,MNC △为等腰三角形． 3、如图,在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为（6,0），点B 的坐标为(4，3），点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点;动点N 在AB 上运动,从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度,当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止,设两个点的运动时间为t （秒）． （1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ? （2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ C P Q B A M N C B
动点问题专题训练 1、如图，ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．〔1〕如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △ 与CQP △是否全等，请说明理由； ②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ 〔2〕假设点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停顿．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． 〔1〕直接写出A B 、两点的坐标； 〔2〕设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； 〔3〕当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点
、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． O P Q 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P〔0，k〕是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. 〔1〕连结PA，假设PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； 〔2〕当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为〔－3，4〕， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
中考数学之 动点问题 一、选择题： 1. 如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ） 9 4x y O P D A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 二、填空题： 1. 如上右图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。 三、解答题： 1．（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、C H 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线A B 于点F ．设PD 的长为x ，EF 的长为y ． ⑴求PM 的长(用x 表示)； ⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围(图14为备用图)． Q P O B E D C A
2.（2008年福建宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全 程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80 ＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． ⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象； ⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长； ⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值． ͼ 13 ͼ 14 ͼ 12 A H B C D A H B C D H M Q P D C B A
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为 每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
动点问题（习题）例题示范 例1：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3 cm， DC=15 cm，BC=24 cm．点P 从A 点出发，沿A→D→C 的方向以 1 cm/s 的速度匀速运动，同时点Q 从C 点出发，沿C→ B 的方向以 2 cm/s 的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止运动． （1）连接AP，AQ，PQ，设△APQ 的面积为S（cm2），点P 运动的时间为t（s），求S 与t 之间的函数关系式． （2）当t 为何值时，△APQ 的面积最大？最大值是多少？ （3）△APQ 能成为直角三角形吗？如果能，直接写出t 的值；如果不能，请说明理由． 林老师编辑整理
林老师编辑整理 【思路分析】 ① 研究基本图形，标注信息． 3 15 B Q C 24 ② 分析运动状态，分段、定范围． △APQ 的面积 S (1/s) P : A 3 s D (2/s) Q : C C 12 s B 总时间：0≤t ≤12，分为两段：0≤t ≤3，3＜t ≤12． ③ 分析几何特征，表达，设计方案求解． 第 1 问，结合分段，画出对应的图形后，表达对应图形的底和高，根据公式建等式．（当 t =0 时，三角形不存在；所以 t ≠0）第 2 问，借助第 1 问的面积表达式来求解． 第 3 问，由于直角所在角不确定，分类后，画出对应图形，表达，分析不变特征，设计方案求解．
林老师编辑整理 ⎨ ⎪ 【过程示范】 解：（1）当 0＜t ≤3 时， S 1 t 15 15t 2 2 当 3＜t ≤12 时， B Q C S 1 15(3 2t ) 1 3(t 3) 1 2t (18 t ) 2 2 2 t 2 9 t 27 2 15t （0 t ≤ 3） 综上： S 2 9 t 2 t 27 2 （3 ≤ t ≤12） （2）当 0＜t ≤3 时， S 15t ，为一次函数， 2
初中数学动点问题与练习题附参考答案 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式. 二、应用比例式建立函数解析式. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式. 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.〕动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值.下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨. 一、以动态几何为主线的压轴题. 〔一〕点动问题. 〔二〕线动问题. 〔三〕面动问题. 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路,一般推证. 2、动手实践,操作确认. 3、建立联系,计算说明. 三、专题二总结,本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质与核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体,研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值. 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题. 这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以与分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,供读者欣赏. 1 以双动点为载体,探求函数图象问题. 2 以双动点为载体,探求结论开放性问题. 3 以双动点为载体,探求存在性问题. 4 以双动点为载体,探求函数最值问题. 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动. 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会