动点问题专题训练
1、如图，已知ABC
△中，10
AB AC
==厘米，8
BC=厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD
△与CQP
△是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD
△与CQP
△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC
△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC
△的哪条边上相遇？
2、直线
3
6
4
y x
=-+与坐标轴分别交于A B
、两点，动点P Q
、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点
Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B
、两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ
△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当
48
5
S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q
、、为顶点的平行四
边形的第四个顶点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC 所夹锐角的正切值．
5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与
t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成
为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．
写出t 的值．
6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．α
7如图，在梯形ABCD
中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求BC 的长．
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；
（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.
①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；
②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使P M N △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
图
16
（备用图）
C M A
D E
B F
C 图4（备用） A
D
E B
F C 图5（备用） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M
图3 A D
E B
F C P N
M （第8题）
9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD
的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．
(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；
(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；
(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．
10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；
（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．
A D F C G
B 图1 A D F
C G B 图2 A
D F C
G B 图3
12问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折
痕MN ．当12CE CD =时，求
AM
BN 的值．
类比归纳
在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1
CE CD n =
（n 为整数），则AM
BN
的值等于 ．（用含n 的式子表示）
联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）
参考答案
1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，
∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，
∴BPD CQP △≌△． ·····················（4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，
又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4
33
BP t ==秒， ∴515
443
Q CQ v t
=
==厘米/秒．
··················（7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15
32104
x x =+⨯， 解得80
3
x =
秒． ∴点P 共运动了80
3803
⨯=厘米．
∵8022824=⨯+，
∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
∴经过
80
3
秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········· （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） · 1分 （2）86OA OB ==， 10AB ∴=
点Q 由O 到A 的时间是8
81
=（秒）
∴点P 的速度是610
28
+=（单位/秒）1分
当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，
方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2） A
B C D E
F M 图（1） A B C D
E F M N
当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由
PD AP BO AB =
，得4865
t
PD -=， ······· 1分 21324
255
S OQ PD t t ∴=⨯=-+
···················· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．） （3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ·························· 1分
12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，，， ·············· 3分
3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.
∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），
与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =PA =8+k .
在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.
（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当
圆心P 在线段OB 上时,作PE
⊥CD 于E .
∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32
，PD =3， ∴PE
. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，
∴
2,AO PE AB PB PB =，
∴PB =
∴8PO BO PB =-=
∴8)P -，
∴8k =
. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,
－8)， ∴k =
－8， ∴当k
－8或k =
－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.
4.
5.解：（1）1，85
；
（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC
，4BC =，
得4
5
QF t =．∴45
QF t =．
∴14(3)2
5
S t t =-⋅，
即2265
5
S t t =-+．
（3）能．
①当DE ∥QB 时，如图4．
∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP
AC AB
=
， 即33
5t t -=
． 解得9
8
t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．
此时∠APQ =90°． 由△AQP
∽△ABC ，得 AQ AP
AB AC
=
， 即353t t -=． 解得15
8
t =．
（4）5
2t =或45
14
t =
． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．
PC t =，222QC QG CG =+2234
[(5)][4(5)]55
t t =-+--．
由2
2
PC QC =，得2
2234
[(5)][4(5)]55
t t t =-+--，解得52t =．
②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．
22234
(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514
t =】
6.解（1）①30，1；②60，1.5；
分 （2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .
∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,
∴∠A =300.
∴AB =4,AC . ∴AO =
1
2
AC ……………………8分 在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .
又∵四边形EDBC 是平行四边形，
∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分
7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形 ∴3KH AD ==． ·······················1分
在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．
2
cos 4542
4BK AB =︒== ················2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==
∴43310BC BK KH HC =++=++= ··············3分
（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD ==
∴1037GC =-= ·····················4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥
∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠
∴MNC GDC △∽△ ∴CN CM
CD CG = ·······················5分 即10257
t t -= 图4
图5
（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M N
解得，5017
t =
······················· 6分 （3）分三种情况讨论：
①当NC MC =时，如图③，即102t t =-
∴10
3
t = ························· 7分
②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得()11
102522
EC MC t t ==-=-
在Rt CEN △中，5cos EC t
c NC t -==
又在Rt DHC △中，3
cos 5
CH c CD ==
∴535
t t -=
解得25
8
t = ························ 8分
解法二：
∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△ ∴NC EC DC HC = 即553t t -= ∴258
t = ························· 8分
③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.11
22
FC NC t ==
解法一：（方法同②中解法一）
132cos 1025
t FC C MC t ===-
解得60
17
t =
解法二：
∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴
FC MC
HC DC =
即1102235t
t -= ∴6017
t =
综上所述，当10
3
t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··9分
8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ··· 1分
∵E 为AB 的中点，
∴1
22
BE AB ==．
在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ·· 2分
∴1
12
BG BE EG ====，
即点E 到BC ········· 3分
（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．
∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==
同理4MN AB ==． ·······················4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴122
PH PM =
= ∴3
cos302
MH PM =︒=．
则35
422
NH MN MH =-=-=．
在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ··········6分
②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．
类似①，3
2
MR =．
∴23MN MR ==． ·······················7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．
此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ·········8分
A D
C B M N （图③） （图④） A
D C B M N
H E （图⑤）
A D C
B H N M
F 图1
A D
E
B F
C G
图2
A
D
E
B
F C
P
N
M
G H
当MP MN =时，如图
4
，这时MC MN MP ===
此时，615x EP GM ===-=
当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．
则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．
因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．
此时，6114x EP GM ===--=．
综上所述，当2x =或4
或(5时，PMN △为等腰三角形． ·· 10分 9解：（1）Q （1，0） ······················· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ················ 2分 （2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．
在Rt △AFB
中，10AB == 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ．
∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．
∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ．
∴
AP AM MP AB AF BF ==． 1068
t AM MP
∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55
PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S （平方单位） ∴213473
(10)(1)52
5
1010
S t t t t =⨯-+=+
-（0≤t ≤10）
············ 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
∵310
a =-<0 ∴当4747
1036
2()10
t =-
=
⨯-
时， △OPQ 的面积最大． ·····6分 此时P 的坐标为（
9415，53
10） ． ··················7分 （4） 当 53
t =或295
13
t =时， OP 与PQ 相等． ············9分
10.解：（1）正确． ··········· （1分）
证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．（2分）
BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．
CF 是外角平分线，
45DCF ∴∠=°，
135ECF ∴∠=°．
AME ECF ∴∠=∠．
90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．
AME BCF ∴△≌△（ASA ）
． ···················（5分） AE EF ∴=． ·························（6分） （2）正确． ············· （7分） 证明：在BA 的延长线上取一点N ．
使AN CE =，连接NE ． ········ （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．
四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．
DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．
ANE ECF ∴△≌△（ASA ）
． ·················· （10分） AE EF ∴=． （11分）
11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.
设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.
在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()2
2242m m -=+，解得32
m =
. 图3
A D E B
F
C
P
N M 图4
A D E
B
F C
P
M N 图5
A D
E
B
F （P ） C
M
N G
G
R
G
A D F C G
B M A D F
C G
B N
∴点C 的坐标为302⎛⎫
⎪⎝⎭
，. ······················ 4分
（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，
在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.
()2
224y y x ∴-=+，
即21
28
y x =-+ ·························· 6分
由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，
∴ 解析式21
28
y x =-+()02x ≤≤为所求.
∴
当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，
y ∴的取值范围为3
22
y ≤≤. ··················
7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB
''=，得2OC OB ''=. ·················· 9分 在Rt B OC ''△中，
设()00OB x x ''=>，则02OC x =.
由（Ⅱ）的结论，得2001
228
x x =-+，
解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C
的坐标为()
016. ················· 10分
12解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．
由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ········ 1分
∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．
∵1
12CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．
在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．
∴()2
2221x x =-+．解得54x =
，即54
BN =． ·········· 3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，
222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，
∴2222AM AB DM DE +=+． ················· 5分
设AM y =，则2DM y =-，∴()2
222221y y +=-+．
解得14y =，即1
4AM =． ·················· 6分
∴1
5
AM BN =．
······················· 7分 方法二：同方法一，5
4
BN =． ················ 3分
如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．
∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．
∴NG CD BC ==．
同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴5
4
AG BN ==．
∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． 在BCE △与NGM △中
90E B C
M N G B C N G C N G M ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩
，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ······ ５分 ∵114
AM AG MG AM =--=5，=．4 ·············· 6分
A
E
F M N 图（1-2）
A B C D
E F
M G
∴
1
5
AM BN =．
······················ 7分 类比归纳
25（或410）；9
17； ()2
211
n n -+ ················· 10分 联系拓广
2222
21
1
n m n n m -++ ························ 12分
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
初中数学压轴题---几何动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米， ∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 15 32104 x x =+?，
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与 点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线3 64y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ， B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P . （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？ 4如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． P
中考数学之 动点问题 一、选择题： 1. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停顿，设点P运动的路程为*， △ABP的面积为y，如果y关于*的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是〔〕 A、10 B、16 C、18 D、20 二、填空题： 1. 如上右图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、 AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________〔把你认为正确的序号都填上〕。 三、解答题： 1．〔2008年大连〕如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、C H于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线A B于点F．设PD的长为*，EF的长为y． ⑴求PM的长(用*表示)； ⑵求y与*的函数关系式及自变量*的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E在线段AH上时，求*的取值范围(图14为备用图)． 2.〔2008年福建宁德〕如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、 Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时 0＜x＜，△DCQ的8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为*秒()8 面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米． ⑴求y1与*的函数关系，并在图2中画出y1的图象； ⑵如图2，y2的图象是抛物线的一局部，其顶点坐标是〔4，12〕，求点P的速度及AC的长； ⑶在图2中，点G是*轴正半轴上一点〔0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于*轴，分别交y1、y2于点E、F． ①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜*＜６时，求线段EF长的最大值．
动点问题专题训练 1、如图，已知ZXABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点. (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，4BPD与4CQP是 否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够 使4BPD与4CQP全等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆 时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ ABC的哪 条边上相遇? 1.解：（1）①t 1 秒， ••• BP CQ 3 1 3 厘米， ••• AB 10厘米，点D为AB的中点， BD 5 厘米. 又.PC BC BP, BC 8厘米， . PC 8 3 5厘米， PC BD . 又「AB AC , ••• B C , ..ABPD ^ACQP . ............................................ （4 分） ②;V P V Q , BP CQ , 又. △BPD^^CQP, B C ,则BP PC 4, CQ BD 5, BP 4 .，点P,点Q运动的时间t —一秒，3 3 CQ 5 15 「、 -V Q - 厘米/秒. ........................................................... (7分) t 4 4 3 (2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇, ,一、一15 由题意，得—x 3x 2 10, 4 解得x 80秒.
动点问题专题训练 1、如图，ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．〔1〕如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △ 与CQP △是否全等，请说明理由； ②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ 〔2〕假设点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停顿．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． 〔1〕直接写出A B 、两点的坐标； 〔2〕设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； 〔3〕当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点
、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． O P Q 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P〔0，k〕是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. 〔1〕连结PA，假设PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； 〔2〕当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为〔－3，4〕， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
初中数学动点问题与练习题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质与图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地表达课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质与核心容的考查;
动点问题专题训练 1、如图，ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． 〔1〕如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等. 〔2〕假设点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在 ABC △的哪条边上相遇. 2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停顿．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． 〔1〕直接写出A B 、两点的坐标； 〔2〕设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； 〔3〕当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2*－8分别与*轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P 〔0，k 〕是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P . 〔1〕连结PA ，假设PA =PB ，试判断⊙P 与*轴的位置关系，并说明理由；
〔2〕当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形. 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为〔－3，4〕， 点C 在*轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． 〔1〕求直线AC 的解析式； 〔2〕连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S 〔S ≠0〕，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式〔要求写出自变量t 的取值围〕； 〔3〕在〔2〕的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点 B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -B C -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停顿运动，点P 也随之停顿．设点P 、Q 运动的时间是t 秒〔t ＞0〕． 〔1〕当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是； 〔2〕在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；〔不必写出t 的取值围〕 〔3〕在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形.假设能，求t 的值．假设不能，请说明理由； 〔4〕当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是 AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开场，绕点O 作逆A C B P Q E D 图16 O E C B D A α l