初中数学动点问题及练习题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.
数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．
专题一：建立动点问题的函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
（一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:
1、特殊探路，一般推证。
2、动手实践，操作确认。
3、建立联系，计算说明。
三、专题二总结，本大类习题的共性：
1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;
四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．
2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。
专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点.
1 以双动点为载体，探求函数图象问题。
2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。
3 以双动点为载体，探求存在性问题。
4 以双动点为载体，探求函数最值问题。
双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。
专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题
专题五：以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。
例1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1个单
位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）． （1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．
例2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
A
B
C
D E F
O
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．
例3.如图，在梯形ABCD
中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动
点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （09年济南中考） （1）求BC 的长。 （2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
例4.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标
系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）
（1）求AB 的长，过点P 做PM ⊥OA 于M ，求出P 点的坐标（用t
表示）
（2）求△OPQ 面积S （cm 2
），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？
（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？
（4）若点P 运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ 为正三角形，求Q 点运动的速度和此时t 的值.
动点练习题答案
例1. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）
C
D
M
A B C
N
由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，FC = 2t ． ∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴FD ED
FC BC
=
． ∴
2428
t t
t -=．解得t =4． ∴当t =4时，两点同时停止运动；……（3分）
（2）∵ED=t ，CF=2t ， ∴S =S △BCE + S △BCF =
12×8×4+12
×2t ×t =16+ t 2
． 即S =16+ t 2
．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）
（3）①若EF=EC 时，则点F 只能在CD 的延长线上，
∵EF 2
=222
(24)51616t t t t -+=-+，
EC 2=222416t t +=+，∴251616t t -+=216t +．∴t =4或t=0（舍去）；
②若EC=FC 时，∵EC 2
=222416t t +=+，FC 2
=4t 2
，∴2
16t +=4t 2
．∴t =
③若EF=FC 时，∵EF 2
=222
(24)51616t t t t -+=-+，FC 2
=4t 2
，
∴2
51616t t -+=4t 2．∴t 1
=16+，t 2
=16-
∴当t 的值为4
16-E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）
（4）在Rt △BCF 和Rt △CED 中，∵∠BCD =∠CDE =90°，
2BC CF
CD ED
==， ∴Rt △BCF ∽Rt △CED ．∴∠BFC =∠CED ．………………………………………（10分） ∵AD ∥BC ，∴∠BCE =∠CED ．若∠BEC =∠BFC ，则∠BEC =∠BCE ．即BE =BC ． ∵BE 2
=21680t t -+，∴2
1680t t -+=64．
∴t 1
=16+，t 2
=16-
∴当t
=16-时，∠BEC =∠BFC ．……………………………………………（12分）
例2. 解：（1）在正方形ABCD 中，
490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°，
90CMN AMB ∴∠+∠=°，
在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，
Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，
图2
A
B
D
E
F
N
D
A
C
B
M
（2）
Rt Rt ABM MCN △∽△， 44AB BM x
MC CN x CN
∴=∴=
-，， 244
x x CN -+∴=，
()22
2141144282102422ABCN
x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭
梯形·， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． （3）
90B AMN ∠=∠=°，
∴要使ABM AMN △∽△，必须有
AM AB
MN BM
=
， 由（1）知
AM AB
MN MC
=
， BM MC ∴=，
∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．
例3.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形
∴3KH AD ==．
在Rt ABK △
中，sin 454AK AB =︒== 2
cos 4542
42
BK AB =︒
== 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==
∴43310BC BK KH HC =++=++=
（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD ==
（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M N
∴1037GC =-=
由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥
∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠
∴MNC GDC △∽△
∴
CN CM
CD CG =
即10257
t t -= 解得，50
17
t =
（3）分三种情况讨论：
①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103
t =
②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E ∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△
∴
NC EC
DC HC =
即553t t -= ∴258
t =
③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122
FC NC t =
=
∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△
∴FC MC
HC DC = 即1102235
t
t
-=
A D
C
B M N （图③） （图④） A D C
B M N
H E
（图⑤）
A
D
C
B
H N
M
F
∴6017
t =
综上所述，当10
3
t =
、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形
例4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t ，QC=4-t ，DP=t ，BP=5-t ∵PQ ⊥BC ∴△BPQ ∽△BDC ∴BC BQ BD BP =即455t t =- ∴9
20
=
t 当9
20
=
t 时，PQ ⊥BC ……………………………………………………………………3分 （2）过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M
∴△BPM ∽△BDC ∴3
55PM t =
- ∴)5(53
t PM -=……………………4分 ∴⨯=t S 21)5(53t -=8
15)25(103+--t …………………………………………5分
∴当52t =
时，S 有最大值15
8
．……………………………………………………6分 （3）①当BP=BQ 时，t t =-5， ∴2
5
=t ……………………………………7分 ②当BQ=PQ 时，作QE ⊥BD ，垂足为E ，此时，BE=2
521t
BP -=
∴△BQE ∽△BDC ∴BD BQ BC BE =
即5
425t
t
=- ∴1325=t ……………………9分 ③当BP=PQ 时，作PF ⊥BC ，垂足为F, 此时，BF=2
21t
BQ =
∴△BPF ∽△BDC ∴BD BP BC BF =
即5
542t
t
-= ∴1340=t ……………………11分 ∴14013
t =， 252t =，325
13t =，均使△PBQ 为等腰三角形． …………………………12分
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的 边 AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运 动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面 积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ C P Q B A M N C B
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··························· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ······················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 15 32104x x =+?， 解得80 3 x =秒． ∴点P 共运动了80 3803 ?=厘米． ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
初中数学动点问题及练习题附参考答案 动点问题是初中数学中的一个重要部分，它涉及到点的运动与位置的变化。通过解决动点问题，我们可以锻炼自己的逻辑思维能力，提高数学解题的能力。本文将介绍初中数学中常见的动点问题，并附带一些练习题及其参考答案。 1. 直线运动问题 直线运动是最简单的动点问题之一。在直线运动中，点从一个位置沿直线运动到另一个位置。我们通常需要确定点的位移、速度和时间等，以解决相关问题。 例如，小明从家里骑自行车出发，经过15分钟骑行到达学校，全程约5公里。求小明的平均速度。 解：根据题意，小明骑行的时间为15分钟，即0.25小时。位移为5公里。根据速度的定义，速度等于位移除以时间，所以小明的平均速度为5公里/0.25小时=20公里/小时。 2. 圆周运动问题 圆周运动是另一类常见的动点问题。在圆周运动中，点围绕某一中心点做圆周运动。我们通常需要确定点的角度、半径和时间等，以解决相关问题。 例如，一个车轮的半径为30厘米，转动一周需要走过的距离是多少？
解：根据题意，车轮转动的一周是一个半径为30厘米的圆的周长。周长等于2πr，其中π取3.14，r是半径。所以车轮转动一周需要走过 的距离为2×3.14×30=188.4厘米。 练习题： 1. 小明以每小时60公里的速度从A地出发，向B地行驶，2小时 后小刚以每小时80公里的速度从B地出发，向A地行驶。求他们相遇时的距离。 2. 一个半径为15厘米的车轮转了5分钟，这段时间内车轮走过的 距离是多少？ 参考答案： 1. 解：小明行驶的距离为60公里/小时×2小时=120公里。小刚行驶的距离为80公里/小时×2小时=160公里。所以他们相遇时的距离为 120公里+160公里=280公里。 2. 解：根据题意，车轮转了5分钟，即1/12小时。车轮的周长为 2×3.14×15=94.2厘米。所以车轮走过的距离为94.2厘米/小时×(1/12)小 时=7.85厘米。 通过解决以上动点问题的练习题，我们可以更好地理解和掌握动点 问题的解题方法。希望本文对初中数学学习者有所帮助。
例 1 .如图，已知在矩形 AB C D 中，A D=8，C D=4，点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 C D 方向以每秒 2 个单位 长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为 t （秒）． （1）求当 t 为何值时，两点同时停止运动； （2）设四边形 BC FE 的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （3）求当 t 为何值时，以 E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当 t 为何值时，∠BEC=∠BF C ． E A D F O B C 例 2. 正方形 AB C D M B C C D 、 M 上的两个动点， 当 点 在 边长为 4， 、 N 分别是 B C A M M N 和 垂直， 上运动时，保持 （1）证明：Rt △AB M ∽Rt △M C N ； B M x AB C N y y x M 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；当 点运动到 （2）设 ，梯形 AB C N 什么位置时，四边形 M 面积最大，并求出最大面积； ，求此时 的值． x （3）当 点运动到什么位置时Rt △AB M ∽Rt △A M N A D N B C M 例 3.如图，在梯形 AB C D A D ∥BC ，A D 3，D C 5，A B 4 2，∠B 45． 动 中， M B B C C C 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 N 同时从 点 点 从 点出发沿线段 出发沿线段C D 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为秒． t D B C （09 年济南中考） （1）求 的长。 A D M N ∥ AB t 时，求 的值． （2）当 t △M N C 为等腰三角形． （3）试探究： 为何值时， N B C M 例 1. 解：（1）当 B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2 所示．………（1 分） 由题意可知：E D =t ，BC=8，F D= 2t -4，FC= 2t ． F FD ED ∵E D ∥B C ，∴△FE D ∽△FB C ．∴ ． E FC BC A B D 2t 4 t ∴ ．解得 t=4． 2t 8 C 图 2
2020中考数学 动点问题专题训练 例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴 相交于点C ，顶点为D . ⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； ⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为； ① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，． 抛物线的对称轴是：1x =． ⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得： 303.k b b +=⎧⎨ =⎩ ， 解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，． 在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ， 当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，． ∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥ ∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形． ②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得： 3O B O M M B =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+． 即()1111 2222 S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅． ∴()()22139 3303222 S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．
初中数学动点问题及练习题所谓“动点型问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考察。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对 称、动点的运动〞等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择根本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考察学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点〞探究题 的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：〔1〕运动观点；〔2〕方程思想；〔3〕数形结合思想；〔4〕分类思想；〔5〕转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地表达课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数提醒了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于*一个点或*图形的有条件地运动变化,引起未知量与量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.则,我们怎样建立这种函数解析式呢“下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 〔一〕点动问题。〔二〕线动问题。〔三〕面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质及核心容的考察;
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
动点问题专题训练 1、如图，已知△ ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点. (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C点向A点运动. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，4BPD与 △ CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 多少时，能够使4BPD与^CQP全等 (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时 出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在4ABC 的哪条边上相遇 3 2、直线y -x 6与坐标轴分别父于A B两点，动点P、4 Q同时从。点出发, 同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为 每秒1个单位长度，点P沿路线。一B -A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S ,求出S 与t之间的函数关系式； 48 . ... .................... (3)当S 一时，求出点P的坐标，并直接写出以点5 O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.
3如图，在平面直角坐标系中，直线l : y= —2x—8分别与x轴，y轴相交于A, B两点，点P (0, k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作。P. (1)连结PA若PA=PB,试判断。P与x轴的位置关系，并说明理由; (2)当k为何值时，以。P与直线l的两个交点和圆心P为 正三角形 希用图4如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO菱形，点A 的坐标为(一3, 4), 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M AB边交y轴于点H. (1)求直线AC的解析式； (2)连接BM如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/ 秒的速度向终点C匀速运动，设^ PMB勺面积为S (S* 0),点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)； (3)在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPEBf/BCOE为余角，并求此
初中数学动点练习题 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏. 1 以双动点为载体，探求函数图象问题。 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3 以双动点为载体，探求存在性问题。 4 以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题
初一数学动点问题20题及答案 数轴上动点问题 1．已知：如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣8，动点P从点A出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点M为线段BC中点，点N为线段BP中点．设运动时间为t秒． （1）线段AC的长为__________个单位长度；点M表示的数为；（2）当t=5时，求线段MN的长度； （3）在整个运动过程中，求线段MN的长度．（用含t的式子表示）． 2．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是x，﹣6，4． （1）线段BC的长为_________，线段BC的中点D所表示的数是；（2）若AC=8，求x的值； （3）在数轴上有两个动点P，Q，P的速度为1个单位长度/秒，Q的速度为2个单位/秒，点P，Q分别从点B，C同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后P，Q两点相距4个单位？
3．动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动，且A、B的速度之比是1：4（速度单位：长度单位/秒），3秒后，A、B两点相距15个单位长度．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置． （2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？ 4．如图A、B两点在数轴上分别表示﹣10和20，动点P从点A出发以10个单位每秒的速度向右运动，动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度出向右运动．设运动时间为t． （1）当点P运动到B点时，求出t的值； （2）当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出此时P点对应的数？ （3）在此运动过程中，若P、Q相距10个单位，直接写出运动时间t？ 5．已知a，b满足（a+2）2+|b﹣1|=0，请回答下列问题： （1）a=_______，b=_______； （2）a，b在数轴上对应的点分别为A，B，在所给的数轴上标出点A，点B；（3）若甲、乙两个动点分别从A，B两点同时出发沿x轴正方向运动，已知甲的速度为每秒2个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度，更多好题请进入：437600809，请问经过多少秒甲追上乙？
动点问题专题训练 1、如图，已知ZXABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点. (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，4BPD与4CQP是 否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够 使4BPD与4CQP全等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆 时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ ABC的哪 条边上相遇? 1.解：（1）①t 1 秒， ••• BP CQ 3 1 3 厘米， ••• AB 10厘米，点D为AB的中点， BD 5 厘米. 又.PC BC BP, BC 8厘米， . PC 8 3 5厘米， PC BD . 又「AB AC , ••• B C , ..ABPD ^ACQP . ............................................ （4 分） ②;V P V Q , BP CQ , 又. △BPD^^CQP, B C ,则BP PC 4, CQ BD 5, BP 4 .，点P,点Q运动的时间t —一秒，3 3 CQ 5 15 「、 -V Q - 厘米/秒. ........................................................... (7分) t 4 4 3 (2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇, ,一、一15 由题意，得—x 3x 2 10, 4 解得x 80秒.
人教版九年级数学中考动点问题专项练习 例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . ⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； ⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为； ① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，． 抛物线的对称轴是：1x =． ⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得： 303.k b b +=⎧⎨ =⎩ ， 解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，． 在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ， 当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，． ∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥ ∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形． ②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得： 3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+． 即()1111 2222 S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅． ∴()()22139 3303222 S m m m m m =⨯-+=-+≤≤． 例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为