中考二轮专题复习《动点问题》精选练习
一、选择题
1.如图所示，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3.设直线l：x=t截此三角形所得的阴影部分面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为(如选项所示)( )
2.如图,正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )
A.16
B.
C.
D.
3.如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD 交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）
4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）
A.3≤OM≤5
B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5
D.4＜OM＜5
5.如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止,设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）
A. B. C. D.
6.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小,则这个最小值为（）
7.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP 的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）
8.如图,已知直线y=0.75x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C（0,1）为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是（）
A.8
B.12
C.10.5
D.8.5
二、填空题
9.如图，半径为1的⊙P的圆心在（﹣4，0）处．若⊙P以每秒1个单位长度，沿x轴向右匀速运动．设运动时间为t秒，当⊙P上有且只有2个点到y轴的距离为2，则t的取值范围是．
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，4），点P是线段BC上的动点，当△OPA是等腰三角形时，则P点的坐标是.
11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D 是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 .
12.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点F 从点B出发,以2个单位/秒的速度向C移动，当点F到达C点时均停止运动，则秒后△EBF的面积为5个平方单位.
13.如图,已知⊙C半径为2,OA=OB=4,P在⊙C上为一动点,连接PA,交y轴于E点,则ABE面积的最大值为；最小值为 .
14.如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边上．
15.如图,定点A(-2,0),动点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为．
16.如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.
下列说法：
①AG＞GE；
②AE=BF；
③点G运动的路径长为π；
④CG的最小值为．
其中正确的说法是（把你认为正确的说法的序号都填上）
参考答案
1.D.
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.B
8.C
9.答案为：1＜t ＜3或5＜t ＜7．
解：①⊙P 位于y 轴左侧时，
当t=1时，⊙P 的圆心在（﹣3，0）处，此时⊙P 到y 轴距离为2的点只有1个； 当t=3时，⊙P 的圆心在（﹣2，0）处，
此时⊙P 到y 轴的距离为2的点只有垂直于x 轴的直径的两端点；
∴当1＜t ＜3时，⊙P 上有且只有2个点到y 轴的距离为2；
②⊙P 位于y 轴右侧时，
当t=5时，⊙P 的圆心在（1，0）处，此时⊙P 到y 轴距离为2的点只有（2，0）这1个； 当t=7时，⊙P 的圆心在（﹣2，0）处，
此时⊙P 到y 轴的距离为2的点只有（2，0）这1个；
∴当5＜t ＜7时，⊙P 上有且只有2个点到y 轴的距离为2；
综上，1＜t ＜3或5＜t ＜7，
10.答案为：（3，4）或（2，4）或（6﹣2，4）.
11.答案为：(2,4),(3,4),(8,4).
12.答案为：1;
13.答案为：228 ；
14.答案为：AB ．
15.答案为：（﹣1,﹣1）．
16.
中考二轮专题复习《动点问题》精选练习 一、选择题 1.如图所示，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3.设直线l：x=t截此三角形所得的阴影部分面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为(如选项所示)( ) 2.如图,正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( ) A.16 B. C. D. 3.如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD 交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（） 4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3＜OM＜5 D.4＜OM＜5 5.如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止,设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）
A. B. C. D. 6.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小,则这个最小值为（） 7.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP 的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（） 8.如图,已知直线y=0.75x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C（0,1）为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是（） A.8 B.12 C.10.5 D.8.5 二、填空题 9.如图，半径为1的⊙P的圆心在（﹣4，0）处．若⊙P以每秒1个单位长度，沿x轴向右匀速运动．设运动时间为t秒，当⊙P上有且只有2个点到y轴的距离为2，则t的取值范围是． 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，4），点P是线段BC上的动点，当△OPA是等腰三角形时，则P点的坐标是.
《数轴上的动点问题》专题讲义 一．动点问题的处理方法 “点-线-式”三步 二．动点问题的解题步骤 1.列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示 ①点的左右移动：数轴上的点向左移动用减法，移动几个单位长度就减去几， 向右移动用加法，移动几个单位长度就加上几。 ②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点，可以根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来。 例题1：如图，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度2为每秒个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求动点P、Q表示的数。 2.列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来 数轴上两点之间的距离三种表示方式： ①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用较大的数减去较小的数； ②如果两个点所表示的数的大小未知，则用两个数的差的绝对值表示； ③动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示。 例题2：数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求线段AB、AQ、BP、PQ、AP、BQ的长。
3.列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程 例题3：已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一点，对应的数为x。若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数。 三、动点问题的常用工具 1.中点公式：如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点， 则b=2c a 2.解绝对值方程： ①|a|=b，则a=±b ②|a|=|b|，则a=±b ③|x-a|+|x-b|=c（零点分段法） 3.分类讨论思想： 例题4：已知数轴上两点A、B对应的数分别为-3、5，P为数轴上的动点，其对应的数为x。数轴上是否存在点P，使得点P到A、B的距离之和为10，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
专题02 数轴中的动点问题专项讲练 数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ①写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； ①表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ①列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型1. 单动点问题 例1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（） ①B对应的数是－4；①点P到达点B时，t＝6；①BP＝2时，t＝5；①在点P的运动过程中，线段MN的长度不变 A．1个B．2个C．3个D．4个 变式1．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（） 甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为1 () 2 b a -； 乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为1 () 2 a b -； 丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为1 () 2 a b +． A．只有甲正确B．只有乙正确C．只有丙正确D．三人均不正确题型2. 单动点问题（规律变化） 例2.（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．
2021中考数学 压轴专题训练之动点问题 1. 如图 1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)， A (3，33)， B (9，53)， C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB －BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，5 2(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式． (2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值． (3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值． 图1 图2 2. 如图，抛物线 y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于 点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合). (1)求抛物线和直线l 的解析式; (2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值; (3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.
2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题 类型一动点探究题 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为________． 第1题图 2. (2019锦江区二诊)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于______． 第2题图 3. (2019金牛区二诊)如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是对角线AC上的动点，EH⊥AD，垂足为H，以EH为边作正方形EFQH，连接AF，则∠AFE的正弦值为________． 第3题图 4. 如图，两个全等的三角形△ABC和△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，点E在BC边上从点B向点C移动(点E不与B、C重合)，在运动过程中，DE始终经过点A，EF与AC相交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE的长为__________． 第4题图 5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点P是边AB上一动点，过点P作BC的垂线交
BC 于点D ，点F 与点B 关于直线PD 对称，连接AF ，当△AFC 是等腰三角形时，BD 的长为________． 第5题图 6. (2018成都黑白卷)如图，△ABC 内接于半径为2的⊙O ，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，点D 为AB ︵的中 点，点M 、N 分别是CD 、AC 上的动点，则MA ＋MN 的最小值为________． 第6题图 7. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点，连接BE ，MN 是BE 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连接EM 、EN .过点E 作EF ⊥AD 于点F ，已知AB ＝1，BC ＝2.若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为________． 第7题图 8. 如图，在矩形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，点E 是边BC 上的动点，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE ，已知AB ＝1，BC ＝3，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为________． 第8题图 9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，点M 是直线BC 上一动点，且∠CAM ＋∠CBA ＝45°，则BM 的长为________．
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
2023年中考九年级数学高频考点拔高练习--三角形动点问题 1．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm．点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）求几秒后，PQ的长度等于5√2cm （3）求几秒后，PQ的长度能取得最小值，其最小值为多少cm？ 2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t 秒，△PBQ的面积为Scm2． （1）BP=cm； （2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上（点B在点C的左侧），点B，C的坐标分别为B（﹣8，0），C（5，0），点A在y轴正半轴上， 且OA＝1 2OB．点P是射线BO上一动点．
（1）填空：点A的坐标是； （2）连接AP，若△ABP的面积为10，求点P的坐标； （3）当点P在线段BO上运动时，在y轴负半轴上是否存在点Q使△POQ与 △AOC全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）当点P在射线BO上运动时，若△APC是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 4．如图，△ABC中，△C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，动点P从点B出发以2cm/s 速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒. （1）根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示） （2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似. 5．如图，已知直线y=−4 3x+8 与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出 发，以每秒1个单位的速度沿BA方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t>0）．
2023年中考数学高频考点--三角形动点问题 1．如图（1）在△ABC中，△C=90°，AB=25cm，BC=15cm，若动点P从点C开始沿着C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒5cm，设点P运动的时间为t秒． （1）点P运动2秒后，求△ABP的面积； （2）如图（2），当t为何值时，BP平分△ABC； （3）当△BCP为等腰三角形时，直接写出所有满足条件t的值． 2．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，动点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t s. （1）t为何值时，ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的1 8； （2）运动几秒时，ΔCPQ与ΔABC相似? （3）在运动过程中，PQ的长度能否为1 cm?试说明理由 3．如图，AE与BD交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=6cm，点P从A出发，沿 A→B→A的方向以3cm/s的速度运动；点Q从D出发，沿D→E的方向以1cm/s的速度运动．点P，Q同时出发，当点P到达A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）直接写出线段BP的长；（用含t的式子表示） （2）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 4．如图，在△ABC中，△C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果点P、Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8cm2？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC的面积的14？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 5．如图，△ABC为等边三角形，四边形BCDE为正方形，AB=6，点M以每秒1个单位的速度从点A沿AC向点C运动，同时点N以同样的速度从点D沿DE向点E运动，当点M达到点C时，M，N同时停止运动，设点M的运动时间为t． （1）当t=0时，求∠CMN的度数； （2）若∠CMN=60°，求线段MN的长； （3）当点M，N在运动时，求MN的最小值． 6．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(−2，0)，B(6，0)，点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°．
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合 （考察证明、长度与面积、动点问题等）（一） 1．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O 于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（I）求证：AC平分∠FAB； （2）求证：BC2＝CE•CP； （3）当AB＝4且＝时，求弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积． 2．如图，在⊙O中，直线CD垂直直径AB于E，直线GF为⊙O的切线，切点为H，GF与直线CD相交于点F，与AB延长线交于点G，AH交CD于M，其中MH2＝MD•MF． （1）连接OH，求证：△FMH为等腰三角形； （2）求证：AC∥FG； （3）若cos F＝，AM＝2，求线段GH的长．
3．问题探究： 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD＝，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆． （1）BP＝时，AP⊥BD时，此时半径是； （2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长； 拓展延伸： （3）如图，AB＝6，AC＝，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．
4．如图，⊙O 的弦AD ∥BC ，过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC 交BD 于点H ，DO 及延长线分别交AC 、BC 于点G 、F ，AD ＝FC ． （1）求证：DF 垂直平分AC ； （2）求证：FC ＝CE ； （3）若弦AD ＝cm ，AC ＝2cm ，求⊙O 的半径． 5．【问题探究】 （1）如图1，AB 是⊙O 的弦，直线l 与O 相交于点M 、N 两点，M 1，M 2是直线l 上异于点M ，N 的两个点，则∠AMB ∠AM 1B （用＞，＜或＝连接）． （2）如图2，AB 是⊙O 的弦，直线l 与⊙O 相切于点M ，点M 1是直线l 上异于点M 的任意一点，请在图2中画出图形，试判断∠AMB ，∠AM 1B 的大小关系，并证明． 【解决问题】 （3）某游乐园的平面图如图3所示，场所保卫人员想在线段OD 上的点M 处安装监控装置，用来监控OC 边上的AB 段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB 最大．已知∠DOC ＝60°，OA ＝400米，AB ＝200米，问在线段OD 上是否存在一点M ，使得∠AMB 最
数轴上的动点问题（原卷版） 【专题精讲】 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题： 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。 2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a —b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b 。 3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 类型一：求运动后点对应的数 1．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为－10，3OB OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发） (1)数轴上点B 对应的数是______． (2)经过几秒，点M 、点N 重合？ 2．（2022·全国·七年级课时练习）已知在数轴上有A ，B 两点，点B 表示的数为最大的负整
数，点A在点B的右边，AB＝24．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当t＝1时，写出数轴上点B，P所表示的数； (2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问当t为何值点P与点Q相距3个单位长度？3．（2022·全国·七年级课时练习）综合与实践：A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12． (1)数轴上点A表示的数为，点B表示的数为； (2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒； ①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）； ①t为何值时，P，Q两点重合； ①请直接写出t为何值时，P，Q两点相距5个单位长度． 4．（2022·江苏·七年级专题练习）如图所示，在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． (1)求AB、AC的长； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值． 类型二：求运动中的时间 5．（2022·全国·七年级专题练习）综合与探究 阅读理解： 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a，b，那么A，B两点之间的距
专题18 数轴上的动点问题（提优） 1．如图1，线段AB的长为a． （1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝2AB；延长线段BA到D，使AD＝AC．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．） （2）在（1）的条件下，以线段AB所在的直线画数轴，以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C，D两点，并直接写出C，D两点表示的有理数，若点M是BC的中点，点N是AD 的中点，请求线段MN的长． （3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D处开始，在点C，D之间进行往返运动；乙从点N开始，在N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M点第一次回到点N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数． 2．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0，60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）请直接写出直尺的长为个单位长度； （2）如图2，直尺AB在数轴上移动，有BC＝3OA，求此时A点所对应的数； （3）如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以4个单位长度/秒的速度分别向左、右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为t1、t2，若t1﹣t2＝9（秒），求直尺放入篷内时，A点所对应的数为多少？
3．A ，B 两点在数轴上如图所示，其中O 为原点，点A 对应的有理数为a ，点B 对应的有理数为b ，且点A 距离原点6个单位长度，a ．b 满足b ﹣|a |＝2． （1）a ＝ ；b ＝ ； （2）动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒（t ＞0） ①当PO ＝2PB 时，求点P 的运动时间t ： ②当PB ＝6时，求t 的值： （3）当点P 运动到线段OB 上时，分别取AP 和OB 的中点E 、F ，则 AB−OP EF 的值是否为一个定值？如 果是，求出定值，如果不是，说明理由． 4．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数，数轴0对应点O ． （1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ． （2）若M 点在此在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值； （3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，OP ＝OQ ？ （4）在数轴上找一点M ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的M 对应的数．（不必说明理由） 5．如图，在数轴上，点O 为原点，点A ，B 是数轴上的点，已知点A 所对应的数是a ，点B 所对应的数是b ，且a ，b 满足|a +2|+（3a +b ）2＝0 （1）请在数轴上标出点A ，B 的位置，并直接写出点B 所对应的数是 ； （2）在数轴上原点O 的右侧有一个点P ，满足P A +PB ＝14，求点P 对应的数； （3）在（2）的条件下，动点Q 从点B 出发沿数轴向右运动，点Q 的速度为每秒1个单位长度；同时点R 从点A 出发沿着数轴向右运动，点R 的速度为每秒5个单位长度，点M 为线段QR 的中点，若在数轴上有一点N 且满足NB ﹣NP ＝1，在点R ，Q 运动的过程中，设点Q 的运动时间为t 秒，当OM +MN ＝2RQ
2021年中考数学考前强化练习 《动点问题》 一、选择题 1.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围 是（） A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3＜OM＜5 D.4＜OM＜5 2.如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C→B→A的方向运动(点P与A不重合).设P运动的路程为x，则下列图象中符合△ADP的面积y关于x的函数关系式的是( ) 3.如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止,设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 4.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是( ) A.2.5 B.3 C.4 D.5
5.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点．PC＋PD值最小时点P的坐标为( ) A.(-3，0) B.(-6，0 ) C.(-1.5，0) D.(-2.5，0) 6.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是( ) A.4≥x＞2.4 B.4≥x≥2.4 C.4＞x＞2.4 D.4＞x≥2.4 7.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（） A．2 B．4 C．4 D．8 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB的中点，点D，E是AC，BC边上的动点，且AD=CE，连接DE. 有下列结论： ①∠DPE=90°； ②四边形PDCE面积为1； ③点C到DE距离的最大值为. 其中正确的个数是（）. A.0 B.1 C.2 D.3
专题18 数轴上的动点问题（基础） 1．已知，A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且（a﹣20）2+|b+10|＝0，P是数轴上的一个动点．（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离； （2）已知线段OB上有点C且|BC|＝6，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，求P点对应的数； （3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若不能，请直接回答；若能，请直接指出，第几次移动，与哪一点重合． 2．在数轴上，动点A从原点O出发向负半轴匀速运动，同时动点B从原点O出发向正半轴匀速运动，动点B的速度是动点A的速度的两倍，经过5秒后A、B两点间的距离为15个单位长度， （1）直接写出动点B的运动速度； （2）若5秒后，动点A立即开始以原来的速度大小向正半轴运动，动点B继续按照原来的方式运动，问再经过多长时间OB＝3OA（其中OB表示点B到原点的距离，OA表示点A到原点的距离）？ 3．如图所示，数轴上有A、B、C三点，且AB＝3BC，若B为原点，A点表示数为6．（1）求C点表示的数； （2）若数轴上有一动点P，以每秒1个单位的速度从点C向点A匀速运动，设运动时间为t秒，请用含t的代数式表示PB的长； （3）在（2）的条件下，点P运动的同时有一动点Q从点A以每秒2个单位的速度向点C匀速运动，当P、Q两点相距2个单位长度时，求t的值． 4．已知：数轴上有A．B、C三点．点A、B、C在数轴上表示的数分别﹣8，﹣6，12，若线段AB以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时点c以6个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
七年级上期末动点问题专题 欧阳光明（2021.03.07） 1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．（1）求线段AB的长． （2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变． 2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）PA=_________；PB=_________（用含x的式子表示） （2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A 以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由． 3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14． （1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；
（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关； （3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值． 4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D 在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200． （1）若BC=300，求点A对应的数； （2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，
2021年九年级中考数学考点提升训练—几何专题： 《四边形综合之动点与相似》 1．如图，△ABD、△ACE、△A′CD′、△A′BE′是平行四边形ABA′C外的四个等边三角形． （1）在图1中，用旋转知识说明△ACE和△A′BE′成中心对称； （2）在图2中，点N、N′分别是△ACE、△A′BE′的中心，证明：DD′⊥NN′． 2．如图1，E，F分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC的中点， （1）的值为； （2）①将△AEF绕点A旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情况进行证明；如果不成立，请说明理由；②如果AB＝2，当以点E，F，C在一条直线上时，请直接写出CF的值． 3．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF 与边CD交于点F，且EC＝3CF． （1）如图1，当∠B＝90°时，求S △ABE 与S △ECF 的比值； （2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值； （3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．
4．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在CD边上，tan∠EAD＝．点F是线段AE上一点，联结BF，CF． （1）如图1，如果tan∠CBF＝，求线段AF的长； （2）如图2，如果CF＝BC， ①求证：∠CFE＝∠DAE； ②求线段EF的长． 5．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P 从点B出发，沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，点P运动的时间为t秒．（1）DE的长为． （2）连结AP，求当t为何值时，△ABP≌△DCE． （3）连结DP． ①求当t为何值时，△PDE是直角三角形． ②直接写出当t为何值时，△PDE是等腰三角形．
角中的动态问题（解析版） 类型一：运动的三角尺问题 1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】 如图1 一套三角板如图拼在一起我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°． 【解决问题】 （1）在旋转过程中∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？ （2）当运动时间为9秒时图中有角平分线吗？找出并说明理由． （3）运动过程中如图2 形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC当其中一个角的度数是另一个角的两倍时则称射线OC是∠AOB的“优线”． ∠第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？ ∠在整个旋转过程中若旋转时间记为t秒当射线OC是“优线”时请直接写出所有满足条件的t值． 【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有理由见解析；（3）∠是理由见解析；∠t=2 3 4 9 12 【分析】（1）根据题意画出图形可得结论； （2）分别计算出角的度数可得结论； （3）∠根据“优线”的定义可判断；∠根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．【详解】（1）如图当OC在∠AOB内部时∠AOC+∠BOC=∠AOB 当OC在∠AOB外部时∠AOC-∠BOC=∠AOB ∠∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB
（2）有理由如下：
有可能以分类讨论是解题的关键． 2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在∠15° ∠25° ∠35° ∠45° ∠65°中 乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号） (2)在探究过程中 爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1 她先用三角板画出了直线EF 然后将一副三角板拼接在一起 其中45°角（∠AOB ）的顶点 与60°角（∠COD ）的顶点互相重合 且边OA OC 都在直线EF 上．固定三角板COD 不动 将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向每秒旋转5°（如图2） 当边OB 第一次落在射线OF 上时停止 是否存在一个时间t （秒）使∠BOC ＝3∠AOD ？若存在 请求出所有符合题意的t 的值；若不存在 请说明理由． 【答案】(1)∠∠ (2)存在当22.5t =或24.75t =时 =3BOC AOD ∠∠ 理由见解析 【分析】（1）根据三角板的特点求解即可； （2）分两种情况当OA 在∠DOE 内时 当OA 在∠DOE 外部时 利用角之间的关系求解即可． （1） 解：∠一副三角板有的度数为30° 45° 60° 90° ∠用一副三角板可以画出的角的度数为15° 30° 45° 75° 90° 105° 135°等等 不能画出25° 35° 65° 故答案为：∠∠； （2） 解：存在当22.5t =或24.75t =时 =3BOC AOD ∠∠ 理由如下： 由题意得：=5AOE t ︒∠ =45AOB ∠︒ 60COD ∠=︒ ∠=180=1355BOC AOE AOB t ︒--︒-︒∠∠∠ =180=120DOE COD ︒-︒∠∠ 分两种情况： 当OA 在∠DOE 内时 如图2-1所示
2020中考数学 二次函数中动点问题专题练习（含答案） 1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24 (2)9 y x c =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其顶点为M ，MH x ⊥轴于点H ，MA 交y 轴 于点N ，25 sin 5 MOH ∠=． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使以A 、N 、G 为顶点的三角形与ADM △相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG 的解析式；若不存在，请说明理由． （1）∵M 为抛物线24 (2)9 y x c =--+的顶点， ∴(2,)M c ．∴2OH =，||MH c = ． ∵0a <， 且抛物线与x 轴有交点， ∴0c >，∴MH c =， ∵25sin 5MOH ∠=，∴25 5MH OM = ． ∴5 2 OM c =， ∵222OM OH MH =+，∴4MH c ==， ∴(2,4)M ， ∴ 22441620 (2)49999 y x x x =--+=-++ ； （2）∵ (1,0)A -，∴D (1, 0)，∵M (2, 4)，D (1, 0)， ∴直线MD 解析式：44y x =-， ∵ON//MH ，∴AON AHM △∽△， ∴13 AN ON AO AM MH AH ===， ∴53AN =，43ON =，40,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ． 如图，若ANG AMD △∽△，可得NG//MD ， ∴直线QG 解析式：4 43 y x =+， 如图，若 ANG ADM △∽△，可得AN AG AD AM = ∴256AG =，∴19(,0)6G ，∴84 :193QG y x =-+， 综上所述，符合条件的所有直线QG 的解析式为：443y x =+ 或84 193 y x =-+． 2. 如图，已知点(2,4)A -和点(1,0)B 都在抛物线 2 2y mx mx n =++上． （1）求m 、n ； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，若四边形
线段的动点问题（解析版） 【专题精讲】 1.总体来讲,解决数轴上的动点问题分为两步: (1)用未知数表示动点; (2)结合数轴,列方程. 2.具体来讲,要注意以下几个问题: (1)表示动点:用未知数表示动点 常常把运动时间设为t,把握动点的出发点,运动方向和运 动速度,这三个条件,例如: 点A 从表示1的点M 出发,向右运动,速度是3个单位长度每秒,则动点A 表示为:1 +3t; . 点B 从表示-2的点N 出发,向左运动,速度是2个单位长度每秒,则动点B 表示为:-2-2t; (2)求中点:利用中点公式即可; (3)求距离:数轴上,表示两点的距离常常用右边的数减去左边的数,例如,上题动点A 和B 之间的距离是:(1 +3t)-( -2-2t) =5t+3; (4)列方程:常见等量关系:一是行程中的相遇追及问题,二是线段间的和差倍分关系; (5)易错点:注意动点问题的分类讨论. 类型一：线段动点与线段求值问题 1．（2022·山东青岛·期末）如图 动点B 在线段AD 上 沿A D A →→以2cm/s 的速度往返运动1次 C 是线段BD 的中点 10cm AD = 设点B 的运动时间为t 秒()010t ≤≤． (1)当2t =时 ①AB =________cm ； ①求线段CD 的长度． (2)用含t 的代数式表示运动过程中线段AB 的长度． 【答案】(1)①4；①3cm (2)2cm t 或()202cm t -
（2） 别从点P B同时出发沿射线BA向左运动到达点A处即停止运动． (1)若点C D的速度分别是1cm/s 2cm/s． ①当动点C D运动了2s 且点D仍在线段PB上时AC＋PD＝_________cm； ①若点C到达AP中点时点D也刚好到达BP的中点则AP①PB＝_________； (2)若动点C D的速度分别是1cm/s 3cm/s 点C D在运动时总有PD＝3AC求AP的长度．