动点问题专题训练之袁州冬雪创作
1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为
AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，颠末1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明来由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，可以使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求颠末多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，
∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，
∴BPD CQP △≌△． ············· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，
又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间43
3
BP t ==秒，
∴5154
4
3
Q CQ v t
===厘米/秒． ·········· （7分）
（2）设颠末x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104
x x =+⨯，
解得803
x =秒．
∴点P 共运动了803803
⨯=厘米．
∵8022824=⨯+，
∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
∴颠末803
秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． · （12分）
2、直线364
y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时
从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1
点P 沿道路O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；
（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；
（3）当485
S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为
顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 2.解（1）A （8，0）B （0，6） 1分 （2）
86OA OB ==，
点Q 由O 到A 的时间是881
=（秒）
∴点P 的速度是
610
28
+=（单位/秒） ········ 1分
当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，
2S t = ·····················
1分
当
P
在线段
BA
上运动（或
38
t <≤）时，
6102162OQ t AP t t ==+-=-，,
如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO
AB
=，得4865
t PD -=， · 1分
21324255
S OQ PD t t ∴=⨯=-+
············· 1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ················· 1分
1238241224122455555
5I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，
········· 3分
5、在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C
出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立即以原来的速度沿AC 返回；点
Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．陪同着P 、Q 的运动，DE 坚持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t
秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的间隔是；
（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S
与
t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 可否成
为直角梯形？若能，求t 的值．若不克不及，请说明来由；
（4）当DE 颠末点C 时，请直接写出t 的值．
5.解：（1）1，85
；
（2）作QF⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．
图16
由△AQF∽△ABC，4BC ==，
得4
5
QF t =．∴45
QF t =．
∴14(3)2
5
S t t =-⋅，
即2
26
5
5
S t
t =-+． （3）能．
①当DE∥QB 时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得AQ AP AC
AB
=，
即33
5
t t -=． 解得98
t =．
②如图5，当PQ∥B C 时，DE⊥BC，四边形QBED
此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 AQ AP
AB AC
=
， 即
35
3
t t -=． 解得158
t =．
（4
）52t =或4514
t =．
①点P 由C 向A 运动，DE 颠末点C ． 毗连QC ，作QG⊥BC 于点G ，如图6．
PC t =，222QC QG CG =+2234
[(5)][4(5)]55
t t =-+--．
由2
2
PC
QC =，得2
2234
[(5)][4(5)]55
t
t t =-+--，解得52t =．
②点P 由A 向C 运动，DE 颠末点C ，如图7． 2
2
2
34(6)[(5)][4(5)]55
t t t -=-+--，4514
t =
】
6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点
O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置
（备用图）
图4
图5
开端，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB
∥
交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；
②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；
（2）当90
α=°时，断定四边形EDBC是否为菱形，并说明来由．
6.解（1）①30，1；②60，
1.5；……………………4分
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边
形. ……………………6分
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
3
∴AO=1
AC=3 .
2
……………………8分
在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形……………………10分
7如图，在梯形
ABCD
中
，
3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动
点
M
从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度
的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点
D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求BC 的长．
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形
∴3KH AD ==． ··············· 1分 在Rt ABK △中，sin 4542
AK AB =︒==．
2
cos 4542
42
BK AB =︒==
··········· 2分
在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC =
=
∴43310BC BK KH HC =++=++= ········ 3分
（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形
ADGB 是平行四边形
∵MN AB ∥
∴MN DG ∥ ∴3BG AD ==
∴1037GC =-= ············· 4分
C
M
（图①）
A D
C
B
K
H
（图②）
A D
C
B
G M
N
由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△ ∴CN
CM
CD CG =
··············
5分
即10257
t t -=
解得，5017
t = ··············
6分
（3）分三种情况讨论：
①当NC MC =时，如图③，即102t t =-
∴103
t = ················ 7分
②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
()11102522
EC MC t t ==-=-
在Rt CEN △中，5cos EC
t
c NC t
-==
又在Rt DHC △中，3cos 5
CH c CD ==
∴535
t t -=
解得258
t = ···············
8分
解法二：
∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△
A D
C
B
M N
（图③）
（图④）
A D C
B
M N
H E
∴NC EC
DC HC =
即553
t t -=
∴258
t = ················
8分
③当
MN MC
=时，如图⑤，过M 作
MF CN
⊥于
F
点.112
2
FC NC t ==
解法一：（方法同②中解法一）
1
32cos 1025
t
FC C MC t ===- 解得6017
t =
解法二：
∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△
∴FC
MC
HC DC
=
即1102235
t
t -=
∴6017
t =
综上所述，当103
t =、258
t =或6017
t =时，MNC △为等腰三角
形 ······················ 9分
10数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．
颠末思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，毗连ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（图⑤）
A
D
C
B
H N M
F
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那末结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明来由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你
认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明来由． 10.解：（1）正确． ····· （1分）
证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，毗连ME ． （2分）
BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．
CF
是外角平分线，
45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF
∴∠=∠．
90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，
∴BAE CEF ∠=∠．
AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ··········· （5分）
AE EF
∴=． ················ （6分）
（2）正确． ······· （7分） 证明：在BA 的延长线上取一点N ．
使AN CE =，毗连NE ． ···· （8分）
A
D
F C
G
B 图1
A
D
F C
G
B
图2
A
D
F
C G
E B
图3
A D F C
G
E
B
M A
D
F
G
E B
N
BN BE ∴=．
45N PCE ∴∠=∠=°．
四边形ABCD 是正方形，
AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．
NAE CEF
∴∠=∠．
ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ··········· （10分）
AE EF
∴=． （11分）
11已知一个直角三角形纸片OAB
，其中
9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐
标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点
D ．
（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标； 11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.
设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.
在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()22242m m -=+，解得32
m =.
∴点C 的坐标为302⎛⎫
⎪⎝⎭
，. ··············
4分
（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；
（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，
在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.
()2
224y y x ∴-=+，
即2128
y x =-+ ·················· 6分
由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，
∴解析式21
28
y x =-+()02x ≤≤为所求.
∴
当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，
y ∴的取值范围为3
22
y ≤≤. ···········
7分
（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．
（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''
B D OB ''∥.
则OCB CB D ''''∠=∠. 又
CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥.
Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.
有OB
OC
OA OB
''=，得2OC OB ''=. ··········· 9分
在Rt B OC ''△中，
设()00OB x x ''=>，则02OC x =.
由（Ⅱ）的结论，得2001228
x x =-+，
解得000808x x x =-±>∴=-+，
∴点C
的坐标为()016. ··········· 10分
12如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B
落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当CE/CD=1/2时，求AM/BN 的值．
类比归纳
在图（1）中，若
13
CE CD =，则AM BN
的值等于；若1
4
CE
CD =，则AM
BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN
的值
等于．（用含n 的式子暗示） 接洽拓广
如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点
E
（不与点
C D
，重合），压平后得到折痕
MN ，设
()11
1AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN
的值等于．（用含m n ，的式子暗示）
12解：方法一：如图（1-1），毗连BM EM BE ，，．
由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ······
1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112
CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．
在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．
∴()22221x x =-+．解得54x =，即54
BN =． (3)
分
在Rt ABM △和在Rt DEM △中，
222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，
∴2222AM AB DM DE +=+．
············ 5分 设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+． 解得14
y =，即14
AM =． ··········· 6分
∴1
5
AM
BN =． ··················· 7分
方法指导： 为了求得AM
BN 的值，可先求BN 、AM
的长，无妨设：AB =2 图（2） N
A
B C D
E
F
M 图（1）
A B C
D
E
F
M
N
CE CD =1
2N
图（1-1） A B C E F
M
方法二：同方法一，54
BN =． ········ 3分
如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，毗连BE ．
∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．
∴NG CD BC ==．
同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54
AG BN ==．
∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 在BCE △与NGM △中
90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩
，
，
°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ······ ５分 ∵114
AM AG MG AM =--=5，=．4
········· 6分
∴1
5
AM
BN =． ··············· 7分
12..如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A＝90°，AB ＝12，BC ＝21，AD=16.动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另外一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t （秒）.
（1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出出当t 为何值时，① PD＝PQ ，② DQ＝PQ ？
类比归纳
25
（或410）；917；()
2
21
1
n n -+ ············ 10分
N
图（1-2）
A B
C D
E
F
M
G
接洽拓广
2222
21
1
n m n n m -++ ················· 12分
解1：依题意,得AQ=t,BP=2t,QD=16-t.过点Q 作QF⊥BP,又
∵AQ‖BF,∴∠ABP=90°∴四边形AQFB 是矩形 ∴AQ=BF=t∵BP=2t∴FP=t,∴在Rt△QFP
中,QP=√(12²+t ²)
又
∵QD=QP=PD∴√(12²+t ²)=16-t∴12²+t ²=16²-2*16*t +t ²
∴解得:t=7/2
解2：如图所示，
:这P 作PE 垂直AD 于E,垂足为E 点,则ABPE 为矩形.PE=AB=12;AE=BP
(1).s=1/2×AB×DQ=1/2×12×(AD -AQ)=6×(16-t)=96-6t;
(2).当 BC-2t=21-2t=PC=DQ=AD-t=16-t,即t=5时,四边形PCDQO 为平形四边形.
(3).①QE=AE -AQ=BP-AQ=2t-t=t,
而
ED=AD-AE=16-BP=16-2t;当QE=ED 时,PE 为QD 的垂直平分线时,PQ=PD,而此时t=16-2t; t=16/3;所以当t=16/3时,PD=PQ;
.②在Rt△PEQ 中,PE=AB=12; EQ=AE-AQ=PB-AQ=2t-t=t;
PQ²=QE²+PE²=t²+12²;
QD²=(AD-AQ)²=(16-t)²; 所以当t²+12²=(16-t)²,即:t=3.5时,DQ=PQ;
解：因为∠C=90°，∠CBA=30°，BC=20√3
所以可求出AB＝40
如图，圆心从A向B的方向运动时，共有三个位置能使此圆与直线AC或直线BC相切
当圆心在O1点时，设切点为P
显然PO1＝6，∠APO1＝90°，∠AO1P＝30°
所以AO1＝4√3
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t1＝4√3/2＝2√3（秒）时，圆O与直线AC相切
当圆心在O2点时，设切点为Q
显然QO2＝6，∠BQO2＝90°，∠QBO2＝30°
所以BO2＝12，AO2＝40－12＝28
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t2＝28/2＝14（秒）时，圆O与直线BC相切
当圆心在O3点时，设切点为R
显然RO3＝6，∠BRO3＝90°，∠RBO3＝30°
所以BO3＝12，AO3＝40＋12＝52
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t3＝52/2＝26（秒）时，圆O与直线BC相切
综上所述，当圆O运动2√3秒、14秒、26秒时与△ABC 的一边所在的直线相切.
初中数学压轴题---几何动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米， ∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 15 32104 x x =+?，
1 / 10 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点 Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P . （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度 A Q C D B x A O Q P B y
初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题．关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲:(1)运动观点；(２）方程思想；(3）数形结合思想；(4)分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一:建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二:动态几何型压轴题 动态几何特点--－-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 (一）点动问题。 (二)线动问题。 (三)面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。２、动手实践,操作确认。３、建立联系,计算说明。
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC BC=厘米，点D为AB的中点． ==厘米，8 △中，10 AB AC （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △ 与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △的哪条边上相遇？ △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC
2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． （备用图）
动点问题专题训练 1、如图，已知△ ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点. (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C点向A点运动. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，4BPD与 △ CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 多少时，能够使4BPD与^CQP全等 (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时 出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在4ABC 的哪条边上相遇 3 2、直线y -x 6与坐标轴分别父于A B两点，动点P、4 Q同时从。点出发, 同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为 每秒1个单位长度，点P沿路线。一B -A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S ,求出S 与t之间的函数关系式； 48 . ... .................... (3)当S 一时，求出点P的坐标，并直接写出以点5 O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.
3如图，在平面直角坐标系中，直线l : y= —2x—8分别与x轴，y轴相交于A, B两点，点P (0, k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作。P. (1)连结PA若PA=PB,试判断。P与x轴的位置关系，并说明理由; (2)当k为何值时，以。P与直线l的两个交点和圆心P为 正三角形 希用图4如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO菱形，点A 的坐标为(一3, 4), 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M AB边交y轴于点H. (1)求直线AC的解析式； (2)连接BM如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/ 秒的速度向终点C匀速运动，设^ PMB勺面积为S (S* 0),点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)； (3)在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPEBf/BCOE为余角，并求此
初中数学动点问题和练习题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,敏捷运用有关数学学问解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注意对几何图形运动变更实力的考察。 从变换的角度和运动变更来探讨三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等探讨手段和方法，来探究及发觉图形性质和图形变更，在解题过程中浸透空间观念和合情推理。选择根本的几何图形，让学生经验探究的过程，以实力立意，考察学生的自主探究实力，促进培育学生解决问题的实力．图形在动点的运动过程中视察图形的变更状况，须要理解图形在不同位置的状况，才能做好计算推理的过程。在变更中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的实力，内容包括空间观念、应用意识、推理实力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．探讨历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们老师在教学中探讨对策，把握方向．只的这样，才能更好的培育学生解题素养，在素养教化的背景下更明确地表达课程标准的导向．本文拟就
压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数提醒了运动变更过程中量及量之间的变更规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变更,引起未知量及已知量间的一种变更关系,这种变更关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特殊要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题始终是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相像三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简洁介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。二、解决动态几何问题的常见方法有:
初中数学动点问题及练习题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;
初中数学动点问题及练习题所谓“动点型问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考察。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对 称、动点的运动〞等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择根本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考察学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点〞探究题 的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：〔1〕运动观点；〔2〕方程思想；〔3〕数形结合思想；〔4〕分类思想；〔5〕转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地表达课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数提醒了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于*一个点或*图形的有条件地运动变化,引起未知量与量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.则,我们怎样建立这种函数解析式呢“下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 〔一〕点动问题。〔二〕线动问题。〔三〕面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质及核心容的考察;
初中数学几何动点问题专题练习-附答案版38639 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学几何动点问题专题练习-附答案版38639）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中数学几何动点问题专题练习-附答案版38639的全部内容。
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． (1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． CQP △①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时，能 够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同 时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在 ABC △的哪条边上相遇？ 1。解：(1）①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米, ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ······················ （4分) ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠, 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，, ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒, ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ·················· (7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇, 由题意，得15 32104 x x =+⨯， 解得80 3 x = 秒． ∴点P 共运动了80 3803 ⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线3 64y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停 止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P . （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度A Q C D B P x A O Q P B y
1 / 6 动点问题专题训练 1、如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点． 〔1如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等？ 〔2若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线364 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止．点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动． 〔1直接写出A B 、两点的坐标； 〔2设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式； 〔3当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形 的第四个顶点M 的坐标． 3如图,在平面直角坐标系中,直线l ：y =－2x －8分别与x 轴,y 轴相交于A ,B 两点,点P 〔0,k 是y 轴的负半轴上的一个动点,以P 为圆心,3为半径作⊙P . 〔1连结PA ,若PA =PB ,试判断⊙P 与x 轴的位置关系,并说明理由； 〔2当k 为何值时,以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点A 的坐标为〔－3,4, 点C 在x 轴的正半轴上,直线AC 交y 轴于点M,AB 边交y 轴于点H ． 〔1求直线AC 的解析式； 〔2连接BM,如图2,动点P 从点A 出发,沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动,设△PMB 的面积为S 〔S ≠0,点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式〔要求写出自变量t 的取值范围； 〔3在〔2的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC = 3,AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动, 到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发,当点Q 到 达点B 时停止运动,点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒〔t ＞0． 〔1当t = 2时,AP =,点Q 到AC 的距离是； 〔2在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；〔不必写出t 的取值范围 〔3在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能,求t 的值．若不能,请说明理由； 〔4当DE 经过点C 时,请直接．． 写出t 的值． 6如图,在Rt ABC △中,9060ACB B ∠=∠=°，°,2BC =．点O 是AC 的中点,过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始,绕点O 作逆时针旋转,交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α．〔1①当α=度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为；②当α=度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为； 〔2当90α=°时,判断四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由．α 7如图,在梯形ABCD 中,354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时 从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． 〔1求BC 的长． 〔2当MN AB ∥时,求t 的值． 〔3试探究：t 为何值时,MNC △为等腰三角形． 8如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 是AB 的中点,过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，,60B =︒∠. 〔1求点E 到BC 的距离； 〔2点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ,过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时〔如图2,PMN △的形状是否发生改变？若不变,求出PMN △的周长；若改变,请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时〔如图3,是否存在点P ,使PMN △为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由. 9如图①,正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为〔0,10,〔8,4,点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒． <1>当P 点在边AB 上运动时,点Q 的横坐标x 〔长度单位关于运动时间t 〔秒的函数图象如图②所 示,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； <2>求正方形边长及顶点C 的坐标； <3>在〔1中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标； <4>如果点P 、Q 保持原速度不变,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相等,若能,写出 所有符合条件的t 的值；若不能,请说明理由． 10数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点． 90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ,求证：AE =EF ． 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =． 在此基础上,同学们作了进一步的研究： 〔1小颖提出：如图2,如果把"点E 是边BC 的中点"改为"点E 是边BC 上〔除B ,C 外的任意一点",其它条件不变,那么结论"AE =EF "仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果 不正确,请说明理由； 〔2小华提出：如图3,点E 是BC 的延长线上〔除C 点外的任意一点,其他条件不变,结论"AE =EF " 仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由． 11已知一个直角三角形纸片OAB ,其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB 交于点C ,与边AB 交于点D ． 〔Ⅰ若折叠后使点B 与点A 重合,求点C 的坐标； A Q C D B P A C B P Q E D 图16 O E C B D A l O C B A 〔备用图 A D C B M N A D E B F C 图4〔备用 A D E B F C 图5〔备用 A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M 图3 A D E B F C P N M 〔第8题 A D F C G E B 图1 A D F C G E B 图2 A D F C G E B 图3 x y B O A x A O Q P B y