动点问题专题训练
1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？
解：（1）①∵1t =秒，
∴313BP CQ ==⨯=厘米，
∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，
∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，
∴835PC =-=厘米，
∴PC BD =．
又∵AB AC =，
∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ····················· （4分）
②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，
又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，
∴点P ，点Q 运动的时间433BP t =
=秒， ∴51544
3
Q CQ v t ===厘米/秒． ················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得
1532104x x =+⨯， 解得803
x =秒． ∴点P 共运动了803803
⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，
∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
∴经过80
3
秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．·········（12分）
2.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？
分析：
（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．
（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．
（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．
所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．
解答：
解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形
∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得：t=6
即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．
（2）过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形
∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形
∴QC-PD=2CE
即3t-（24-t）=4
解得：t=7（s）
即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．
（3）由题意知：QC-PD=EC时，
四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2
解得：t=6.5（s）
即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．
点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．
3.（09济南）如图，在梯形ABCD
中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求BC 的长．
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形 ∴3KH AD ==． ······················ 1分
在Rt ABK △
中，sin 454AK AB =︒== 2cos 454242BK AB =︒==
················ 2分
在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==
∴43310BC BK KH HC =++=++= ············· 3分
（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形
∵MN AB ∥
∴MN DG ∥
∴3BG AD ==
∴1037GC =-= ····················· 4分
由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，．
∵DG MN ∥
∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠
∴MNC GDC △∽△ ∴CN
CM
CD CG = ······················ 5分
即10257t t
-=
解得，50
17t = ······················ 6分
（3）分三种情况讨论：
①当NC MC =时，如图③，即102t t =-
∴10
3t = ························ 7分
（图①） A D C B K
H （图②）
A D
C
B G M N
②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得()1
1
102522EC MC t t ==-=-
在Rt CEN △中，5cos EC t
c NC t -==
又在Rt DHC △中，3
cos 5CH c CD ==
∴53
5t
t -=
解得25
8t = ······················· 8分
解法二：
∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，
∴NEC DHC △∽△
∴NC EC
DC HC =
即553t t
-=
∴25
8t = ························ 8分
③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.11
22FC NC t ==
解法一：（方法同②中解法一）
13
2cos 1025t FC C MC t ===-
解得60
17t = 解法二： ∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MC
HC DC =
即1102235t
t
-=
A D
C B M N
（图③） （图④）
A D
C
B M N
H E
（图⑤）
A D
C
B
H N
M F
∴
60
17 t=
综上所述，当
10
3
t=、
25
8
t=或
60
17
t=时，MNC
△为等腰三角形·9分
4..如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
分析：
（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
解答：
解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB，
同理，∠ACF= ∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AO M=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用
动点问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性 题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD 中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边 以1cm/ 秒的速度移动，点Q 从 C 开始沿CB 向点 B 以 2 cm/ 秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C 同 时出发，设移动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC上，且DM=1，N 为对角线AC上任 意一点，则DN+MN 的最小值为5 3、如图，在Rt△ABC 中，ACB=90°，B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC 重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作 CE∥AB交直线l于点E，设直线l 的旋转角为． 1）①当=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为； （2）当= 90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在 Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. B 图1 B 1 ∴AB=4,AC=2 3. ∴AO= 2 ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵∴四边形EDBC是菱形 4、在△ABC 中，∠ACB=90°，
数学动点问题及练习题附参考答案 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重 要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件 地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动 点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢下面结合中考 试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。二、应用比例式建立 函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所 以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特 殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点， 近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此 问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。二、解决动态 几何问题的常见方法有: 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式； 研究特殊情况下的函数值。 专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图 形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的 双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读 者欣赏.1以双动点为载体，探求函数图象问题。2以双动点为载体，探求 结论开放性问题。3以双动点为载体，探求存在性问题。4以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信 息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动 和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运 动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题， 题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的 有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 例1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1 个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停 止运动．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同 时停止运动；
动点问题 1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿 AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 点评： 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中． 2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分 线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 点评： 本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一
问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用． 3.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线 段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD 的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形； （3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； （4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形． 点评： 此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法． 4.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在 矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
动点问题专题训练 1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ····················· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t = =秒， ∴51544 3 Q CQ v t ===厘米/秒． ················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 1532104x x =+⨯， 解得803 x =秒． ∴点P 共运动了803803 ⨯=厘米． ∵8022824=⨯+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
中考专题训练 动点问题 例1. 如图， 在ABC ?中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从 点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ， 当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >． （1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形； （2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ?的面积存在最大值， 当PEF ?的面积最大时， 求线段BP 的长； （3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ?为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ． 【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥， EF ∴为AD 的垂直平分线， AE DE ∴=，AF DF =． AB AC =，AD BC ⊥于点D ， AD BC ∴⊥，B C ∠=∠． //EF BC ∴， AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠， AEF AFE ∴∠=∠， AE AF ∴=， AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．
（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ， AEF ABC ∴??∽， ∴ EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5 102 EF t =-． 221155510 (10)210(2)10(0)222223 PEF S EF DH t t t t t t ?= =-=-+=--+<<， ∴当2t =秒时，PEF S ?存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==． （3） 解： 存在 ． 理由如下： ①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示， 此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =． //PE AD ，∴ PE BP AD BD =，即2385 t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示， 此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-． //PF AD ，∴ PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得40 17 t =； ③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．
初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的 边 AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运 动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面 积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形 ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ C P Q B A M N C B
动点问题专题训练 1、如图，ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． 〔1〕如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等. 〔2〕假设点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在 ABC △的哪条边上相遇. 2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停顿．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． 〔1〕直接写出A B 、两点的坐标； 〔2〕设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； 〔3〕当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P 〔0，k 〕是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P . 〔1〕连结PA ，假设PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；
〔2〕当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形. 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为〔－3，4〕， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． 〔1〕求直线AC 的解析式； 〔2〕连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S 〔S ≠0〕，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式〔要求写出自变量t 的取值围〕； 〔3〕在〔2〕的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点 B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -B C -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停顿运动，点P 也随之停顿．设点P 、Q 运动的时间是t 秒〔t ＞0〕． 〔1〕当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是； 〔2〕在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；〔不必写出t 的取值围〕 〔3〕在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形.假设能，求t 的值．假设不能，请说明理由； 〔4〕当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是 AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开场，绕点O 作逆A C B P Q E D 图16 O E C B D A α l
初中数学动点问题与练习题附参考答案 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式. 二、应用比例式建立函数解析式. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式. 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.〕动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值.下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨. 一、以动态几何为主线的压轴题. 〔一〕点动问题. 〔二〕线动问题. 〔三〕面动问题. 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路,一般推证. 2、动手实践,操作确认. 3、建立联系,计算说明. 三、专题二总结,本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质与核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体,研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值. 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题. 这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以与分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,供读者欣赏. 1 以双动点为载体,探求函数图象问题. 2 以双动点为载体,探求结论开放性问题. 3 以双动点为载体,探求存在性问题. 4 以双动点为载体,探求函数最值问题. 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动. 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
动点问题 1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 点评： 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中． 2. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的 外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 点评： 本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
3. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出 发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q 点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形； （3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形． 点评： 此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法． 4. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB， DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
动点问题之南宫帮珍创作 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速 度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α． （1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ； ②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明 O E C D A α l
理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900 时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900 ，∠B =600 ,BC =2, ∴∠A =300 . ∴AB =4,AC ∴AO =12AC 在 Rt △AOD 中，∠A =300 ，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形 4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E. (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线 MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB ② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3
动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始 沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P， Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形 . 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点， 则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过 点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作 CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α． （1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为； （2）当90 α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC ∴AO= 1 2 AC 在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形 4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. （备用图） C E D N M C D M C E M