高二数学棱柱、棱锥和棱台
【本讲主要内容】
棱柱、棱锥和棱台
棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质
【知识掌握】 【知识点精析】
1. 棱柱的有关概念和性质。
（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 （2）棱柱的几个概念。
这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
（3）棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱ABC A B C -111
（4）棱柱的分类。
棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按侧面与地面是否垂直，棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱是特殊的直棱柱。 （5）棱柱的性质： ①侧棱都相等；②侧面都是平行四边形；③两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。 四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系：
{正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{平行六面体}⊂{四棱柱} 长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 2. 棱锥的有关概念。
（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。 （2）棱锥的几个概念。 这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
（3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S －ABCDE ，或者棱锥S －AC 。 （4）棱锥的分类
棱锥按底面多边形的边数可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥是一种特殊的棱锥，它满足以下条件：
①底面是正多边形；②顶点在底面的射影是底面的中心。只有正棱锥才有斜高（顶点到
底边的垂线段），其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长。 （5）棱锥的性质。 一般棱锥的性质：
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。 正棱锥的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。
②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 3. 棱台的有关概念。
（1）棱台的定义：棱锥被平行与底面的平面所截，两个平行平面间的几何体叫做棱台。 （2）棱台的几个概念。
原棱锥的底面叫做棱台的下底面，截面叫做棱台的上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点，原棱锥的高被截得的部分叫做棱台的高。
（3）棱台的表示方法：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如棱台A B C A BC '''-。 （4）棱台的分类
棱台按底面多边形的边数可以分为三棱台、四棱台、五棱台…… 正棱台是一种特殊的棱台，它满足以下条件： ①底面是正多边形；②侧棱延长线交点在上下底面的射影分别是上下底面的中心。只有正棱台才有斜高（同一侧面与上下两个底面交线的中点连线）。 （5）棱台的性质。 正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形。各侧面内的斜高相等。
②棱台的高线、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角梯形；棱台的高线、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角梯形。
【解题方法指导】
例1. 已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB AC ==3，BC=2，则以BC 为棱，面BCD 与面BCA 所成二面角的大小是（ ） A. arccos
33
B. arccos 13
C.
π
2
D. 23
π
解：依题意，AB=BD=AC=CD=3，BC=AD=2 因此取BC 中点E ，联结AE 、DE ， 则有AE ⊥BC ，DE ⊥BC
得∠AED 是所求二面角的平面角 ∵AE=DE=2
∴AD AE DE 2224==+
∴∠AED =
π
2
点评：本题没有附图，考生必须自己作图，因而考查了基本作图能力，解题的关键是在于审题时，认清图形的对称性。
例2. 设有三个命题：
甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体 丙：直四棱柱是直平行六面体 以上命题真命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 思路：根据平行六面体、长方体以及直平行六面体的概念即可判断真假。
解：甲命题符合平行六面体的定义，故甲命题正确。底面是矩形的平行六面体的侧棱，可能与底面不垂直，故乙命题是错误的。因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故丙命题是错误的。故选B 。
点评：本题关键在于明确几何体的概念、特征。
例3. 直三棱柱ABC A B C -111所有棱长为a ，求面对角线AB BC 11与所成角的余弦值。 解：取AB 、BB B C 111、中点E 、F 、G ，连结EF 、FG 、GE
取BC 中点H ，连结GH 、EH
C 1
C
∵FG//BC 1，EF//AB 1
∴直线FG 与EF 所成的角即为AB BC 11与所成的角
由于ABC A B C -111是各棱长均为a 的直三棱柱
∴GH ⊥面ABC 且GH=a ，EH a =2
∴GE a =
52
在△GEF 中，EF AB a FG BC a =
===12221222
11， ∴cos ∠EFG =-1
4
∴∠EFG=arccos()-14
∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为1
4
点评：考生应熟练掌握直三棱柱的性质。
【考点突破】
【考点指要】
棱柱、棱锥是立体几何中的重要几何体，高考常以棱柱、棱锥为载体，考查有关位置关系的证明和量的计算，棱台的问题往往通过割补法转化为棱锥来解决。
其中以棱柱为载体的试题常以解答题形式出现，考查的知识点较多，如线面平行、线面垂直、面面平行与面面垂直，异面直线所成的角及距离等。在计算的时候要注意把某些平面图形分离出来，运用平面几何方法进行解决，这是解决立体几何中计算问题的重要方法与技巧。
【典型例题分析】
例 1.在正三棱柱ABC A B C -111中，若AB BB =21，则AB 1与C B 1所成的角的大小为（ ） A. 60°
B. 90°
C. 105°
D. 75°
解析：如图，D D 1、分别为B C BC 11、中点 连结AD 、D C 1
设BB AB 112==，则
则B 1D 为AB 1在平面BC 1内的射影
又BE BD C BC BC BC =
=∠==
33222
3
11，，cos
∴DE BE BD BE BD C BC 2221216
=+-⋅⋅∠=cos 而BE DE BD 22213161
2
+=+== ∴∠BED=90°
∴AB 1与C 1B 垂直
故选B
例 2. 设棱锥的底面面积为82cm ，那么这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是（ ） A. 4cm 2
B. 222cm
C. 2cm 2
D. 22cm
解析：∵棱锥被中截面截得的棱锥与原棱锥是相似体 且相似比为1/2
∴截面（即小棱锥的底面）面积等于原棱锥底面面积的14
∴应为22cm ，故选C
例3. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A. 323
B. 283
C. 243
D. 203
解析：正六棱台的上、下底面面积分别为
S S 上下
=⋅
⋅==⋅⋅=634263634
4243
2
2
V h S S S S 台上上下下=+⋅+=1
3
283()
故选B
【综合测试】
一. 选择题
1. 侧棱长为23a 的正三棱锥V －ABC 的侧棱间的夹角为40°，过顶点A 作截面AEF ，则截面AEF 的最小周长为（ ）
A. 22a
B. 6a
C. 4a
D. 123a
2. 正方体ABCD A B C D -1111中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B C 11的中点，那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
3. 设三棱柱ABC A B C -111的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA CC 11、上的点，且PA=QC 1，
则四棱锥B －APQC 的体积为（ ）
A.
1
6
V B.
1
4
V C. 13
V
D.
12
V 4. 三棱台ABC A B C -111中，AB A B =1
2
11，设三棱台体积为V ，则四棱锥B A ACC 111-的体积为（ ）
A.
7
8
V B.
6
7V
C.
5
6
V D.
45
V
二. 填空题
5. 长方体有公共顶点的三个面的面积分别是236、、，这个长方体对角线的长是___________。
6. 下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。 ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。 ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角也相等的三棱锥是正三棱锥。
其中，正确命题的编号是_________。
三. 解答题
7. 已知正四棱柱ABCD A B C D -1111，点E 在棱D D 1，D B 1//面EAC ，且面EAC 与面ABCD
成45°角，AB=a 。
（1）求截面EAC 面积；（2）求异面直线A B 11与AC 之间距离；（3）求三棱锥B EAC
1-体积。
B
A 1
综合测试答案
1. B 提示：将三棱锥侧面展开，连结AA'，由余弦定理（或正弦定理）可求得，最小
周长为6a 。
2. D 提示：取C D D D B B 1111、、中点M 、N 、S ，则六边形MNQPSR 即为所求。
3. C 提示：V V V V B APQC B AA C C B A B C 四棱锥四棱锥三棱柱三棱锥---==-121
211111() =-=12131
3
()V V V
4. B 提示：将三棱台补成三棱锥S A B C -111，可求得V V B A ACC S A B C 1111113
4
--=，而
V V S A B C 三棱锥-=11187 ∴V V B A ACC 四棱锥1116
7
-=
5. 6
提示：设三边长分别为a 、b 、c ，可解得a=1，b =2，c =3，则对角
线可求。
6. ①④
提示：②反例如图
D
△BCD 为正三角形，AD ⊥面BCD ，AD=BD=CD 则三棱锥A －BCD 不是正三棱锥
③侧面高线的垂足不一定是底边中点 7. 提示：（1）连结BD 交AC 于O 点，连结OE 、OD
B
A 1
∠EOD 为面EAC 与面ABCD 所成的角，∠EOD=45°
∵AB=a
∴AC=2a
∵ED=DO=2
2 a ∴EO=a ∴S AC EO a EAC
∆=⋅⋅=1222
2 （2）∵BD 1//面EAC ，∴D B EO 1// ∴E 为DD 1中点
∴DD a 12=
∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a
（3）连结B D 11，∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1
B
A 1
∴AC ⊥面BDD 1B 1
∴面EAC ⊥面BDD 1B 1，作B 1F ⊥EO 于F ，B 1F 为B 1到面EAC 的距离 矩形BDD 1B 1中，BD DD a ==12 ∴四边形BDD B 11为正方形
B F a V B F S a B EA
C EAC 11332
1324
1=
=
⋅=-∆
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 名称 定义、特点、分类及记法 图形 棱柱 1.一般地,由一个平面多边形① 形成的空间几何体叫做棱柱.平移② 叫做棱柱的底面,多边形的边③ 叫做棱柱的侧面,相邻④ 叫做棱柱的侧棱. 2.棱柱的特点:两个底面是⑤ ,且对应边 ⑥ ,侧面都是⑦ . 3.底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为⑧ …… 4.右图六棱柱记作⑨ . 棱锥 1. 当棱柱的一个底面⑩ 时, 得到的 几何体叫做棱锥.相邻侧面的 叫做棱锥的 侧棱,由棱柱的一个底面 的点叫做棱锥 的顶点. 2.棱锥的特点: . 3. 的棱锥分别称为三棱锥、四棱 锥、五棱锥. 4.右图四棱锥记作 . 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几 何体,一个仍然是棱锥,另一个称之为棱台.即棱台是 棱锥被 之间的部分.
多面体 1.棱柱、棱锥和棱台都是由 围成的几何体. 2. 叫做多面体. 3.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是 . 一、填空题 1.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台. 2.下列命题中正确的序号是. ①棱柱的底面一定是平行四边形; ②棱柱的底面一定是三角形; ③棱锥被截面分成的两部分不可能都是棱锥; ④棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱. 3.一个棱柱至少有个面. 4.将梯形沿某一方向平移形成的几何体是. 5.一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为4∶9,则此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为. 6.不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的体对角线,则六棱柱有条体对角线. 7.如图,三棱台ABC A'B'C',沿A'BC截去三棱锥A'ABC,则剩余部分是. ①四棱锥;②四棱台;③三棱柱;④三棱锥.
棱柱、棱锥和棱台 知识点一 棱柱 思考以下几何体是有什么共同特点，是怎样形成的？ （１） （２） （3） （4） 1、概念：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 2、元素： 底面：平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面． 侧面：多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面． 侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱． 3、性质：（1）两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行 （2）侧面都是平行四边形． （3）所有侧棱平行且相等。不具以上条件的多面体便不是棱柱，如图： 4、表示：图（１）三棱柱'''C B A ABC -；图（4）六棱柱''''''F E D C B A ABCDEF - 5、分类： （1）按底面的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱称为三棱柱、四棱柱、 五棱柱……。即底面是几边形就为几棱柱． （2）按侧面是否与底面垂直分：不垂直的叫做斜棱柱，垂直的叫做直棱柱。底面是正多边 形的直棱柱叫做正棱柱。例如正方体就是正四棱柱。 （3）特殊棱柱 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的棱柱叫做 。 底面是正多边形的直棱柱叫做 。 底面是平行四边形的棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做 底面是矩形的直平行六面体是 ，棱长都相等的长方体是 。 例1、下列命题中不正确的是（ B ） A ．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高 B ．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C ．直棱柱的侧面是矩形 D ．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 例2、设有三个命题（1）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体（2）底面是矩形的平行六面体是长方体 （3）直四棱柱是直平行六面体 以上命题中正确的有 (1) 例3、长方体交与同一顶点的三条棱长分别为3，4，5，求长方体的对角线的长。 例4、在棱柱中( )
空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征
预习课本P2～4，思考并完成以下问题 [新知初探] 1．空间几何体 2．空间几何体的分类
3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台() (2)棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面() (3)棱台的底面是两个相似的正方形() (4)棱台的侧棱延长后必交于一点() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√ 2．有两个面平行的多面体不可能是() A．棱柱B．棱锥 C．棱台D．以上都错 解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； (2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形； (3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体． 解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的 侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形． (3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一 定是正方体． 答案：(2)
[典例]下列关于棱柱的说法中，错误的是() A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 [解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C. [答案] C
棱柱、棱锥、棱台的结构特征【知识梳理】 1．空间几何体
题型一、棱柱的结构特征 【例1】下列关于棱柱的说法： (1)所有的面都是平行四边形； (2)每一个面都不会是三角形； (3)两底面平行，并且各侧棱也平行； (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是________． [解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； (2)错误，棱柱的底面可以是三角形； (3)正确，由棱柱的定义易知； (4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)． [答案](3)(4) 【类题通法】 有关棱柱的结构特征问题的解题策略 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析 ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． 【对点训练】 1．下列四个命题中，假命题为() A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C．棱柱的两底面是全等的多边形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 解析：选A A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D 是正确的. 题型二、棱锥、棱台的结构特征 【例2】下列关于棱锥、棱台的说法： (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (3)棱锥的侧面只能是三角形； (4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________． [解析](1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台； (2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； (3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． [答案](2)(3)(4) 【类题通法】 判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法： 2．试判断下列说法正确与否： ①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；
高二数学上 知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征----棱柱：棱锥：棱台：圆柱：圆锥：圆台：球： 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； 1. 3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 S rl r ππ=+ 4 圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ 5 球的表面积2 4S R π= 6扇形的面积公式213602 n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 V S h =?底 2锥体的体积 1 3 V S h =?底 3台体的体积 1 )3 V S S h =+?下上（ 4球体的体积 34 3 V R π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄。 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长 （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： 222r rl S ππ+=
立体几何初步 1、 柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧
高中数学必修2立体几何知识点1.1柱、锥、台、球的结构特征，定义，性质 棱柱：棱锥：棱台：圆柱：圆锥：圆台：球： 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2斜二测画法的步骤： 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一）空间几何体的表面积，侧面积公式 扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形（其中 l表示弧长，r表示半径） （二）空间几何体的体积公式 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄。 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 特别指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα ?来表示
高二数学棱柱、棱锥和棱台 【本讲主要内容】 棱柱、棱锥和棱台 棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 棱柱的有关概念和性质。 （1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 （2）棱柱的几个概念。 这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。 （3）棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱ABC A B C -111 （4）棱柱的分类。 棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按侧面与地面是否垂直，棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱是特殊的直棱柱。 （5）棱柱的性质： ①侧棱都相等；②侧面都是平行四边形；③两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。 四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系： {正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{平行六面体}⊂{四棱柱} 长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 2. 棱锥的有关概念。 （1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。 （2）棱锥的几个概念。 这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 （3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S －ABCDE ，或者棱锥S －AC 。 （4）棱锥的分类 棱锥按底面多边形的边数可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥是一种特殊的棱锥，它满足以下条件： ①底面是正多边形；②顶点在底面的射影是底面的中心。只有正棱锥才有斜高（顶点到
第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算． 知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念 思考观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？ 答案(1)几何体的表面由若干个平面多边形围成． (2)几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成． 梳理(1)空间几何体的定义及分类 ①定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． ②分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类． (2)多面体与旋转体
类别多面体旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几 何体 由一个平面图形绕它所在平面内的一 条定直线旋转所形成的封闭几何体图形 相关概 念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识点二棱柱的结构特征 思考观察下列多面体，有什么共同特点？ 答案(1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行． 梳理棱柱的结构特征 名 称 定义图形及表示相关概念分类 棱 柱 有两个面互相平 行，其余各面都 是四边形，并且 每相邻两个四边 形的公共边都互 相平行，由这些 面所围成的多面 如图可记作：棱柱ABCDEF —A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互 相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点：侧面与底面 的公共顶点 按底面多边形的 边数分：三棱柱、 四棱柱、……
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 一、知识梳理： 1．多面体的平面展开图的概念： 对一些特殊的简单多面体，我们可以沿着多面体的____ __将其剪开，得到平面图叫做该多面体的平面展开图． 思考 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 项目 名称 直棱柱 正棱柱 正棱锥 正棱台 定义 侧面积的计 算公式 性质 2．直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台： （1）____________________________________棱柱叫做直棱柱．把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一 个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积．直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h ，因此直棱柱的侧面积是____________________． （2）底面为___________ _____________________棱柱叫正棱柱． （3）如果一个棱锥的底面是__________，并且顶点在底面的________ ________，则棱锥叫做正棱锥．如果正棱锥的底面周长为c ，斜高为h '，由展开图可知它的侧面积是________． （4）_____________________________________________________部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公 式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为,c c '，斜高为h '，则其侧面积是___________． 3、棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V 棱柱＝Sh S 为棱柱的 ，h 为棱柱的高 棱锥 V 棱锥＝13 Sh S 为棱锥的 ，h 为棱锥的高 棱台 V 棱台＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S )h S ′S 分别为棱台的 ，h 为棱台的高
棱柱棱锥教案 【学习目标】： 1、棱锥和棱台的定义、性质及它们之间的关系 2、空间与平面问题的相互转化; 【研习教材】： 研习点一：棱锥及相关概念 1.定义：叫做棱锥，画出一个三棱锥和四棱锥 2.相关概念：(在棱锥中标出相关概念所在图像的位置) (1)棱锥的侧面 (2)棱锥的顶点 (3)棱锥的侧棱 (4)棱锥的底面 (5)棱锥的高 联想·质疑 如何理解棱锥?
1.棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征： ① ② 2.棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但是也要注意 “有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗?。 如右图所示，此多面体有一个面是四边形，其余各面是三角形，但它不是棱锥! 3.棱锥的分类： (1)按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫 (2)正棱锥：4.正棱锥的性质： (1) (2) 5.棱锥的表示： (1)用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：如三棱锥P-ABC，四棱锥P-ABCD.
(2)用对角面表示：如右图中的四棱锥可以用P-AC表示! 研习点2.棱台及第一文库网相关概念 1.定义： 2.相关概念：(画一个三棱台和四棱台并且标出下面相关概念的位置) (1)棱台的下底面、上底面： (2)棱台的侧面： (3)棱台的侧棱： (4)棱台的高： 3.棱台的`分类： (1)按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等; (2)正棱台： 4.正棱台的性质： (1) (2) (3) 5.棱台的表示：
棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如右图中的棱台，可 以记作棱台ABCD-A’B’C’D’，或记作棱台AC’，下底面为ABCD，上底面为A’B’C’D’，棱台的高为OO’. 探究解题新思路 基础拓展型 题型1：概念判断题 例1.设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱 是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。以上四个命题中，真命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 拓展·变式： 棱台不具有的性质是( ) (A)两底面相似(B)侧面都是梯形 (C)侧棱长都相等(D)侧棱延长后交于一点 题型2.考查棱柱间的关系
2019-2020年高中数学必修2(B)棱柱、棱锥和棱台 教学目标 （1）感知并认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征，初步形成空间观念； （2）了解棱柱、棱锥和棱台的概念，能画出棱柱、棱锥和棱台的示意图； （3）能用运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的辨证关系． 教学重点 棱柱、棱锥和棱台的结构特征和有关概念． 教学难点 棱柱、棱锥和棱台的结构特征． 教学过程 一、问题情境 1．情境： （1）阅读章头图和本章引言。 意图：使学生了解学习立体几何的必要性，了解本章主要解决什么问题。 （2）给出多种棱柱的实物模型，让学生观察。 2．问题： 仔细观察这些几何体，说说他们的共同特点． 二、学生活动 学生讨论，归纳：有两个面是全等的多边形，其余各面都是平行四边形。 教师：这样的几何体称为棱柱。 三、建构数学 1．在水平地面上有不同的两点和，一只蜗牛沿到方向从点爬到点，留下怎样的痕迹？ 线段； 由此可见，点从一个位置沿某一确定的方向平移到另一位置，形成怎样的图形？ 线段。 2．把一支粉笔贴在黑板上，沿垂直于粉笔的方向平移，留下怎样的痕迹？（演示）矩形； 由此可见，一条线段从一个位置沿某一确定的方向平移到另一位置，形成怎样的图形？ 平行四边形。 3．把一张矩形纸片放在课桌上，向上平移，形成怎样的图形？
操作：堆课本。（课本的纸张大小相同） 长方体。 4．一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成怎样的空间几何体？ 用电脑演示平移多边形生成棱柱的过程。 棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。平移起、止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面。 5．结合模型介绍： （1）棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点； （2）三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱； （3）棱柱的表示方法； （4）棱柱的特点：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形。 6．给出一组棱锥，让学生将它们与棱柱进行比较，前后发生了什么变化？ 棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到相应的棱锥。 用电脑演示棱柱的一个底面收缩为一个点生成棱柱的过程。
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标核心素养 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点) 2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养. 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 棱锥的体积公式V＝1 3Sh(S为底面面积，h为高)； 棱台的体积公式V＝1 3h(S′＋S′S＋S)．其中，台体的上、下底面面积分 别为S′、S，高为h. 思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？ [提示]表面积变大了，而体积不变． 1．棱长为3的正方体的表面积为() A．27B．64C．54D．36 C[根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正
方形．从而，其表面积为6×32＝54.] 2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为( ) A ．6,22 B ．3,22 C ．6,11 D ．3,11 A [V ＝1×2×3＝6，S ＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.] 3．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为 ． 93 [因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×3 4×32＝9 3.] 简单几何体的表面积 【例1】 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪ ⎫ AC 22 ＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫BD 22＝a 2＋b 2 4＝200＋564＝64， ∴AB ＝8. ∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.
立体几何初步 一、柱、锥、台、球的图形 （ 1）棱柱： （ 2）棱锥 （ 3）棱台： （ 4）圆柱： （ 5）圆锥： （ 6）圆台： （ 7）球体： 二、空间几何体的三视图 三视图：主视图、左视图、俯视图【注：主视图反应了物体的高度和长度；俯视图反应 了物体的长度和宽度；左视图反应了物体的高度和宽度。 】 三、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特色： ①本来与 x 轴平行的线段仍旧与 x 平行且 长度不变 ； ②本来与 y 轴平行的线段仍旧与 y 平行， 长度为本来的一半。 四、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （ 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （ 2）特别几何体表面积公式（ c 为底面周长， h 为高， h ’为斜高， l 为母线） S 直棱柱侧面 积 ch S 2 rh S 正棱锥侧面积 ch' 圆柱侧 1 2 S 圆锥侧面积 rl S 正棱台侧面积 1 (c 1 c 2 )h' S 圆台侧面积 (r R) l 2 S 圆柱 表 2 r r l S 圆锥表 r r l S 圆台表 r 2 rl Rl R 2 （ 3）柱体、锥体、台体的体积公式 V 柱 Sh V 圆柱 Sh r 2 h V 锥 1 Sh V 圆锥 1 r 2 h 3 3 V 台 1( S ' S ' S S) h V 圆台 1 (S ' S ' S S) h 1 ( r 2 rR R 2 )h 3 3 3 （ 4）球体的表面积和体积公式： V 球 =4 R 3 ； S 球面 =4 R 2 3 五、空间点、直线、平面的地点关系 公义 1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内。 【 A l, B l , A , B l 】 公义 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
一、棱柱、棱锥和棱台 温故 1.棱柱、棱锥、棱台的概念，它们的形成特点 2.棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称 典例精析 例1判断下列说法是否正确： （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； (2)有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； (3)用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台. （4）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥. （5）四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面. （6）棱锥的各侧棱长相等. 例2(1)把正方形的一个角截去后,○1若剩下的几何体共有12条棱,画出该几何体图形; ②若剩下的几何体共有14条棱,画出该几何体图形. (2)把两个棱长都相等的正三棱锥和正四棱锥的一个侧面重合在一起组成的几何体有 个面. 例3(1)如下图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体由哪些简单几何体组成？
C C 1A 1 B 1A (2)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm 、4cm 、3cm ，一只蚂蚁从A 到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？ (3)四面体P-ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体的表面绕一周，再回到A 点，蚂蚁经过的最短路程是多少？ 例4`(1)平行于棱柱侧棱的截面是什么图形？过棱锥顶点的截面是什么图形？ (2) 用任意一个平面去截正方体，得到的截面可能是几边形？ 演练提升 1. 四棱柱共有_______条棱;四棱锥共有_______条棱;四棱台共有共有_______条棱;四面体共有_______条棱. 2. 长方体1111ABCD A B C D -中,作出截面11BCD A ,其截面把长方体分成两部分,则这两部分几何体分别是_________
高中数学必修 2 知识点 第一章空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的构造特色(略) 棱柱： 棱锥： 棱台： 圆柱： 圆锥： 圆台： 球： 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1三视图： 正视图：以前去后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴； （2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一）空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2圆柱的表面积4圆台的表面积S 2 rl2r 2 3 圆锥的表面积S rlr 2 S rl r 2Rl R2 5 球的表面积S 4R2 6扇形的面积公式S 扇形n R2 1 lr （此中l表示弧长，r表示半径）3602 （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 V S底h 2 锥体的体积 1 S底h V 3 3台体的体积 V 1 S上h 4 球体的体积V 4 R3 （下下 3S上 S S ) 3 第二章直线与平面的地点关系 2.1 空间点、直线、平面之间的地点关系 1平面含义：平面是无穷延展的 , 无大小，无厚薄。 2平面的画法及表示 450，且横边画成邻边的 （1）平面的画法：水平搁置的平面往常画成一个平行四边形，锐角画成 2 倍长（2）平面往常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也能够用表示平面的平行四边形的四个极点或许相对的两个极点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。
【新人教版】数学必修二第八单元8.1基本立体图形 第1课时棱柱、棱锥、棱台 【学习目标】1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征2 理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. 知识梳理梳理教材夯实区础 知识点一多面体、旋转体的定义 思考构成空间几何体的基本元素是什么？ 答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面. 知识点二棱柱的结构特征
1.棱柱的概念 2.棱柱的分类 （1）按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… ⑵按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做史达面体思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 答案棱柱的侧面一定是平行四边形. 知识点三棱锥的结构特征 L棱锥的概念
2.棱锥的分类 ⑴按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… （2）底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱筐 思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？ 答案一定相交于一点. ■思考辨析判断正误- --------------------------------------------------------------- 1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.（X ） 2.棱柱的两个底面是全等的多边形.（V ） 3.棱柱最多有两个面不是四边形.（V ） 4.棱锥的所有面都可以是三角形.（V ） 题型探究探究玄点泰希提升 --------------------------- \ -------- 一、棱柱的结构特征例1 (1)下列关于棱柱的说法：
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（北京习题集）（教师版） 一．选择题（共7小题） 1．（2019•东城区二模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于( ) A ． 12 B ． 4 π C ．44 π - D ． 72 2．（2016春•北京校级月考）正方体1111ABCD A B C D -中，则正四面体11D A BC -的表面积与正方体的表面积之比是( ) A B C D 3．（2016秋•海淀区校级月考）已知正四棱台的高是8，两底面的边长分别是4和16，则这个棱台的侧面积为( ) A ．160 B ．240 C ．320 D ．400 4．（2016•北京模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AC =．该长方体的表面积为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 5．（2014秋•大兴区期中）已知正方体棱长为a ，则该正方体的全面积为( ) A ．6a B ．26a C ．24a D ．4a 6．（2014秋•大兴区期中）正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为( ) A ． B ．4 C ． D ．4 7．（2012秋•西城区期末）一正四棱锥各棱长均为a ，则其表面积为( ) A 2 B ．2(1a + C ．2 D ．2(1a 二．填空题（共7小题） 8．（2019春•西城区期末）圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是 ． 9．（2019•石景山区一模）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ．（只需写出一个可能的值） 10．（2019春•海淀区期中）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 ． 11．（2018春•西城区校级期中）正四棱柱的高为3cm ，则正四棱柱的侧面积为 ． 12．（2017•延庆县一模）棱长均为2的正四面体ABCD 在平面α的一侧，Ω是ABCD 在平面α内的正投影，设Ω的面积为S ，则S 的最大值为 ，最小值为 ． 13．（2017秋•海淀区校级期中）已知正四棱锥的高为4，侧棱长为，则该棱锥的侧面积为
棱柱、棱锥、棱台的体积（北京习题集）（教师版） 一．选择题（共7 小题） 1．（2020•北京模拟）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm) ，那么该壶的容量约为 ( ) A．100cm3 B． 200cm3 C．300cm3 D． 400cm3 2．（2020•平谷区一模）有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是 ( ) A．8 B．7 C．6 D．4 1 3．（2019 秋•海淀区校级期中）圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的 2 倍，则它的体积是原来体积的 ( 3 ) 2 3 4 A．B．C．D． 3 2 3 3 4 4．（2019 春•西城区校级期末）如图所示，已知三棱柱ABC A B C 的所有棱长均为 1，且AA 底面ABC ，则三棱 1 1 1 1 锥A BB C 的体积为 ( ) 1 1 第1页（共16页）
3 3 6 A．B．C．D． 12 4 12 6 4 5．（2019•房山区二模）在正方体ABCD A B C D 中，动点E 在棱BB 上，动点F 在线段AC上，O 为底面ABCD 1 1 1 1 1 1 1 的中心，若BE x ，A F y ，则四面体O AEF 的体积 ( ) 1 A．与x ，y 都有关B．与x ，y 都无关 C．与x 有关，与y 无关D．与y 有关，与x 无关 6．（2019 春•海淀区校级月考）我们将空间中到两个定点距离之和（大于两个定点之间的长度）为常数的点的轨迹称之为圆球．例如地球就是一个常见的椭球，椭球的研究方法与椭圆类似．已知正方体ABCD A B C D 的棱长为 1．点 1 1 1 1 P | AP | | CP | 2 P ABC ( ) 在其表面上运动，并且满足，则三棱锥的体积最大值是 1 2 3 A．B．C．D． 12 18 12 3 18 7．（2019•北京学业考试）如图，在直三棱柱ABC A B C 中，AB AC ，如果AB 3 ，AC 1， 1 2 ，那么直 AA 1 1 1 三棱柱ABC A B C 的体积为 ( ) 1 1 1 A．2 B．3 C．4 D．6 二．填空题（共6 小题）