棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
棱柱：表面积：2πrh+2πr^2 体积：πr^2h
棱锥：表面积：πrs+πr^2+πrl 体积：1/3πr^2h
棱台：表面积：2πrh+2πr^2+2πrl 体积：
1/2πr^2h+1/2πrlh
【新人教版】数学必修二第八单元 8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形表面积 多 面 体 多面体的表面积就是围成 多面体各个面的面积的和， 也就是展开图的面积 思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. 棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积 几何 体 体积说明
棱柱V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱 的高 棱锥V 棱锥＝ 1 3Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥 的高 棱台 V棱台＝ 1 3(S′＋S ′S ＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底 面面积，h为棱台的高 1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×) 2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(×) 3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(√) 4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(√) 一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 解如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形，
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧2 1= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3、 台体 ① 棱台：h c c S )(21 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥
3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球：r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 423 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(31 S S S S h V 下下 上 上 台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得：PF PE AB CD =
教案：棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积 一、教学目标 1.理解棱柱、棱锥和棱台的概念； 2.掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法； 3.能够应用所学知识解决实际问题。 二、教学内容 1.棱柱的定义及性质； 2.棱锥的定义及性质； 3.棱台的定义及性质； 4.计算棱柱、棱锥和棱台的表面积公式； 5.计算棱柱、棱锥和棱台的体积公式； 6.实际问题应用。 三、教学方法 1.演示法：通过示意图、实物模型等形式展示各种几何体，帮助学生理解概念。 2.讲解法：结合示例，详细讲解计算表面积和体积的公式及步骤。 3.练习法：设计一系列练习题，让学生巩固所学知识。 4.讨论法：引导学生思考并讨论如何应用所学知识解决实际问题。 四、教学过程 第一步：引入 1.利用图片或实物模型展示棱柱、棱锥和棱台，引导学生观察并描述它们的特 点。 2.引导学生思考如何计算这些几何体的表面积和体积。 第二步：讲解概念和性质 1.讲解棱柱的定义：底面为多边形，侧面是连接底面相对顶点的线段。 2.讲解棱锥的定义：底面为多边形，侧面是连接底面顶点与一个点（称为顶点） 的线段。 3.讲解棱台的定义：底面为多边形，顶面为平行于底面的同样形状的多边形， 侧面是连接底面边与顶面相对顶点的线段。 4.通过示意图或实物模型展示各种几何体，并帮助学生理解其性质。 第三步：计算表面积公式 1.计算棱柱表面积：底面积加上所有侧面积之和。公式为S=2B+Pℎ，其中 B为底面积，P为底边周长，ℎ为高度。
2.计算棱锥表面积：底面积加上侧面积。公式为S=B+L，其中B为底面 积，L为侧面积。 3.计算棱台表面积：底面积加上顶面积加上所有侧面积之和。公式为S= B1+B2+L，其中B1和B2分别为底面和顶面的面积，L为侧面积。 第四步：计算体积公式 1.计算棱柱体积：底面积乘以高度。公式为V=Bℎ，其中B为底面积，ℎ 为高度。 2.计算棱锥体积：底面积乘以高度再除以3。公式为V=1 Bℎ，其中B为底 3 面积，ℎ为高度。 3.计算棱台体积：（上底面积加下底面积加平行截面的乘积）乘以高度再除以 (B1+B2+√B1⋅B2)ℎ，其中B1和B2分别为上下底的3。公式为V=1 3 面积，ℎ为高度。 第五步：解决实际问题 1.提供一些实际问题，要求学生运用所学知识计算表面积和体积。 2.引导学生分析问题，确定解题思路，并进行计算。 3.学生展示解题过程和答案，进行讨论和评价。 第六步：练习巩固 1.设计一系列练习题，包括计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积。 2.让学生独立完成练习，并互相交流、讨论答案。 3.教师布置作业，要求学生完成剩余的练习题。 五、评价方式 1.观察学生在课堂上的表现，包括对概念的理解、计算公式的运用等； 2.批改作业，评价学生对所学知识的掌握程度； 3.针对解决实际问题的能力进行评估，包括解题思路、计算过程等。
8．3简单几何体的表面积与体积第1课时柱、锥、台的表面积和体积 考点学习目标核心素养 柱、锥、台的表面积 了解柱体、锥体、台体的侧面展开图， 掌握柱体、柱、锥、台的体积 直观想象、数学运算 锥体、台体的表面积的求 法 能利用柱体、锥体、台体的体积公式 求体积，理解柱体、锥体、台体的体 积之间的关系 直观想象、数学运算 问题导学 预习教材P114－P117的内容，思考以下问题： 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 2．棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝ 1 3Sh；V棱台＝ 1 3h(S′＋SS′＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高． 3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称图形公式 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l
圆锥 底面积：S 底 ＝πr 2 侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πrl ＋πr 2 体积：V ＝1 3πr 2h 圆台 上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′) 表面积： S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ) 体积： V ＝1 3 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2) 1．柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝1 3 Sh . (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝1 3 () S ′＋SS ′＋S h . 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0 S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13 (S ′＋ S ′S ＋S )h ――→S ′＝0 V 锥体＝13 Sh . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．( ) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．( ) (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．( ) (4)在三棱锥P -ABC 中，V P -ABC ＝V A -PBC ＝V B -P AC ＝V C -P AB .( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( ) A.3 B ．23 C ．33 D ．43
棱柱棱台棱锥的表面积和体积 一、棱柱的表面积和体积 1.1 棱柱的定义 棱柱是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点的侧面所组成的立体图形。 1.2 棱柱的表面积公式 棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面积之和。 表面积公式：S = 2B + Ph （其中B为底面积，P为侧棱长，h为高） 1.3 棱柱的体积公式 棱柱的体积等于底面积乘以高。 体积公式：V = Bh （其中B为底面积，h为高） 二、棱台的表面积和体积
2.1 棱台的定义 棱台是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点 并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。 2.2 棱台的表面积公式 棱台的表面积等于上下底面积之和加上所有侧棱形所组成部分之和。 表面积公式：S = B1 + B2 + L （其中B1、B2为上下底部分别对应的底面积，L为侧棱长） 2.3 棱台的体积公式 棱台的体积等于上下底面积之和乘以高再除以2。 体积公式：V = (B1 + B2)h / 2（其中B1、B2为上下底面积，h为高） 三、棱锥的表面积和体积 3.1 棱锥的定义
棱锥是由一个多边形底面和若干个连接底面各对应顶点并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。 3.2 棱锥的表面积公式 棱锥的表面积等于底面积加上所有侧棱形所组成部分之和。 表面积公式：S = B + L （其中B为底面积，L为侧棱长） 3.3 棱锥的体积公式 棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3。 体积公式：V = Bh / 3（其中B为底面积，h为高） 四、总结 通过以上介绍可以发现，无论是棱柱、棱台还是棱锥，它们计算表面积和体积都有自己独特的公式。在实际运用中，我们需要根据所给出的具体数据，选择相应的公式进行计算。同时，对于这些几何图形的认识和理解也是非常重要的，只有深入了解它们的定义和性质，才能更好地应用到实际问题中。
棱柱棱锥棱台的表面积和体积公式 棱柱、棱锥和棱台是几何学中常见的三种立体图形，它们都具有特定的表面积和体积公式。本文将分别介绍棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，并对其应用进行讨论。 一、棱柱的表面积和体积公式 棱柱是一种具有两个平行且相等的底面，底面之间的连接线段都垂直于底面的立体图形。棱柱的表面积公式为：S = 2B + L，体积公式为：V = Bh。 其中，B表示底面积，L表示侧面积，h表示高度。由于棱柱的底面是一个多边形，所以底面积的计算方法取决于底面的形状。常见的底面形状有正多边形、矩形和圆形。 以正多边形为例，当底面是正n边形时，底面积的计算公式为：B = n * a * a / (4 * tan(π / n))，其中a表示边长，n表示边的个数。侧面积的计算公式为：L = p * h，其中p表示正多边形的周长。 以矩形为例，当底面是矩形时，底面积的计算公式为：B = l * w，其中l表示矩形的长，w表示矩形的宽。侧面积的计算公式同样为：L = p * h，其中p表示矩形的周长。 以圆形为例，当底面是圆形时，底面积的计算公式为：B = π * r * r，其中r表示圆的半径。侧面积的计算公式为：L = 2 * π * r * h，其
中h表示高度。 二、棱锥的表面积和体积公式 棱锥是一种具有一个底面和侧面的立体图形，底面是一个多边形，侧面连接底面和顶点。棱锥的表面积公式为：S = B + L，体积公式为：V = (1/3) * B * h。 与棱柱类似，棱锥的底面积的计算方法取决于底面的形状。侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l表示侧面的斜高。 三、棱台的表面积和体积公式 棱台是一种具有两个底面和侧面的立体图形，底面形状相等且平行，侧面连接两个底面。棱台的表面积公式为：S = B1 + B2 + L，体积公式为：V = (1/3) * (B1 + B2 + √(B1 * B2)) * h。 与棱柱和棱锥类似，棱台的底面积的计算方法取决于底面的形状。侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l 表示侧面的斜高。 四、应用讨论 棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式在实际生活中具有广泛的应用。比如，我们可以利用棱柱的体积公式计算柱形容器的容积，以
《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》课标解读 教材分析 本节的主要内容是棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积和体积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和，而常见平面图形面积的计算是小学、初中学习的内容，通过模仿、类比求多面体的表面积的方法可以得到求旋转体的表面积的方法，因此，本节内容在整个知识体系中起着承上启下的作用 本节内容的重点是利用公式计算多面体的表面积和体积，难点是棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系及运用 本节内容所涉及的主要核心素养有：直观想象、数学运算等 学情分析 学生在小学、初中阶段的学习中已经学习过基本平面图形的面积计算公式及常见几何体的体积公式，由于学生研究过正方体、长方体的表面积计算方法，所以学生在学习多面体的表面积时就比较自然、轻松了同样由于学生学习了正方体、长方体的体积公式，在此基础上再学习棱柱、棱柱、棱台的体积公式，能激发他们的求知欲，提高他们学好数学的自信心 教学建议 多面体的表面积的计算可放手交给学生自己独立完成，教师做好引导即可教学的重点是多面体的体积公式及计算，借助计算机辅助软件可直观展示出棱柱与棱锥的体积公式间的关系，然后再通过例题展示体积公式的使用，帮助学生掌握求简单组合体的体积，提升学生的数学运算素养 学科核心素养 目标与素养 1了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法及公式，达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次 2会用棱柱、棱锥、棱台的体积公式解决一些简单的实际问题，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次 情境与问题 在初中我们学习了特殊的棱柱—正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个更一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？由此引出计算多面体的表面积和体积的需求，导入新课
【新教材】8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教学设计（人教A版） 本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积. 课程目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式； 2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积； 3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用； 难点：棱台的体积公式的理解. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本114-115页，思考并完成以下问题 1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一）棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．
（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13 Sh . 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝13 (S ′＋S ′S ＋S )h . 四、典例分析、举一反三 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 已知如图，四面体S ABC -的棱长均为a ，求它的表面积． 2 【解析】因为四面体S －ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍． 不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示． 因为BC ＝SB ＝a ，SD 2a ==, 所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a 2. 故四面体S －ABC 的表面积S ＝22. 解题技巧（求多面体表面积注意事项） 1．多面体的表面积转化为各面面积之和． 2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 跟踪训练一 1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m ，底面外接圆的半径是0.46 m ，问：制造这个滚筒需要________m 2铁板(精确到0.1 m 2)．
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积. 课程目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式； 2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积； 3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用； 难点：棱台的体积公式的理解. 教学方法：以学生为主 探究式学习 合作学习 教学工具：多媒体 课件 相关资料 教学过程 一、 情景导入 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本114-115页，思考并完成以下问题 1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积． （二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13 Sh . 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝13 (S ′＋S ′S ＋S )h .
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。 教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。 A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法． B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的 表面积与体积． 1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积； 2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．多媒体
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1.北京奥运会场馆图 2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛 场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完 成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经 营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但 出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方” 将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的 面积？ 3.学生回答下列公式 矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积 4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方 体的展开图与其表面积的关系吗？ 二、探索新知 探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的 展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 通过观看图片及复 习初中所学知识，引 入本节新课。建立知 识间的联系，提高学 生概括、类比推理的 能力。 通过思考，得到 棱柱的表面积的求 法，提高学生的解决 问题、分析问题的能 力。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 [学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 知识点一 多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二 旋转体的表面积 思考 求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？ 答 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三 体积公式 1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝1 3 Sh . 3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 答 表面积变大了，体积不变.
题型一 空间几何体的表面积 例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积. 解 如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ， 则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1， ∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2. ∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1). ∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2). 跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积. 解 由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ， 如图所示. 因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝ a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝3 2a ， 所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝3 4a 2. 因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34 a 2 ＝3a 2.
8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课标要求素养要求 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式. 2.能用公式解决简单的实际问题.在计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养. 教材知识探究 胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大. 问题(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？ (2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？ 提示(1)这就需求出金字塔的体积. (2)首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量. 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 V 棱柱――→S ′＝S V 棱台――→S ′＝0 V 棱锥 教材拓展补遗 [微判断] 1.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(×) 2.棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.(√) 3.三棱柱的侧面积也可以用cl 来求解，其中l 为侧棱长，c 为底面周长.(×) 提示 1.棱锥的体积等于底面面积与高的积的三分之一. 3.如果侧棱和底边垂直，则可以；否则不可以. [微训练] 1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，则长方体的体积为( ) A.27 cm 3 B.60 cm 3 C.64 cm 3 D.125 cm 3 解析 V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3). 答案 B 2.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________. 解析 V 棱台＝1 3×(2＋4＋2×4)×3 ＝1 3×3×(6＋22)＝6＋2 2. 答案 6＋2 2 [微思考] 1.求一个几何体的表面积时，一般要应用到这个几何体的平面展开图，其平面展
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和 体积含解析 8．3简单几何体的表面积与体积 8．3。1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 ［目标] 1。会求棱柱、棱锥、棱台的表面积；2。会求棱柱、棱锥、棱台的体积． ［重点］求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积． [难点] 棱台的体积． 要点整合夯基础 知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积 [填一填] 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S表＝S侧＋2S底． ①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积:S ＝Ch； 侧 ②长、宽、高分别为a，b,c的长方体的表面积:S ＝2(ab＋ac 表 ＋bc)； ③棱长为a的正方体的表面积：S ＝6a2. 表 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高（侧面三角形底边上的高）为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝错误!Ch′。
3．棱台的表面积 棱台的表面积：S表＝S侧＋S上底＋S下底． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． ［答一答］ 1．几何体的侧面积与表面积有何区别? 提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．表面积等于侧面积与底面积之和，因此,侧面积仅是几何体表面积的一部分． 知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积 ［填一填］ 1．棱柱的体积 (1）棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离． （2）棱柱的底面积S,高为h,其体积V＝Sh。 2．棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． （2）棱锥的底面积为S,高为h,其体积V＝错误!Sh. 3．棱台的体积 （1)棱台的高是指两个底面之间的距离． （2）棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V 3
|第4课时棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积| 知识技能 1．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2．能用公式解决简单的实际问题 思想方法 通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象力． 数学素养 1．在探索棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养． 2．在求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导与应用． 难点：通过柱、锥、台的侧面展开图特点理解侧面积计算公式的结构特征． 问题导引 预习教材P114～115，思考下面的问题： 1．前面我们已经研究了棱柱、棱锥、棱台的有关概念和特征，也了解了其平面展开图，那么怎样计算其表面积呢？ 2．怎样计算棱柱、棱锥、棱台的体积呢？ 即时体验 1．棱长为a的正方体的表面积为6a2． 2．已知一个长方体的底面是面积为4m2的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，那么这个长方体的侧面积是(B) A．16m2B．64m2 C．48m2D．24m2 3．若一个正方体的棱长是另一个正方体棱长的2倍，则其体积是另一个正方体体积的(B)
A．4倍B．8倍 C．2倍D．16倍 4．若一个长方体的体积是1．8dm3，宽是15cm，高是6cm，则它的长是(A) A．2dm B．20dm C．2cm D．45cm 一、数学运用 [1]巩固练习正棱台的侧面积求解方法及求解公式，提升学生的数学运算能力． 已知正四棱台(上、下底面都是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的下底面边长为8，高和上底面边长都是4，求它的侧面积．[1](见学生用书课堂本P53) [处理建议]由正棱台的侧面积计算公式可知，首先要求出它的斜高，故应构造出包含高和斜高的直角三角形求解． [规范板书]解解法1：如图①，E,E1分别是BC,B1C1的中点，O,O1分别是下、上底面的中心，则O1O为正四棱台的高，所以O1O＝4． (例1答图①) 连接OE,O1E1，则OE＝1 2AB＝ 1 2×8＝4,O1E1＝ 1 2A1B1＝2．过点E1作E1H⊥ OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝4,OH＝O1E1＝2，所以HE＝OE－O1E1＝2．在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝82＋22＝22×17， 所以E1E＝217， 因此S 侧＝4× 1 2×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(8＋4)×217＝4817．
空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱］ 4 S侧ch ②圆柱J -------- --- 2、锥体 ①棱锥：S棱锥侧*c底h ②圆锥：S圆锥侧托底l 3、台体 ①棱口：s棱台侧 ②圆台：s棱台侧 4、球体 ①球：S球4 r2 ②球冠：略 ③球缺：略 二、体积 1、柱体 ①棱柱］ 卜V柱Sh ②圆柱J ______________ 2、锥体 ①棱锥］-------- 1— ” V柱3S h ②圆锥J -------- 3—S 全2S 底S侧 2（c上底c下底） h i S全S上Sy S下
3、 台体 ③球缺：略 侧面积计算时使用母线|计算 三、拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截 面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的 -。 3 ① 棱台 ② 圆台. 1 ! ----------------------- V 台 3 h （S 上 S 上 S 下 S 1 2 ---------------------------------------- 2 V 圆台3 h （r 上 r 上 r 下 r 下 ） 4、 球体 ①球：V 球 ②球冠：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高 h 计算；而圆锥、圆台的 S S T S T
即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体 积之和 3、 台体体积公式 公式： V 台2h （S 上JSS 下 S 下 ） 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形 ABCD 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S T 高为 h 。 易知：PDC s PAB ，设 PE h i , 则 PF h i h 由相似三角形的性质得：CD 匹 AB PF 分析：圆柱体积：V 圆柱 S h （ r 2）2r 2 r 3 圆柱侧面积：S 圆柱侧 ch （2 r ） 2r 4 f 因此：球体体积： V 球 -2 r 3 4 r 3 3 3 球体表面积：S 球4 r 2 P A
§8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积． 知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体 各个面的面积的和，也就是展开图 的面积 思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和． 知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体体积说明 棱柱V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥V 棱锥＝ 1 3Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台V 棱台＝ 1 3(S′＋S′S＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积， h为棱台的高 1．棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(×) 2．棱锥的体积等于底面面积与高之积．(×) 3．棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)
4．几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．( √ ) 一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 例1 已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高为3 2 cm ，求此正三棱台的表面积． 解 如图所示，画出正三棱台ABC －A 1B 1C 1，其中O 1，O 为正三棱台上、下底面的中心，D ，D 1分别为BC ，B 1C 1的中点，则OO 1为正三棱台的高，DD 1为侧面梯形BCC 1B 1的高，四边形ODD 1O 1为直角梯形，所以DD 1＝ OO 21＋(OD －O 1D 1 )2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭ ⎫3－322＝3，所以 此三棱台的表面积S 表＝S 侧＋S 底＝3×12×(3＋6)×3＋34×32＋34×62＝993 4 (cm 2)． 反思感悟 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 ①多面体的表面积是各个面的面积之和． ②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． (2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用： ①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． ②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形． 跟踪训练1 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S －ABCD 如图所示，求它的侧面积、表面积． 解 ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5，
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (教师独具内容) 课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用． 教学难点：棱台的表面积与体积公式的推导． 核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导和应用培养直观想象和数学运算素养. 1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题． 2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于其底面面积与高之积．( ) (2)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( ) (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( ) (4)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) 2．做一做 (1)正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( ) A．27 4 B． 9 4
C．273 4 D． 93 4 (2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是____. (3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为____. 题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积． (2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． (3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积． [跟踪训练1] (1)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A．48(3＋3) B．48(3＋23) C．24(6＋2) D．144 (2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( ) A．3＋3 4 a2B． 3 4 a2 C．3＋3 2 a2D． 6＋3 4 a2 (3)正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为1 2 a，则该正三棱台的侧面
《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案 【教材分析】 本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积. 【教学目标与核心素养】 课程目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式； 2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积； 3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 【教学重点和难点】 重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用； 难点：棱台的体积公式的理解. 【教学过程】 一、情景导入 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本114-115页，思考并完成以下问题 1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积． （二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13 Sh . 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝1 3(S ′＋S ′S ＋S )h . 四、典例分析、举一反三 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积． 【解析】因为四面体 S －ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍． 不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示． S ABC a 2