棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱、棱锥、棱台是几何学中常见的三维图形，它们的体积是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的知识点。下面我们将分别介绍它们的体积公式。
一、棱柱的体积公式
棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个矩形侧面组成的多面体。它的体积公式为：
V = S × h
其中，V表示棱柱的体积，S表示底面积，h表示棱柱的高。
例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱柱，它的体积为：
V = S × h = 10 × 10 × 10 = 1000cm³
二、棱锥的体积公式
棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。它的体积公式为：
V = 1/3 × S × h
其中，V表示棱锥的体积，S表示底面积，h表示棱锥的高。
例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱锥，它的体积为：
V = 1/3 × S × h = 1/3 × 10 × 10 × 10 = 333.33cm³
三、棱台的体积公式
棱台是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个梯形侧面组成的多面体。它的体积公式为：
V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))
其中，V表示棱台的体积，h表示棱台的高，S₁和S₂分别表示上下底面的面积。
例如，一个上底面为正方形，下底面为长方形，高为10cm的棱台，它的体积为：
V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)) = 1/3 × 10 × (10 + 20 + √(10 × 20)) = 266.67cm³
掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的基础知识。
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积． 知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式 1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝1 3 Sh (S 为底面面积，h 为高)； 3．台体的体积公式V ＝1 3(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)； 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V ＝Sh V ＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S )h V ＝13 Sh . 知识点二 球的表面积和体积公式 1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝4 3 πR 3. 类型一 柱体、锥体、台体的体积 例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( ) A.312 B.34 C.612 D.64 答案 A
解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为3 2 ，底面积为12，故其体积为13×12×32＝3 12 . (2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( ) A ．0.6 cm B ．0.15 cm C ．1.2 cm D ．0.3 cm 答案 A 解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝1 3×20×π×32，解得h ＝0.6 cm. 反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解． ②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比． 解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝1 6 abc ， ∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝5 6abc ， ∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. (2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． 解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′
棱柱棱锥棱台的体积公式 棱柱、棱锥、棱台是几何学中常见的三维图形，它们的体积是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的知识点。下面我们将分别介绍它们的体积公式。 一、棱柱的体积公式 棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个矩形侧面组成的多面体。它的体积公式为： V = S × h 其中，V表示棱柱的体积，S表示底面积，h表示棱柱的高。 例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱柱，它的体积为： V = S × h = 10 × 10 × 10 = 1000cm³ 二、棱锥的体积公式 棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。它的体积公式为： V = 1/3 × S × h 其中，V表示棱锥的体积，S表示底面积，h表示棱锥的高。 例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱锥，它的体积为：
V = 1/3 × S × h = 1/3 × 10 × 10 × 10 = 333.33cm³ 三、棱台的体积公式 棱台是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个梯形侧面组成的多面体。它的体积公式为： V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)) 其中，V表示棱台的体积，h表示棱台的高，S₁和S₂分别表示上下底面的面积。 例如，一个上底面为正方形，下底面为长方形，高为10cm的棱台，它的体积为： V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)) = 1/3 × 10 × (10 + 20 + √(10 × 20)) = 266.67cm³ 掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的基础知识。
四棱台体积公式： ①、[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 （可以用于四棱锥） [上面面积+下面面积+根号(上面面积×下面面积)]×高÷2 ②、(S上+S下)*h/2 （不能用于四棱锥） (上面面积+下面面积)x高÷2 第②个最简便的公式，可以把正方体当作四棱台验证。 注意：如果把四棱锥可以看成上面面积为0的四棱台，第①个公式仍然可以用，但是四棱锥不能用第②个公式，切记！！！！！！！！。 拟棱台： 对于一个多面体，如果有两个面互相平行，而其余的面均为顶点全在这两个平行面上的三角形、平行四边形或梯形，这样的多面体叫拟棱台。 若上下底面和中截面的面积分别是S1、S2、S0，高为H，则体积V=1/6(s1+s2+4s0)H 正四棱台体积V=底面积S×高H 圆锥体体积=底×高÷3 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b)
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标核心素养 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点) 2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养. 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 棱锥的体积公式V＝1 3Sh(S为底面面积，h为高)； 棱台的体积公式V＝1 3h(S′＋S′S＋S)．其中，台体的上、下底面面积分 别为S′、S，高为h. 思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？ [提示]表面积变大了，而体积不变． 1．棱长为3的正方体的表面积为() A．27B．64C．54D．36 C[根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正
方形．从而，其表面积为6×32＝54.] 2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为( ) A ．6,22 B ．3,22 C ．6,11 D ．3,11 A [V ＝1×2×3＝6，S ＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.] 3．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为 ． 93 [因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×3 4×32＝9 3.] 简单几何体的表面积 【例1】 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪ ⎫ AC 22 ＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫BD 22＝a 2＋b 2 4＝200＋564＝64， ∴AB ＝8. ∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.
棱柱棱锥棱台的表面积和体积公式 棱柱、棱锥和棱台是几何学中常见的三种立体图形，它们都具有特定的表面积和体积公式。本文将分别介绍棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，并对其应用进行讨论。 一、棱柱的表面积和体积公式 棱柱是一种具有两个平行且相等的底面，底面之间的连接线段都垂直于底面的立体图形。棱柱的表面积公式为：S = 2B + L，体积公式为：V = Bh。 其中，B表示底面积，L表示侧面积，h表示高度。由于棱柱的底面是一个多边形，所以底面积的计算方法取决于底面的形状。常见的底面形状有正多边形、矩形和圆形。 以正多边形为例，当底面是正n边形时，底面积的计算公式为：B = n * a * a / (4 * tan(π / n))，其中a表示边长，n表示边的个数。侧面积的计算公式为：L = p * h，其中p表示正多边形的周长。 以矩形为例，当底面是矩形时，底面积的计算公式为：B = l * w，其中l表示矩形的长，w表示矩形的宽。侧面积的计算公式同样为：L = p * h，其中p表示矩形的周长。 以圆形为例，当底面是圆形时，底面积的计算公式为：B = π * r * r，其中r表示圆的半径。侧面积的计算公式为：L = 2 * π * r * h，其
中h表示高度。 二、棱锥的表面积和体积公式 棱锥是一种具有一个底面和侧面的立体图形，底面是一个多边形，侧面连接底面和顶点。棱锥的表面积公式为：S = B + L，体积公式为：V = (1/3) * B * h。 与棱柱类似，棱锥的底面积的计算方法取决于底面的形状。侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l表示侧面的斜高。 三、棱台的表面积和体积公式 棱台是一种具有两个底面和侧面的立体图形，底面形状相等且平行，侧面连接两个底面。棱台的表面积公式为：S = B1 + B2 + L，体积公式为：V = (1/3) * (B1 + B2 + √(B1 * B2)) * h。 与棱柱和棱锥类似，棱台的底面积的计算方法取决于底面的形状。侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l 表示侧面的斜高。 四、应用讨论 棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式在实际生活中具有广泛的应用。比如，我们可以利用棱柱的体积公式计算柱形容器的容积，以
空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱］ 4 S侧ch ②圆柱J -------- --- 2、锥体 ①棱锥：S棱锥侧*c底h ②圆锥：S圆锥侧托底l 3、台体 ①棱口：s棱台侧 ②圆台：s棱台侧 4、球体 ①球：S球4 r2 ②球冠：略 ③球缺：略 二、体积 1、柱体 ①棱柱］ 卜V柱Sh ②圆柱J ______________ 2、锥体 ①棱锥］-------- 1— ” V柱3S h ②圆锥J -------- 3—S 全2S 底S侧 2（c上底c下底） h i S全S上Sy S下
3、 台体 ③球缺：略 侧面积计算时使用母线|计算 三、拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截 面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的 -。 3 ① 棱台 ② 圆台. 1 ! ----------------------- V 台 3 h （S 上 S 上 S 下 S 1 2 ---------------------------------------- 2 V 圆台3 h （r 上 r 上 r 下 r 下 ） 4、 球体 ①球：V 球 ②球冠：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高 h 计算；而圆锥、圆台的 S S T S T
即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体 积之和 3、 台体体积公式 公式： V 台2h （S 上JSS 下 S 下 ） 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形 ABCD 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S T 高为 h 。 易知：PDC s PAB ，设 PE h i , 则 PF h i h 由相似三角形的性质得：CD 匹 AB PF 分析：圆柱体积：V 圆柱 S h （ r 2）2r 2 r 3 圆柱侧面积：S 圆柱侧 ch （2 r ） 2r 4 f 因此：球体体积： V 球 -2 r 3 4 r 3 3 3 球体表面积：S 球4 r 2 P A
四棱台的体积公式
名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C= 4a S = a2 长方形a和b —边长C = 2（a+b）S = ab 三角形a,b,c —三边长
h —a边上的高s—周长的一半 A,B,C —内角 其中s = (a+b+c)/2 S = ah/2 =ab/2 -sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D —对角线长 a—对角线夹角S = dD/2 - sin a 平行四边形a,b —边长 h —a边的高 a—两边夹角S = ah =absin a 菱形a一边长 a—夹角 D—长对角线长 d —短对角线长S = Dd/2 =a2sin a 梯形a和b —上、下底长 h —高 m —中位线长S = (a+b)h/2 =mh 圆r—半径 d 一直径C = nd= 2 n r S = n r2 =n d2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C = 2r + 2 n r x (a/360) S = n r2 x (a/360) 弓形I —弧长 b —弦长 h —矢高 r—半径 a—圆心角的度数S = r2/2 - ( na -s80 a ) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =na r2/360- b/2 [r2-(b/2)2]1/2 =r(l-b)/2 + bh/2 〜2bh/3 圆环R—外圆半径 r—内圆半径 D—外圆直径 d —内圆直径S = n (R2-r2)
n (D2-d2)/4 椭圆D —长轴 d —短轴S = n Dd/4 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体 a —边长S = 6a2 V = a3 长方体a-长 b —宽 c —高S = 2(ab+ac+bc) V = abc 棱柱S —底面积 h —咼V = Sh 棱锥S —底面积 h —高V = Sh/3 棱台S1和S2 —上、下底面积 h —高V = h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1 -上底面积 S2-下底面积 S0 —中截面积 h —高V = h(S1+S2+4S0)/6 圆柱r —底半径 h —高 C—底面周长 S底一底面积 S侧一侧面积 S表一表面积C = 2 n r S 底=n r2 S 侧=Ch S 表=Ch+2S 底 V = S 底h =n r2h 空心圆柱R —外圆半径 r—内圆半径 h —高V =n h(R2-r2) 直圆锥r-底半径 h —高V =n r2h/3 圆台r —上底半径 R—下底半径 h —高V =n h(R2 + Rr + r2)/3 球r—半径 d —直径V = 4/3 n r=n d2/6
专题十简单几何体的表面积与体积知识精讲 一知识结构图 二.学法指导 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键. 2.计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题. 3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”. 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键. 5.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题. 6.求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 （1）关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了. （2）两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
7.有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. 8.注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理. 9.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： （1）处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等. （2）解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算. 三.知识点贯通 知识点1简单几何体的表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 例题 1. 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积. 【答案】160 【解析】 【分析】由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以4即可，由菱形其对角线垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案. 【详解】如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形，
立体几何的柱，锥，台，球的公式 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶ 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l 2.柱、锥、台、球的表面积和体积❷ 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝ 13 Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝ 1 3 (S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2 V ＝ 43 πR 3 3．直观图 S 原＝22S 直 题型一：直观图 1.如图，已知等腰三角形O A B '''△，OA AB ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ） A ． 2 2 B ．1 C ．2 D ．22
2.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且1A B ''=，3O C ''=， 2O A ''=，则原梯形的面积为( ) A ．22 B ．42 C ．8 D ．4 3．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图A ′B ′C ′O ′，则四边形A ′B ′C ′O ′的面积为___________. 4．如图所示，是三角形ABC 的直观图，则三角形ABC 的面积S △ABC =_______；（请用数字填写） 5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．222+ 6.正三角形ABC 的边长为2 cm ，如图，△A’B’C’为其水平放置的直观图，则△A’B’C’的周长为（ ） A .8 cm B .6 cm C .（2 +√6）cm D .（2 + 2√3）cm 7.用斜二测画法画出水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A’C’ = 3，B’C’ = 2，则△ABC 中AB 边上的中线长为_________. 8.(多空题)在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在平面直角坐标系中原四边形OABC 为________(填具体形状)，其面积为________ cm 2. 9．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角△O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为( ) A ．2 B ．22 C ．3 D ．23
简单几何体的表面积与体积 一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和． 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用 (1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． (2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形． 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱：V 棱柱 ＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥：V 棱锥＝ 1 3Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台：V 棱台＝ 1 3(S′＋S′S＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题． 三、简单组合体的表面积与体积 求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求
出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．1.表面积公式：底面积：S底＝2πr2 2.旋转体侧面积：S侧＝2πrl 圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)； 圆锥：底面积：S 底＝πr2；侧面积：S 侧 ＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l) 圆台：上底面面积：S 上底 ＝πr′2； 下底面面积：S 下底 ＝πr2； 侧面积：S 侧 ＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 四、圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱：V 圆柱 ＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥：V 圆锥＝ 1 3Sh＝ 1 3πr 2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 7.3 球的表面积和体积 学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点). 知识点一 柱、锥、台体的体积公式 几何体 体积公式 柱体 圆柱 V 柱体＝Sh S —柱体底面积 h —柱体的高 棱柱 锥体 圆锥 V 锥体＝13 Sh S —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体 圆台 V 台体＝13 (S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h S 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高 棱台 【预习评价】 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3 (其中R 为球的半径). 2.球的表面积公式S ＝4πR 2 . 【预习评价】 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 题型一 柱体、锥体、台体的体积 【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3 .
解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2 ＝83π(m 3 ). 答案 83 π (2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？ 解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD . 因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V . 所以V E －MBC ＝1 2V －V E －MDC . 而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以 V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1 h 2 . 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝3 2 . 所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝3 10 V . 规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝1 3Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是 正棱锥. (3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧． 知识点一 柱、锥、台体的体积公式 知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V ＝Sh V ＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S )h V ＝13 Sh . 1．锥体的体积等于底面面积与高之积．( × ) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) 类型一 多面体的体积 例1 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1 2 PD .
(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． (1)证明 由题知四边形PDAQ 为直角梯形． 因为QA ⊥平面ABCD ，QA 平面PDAQ ， 所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝2 2 PD ， 则PQ ⊥QD . 又DC ∩QD ＝D ，DC ，QD 平面DCQ ， 所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝1 3a 3. 由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高． 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为 22 a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝1 3 a 3. 故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解． (2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 跟踪训练1 如图，在三棱柱111ABC A B C －中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为l 2V V ，的两部分，那么12:V V ＝________.