高中数学知识点：棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
要点诠释：
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．
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【新人教版】数学必修二第八单元 8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形表面积 多 面 体 多面体的表面积就是围成 多面体各个面的面积的和， 也就是展开图的面积 思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. 棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积 几何 体 体积说明
棱柱V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱 的高 棱锥V 棱锥＝ 1 3Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥 的高 棱台 V棱台＝ 1 3(S′＋S ′S ＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底 面面积，h为棱台的高 1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×) 2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(×) 3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(√) 4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(√) 一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 解如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形，
张喜林制 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 教材知识检索 考点知识清单 1．沿着直棱柱的一条侧棱剪开，将侧面展开，其展开图是一个 ，其中一边长为 ，另一边长为 ，则=.直棱柱侧面积S 2．正n 棱锥的侧面展开图是几个全等的等腰三角形，底面是 ，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为=正棱锥侧则S h ,/ = 3．正n 棱台的侧面展开图是n 个全等的等腰梯形，设棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为,/a 周长为,/c 斜高为,/h 那么=正棱台侧S = . 4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，即=球S （R 为球半径）． 要点核心解读 1．棱柱的表面积 (1)定理：如果直棱柱的底面周长是c ，高是^，那么它的侧面积S 直棱柱侧=ch. (2)斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱的截面）长与侧棱长的乘积． (3)棱柱的表面积等于侧面积与两底面面积之和． 2．棱锥的表面积 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为,/ h 则正n 棱锥的侧面积公式为 .2 1 21//ch nah S == 正棱锥侧 (1)语言叙述：正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半． (2)正棱锥的全面积（或表面积）等于正棱锥的侧面积与底面积的和． (3)-般棱锥的每个侧面都是三角形，因此求出它们各自的面积，然后相加，即可求出棱锥的侧面积． 3．正棱台的表面积
正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，底面是正多边形，如果设棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为,/a 周长为,/c 斜高为,/h 则正n 棱台的侧面积公式为 .)(2 1 )(21////h c c h a a n S +=+= 正棱台侧 (1)正棱台的侧面积公式亦可由两个棱锥侧面积之差得出． (2)正棱台的表面积（或全面积）等于侧面积与底面积的和． (3)求一般棱台的侧面积可先分别求出每个侧面的面积然后相加． 4．球的表面积 公式：,42R S π=球其中R 为球半径． (1)语言叙述：球面面积等于它的大圆面积的四倍． (2)推导过程以后再加以研究，本书只要求记住结论，并会应用． (3)球面不能展开成平面图形，因此不能套用柱、锥、台表面积的导出方法求面积． 5．圆柱、圆锥、圆台的表面积 (1)圆柱的底面半径为r ，母线长为Z （如图1-1-6 -1所示）． .22,22rl r S rl S πππ+==圆柱表圆柱侧 (2)圆锥的底面半径为r ，母线长为L （如图1-1-6 -2所示）． ,2l r πθ= ,S rl π=圆锥侧 .2r rl S ππ+=圆锥表 (3)圆台的上底半径为r ，下底半径为R ，母线长为L （如图1-1-6 -3所示）． ,2l r R -=π θ ,)(S l r R +=π圆台侧 .)()(22l r R R r S +++=ππ圆台表
高中数学-棱柱、棱锥、棱台和球的表面积练习1若圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为() A.12π B.24π C.15π D.30π 解析：由已知得圆锥的母线长l==5, 于是它的侧面积S侧=π·3·5=15π. 答案：C 2已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则该圆台的侧面积为() A.672π B.224π C.100π D.π 解析：圆台的轴截面如图,设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r. 因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,102=(4r)2+(4r-r)2,解得r=2,所以S圆台侧 =π(r+4r)·10=100π. 答案：C 3若正三棱锥的斜高是高的倍,则该棱锥的侧面积是底面积的() A. B.2倍 C.倍 D.3倍 解析：设该正三棱锥的底面边长为a,高为h,斜高为h',则h'=h. 因为h2+=(h')2, 所以h2+,
所以h2=a2,即h= a. 又S侧=·3a·h'=·3a·h=a2,S底=a2,所以S侧=2S底. 答案：B 4已知长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是() A.25π B.50π C.125π D.都不对 解析：因为长方体的体对角线的长是球的直径,所以可求得这个球的直径是,然后代入球的表面积公式S=4πR2即可. 答案：B 5若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是() A. B. C. D. 解析：设圆柱的底面半径为r,高为h, 则由题设知h=2πr, 所以S全=2πr2+(2πr)2=2πr2(1+2π),S侧=h2=(2πr)2=4π2r2.所以. 答案：A 6已知某三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的表面积是()
8．3简单几何体的表面积与体积第1课时柱、锥、台的表面积和体积 考点学习目标核心素养 柱、锥、台的表面积 了解柱体、锥体、台体的侧面展开图， 掌握柱体、柱、锥、台的体积 直观想象、数学运算 锥体、台体的表面积的求 法 能利用柱体、锥体、台体的体积公式 求体积，理解柱体、锥体、台体的体 积之间的关系 直观想象、数学运算 问题导学 预习教材P114－P117的内容，思考以下问题： 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 2．棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝ 1 3Sh；V棱台＝ 1 3h(S′＋SS′＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高． 3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称图形公式 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l
圆锥 底面积：S 底 ＝πr 2 侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πrl ＋πr 2 体积：V ＝1 3πr 2h 圆台 上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′) 表面积： S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ) 体积： V ＝1 3 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2) 1．柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝1 3 Sh . (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝1 3 () S ′＋SS ′＋S h . 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0 S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13 (S ′＋ S ′S ＋S )h ――→S ′＝0 V 锥体＝13 Sh . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．( ) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．( ) (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．( ) (4)在三棱锥P -ABC 中，V P -ABC ＝V A -PBC ＝V B -P AC ＝V C -P AB .( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( ) A.3 B ．23 C ．33 D ．43
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (教师独具内容) 课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用． 教学难点：棱台的表面积与体积公式的推导． 核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导和应用培养直观想象和数学运算素养. 1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题． 2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于其底面面积与高之积．( ) (2)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( ) (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( ) (4)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) 2．做一做 (1)正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( ) A．27 4 B． 9 4
C．273 4 D． 93 4 (2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是____. (3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为____. 题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积． (2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． (3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积． [跟踪训练1] (1)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A．48(3＋3) B．48(3＋23) C．24(6＋2) D．144 (2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( ) A．3＋3 4 a2B． 3 4 a2 C．3＋3 2 a2D． 6＋3 4 a2 (3)正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为1 2 a，则该正三棱台的侧面
8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课标要求素养要求 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式. 2.能用公式解决简单的实际问题.在计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养. 教材知识探究 胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大. 问题(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？ (2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？ 提示(1)这就需求出金字塔的体积. (2)首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量. 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 V 棱柱――→S ′＝S V 棱台――→S ′＝0 V 棱锥 教材拓展补遗 [微判断] 1.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(×) 2.棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.(√) 3.三棱柱的侧面积也可以用cl 来求解，其中l 为侧棱长，c 为底面周长.(×) 提示 1.棱锥的体积等于底面面积与高的积的三分之一. 3.如果侧棱和底边垂直，则可以；否则不可以. [微训练] 1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，则长方体的体积为( ) A.27 cm 3 B.60 cm 3 C.64 cm 3 D.125 cm 3 解析 V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3). 答案 B 2.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________. 解析 V 棱台＝1 3×(2＋4＋2×4)×3 ＝1 3×3×(6＋22)＝6＋2 2. 答案 6＋2 2 [微思考] 1.求一个几何体的表面积时，一般要应用到这个几何体的平面展开图，其平面展
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（北京习题集）（教师版） 一．选择题（共7小题） 1．（2019•东城区二模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于( ) A ． 12 B ． 4 π C ．44 π - D ． 72 2．（2016春•北京校级月考）正方体1111ABCD A B C D -中，则正四面体11D A BC -的表面积与正方体的表面积之比是( ) A B C D 3．（2016秋•海淀区校级月考）已知正四棱台的高是8，两底面的边长分别是4和16，则这个棱台的侧面积为( ) A ．160 B ．240 C ．320 D ．400 4．（2016•北京模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AC =．该长方体的表面积为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 5．（2014秋•大兴区期中）已知正方体棱长为a ，则该正方体的全面积为( ) A ．6a B ．26a C ．24a D ．4a 6．（2014秋•大兴区期中）正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为( ) A ． B ．4 C ． D ．4 7．（2012秋•西城区期末）一正四棱锥各棱长均为a ，则其表面积为( ) A 2 B ．2(1a + C ．2 D ．2(1a 二．填空题（共7小题） 8．（2019春•西城区期末）圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是 ． 9．（2019•石景山区一模）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ．（只需写出一个可能的值） 10．（2019春•海淀区期中）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 ． 11．（2018春•西城区校级期中）正四棱柱的高为3cm ，则正四棱柱的侧面积为 ． 12．（2017•延庆县一模）棱长均为2的正四面体ABCD 在平面α的一侧，Ω是ABCD 在平面α内的正投影，设Ω的面积为S ，则S 的最大值为 ，最小值为 ． 13．（2017秋•海淀区校级期中）已知正四棱锥的高为4，侧棱长为，则该棱锥的侧面积为
|第4课时棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积| 知识技能 1．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2．能用公式解决简单的实际问题 思想方法 通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象力． 数学素养 1．在探索棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养． 2．在求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导与应用． 难点：通过柱、锥、台的侧面展开图特点理解侧面积计算公式的结构特征． 问题导引 预习教材P114～115，思考下面的问题： 1．前面我们已经研究了棱柱、棱锥、棱台的有关概念和特征，也了解了其平面展开图，那么怎样计算其表面积呢？ 2．怎样计算棱柱、棱锥、棱台的体积呢？ 即时体验 1．棱长为a的正方体的表面积为6a2． 2．已知一个长方体的底面是面积为4m2的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，那么这个长方体的侧面积是(B) A．16m2B．64m2 C．48m2D．24m2 3．若一个正方体的棱长是另一个正方体棱长的2倍，则其体积是另一个正方体体积的(B)
A．4倍B．8倍 C．2倍D．16倍 4．若一个长方体的体积是1．8dm3，宽是15cm，高是6cm，则它的长是(A) A．2dm B．20dm C．2cm D．45cm 一、数学运用 [1]巩固练习正棱台的侧面积求解方法及求解公式，提升学生的数学运算能力． 已知正四棱台(上、下底面都是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的下底面边长为8，高和上底面边长都是4，求它的侧面积．[1](见学生用书课堂本P53) [处理建议]由正棱台的侧面积计算公式可知，首先要求出它的斜高，故应构造出包含高和斜高的直角三角形求解． [规范板书]解解法1：如图①，E,E1分别是BC,B1C1的中点，O,O1分别是下、上底面的中心，则O1O为正四棱台的高，所以O1O＝4． (例1答图①) 连接OE,O1E1，则OE＝1 2AB＝ 1 2×8＝4,O1E1＝ 1 2A1B1＝2．过点E1作E1H⊥ OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝4,OH＝O1E1＝2，所以HE＝OE－O1E1＝2．在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝82＋22＝22×17， 所以E1E＝217， 因此S 侧＝4× 1 2×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(8＋4)×217＝4817．
空间中点、线、面间 的位置关系 点 共线的条件 线 共点的条件 确定平面的条件 空间几何体的 体积 棱柱圆柱的体积 棱台圆台的体积 球的体积 棱锥圆锥的体积 空间几何体的表面积 直棱柱的表面积 正棱锥的表面积 球的表面积 正棱台的表面积 空间几何体与平面的基本性质 空间几何体的表面积与体积 要求层次 重难点 球、棱柱、棱锥的表面积和体积 A 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）． （一） 知识内容 1．直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积． ()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长； 2．正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半． 11 ''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高； 1 π2 S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长； 3．正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半． 例题精讲 高考要求 知识框架 板块一：空间几何体的表面积 空间几何体的表面积与体积
1(')'(')'22 n S c c h a a h =+=+正棱台侧， 其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高； 1 (')π(')2 S c c l r r l =+=+正圆台侧， 其中,'r r 分别是圆台上下底面的半径，l 为母线长； 4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，24πS R =球，R 为球的半径． 1．除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以 直 接推导出来． 2．要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图 等 有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化． 5．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高； 6．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：1 3V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高； 7．台体（棱台，圆台）的体积公式： 1 (')3 V h S S =台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面 积，h 为台体的高； 8．球的体积：34 π3 V R =球，R 为球的半径． 对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的． 祖暅原理：幂势相同，则积不容异． 即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等． 祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年． 课本对柱体和锥体体积公式的推导过程： ⑴长方体的体积V Sh =； ⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等， 故柱体的体积为：V Sh =； ⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等； ⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为1 3 V Sh =； 3 2 1 C 1 C B 1 A 1 A 1 B 1C B A 1 A B C A 1 B 1 C 1 C B A ⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式1 (')3 V S S h =．
2019-2020年高中数学 1.1.6《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教案新 人教B 版必修2 一、教学目标： 1、通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2、了解棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解 决有关实际问题. 3、培养学生空间想象能力和思维能力。 教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题互相转化的思想方法的应用 教学难点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的应用 二、知识梳理 1、直棱柱和正棱锥的表面积 直棱柱的侧面积公式=，其中为底面多边形的周长，h为棱柱的高。 用语言可叙述为； 正棱锥的侧面积公式= = ，其中底面边长为，为底面多边形的周长，为棱锥的斜高。 用语言可叙述为； 结论：棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和 2、正棱台的表面积 设棱台下底面边长为、周长为，上地面边长为、周长为，斜高为，可以得出正棱台的侧面积公式：= ; 结论：棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和 圆柱的侧面积公式S= _____________________ 圆锥的侧面积公式S=______________________ 结论：圆柱、圆锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和
4、球的表面积： 设球的半径为R，那么它的表面积为，是以R为自变量的函数。 三、例题解析 题型一求几何体的表面积 例1、已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为45（如图），求正四棱锥的侧面积及全面积。 例2、如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的，球的半径为R.正四棱台的两底面边长分别为3R和2.5R，斜高为0.6R： （1）求这个容器盖子的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； （2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m，计算为１００个这样的盖子涂色约需涂料多少千克（精确到０.１ｋｇ） 练习：课本２８页ＡB组 题型二球面积的计算问题 例４、一个球内有相距９ｃｍ的两个平行截面，面积分别为４９ｃｍ和４００ｃｍ，试问球的表面积。 变式训练：已知球的内接正方体体积为Ｖ，求球的表面积。
《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案 【教材分析】 本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积. 【教学目标与核心素养】 课程目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式； 2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积； 3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 【教学重点和难点】 重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用； 难点：棱台的体积公式的理解. 【教学过程】 一、情景导入 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本114-115页，思考并完成以下问题 1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积． （二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13 Sh . 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝1 3(S ′＋S ′S ＋S )h . 四、典例分析、举一反三 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积． 【解析】因为四面体 S －ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍． 不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示． S ABC a 2
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 柱、锥、台和球的体积 典题精讲 例1表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( ) A.π32 B.31π C.π3 2 D.322π 思路解析： 此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×324 32 =a ,知a=1，则此球的直径为2，故选A. 答案：A 绿色通道：球与正方体或长方体的接与切问题是高考中最常见的一种题型.若长方体内接于一个球,那么其对角线长等于球的直径.对于正方体来说,恰有球的直径等于正方体棱长的3倍. 变式训练1已知正方体外接球的体积是3 32π，那么正方体的棱长等于( ) A.22 B.332 C.3 24 D.334 思路解析：正方体外接球的体积是3 32π，则外接球的半径R=2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于 3 34，选D. 答案：D 例2正四棱台AC 1的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm 和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高. 思路分析：棱台中有关量的计算通常是归结到某个梯形内进行,而正棱台则是在直角梯形内进行.
图11-(6,7)-1 解：设棱台两底面的中心分别是O 1和O,B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E,如图11-(6,7)-1所示,连结O 1O 、E 1E 、OB 、O 1B 1、OE 、O 1E 1,则OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形. ∵A 1B 1=4 cm,AB=16 cm, ∴O 1E 1=2 cm,OE=8 cm,O 1B 1=22cm,OB=28cm. 因此BB 1=2217)26(+=19(cm),EE 1=13517622=+(cm), 即这个棱台的侧棱长是19 cm,斜高是135cm. 绿色通道：正棱台的侧面积与斜高有一定的关系,而斜高的求解一般归结到一个梯形中,利用梯形的性质进行求解. 变式训练2棱台的两底面都是矩形，两底面对角线交点的连线是棱台的高且长为12 cm ，上底的周长为112 cm ，下底的长和宽分别为54 cm 和30 cm.求棱台的侧面积. 思路解析： 首先可以根据平行成比例求出上底长和宽,再求侧面积. 解：设上底面的长为x cm ，宽为(56-x) cm ，把棱台恢复成棱锥以后小棱锥的高为h cm. 则30 561254x h h x -=+=,∴x=36,56-x=20. 设侧面梯形的高分别为y cm ，z cm. 则y=22)236254(12-+=15,z=22)2 20230(12-+=13. ∴S 侧=(54+36)·13+(30+20)·15=1 170+750=1 920. 答：棱台的侧面积是1 920 cm 2 . 例3如图11-(6,7)-2，有一圆柱内接于底面半径为4、高为3的圆锥内，求此圆柱的侧面积的最大值.
空间几何体的表面积与体积 考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝
题型一求空间几何体的表面积 1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为． 2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为． 3.各棱长均为2的正三棱锥的表面积是． 4.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1,2，高是1，则它的侧面积为2. 5.已知圆锥的表面积等于12π2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为. 题型二求空间几何体的体积 1.如图，在正三棱柱－A1B1C1中，已知＝1＝3，点P在棱1上，则三棱锥P－1的体积为． 2. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是． 3.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为． 4. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，求该圆柱的体积． 题型三简单的等积变换 1.正三棱柱－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为的中点，则三棱锥A－B11的体积为． 高考汇编 1.(2013·江苏)如图，在三棱柱A1B1C1－中，D，E，F分别是，，1的中点，设三棱锥F－的体
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 编写 闫应同 时间 2010-5-24 【基础知识回顾】 例1．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ ． 例2．一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）： （1）试画出它的直观图；（2
F 例3．如图，三棱锥P ABC -一条侧棱8AD cm =，底面一边18BC cm =，其余四条棱 的棱长都是17cm ，求三棱锥P ABC -的体积． 例4．三棱锥的顶点为P ，已知三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，若2PA =，3PB =，4PC =，求三棱锥P ABC -的体积V ． 【跟踪练习】 1．三棱台111ABC A B C -中，11:1:2AB A B =，则三棱锥1A ABC -，11B A B C -，111C A B C -的体积之比是（ ） A ．1:1:1 B ．1:1:2 C ．1:2:4 D ．1:4:4 2．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△B C F 均为正三角形，//EF AB ，2EF =，则该多面体的体积为（ ）
侧(左) 视 正( 主)视 俯视图 A ． 3 B ．3 C ． 4 3 D ． 32 【课后练习】 1．如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02 B ．S S S '=0 C ．2S 0＝S ＋S ′ D ．S 02＝2S ′S 2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．32 3 B ．28 3 C ．24 3 D ．20 3 3．在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A ． 2 9 π B ． 2 7π C ． 2 5 π D ． 3π 4．一空间几何体的三视图如图所示,( ). A.2π+ B. 4π+ C. 2π+ D. 4π + 5顶点的凸多面体的体积为（ ）A ． 6 B ．3 C. 3 D. 23 6．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2 cm ）为（ ） （A ）48+ （B ）48+ （C ）36+ （D ）36+7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的 平面截该正方形，则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积 知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体的体积
1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题． 2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．() (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．() (3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．() 答案(1)√(2)×(3)√ 2．做一做 (1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是() A.3＋3 4a 2 B. 3 4a 2 C.3＋3 2a 2. 6＋3 4a 2 (2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是________． (3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________． 答案(1)A(2)60,94(3)28 题型一多面体的表面积 例1现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [解]如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D ＝9，
∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ BD 22＝a 2＋b 24 ＝200＋564 ＝64，∴AB ＝8. ∴该直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160. 求多面体的表面积 (1)对于简单几何体，我们可利用公式，直接求出其表面积，而在求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积． (2)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用． 正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，高为1 2a ，则正三棱台的侧面积为( ) A ．a 2 B.1 2a 2 C.9 2a 2 D.332a 2 答案 D 解析 如图，O 1，O 分别为上，下底面的中心，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点，在直角梯形ODD 1O 1中，OD ＝13×32×2a ＝33a ，O 1D 1＝13×32a ＝3 6 a ， ∴DE ＝OD －O 1D 1＝36a .在Rt △DED 1中，D 1E ＝a 2，
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 （用时45分钟） 【选题明细表】 知识点、方法 题号 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 基础巩固 1．将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】C 【解析】 将正方体ABCD A B C D ''''-截去四个角后得到一个四面体B DA C ''-， 设正方体的棱长为a ， 则311326 B B A C A AB D C BCD D A CD a V V V V a a a '''''''----====⨯⨯⨯⨯=， 四面体B DA C ''-的体积33 32433B DA C ABCD A B C D a a V V V a '' ''''--=-=-=正方体，
所以这个四面体的体积是原正方体体积的1 3 . 故选：C. 2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶1 【答案】B 【解析】由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4. 选B. 3．将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为（） A．8 cm B．80 cm C．40 cm D．16 5 cm 【答案】B 【解析】∵正方体的棱长为10cm， ∴两个正方体的体积V＝2×10×10×10＝2000cm3， 设熔化后铸成一个正四棱柱的铜块的高为acm， 则5×5×a＝2000 解得a＝80cm 故选：B． 4．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为( )
高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题39棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 题型一 棱柱的表面积 【例1】已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ） A ．(483+ B ．(483+ C ．24 D ．144 【答案】A 【解析】由题知侧面积为664144⨯⨯=，两底面积之和为 2 2464 ⨯ ⨯⨯= 所以表面积(483S =.
【变式1-1】长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( ) A ．12 B ．24 C ．28 D ．32 【答案】C 【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =， 210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==. 故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=. 【变式1-2】已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ． B ． C ．135 D ．135 【答案】A 【解析】由菱形的对角线长分别是9和15 = 则这个直棱柱的侧面积为.45= 【变式1-3】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线
长是，则这个正四棱柱的表面积为( ) A ．290cm B ．2 C ．272cm D ．254cm 【答案】A 6=． 所以表面积为：22 4362390()S cm =⨯⨯+⨯=． 【变式1-4】（多选题）长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ） A ．长方体的表面积为20 B ．长方体的体积为6 C ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为 D ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为【答案】BC 【解析】长方体的表面积为2(323121)22⨯⨯+⨯+⨯=，A 错误. 长方体的体积为3216⨯⨯=，B 正确. 如图（1）所示，长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2BC =，11BB =. 求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示， 将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 展开，