棱柱棱锥棱台的表面积公式
棱柱、棱锥和棱台的表面积计算公式
棱柱的表面积计算公式
•棱柱的表面积等于底面积加上侧面积。
•底面积为底面的面积。
•侧面积为所有侧面的面积之和。
公式：
•棱柱的表面积 = 底面积 + 侧面积
•底面积 = 底面的面积 = 边长的平方
•侧面积 = 所有侧面的面积之和 = 周长× 高
例子：
假设棱柱的底面为一个正方形，边长为5cm，高为8cm。求棱柱的表面积。
解答：首先计算底面积：底面积 = 边长的平方= 5cm × 5cm = 25cm^2 然后计算侧面积：侧面积 = 周长× 高= 4 × 5cm × 8cm = 160cm^2 最后计算棱柱的表面积：表面积 = 底面积 + 侧面积 =
25cm^2 + 160cm^2 = 185cm^2
棱锥的表面积计算公式
•棱锥的表面积等于底面积加上侧面积。
•底面积为底面的面积。
•侧面积为底面到顶点连线与侧面的面积之和。
公式：
•棱锥的表面积 = 底面积 + 侧面积
•底面积 = 底面的面积
•侧面积 = 底面到顶点连线× 侧面的面积 / 2
例子：
假设棱锥的底面为一个正三角形，边长为4cm，高为6cm。求棱锥的表面积。
解答：首先计算底面积：底面积 = 底面的面积 = (底边× 高) / 2 = (4cm × 6cm) / 2 = 12cm^2 然后计算侧面积：侧面积 = 底面到顶点连线× 侧面的面积/ 2 = 6cm × (底边× 边长) / 2 =
6cm × (4cm × 3cm) / 2 = 36cm^2 最后计算棱锥的表面积：表面积= 底面积 + 侧面积 = 12cm^2 + 36cm^2 = 48cm^2
棱台的表面积计算公式
•棱台的表面积等于上底面积加下底面积加侧面积。
•上底面积为上底面的面积。
•下底面积为下底面的面积。
•侧面积为所有侧面的面积之和。
公式：
•棱台的表面积 = 上底面积 + 下底面积 + 侧面积
•上底面积 = 上底面的面积
•下底面积 = 下底面的面积
•侧面积 = 所有侧面的面积之和 = (上底边 + 下底边) × 斜高/ 2
例子：
假设棱台的上底面为一个正方形，边长为3cm；下底面为一个正六边形，边长为4cm；斜高为5cm。求棱台的表面积。
解答：首先计算上底面积：上底面积 = 上底面的面积 = 边长的平方= 3cm × 3cm = 9cm^2 然后计算下底面积：下底面积 = 下底面的面积= (3 × 4) × (正六边形的边长× 正六边形的边长) / 2 = (3 × 4) × (4cm × 4cm) / 2 = 48cm^2 接着计算侧面积：侧面积= (上底边 + 下底边) × 斜高/ 2 = (3cm + 4cm) × 5cm / 2 = ^2 最后计算棱台的表面积：表面积 = 上底面积 + 下底面积 + 侧面积 = 9cm^2 + 48cm^2 + ^2 = ^2
总结： - 棱柱的表面积 = 底面积 + 侧面积 - 棱锥的表面积 = 底面积 + 侧面积 - 棱台的表面积 = 上底面积 + 下底面积 + 侧面积
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的计算 一、空间几何体的表面积 问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？ 平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。 （一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积 1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 ◆S直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。 2、正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 性质： （1）正棱锥的侧棱长相等。 （2）侧棱和底面所成的角相等。 棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。 ◆S ＝ch′（其中c为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高）正棱锥侧 3、正棱台 定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。 侧面展开图是由各个侧面组成的。
S正棱台侧＝（c ＋c’）h’ （其中c，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。 （二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积 把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。 1、圆柱的侧面积
◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 2、圆锥的侧面积 ◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 3、圆台的侧面积 ◆如果圆台的上、下面半径是周长分别是侧面母线长是，那么它的侧面积是 二、柱锥台的体积公式 长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 学习目标 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积． 知识点 直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积 其中c ′，c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h ′表示斜高，R 表示球的半径． 1．多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) 2．斜三棱柱的侧面积也可以用cl 来求解，其中l 为侧棱长，c 为底面周长．( × ) 3．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × ) 类型一 柱、锥、台的侧(表)面积 命题角度1 多面体的侧(表)面积 例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． 解 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，
∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝????AC 22＋????BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564 ＝64， ∴AB ＝8. ∴直四棱柱的侧面积为4×8×5＝160. 反思与感悟 多面体表面积的求解方法 (1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面周长． (2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键． 跟踪训练1 已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是( ) A ．2 B.52 C ．3 D.7 2 答案 A 解析 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，连接OE 、O 1E 1，作E 1H ∥O 1O ， 由题意，得(3＋6)EE 1 2×4＝9＋36， ∴EE 1＝5 2 ，
棱柱棱锥棱台的表面积公式 棱柱、棱锥和棱台的表面积计算公式 棱柱的表面积计算公式 •棱柱的表面积等于底面积加上侧面积。 •底面积为底面的面积。 •侧面积为所有侧面的面积之和。 公式： •棱柱的表面积 = 底面积 + 侧面积 •底面积 = 底面的面积 = 边长的平方 •侧面积 = 所有侧面的面积之和 = 周长× 高 例子： 假设棱柱的底面为一个正方形，边长为5cm，高为8cm。求棱柱的表面积。 解答：首先计算底面积：底面积 = 边长的平方= 5cm × 5cm = 25cm^2 然后计算侧面积：侧面积 = 周长× 高= 4 × 5cm × 8cm = 160cm^2 最后计算棱柱的表面积：表面积 = 底面积 + 侧面积 = 25cm^2 + 160cm^2 = 185cm^2
棱锥的表面积计算公式 •棱锥的表面积等于底面积加上侧面积。 •底面积为底面的面积。 •侧面积为底面到顶点连线与侧面的面积之和。 公式： •棱锥的表面积 = 底面积 + 侧面积 •底面积 = 底面的面积 •侧面积 = 底面到顶点连线× 侧面的面积 / 2 例子： 假设棱锥的底面为一个正三角形，边长为4cm，高为6cm。求棱锥的表面积。 解答：首先计算底面积：底面积 = 底面的面积 = (底边× 高) / 2 = (4cm × 6cm) / 2 = 12cm^2 然后计算侧面积：侧面积 = 底面到顶点连线× 侧面的面积/ 2 = 6cm × (底边× 边长) / 2 = 6cm × (4cm × 3cm) / 2 = 36cm^2 最后计算棱锥的表面积：表面积= 底面积 + 侧面积 = 12cm^2 + 36cm^2 = 48cm^2 棱台的表面积计算公式 •棱台的表面积等于上底面积加下底面积加侧面积。 •上底面积为上底面的面积。
张喜林制 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 教材知识检索 考点知识清单 1．沿着直棱柱的一条侧棱剪开，将侧面展开，其展开图是一个 ，其中一边长为 ，另一边长为 ，则=.直棱柱侧面积S 2．正n 棱锥的侧面展开图是几个全等的等腰三角形，底面是 ，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为=正棱锥侧则S h ,/ = 3．正n 棱台的侧面展开图是n 个全等的等腰梯形，设棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为,/a 周长为,/c 斜高为,/h 那么=正棱台侧S = . 4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，即=球S （R 为球半径）． 要点核心解读 1．棱柱的表面积 (1)定理：如果直棱柱的底面周长是c ，高是^，那么它的侧面积S 直棱柱侧=ch. (2)斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱的截面）长与侧棱长的乘积． (3)棱柱的表面积等于侧面积与两底面面积之和． 2．棱锥的表面积 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为,/ h 则正n 棱锥的侧面积公式为 .2 1 21//ch nah S == 正棱锥侧 (1)语言叙述：正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半． (2)正棱锥的全面积（或表面积）等于正棱锥的侧面积与底面积的和． (3)-般棱锥的每个侧面都是三角形，因此求出它们各自的面积，然后相加，即可求出棱锥的侧面积． 3．正棱台的表面积
正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，底面是正多边形，如果设棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为,/a 周长为,/c 斜高为,/h 则正n 棱台的侧面积公式为 .)(2 1 )(21////h c c h a a n S +=+= 正棱台侧 (1)正棱台的侧面积公式亦可由两个棱锥侧面积之差得出． (2)正棱台的表面积（或全面积）等于侧面积与底面积的和． (3)求一般棱台的侧面积可先分别求出每个侧面的面积然后相加． 4．球的表面积 公式：,42R S π=球其中R 为球半径． (1)语言叙述：球面面积等于它的大圆面积的四倍． (2)推导过程以后再加以研究，本书只要求记住结论，并会应用． (3)球面不能展开成平面图形，因此不能套用柱、锥、台表面积的导出方法求面积． 5．圆柱、圆锥、圆台的表面积 (1)圆柱的底面半径为r ，母线长为Z （如图1-1-6 -1所示）． .22,22rl r S rl S πππ+==圆柱表圆柱侧 (2)圆锥的底面半径为r ，母线长为L （如图1-1-6 -2所示）． ,2l r πθ= ,S rl π=圆锥侧 .2r rl S ππ+=圆锥表 (3)圆台的上底半径为r ，下底半径为R ，母线长为L （如图1-1-6 -3所示）． ,2l r R -=π θ ,)(S l r R +=π圆台侧 .)()(22l r R R r S +++=ππ圆台表
棱柱棱锥棱台的表面积和体积公式 棱柱、棱锥和棱台是几何学中常见的三种立体图形，它们都具有特定的表面积和体积公式。本文将分别介绍棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，并对其应用进行讨论。 一、棱柱的表面积和体积公式 棱柱是一种具有两个平行且相等的底面，底面之间的连接线段都垂直于底面的立体图形。棱柱的表面积公式为：S = 2B + L，体积公式为：V = Bh。 其中，B表示底面积，L表示侧面积，h表示高度。由于棱柱的底面是一个多边形，所以底面积的计算方法取决于底面的形状。常见的底面形状有正多边形、矩形和圆形。 以正多边形为例，当底面是正n边形时，底面积的计算公式为：B = n * a * a / (4 * tan(π / n))，其中a表示边长，n表示边的个数。侧面积的计算公式为：L = p * h，其中p表示正多边形的周长。 以矩形为例，当底面是矩形时，底面积的计算公式为：B = l * w，其中l表示矩形的长，w表示矩形的宽。侧面积的计算公式同样为：L = p * h，其中p表示矩形的周长。 以圆形为例，当底面是圆形时，底面积的计算公式为：B = π * r * r，其中r表示圆的半径。侧面积的计算公式为：L = 2 * π * r * h，其
中h表示高度。 二、棱锥的表面积和体积公式 棱锥是一种具有一个底面和侧面的立体图形，底面是一个多边形，侧面连接底面和顶点。棱锥的表面积公式为：S = B + L，体积公式为：V = (1/3) * B * h。 与棱柱类似，棱锥的底面积的计算方法取决于底面的形状。侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l表示侧面的斜高。 三、棱台的表面积和体积公式 棱台是一种具有两个底面和侧面的立体图形，底面形状相等且平行，侧面连接两个底面。棱台的表面积公式为：S = B1 + B2 + L，体积公式为：V = (1/3) * (B1 + B2 + √(B1 * B2)) * h。 与棱柱和棱锥类似，棱台的底面积的计算方法取决于底面的形状。侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l 表示侧面的斜高。 四、应用讨论 棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式在实际生活中具有广泛的应用。比如，我们可以利用棱柱的体积公式计算柱形容器的容积，以
棱柱棱台棱锥的表面积和体积 一、棱柱的表面积和体积 1.1 棱柱的定义 棱柱是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点的侧面所组成的立体图形。 1.2 棱柱的表面积公式 棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面积之和。 表面积公式：S = 2B + Ph （其中B为底面积，P为侧棱长，h为高） 1.3 棱柱的体积公式 棱柱的体积等于底面积乘以高。 体积公式：V = Bh （其中B为底面积，h为高） 二、棱台的表面积和体积
2.1 棱台的定义 棱台是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点 并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。 2.2 棱台的表面积公式 棱台的表面积等于上下底面积之和加上所有侧棱形所组成部分之和。 表面积公式：S = B1 + B2 + L （其中B1、B2为上下底部分别对应的底面积，L为侧棱长） 2.3 棱台的体积公式 棱台的体积等于上下底面积之和乘以高再除以2。 体积公式：V = (B1 + B2)h / 2（其中B1、B2为上下底面积，h为高） 三、棱锥的表面积和体积 3.1 棱锥的定义
棱锥是由一个多边形底面和若干个连接底面各对应顶点并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。 3.2 棱锥的表面积公式 棱锥的表面积等于底面积加上所有侧棱形所组成部分之和。 表面积公式：S = B + L （其中B为底面积，L为侧棱长） 3.3 棱锥的体积公式 棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3。 体积公式：V = Bh / 3（其中B为底面积，h为高） 四、总结 通过以上介绍可以发现，无论是棱柱、棱台还是棱锥，它们计算表面积和体积都有自己独特的公式。在实际运用中，我们需要根据所给出的具体数据，选择相应的公式进行计算。同时，对于这些几何图形的认识和理解也是非常重要的，只有深入了解它们的定义和性质，才能更好地应用到实际问题中。
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计教学设计：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 一、教学目标： 1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义和特点。 2.掌握计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的方法。 3.能够解决与实际生活相关的问题，灵活运用所学知识。 二、教学内容： 1.棱柱的表面积和体积 -定义：棱柱是底面为多边形，且侧面都是平行于底面的平面多边形的立体图形。 -表面积：底面的面积加上所有侧面的面积。 -体积：底面的面积乘以高度。 2.棱锥的表面积和体积
-定义：棱锥是底面为多边形，且侧面都是从一个顶点到底面各边的连线的立体图形。 -表面积：底面的面积加上侧面的面积。 -体积：底面的面积乘以高度再除以3。 3.棱台的表面积和体积 -定义：棱台是上下底面相等且平行，侧面为梯形的立体图形。 -表面积：上下底面的面积加上四个侧面的面积。 -体积：上下底面的面积乘以高度再除以2。 三、教学过程： 1.导入（5分钟） 引入新内容，通过展示不同形状的棱柱、棱锥、棱台的图示，让学生通过观察和思考，激发他们对这些几何体的好奇心和兴趣。 2.重点讲解（20分钟） a)针对棱柱，让学生了解定义和基本特点，并通过示例计算棱柱的表面积和体积，帮助学生掌握计算方法。
b)类似地，让学生了解棱锥和棱台的定义和特点，并计算其表面 积和体积。 c)强调计算表面积和体积的公式，让学生明确计算的步骤和方法。 3.练习与巩固（25分钟） a)分发练习题，让学生自主完成计算棱柱、棱锥、棱台的表面积 和体积题目。 b)鼓励学生在解答问题时灵活运用所学知识，将几何形状和实际 生活中的问题相结合，增强学生的综合运用能力。 4.拓展与应用（25分钟） a)给出一些实际问题，让学生运用所学知识解决，例如： -饮料瓶的形状是棱柱体，求它的表面积和体积。 -蜡烛的形状是棱锥体，求它的表面积和体积。 -塔楼的形状是棱台体，求它的表面积和体积。 b)让学生在小组中合作，分享和比较解决方案，培养他们的思考 和合作能力。
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 导学案 【学习目标】 1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积 2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积 【自主学习】 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S 表＝S 侧＋2S 底． ①其中底面周长为C ，高为h 的直棱柱的侧面积：S 侧＝Ch ； ①长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的表面积：S 表＝2(ab ＋ac ＋bc)； ①棱长为a 的正方体的表面积：S 表＝6a 2. 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S 表＝S 侧＋S 底；底面周长为C ，斜高(侧面三角形底边上的高)为h ′的正棱锥的侧面积：S 侧＝1 2Ch ′. 3．棱台的表面积 棱台的表面积：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积 (1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱柱的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh .
2．棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝1 3Sh . 3．棱台的体积 (1)棱台的高是指两个底面之间的距离． (2)棱台的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V 3
【合作探究】 探究一多面体的表面积 【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 6 cm，则该三棱台的表面积为________．【答案】(53＋95) cm2 [分析]利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积． [解析]正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面 均为等腰梯形，易求出斜高为 5 cm，故三棱台的表面积为3×1 2×(2＋4)×5＋ 1 2×2＋3＋ 1 2 ×4×23＝53＋9 5. 归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形正多边形、三角形、梯形等，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理 【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)． 解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．
编号：使用时间设计教师： 班级：小组：姓名： 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积及体积 【课标导示】 知识与技能：1、能应用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积公式求出直棱柱、正棱锥和正棱台及球的表面积和体积。 重点：公式 难点：应用公式进行计算 【知识点回顾】 1、 直棱柱的性质： 2、 正棱锥的性质： 3、 正棱台的性质： 【概念探究】 1、 直棱柱的侧面积公式：ch s =其中c 为底面周长，h 为直棱柱的高 2、 棱柱的体积公式：Sh V =其中S 为底面的面积，h 为高 3、 正棱锥的侧面积公式：h c h na s '='=2 121 其中n 为底面边数，h '为斜高，c 为底面周长 4、 棱锥的体积公式：V= 3 1Sh 其中S 为底面的面积，h 为高 5、 正棱台的侧面积公式：h c c h a a n s ''+=''+=)(21)(21 其中n 为底面边数，a 为下底面边长，a ′为上底面边长，c 为下底面周长，c ′为上底面周长，h ′为斜高。 6、 棱台的体积公式：V=3 1(S+S S '+S ′)h 其中S 、S ′分别为下底面和上底面的面积，h 为高 7、 球的表面积公式：4=s πR 2其中R 为半径 8、 球的体积公式： V=3 4πR 3 9、 圆柱的侧面积：s=2πRh 其中R 为底面半径，h 为高 10、圆柱的体积：V=πR 2h 其中R 为底面半径，h 为高 11、圆锥的侧面积：s=πR l 其中l 为母线长 R 为底面半径 12、圆锥的体积：V= 3 1πR 2h 13、圆台的体积：V=31π(2r +r r '+2r ')h 【典例分析】
立体几何的柱，锥，台，球的公式 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶ 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l 2.柱、锥、台、球的表面积和体积❷ 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝ 13 Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝ 1 3 (S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2 V ＝ 43 πR 3 3．直观图 S 原＝22S 直 题型一：直观图 1.如图，已知等腰三角形O A B '''△，OA AB ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ） A ． 2 2 B ．1 C ．2 D ．22
2.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且1A B ''=，3O C ''=， 2O A ''=，则原梯形的面积为( ) A ．22 B ．42 C ．8 D ．4 3．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图A ′B ′C ′O ′，则四边形A ′B ′C ′O ′的面积为___________. 4．如图所示，是三角形ABC 的直观图，则三角形ABC 的面积S △ABC =_______；（请用数字填写） 5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．222+ 6.正三角形ABC 的边长为2 cm ，如图，△A’B’C’为其水平放置的直观图，则△A’B’C’的周长为（ ） A .8 cm B .6 cm C .（2 +√6）cm D .（2 + 2√3）cm 7.用斜二测画法画出水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A’C’ = 3，B’C’ = 2，则△ABC 中AB 边上的中线长为_________. 8.(多空题)在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在平面直角坐标系中原四边形OABC 为________(填具体形状)，其面积为________ cm 2. 9．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角△O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为( ) A ．2 B ．22 C ．3 D ．23
12个面积公式 1. 三角形面积公式：三角形面积的计算公式是，将三角形的底边和高 分别记作 a、h，那么三角形的面积 S 为 a × h ÷ 2； 2. 正方形面积公式：正方形面积的计算公式为 S = a × a，其中 a 为正方形的边长； 3. 长方形面积公式：长方形面积的计算公式为 S = a × b，其中 a、b 为 长方形的长和宽； 4. 平行四边形面积公式：平行四边形面积的计算公式为 S = h × d，其 中 h 为平行四边形的高，d 为平行四边形的对角线的长度； 5. 圆形面积公式：圆形面积的计算公式为S = π × r × r，其中 r 为圆的 半径； 6. 多边形面积公式：多边形面积的计算公式为S = 1⁄2 × a × b × sin(γ)， 其中 a 为多边形两顶点连线的长度，b 为多边形一边的长度，γ 为这两 边之间的角度； 7. 梯形面积公式：梯形面积的计算公式为S = 1⁄2 × (a + b) × h，其中 a、 b 为梯形的上下底边的长度，h 为梯形的高；
8. 菱形面积公式：菱形面积的计算公式为S = 1⁄2 × d1 × d2，其中 d1、 d2 为菱形的两条对角线的长度； 9. 圆柱形面积公式：圆柱形面积的计算公式为S = (2π × r × h) + (2 × π × r × r)，其中 r 为圆柱形的半径，h 为圆柱形的高； 10. 圆锥形面积公式：圆锥形面积的计算公式为S = (1⁄2 × π × r × l ) + (π × r × r)，其中 r 为圆锥形的半径，l 为圆锥形的底面到顶点的高度； 11. 三棱锥面积公式：三棱锥面积的计算公式为S = 1⁄2 × a × b × sin(γ) + 1⁄2 × (c × d)，其中 a、b、γ 分别为三棱锥的三边的长度和夹角，c、d 分别为底面的两边的长度； 12. 棱台面积公式：棱台面积的计算公式为 S = S1 + S2，其中 S1、S2 分别为棱台的长方形底面和直角三角形侧面的面积，S1 = a × b，S2 = 1⁄2 × h × (a + b)，其中 a、b 为棱台底面的两边长度，h 为棱台侧面的高。 各种几何图形的面积都和它们的定义、外形和参数情况有关。本文介 绍了12种常见几何图形的面积公式，供大家参考，这就是12个面积 公式。 首先介绍的是三角形面积公式，如果知道了三角形的底边a和高h，可 以使用 S = a × h ÷ 2 的公式计算三角形的面积。
初中数学教案棱台与棱锥的表面积计算公式初中数学教案棱台与棱锥的表面积计算公式 棱台和棱锥是初中数学中常见的几何体，计算它们的表面积是学习 几何的基本内容之一。在本教案中，我们将学习如何计算棱台和棱锥 的表面积，并探索它们的应用。 一、棱台的表面积计算公式 棱台是由一个多边形的底面和与底面平行的侧面组成的三维图形。 计算棱台的表面积需要考虑底面和侧面的面积。 1. 公式推导 假设棱台的底面为一个边长为a的正多边形，侧面为高为h的四边形。 首先，计算底面的面积。由于底面是一个正多边形，可以将其近似 看作是由很多个等边三角形组成的。设底面共有n个等边三角形，每 个三角形的面积为S1，则底面的面积为S = n × S1。 接下来，计算侧面的面积。由于侧面为四边形，可以将其近似看作 是由很多个梯形组成的。设侧面共有m个梯形，每个梯形的面积为S2，则侧面的面积为S' = m × S2。 最后，将底面和侧面的面积相加，得到棱台的表面积公式： 表面积S = S + S' = n × S1 + m × S2
2. 公式应用 通过上述公式，我们可以计算出任意棱台的表面积。 例如，已知一个棱台的底面是一个边长为8cm的正六边形，侧面是高为10cm的四边形。根据公式，我们可以计算出棱台的表面积。 先计算底面的面积。由于正六边形可以等分为6个等边三角形，每个三角形的面积为： S1 = (a × a × √3) / 4 = (8 × 8 × √3) / 4 = 16√3 cm² 底面的面积为6个三角形的面积之和： S = 6 × S1 = 6 × 16√3 = 96√3 cm² 接下来，计算侧面的面积。由于侧面是一个四边形，可以将其分成两个梯形。假设四边形的两边长分别为a1和a2，高为h，则侧面的面积为： S2 = (a1 + a2) × h / 2 在本例中，棱台的侧面只有一个四边形，所以可以直接计算出侧面的面积： S' = (8 + 8 + 10 + 10) × 10 / 2 = 180 cm² 最后，将底面和侧面的面积相加，得到棱台的表面积： S = S + S' = 96√3 + 180 ≈ 339.77 cm² 因此，该棱台的表面积约为339.77 cm²。
一、空间几何体的表面积 问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多 长？ 平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。 （一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积 1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 ◆S直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。 2、正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 性质： （1）正棱锥的侧棱长相等。
（2）侧棱和底面所成的角相等。 棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。 ◆S正棱锥侧＝ch´（其中c为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高） 3、正棱台 定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。 侧面展开图是由各个侧面组成的。 S正棱台侧＝（c ＋ c’）h’ （其中c，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。
（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积 把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。 1、圆柱的侧面积 ◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 2、圆锥的侧面积
◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 3、圆台的侧面积 ◆如果圆台的上、下面半径是周长分别是侧面母线长是，那么它的侧面积是 二、柱锥台的体积公式 长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？
长方体和正方体的周长面积和体积计算公式大全周长： 长方形周长公式=（长+宽）X2 正方形周长公式=边长X4 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径，或=圆周率×半径×2 面积： 长方形面积=长X宽 正方形面积公式=边长X边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 圆的面积=圆周率×半径×半径 容积：容器若能容纳的物体的体积： 表面积：长方体或正方体六个面的总面积。 正方体的表面积：S=6a×a（棱长×棱长×6） 正方体体积公式：V=a×a×a（棱长×棱长×棱长）
长方体的表面积：S=2×(ab+bc+ac)((长×宽＋长×高＋宽×高）×2） 长方体体积公式：长X宽X高 长方体棱长总和公式：（长+宽+高）X4 正方体体积：Va×b×c（长×宽×高） 正方体棱长总：棱长X12 圆柱体的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱体表面积=上下底面面积+侧面积，[或S=2π*r*r+2π*r*h（2×π×半径×半径+2×π×半径×高）] 圆柱体的体积=底面积×高，[或V=π *r*r*h（π×半径×半径×高）] 圆锥体积：V=S底×h÷3（底面积×高÷3） 正方体体积公式：棱长X棱长X棱长 通用体积公式：底面积X高 截面积X长 表面积的变化要会人折。 长方体或正方体被锯开后，一次会增加两个面；反之，两个相同，体或长方体拼在一起， 一次会减少两个面。 长方体和正方体的特征，相同点和不同点要牢记。 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a
S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长 h－a边的高
常用体积及表面积计算公式
一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3 长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2ab+ac+bc V＝abc 棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh 棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3 棱台 S1和S2－上、下底面积 h－高 V＝hS1+S2+S1S21/2/3 正棱台 拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0 －中截面积 h－高 V＝hS1+S2+4S0/6 圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底 —底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝
S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h 空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h －高 V＝πhR2-r2 直圆锥 r－底半径 h－高 V＝πr2h/3 圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πhR2＋Rr＋r2/3 球 r－半径 d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6 球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径 V＝πh3a2+h2/6 ＝πh23r-h/3 a2＝h2r-h 球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh3r12＋r22+h2/6 圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径 V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4 桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－
V＝πh2D2＋d2/12 母线是圆弧形,圆心是 桶的中心 V＝πh2D2＋Dd＋3d2/4/15 母线是抛物 我用拟柱体公式来解决一下,至于公式本身证 明需要用到积分知识需要同时推广牛顿－莱 布尼茨公式,不详谈： 任何立体的体积均可以归纳成： V＝1/6×h×S1+S2+4S S1指上表面 S2指下表面 S指高线垂直平分面 柱体： V＝1/6×h×S1+S2+4S V＝1/6×h×S1+S1+4S1 V＝1/6×h×6S V＝Sh 锥体： V＝1/6×h×S1+S2+4S V＝1/6×h×S2/4×4+S2 V＝1/6×h×2S2
1.3 空间几何体的表面积与体积 1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 预习课本P23～27，思考并完成以下问题 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ [新知初探] 1．柱体、锥体、台体的表面积公式 图形表面积公式 多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
旋 转 体 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋ rl) 2．柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝ 1 3 Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝ 1 3 (S′＋S′S＋S)h. [点睛] (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系： [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案：(1)×(2)√ 2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( ) A. 3＋3 4 a2 B. 3 4 a2 C. 3＋3 2 a2 D. 6＋3 4 a2