棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3.理解多面体的有关概念；
4.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~P4，找出疑惑之处）
引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧!
二、新课导学
※探索新知
探究1：多面体的相关概念
问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?
新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：
探究2：旋转体的相关概念
问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？
新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:
探究3：棱柱的结构特征
问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?
新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）
试试1：你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？
新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.
试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢?
新知5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱—.
探究4：棱锥的结构特征
问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？
新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥.
探究5：棱台的结构特征
问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢?
新知7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustumofapyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.
试试3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.
反思：根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？
※典型例题
例由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？
三、总结提升
※学习小结
1.多面体、旋转体的有关概念；
2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.
※知识拓展
1.平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；
2.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
3.正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；
4.正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.
A．棱锥B．棱柱C．平面D．长方体
2.棱台不具有的性质是（）.
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等
D.侧棱延长后都交于一点
3.已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（）.
A.
B.
C.
D.它们之间不都存在包含关系
4.长方体三条棱长分别是=1=2，，则从点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是_____________.
5.若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________.
课后作业
1.已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高(侧面三角形的高)SM=n，求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积.
2.在边长为正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为.问折起后的图形是个什么几何体？它每个面的面积是多少？
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征参考答案 知识点 1．空间几何体 (1)空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． (2)多面体 定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点． 1．判断下列命题．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等．() (2)五棱锥只有五条棱．() 解析：(1)根据四棱锥的结构特征可知，(1)错误． (2)五棱锥有十条棱，其中五条侧棱，(2)错误． 答案：(1)×(2)× 2．下列几何体中是棱柱的有()
A．1个B．2个 C．3个D．4个 解析：选C．观察图形可知，①③⑤是棱柱，其他的几何体不是棱柱． 3．下列命题正确的是() A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 解析：选C．由棱柱的定义可知，A，B不正确，C正确，而根据棱台的定义可知，D不正确． 4．由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形的几何体是________． 解析：由棱柱的定义和其分类可知该几何体是五棱柱． 答案：五棱柱 几何体的概念理解与应用 (1)下面描述中，不是棱锥的结构特征的为() A．三棱锥有四个面是三角形 B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱相交于一点 (2)下列说法中正确的是() A．有一个面是平行四边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 [解析](1)根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形． (2)根据棱柱的结构特征可知，A，B不符合，所以A，B错误；C不符合棱台的结构特征，所以错误；D满足棱锥的定义，正确． [答案](1)B(2)D 1．下列三个命题中，正确的有() ①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④五棱台的各侧棱的延长线可能无法交于一点． A．0个B．1个 C．2个D．3个 解析：选A．①错误．底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行，但不能作为底面． ②错误．如图所示的几何体各面均为三角形，但不是棱锥． ③错误．因为不能保证侧棱相交于同一点． ④错误．棱台的侧棱延长后一定相交于同一点． 几何体的结构特征 如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是什么？
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 一、多面体、旋转体的概念 思考1说说身边你认为属于几何体的东西。如何给它们分类？ 1、什么特征的东西称为空间几何体？ 2、具有什么特征的东西称为多面体？具有什么特征的东西称为旋转体？ 思考2由4个正三角形可以围成一个什么样的几何体？由一个等腰三角形绕着它的底边旋转一周，其它两边旋转形成的几何体是什么样的几何体？ 二、棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1、观察并思考，具有什么特征的几何体称为棱柱？怎样给棱柱分类？ 思考3下列说法正确的是 A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱柱的各个面中至少有两个面互相平行 D．棱柱侧面是平行四边形，但底面一定不是平行四边形 思考4有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？ 思考5正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为5，如图，求C P＋PQ＋QC1的最小值。 2、观察并思考，具有什么特征的几何体称为棱锥？怎样给棱锥分类？ A1 C1 C P
思考6已知正四棱锥V—ABCD的底面ABCD的面积为16，一条侧棱长为 ，求它 的高及侧面三角形底边上的高（称之为棱锥的斜高）。 思考7判断下列说法是否正确： (1)棱锥的各侧面都是三角形 (2)棱锥的各侧棱长相等 (3)四面体的任何一个面都可作为底面 (4)有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体为棱锥 思考8侧棱长为 V—ABC中，∠A VB＝∠BVC＝∠CV A＝40°，过A作 截面AEF，求截面ΔAEF周长的最小值。3 思考9正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为1，求该棱台的高、斜高（侧面底边上的高）。 三、作业：课时分层作业P95 测评一 A C A B C1 B A
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二) 【学习要求】 1．认识棱锥、棱台的结构特征． 2．掌握其定义及性质． 【学法指导】 通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱锥、棱台的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力． 填一填：知识要点、记下疑难点 1．棱锥：(1)棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做；各侧面的公共顶点叫做；相邻两侧面的公共边叫做；多边形叫做；顶点到底面的距离，叫做． (2)如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做．2．棱台：(1)棱锥被平行于底面的截面所截，截面和底面间的部分叫做．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其它各面叫做棱台的；相邻两侧面的公共边叫做；两底面间的距离叫做． (2)由正棱锥截得的棱台叫做．正棱台各侧面都是的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做正棱台的斜高. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 观察下面的几何体，你可能会判定它们是一些棱锥．为什么你会 判定它们是棱锥呢？ 探究点一棱锥的结构特征 问题1棱锥有哪些性质？哪些性质可以作为棱锥集合的特征性 质？ 问题2类比棱柱，棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高分别指什么？ 问题3如何用字母表示棱锥？ 问题4依据棱锥底面多边形的边数如何分类？ 问题5用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？ 问题6类比正棱柱的概念，如何定义正棱锥？ 问题7正棱锥与棱锥相比较，有什么特殊的性质？ 例1设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥． 小结：由于三棱锥有一个底面和三个侧面，共四个面组成，所以三棱锥又叫四面体，三棱锥的各个面都是三角形．跟踪训练1若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高． 例2已知正四棱锥V—ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为211，计算它的高和斜高． 小结：在正棱锥的有关计算中，要注意寻找直角三角形，一般有：正棱锥顶点与底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角三角形；正棱锥顶点与底面中心连线，侧棱和底面中心与底面多边形的顶点组成一个直角三角形．
张喜林制 §1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征 考点知识清单 有关几何体的概念 1．由若干个平面多边形所围成的几何体叫做____，其中国成多面体的各个多边形叫做____，相邻两个面的公共边叫做；棱与棱的公共点叫做；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做____．2.有两个面互相平行，其余的面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边是互相平行的，由这些面所围 成的几何体叫做．两个平行的平面叫做，其余各面叫做棱柱的，两侧面的公共边叫做棱柱的．棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的____；侧棱与底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面的棱柱叫做____；底面是____的棱柱叫做正棱柱． 3．底面是的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面的平行六面体叫做直平行六面体；底面是的平行六面体叫做长方体；棱长都____的长方体叫做正方体． 4.有一个面是多边形，其余各面都是____的三角形，由这些面所围成的几何体叫做．棱锥中有公共 顶点的三角形叫做棱锥的；各侧面的叫做棱锥的相邻两侧面的公共边叫做棱锥的——； 多边形叫做棱锥的；顶点到底面的距离叫做棱锥的．如果棱锥的底面是，它的顶点又在过底面中心的上，则这个棱锥叫做____．正棱锥各侧面都是的等腰三角形，这些等腰三角形 底边上的高叫做正棱锥的，设正棱锥的高为h，斜高为/h，则斜高在底面上的射影为． 5．棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面阃的部分叫做．截面与原棱锥的底面均为棱台的——； 其余各面叫做棱台的-；相邻两侧面的公共边叫做棱台的；两底面间的距离叫做棱台的．由正棱锥被截得的棱台叫做____．正棱台各侧面都是____，这些梯形的高叫做棱台的____． 要点核心解读 1．棱柱 (1)棱柱概念的理解， 注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱，如图1-1-2 -1所示的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱．
棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征 学习目标 1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 3.理解多面体的有关概念； 4.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P2~P4，找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧! 二、新课导学 ※探索新知 探究1：多面体的相关概念 问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?
新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示： 探究2：旋转体的相关概念 问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？ 新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体: 探究3：棱柱的结构特征 问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗? 新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高） 试试1：你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？ 新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.
【励志故事】 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 1. 构成空间几何体的基本元素 2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 3. 圆柱、圆锥、圆台和球 二. 教学目的 1. 认识构成空间几何体的基本元素 2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征 三. 教学重点、难点 1. 柱、锥、台和球的结构特征 2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作 四. 知识分析 我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。这也是我们研究几何体的方向和内容。 （一）构成空间几何体的基本元素 但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？ 几何体指的是一个物体所占有的空间部分。常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。 我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。 现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？
第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 基础梳理 1．初中学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等都是平面图形． 2．粉笔盒、铅笔盒、课桌腿、书本等都是立体图形． 3．空间几何体． (1)空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． (2)多面体． 定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点． 练习1：多面体至少有几个面？几条棱？几个顶点？ 答案：4个6条4个 4. 棱柱、棱锥、棱台的概念.
棱柱有两个互相平行， 其余各面都是平行 四边形，并且每相 邻两个四边形的公 共边都相互平行， 由这些边所围成的 多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱 AC′或ABCD A′ B′C′D′ 侧面：其余各 面；侧棱：相 邻侧面的公共 边；顶点：侧 面与底面的公 共顶点 练习2：棱柱两底面全等且互相平行对吗？ 答案：对 多面 体 定义图形及表示相关概念 棱锥 有一个面是多边 形，其余各面都是 有一个公共顶点 的三角形，由这些 面所围成的多面 体叫棱锥 如图可记作： 棱锥SABCD 底面(底)：多边形； 侧面：有公共顶点 的各0个三角形； 侧棱：相邻侧面的 公共边； 顶点：各侧面的公 共顶点 多面 体 定义图形及表示相关概念
棱台 用一个平行于底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱 台 如图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′ 上底面：原棱锥的 截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公 共边；顶点：侧面与上(下)底面的公 共顶点 练习3：三棱台有几个面？两底面形状和位置关系如何？ 答案：5个面 两底面是相似三角形且互相平行 5．棱柱、棱锥、棱台的分类． (1)棱柱的分类． ①按底面多边形的边数分类． ⎩⎪⎨⎪ ⎧三棱柱（底面是三角形） 四棱柱（底面是四边形）五棱柱（底面是五边形）… n 棱柱（底面是n 边形） ②按侧棱与底面是否垂直分类． ⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱其他直棱柱斜棱柱 (2)棱锥的分类(棱台分类)． ①按底面多边形的边数分类． 三棱锥、四棱锥、五棱锥等． ②按底面多边形是否为正多边形分类．
1．1。1棱柱、棱锥、棱台的结构特征 填一填 1.一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 2．我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．3. 棱柱棱锥棱台 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如,三棱柱、四 棱柱……棱锥的底面是几边形就叫 几棱锥，例如，三棱锥、 四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几棱 台,例如，由三棱锥截得的 棱台叫三棱台. 判一判 1.如长方体形的盒子外表面是长方体．（×) 2．棱柱最多有两个面不是四边形．(√） 3．棱锥的所有面都可以是三角形．（√) 4．多面体是由平面多边形和圆面围成的．（×) 5．旋转体是由“平面图形”旋转而形成的，这个平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或直线或其他曲线．(√） 6．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．（×) 7．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．（×) 8 想一想 1。如何判断一个几何体是否为棱柱? 提示：（1）有两个面互相平行； (2)其余各面是平行四边形; （3)每相邻两侧面的公共边都互相平行． 这三个条件缺一不可，解答此类问题要思维严谨，紧扣棱柱的定义． 2．什么是斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体？ 提示：(1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． (2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． （3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (4）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形． （5）长方体:底面是矩形的直棱柱叫做长方体． (6）正方体:棱长都相等的长方体叫做正方体． 3．判断棱锥、棱台形状的两个方法是什么？
高考数学空间几何体知识点：柱、锥、台、球的结构特征
高考数学空间几何体知识点：柱、锥、台、球的 结构特征 如何搞好复习，是一项教学技术。查字典数学网为大家带来高考数学空间几何体知识点：柱、锥、台、球的结构特征，供大家参考! 棱柱： (1)概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的侧面，两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。 (2)分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱; ②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，… 棱锥： (1)概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点
到底面的距离叫棱锥的高，过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。 (2)分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥… (3)正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。 圆柱的概念： 以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。 圆锥的概念： 以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体; 圆台的概念： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 [提出问题观察下列图片： 问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？ 提示：由若干个平面多边形围成． 问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？ 提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的． 问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？ 提示：可以． [导入新知] 1．空间几何体
1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面： (1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体． (2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分． 2．棱柱具有以下结构特征和特点： (1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形． (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a 所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b 所示． (4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱， 如图c 所示． 3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何 体
不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台． [例1] (1)所有的面都是平行四边形； (2)每一个面都不会是三角形； (3)两底面平行，并且各侧棱也平行； (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是________． [答案] (3)(4) [类题通法] 有关棱柱的结构特征问题的解题策略 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析． ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行． 求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． [活学活用] 下列说法正确的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 答案：D [例2] (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (3)棱锥的侧面只能是三角形；
高中立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公 共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋 转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱 柱 四 棱柱 平行六面体 直平行六面体长方体正 四棱柱正方体 性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱
面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：1 3 V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体： 对于棱长为 a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 对棱间的距离为 a 2 （正方体的边长） 正四面体的高 a 6（正方体体对角线l 3 2 =） 正四面体的体积为 32a （正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61= ） 3 、棱台的结构特征 3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 3.2 正棱台的结构特征 （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； （2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征 4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 4.2 圆柱的性质 （1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆； （2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 4.4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 A B C D P O H
高考立体几何知识点总结(详细) 高考立体几何知识点总结 一、空间几何体 一）空间几何体的类型 1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点。 2.旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 二）几种空间几何体的结构特征 1.棱柱的结构特征
1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 底面是四边形，侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是矩形的棱柱称为四棱柱；底面是正方形的棱柱称为正四棱柱；棱长都相等的直棱柱称为正方体，棱长都相等的正四棱柱称为正方锥。 1.3 棱柱的性质 1）侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； 2）两底面是全等多边形且互相平行； 3）平行于底面的截面和底面全等； 1.4 棱柱的面积和体积公式
直棱柱的侧面积为底周长乘以高，表面积为底面积加上两倍的侧面积，体积为底面积乘以高；其他类型的棱柱的面积和体积公式与直棱柱类似。 2.棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 1）平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的
棱柱、棱锥、棱台的结构特征适用学科数学适用年级高一适用区域新课标课时时长（分钟）60 知识点柱、锥、台、球的结构特征 教学目标（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。 教学重点感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征教学难点柱、锥、台的结构特征的概括 教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点1 空间几何体
考点/易错点2 棱柱 考点/易错点3 棱锥
考点/易错点4 棱台 三、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列说法是否正确． (1)棱柱的各个侧面都是平行四边形； (2)一个n(n≥3)棱柱共有2n个顶点； (3)棱柱的两个底面是全等的多边形； (4)如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形． 【解析】(1)由棱柱的定义可知，(1)正确；(2)一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个顶点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个．(3)因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两
个底面全等．(4)如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形． 故(1)(2)(3)正确，(4)不正确． 【例题2】 【题干】如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由． 【解析】(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是平行的，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行． (2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面． 截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面． 【例题3】 【题干】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 【答案】由题目可获取以下主要信息： (1)都是多面体；(2)①中的折痕是平行线，是棱柱； ②中折痕交于一点，是棱锥；
棱柱、棱锥、棱台的结构特征 [学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型. 知识点一空间几何体 1.概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. 2.多面体与旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形 知识点二棱柱、棱锥、棱台的结构特征 平 行，其余各面都是 四边形，并且每相 邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的如图可记作：棱柱 ABCDEF-A′B′ C′D′E′F′ 底面 的面 侧面：其余各面 侧棱： 顶点： 顶点 边形，其余各面都是有一个公共顶点的底面 侧面：三角形面
用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱 锥，底面与截面之 .如图可记作：棱台 ABCD-A′B′C′ D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱： 顶点：侧面与上 的公共顶点 思考(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ (2)棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？ 答(1)根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形. (2)根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点. 题型一棱柱的结构特征 例1下列说法中，正确的是() A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 答案 D 解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.
8．1基本立体图形 第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 问题导学 预习教材P97－P100的内容，思考以下问题： 1．空间几何体的定义是什么？ 2．空间几何体分为哪几类？ 3．常见的多面体有哪些？ 4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？ 1．空间几何体的定义及分类 (1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． (2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类． 2．空间几何体
(1)棱柱、棱锥、棱台的关系 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来 (以三棱柱、三 棱锥、三棱台为例)． (2)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类 棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩ ⎪⎨ ⎪⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱 ②常见的几种四棱柱之间的转化关系 判断(正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)棱柱的侧面都是平行四边形．( ) (2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． ( ) (3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 下面多面体中，是棱柱的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足. 下面四个几何体中，是棱台的是( )
解析：选C.A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台． 在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.每个面都可作为底面，有4个． 下列说法正确的有________．(填序号) ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； ②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③. 答案：①③ 棱柱的结构特征 下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是__________． 【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； ②错误，棱柱的底面可以是三角形；
立体几何知识点和典型例题 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD' 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧 棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥P A'B'C'D'E' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥 的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分