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概率论课后习题答案1～7章

习题一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；

（2）A与B发生，C不发生；

（3）A，B，C都发生；

（4）A，B，C至少有一个发生；

（5）A，B，C都不发生；

（6）A，B，C不都发生；

（7）A，B，C至多有2个发生；

（8）A，B，C至少有2个发生.

【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC

（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC

(5) ABC=A B C

(6) ABC

(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC

3. 略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]

=1-[0.7-0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：

（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？

（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）

=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

12=

7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，

2张梅花的概率是多少？【解】p=

533213

1313131352

C C C C/C

8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；

（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故

P（A1）=

7=（

7）

5 （亦可用独立性求解，下同）

（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

P（A2）=

7=(

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1-P(A1)=1-(

9. 略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

（1）n件是同时取出的；

（2）n件是无放回逐件取出的；

（3）n件是有放回逐件取出的.

【解】（1）P（A）=C C/C

m n m n

M N M N

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N

种，n次抽取中有m次为正品的组合数为C m n种.对于固定

的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排

列数有P m M种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为

P n m

N M

种，故

P（A）=

C P P

m m n m

n M N M

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

P（A）=

C C

m n m

M N M

可以看出，用第二种方法简便得多.

（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n次抽取中有m次为正品的组合数为C m n种，

对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有

M种取法，共有M m种取法，n-m次取得次品，每次都有N-M

种取法，共有（N-M）n-m种取法，故

()C ()

/m m n m

P A M N M N

-=-

此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为

M N

，则取得m 件正品的概率为

()C 1m

n m

m n M M P A N N -????

=- ? ?

???

11. 略.见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.

每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}

133

103501

()C C /C 1960

P A ==

13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从

中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.

343

233377C C C 184(),

()C 35

C 35

P A P A ====

故

232322()()()35

P A A P A P A =+=

14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取

一粒，求：

（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.

【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）

(1)

1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==?= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-?=

(3)

2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =?+?=

15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1）问正好在第6次停止的概率；

（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 【解】（1）

223151115

()()22232

p C ==

(2)

134

2111C ()()22245/325

p =

16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3

次，求二人进球数相等的概率.

【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则

331212

333

()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+??+

222233

33C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)?

=0.32076

17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【

解

】

41111

52222410C C C C C 131C 21

p =-=

18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.

（1）

()0.1

()0.2()0.5

P AB p B A P A =

（

）

()()()()0.30.50.10.7

p A B P A P B P AB =+-=+-=

19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的

概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

()6/86

()()7/87

P AB P B A P A ===

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

6()7

P B A =

20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为

色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

0.50.0520

0.50.050.50.002521

=?+?

21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率

题21图题22图

【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时

以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.

22301

604

P ==

22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：

（1）两个数之和小于6

5的概率；（2）两个数之积小于1

的概率.

【解】设两数为x ,y ，则0

. 1144

1725510.68125

p =-

(2) xy =<14

111124411

1d d ln 242

x p x y ??=-=+ ?????

23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）

【

解

】

()()()

()()()()()

P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -=

0.70.51

0.70.60.54

=+-

24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任

意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取

出的3球均为新球} 由全概率公式，有

()()()i i i P B P B A P A ==∑

3312321

3336996896796

333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+?0.089=

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，

不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则

A ={被调查学生是不努力学

习的}.由题意知P （A ）=0.8，P （

A ）=0.2，又设

B ={被调查学生考

试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式

知（

）

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==

0.20.11

0.027020.80.90.20.137

==?+?

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2)

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==

0.80.140.30770.80.10.20.913

?===?+? 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B

的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？

【解】设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }

C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得

()()

()()()()()

P A P C A P A C P A P C A P A P C A =

2/30.98

0.994922/30.981/30.01

=?+?

27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球

为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能

的颜色只有黑、白两种）

【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=

,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知

111120

()()()()()

()()

i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/31

1/31/32/31/311/33

?+?+?

28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认

为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

0.960.98

0.9980.960.980.040.05

=?+?

29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，

C ={该客户是“冒失的”}，

D ={该客户在一年内出了事故}

则由贝叶斯公式得

()()(|)

(|)()()(|)()(|)()

P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C =

=++

0.20.05

0.0570.20.050.50.150.30.3

=?+?+?

30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品

率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.

12341

()1()i i P A P A A A A ==-

12341()()()()P A P A P A P A =-

10.980.970.950.970.124=-???=

31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使

至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.

1(0.8)0.9n -≥

即为

(0.8)0.1n ≤

故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.

32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.

【证】

(|)(|)

P A B P A B =即()()()()

P AB P AB P B P B = 亦即

()()()()P AB P B P AB P B =

()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-

因此 ()()()P AB P A P B =

故A 与B 相互独立.

33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为

15，13，14

，

求将此密码破译出的概率.

【解】设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则

1231231

()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-

423

10.6534

=-??=

34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是

0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

()(|)()i i i P A P A B P B ==∑

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×

0.7

=0.458

35. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它

给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：

（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

【解】（1）

101100C (0.35)(0.65)0.5138k

k k k p -===∑

(2)

102104

C (0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑

36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求

下列事件的概率：

（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

（1）

C 9

()10P A =

，也可由6重贝努里模型：

224

619()C ()()1010

P A =

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

610

P ()10

P B =

（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有

110

C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有

C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有

131948C C C 种可能结果；

②4人同时离开，有1

9C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有4

9P 种可能结果，故

12131146

10694899()C C (C C C C P )/10P C =++

（4） D=B .故

P ()1()110

P D P B =-=-

37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3）如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.

【解】（1）

111

p n =

(2)

23!(3)!

,3(1)!

n p n n -=

(3)

12(1)!13!(2)!;,3!!

n n p p n n n n --''===≥

38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由

()()x y a x y x a x y y y a x y x

+>--??+-->??+-->? 构成的图形，即

02022a x a y a

x y a ?

如图阴影部分所示，故所求概率为

p =

. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽

样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.

【证】

11P 1

,1,2,,P k n k n p k n n

--===

40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体

中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.

【解】设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面

有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

01512384

()0.512,()0.38410001000P A P A =

===,

24968

()0.096,()0.00810001000P A P A ====.

41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证

P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ).

【

证

】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=

()()()P AB P AC P ABC =+-

()()()P AB P AC P BC ≥+-

42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】设

i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

3413C 3!3

()48

P A ==

而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

33C 1()416

P A ==

因

此

213319

()1()()181616

P A P A P A =--=--=

或

121433

23C C C 9()416

P A ==

43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次

数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以

1()

()2

P C P A -=

由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为

211()()()22n n n

n P C C =

故 2211()[1C ]22

n n P A =-

44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次

数}，由对称性知P （A ）=P （B ）

（1）当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）

=1得P （A ）=P （B ）=0.5

(2) 当n 为偶数时，由上题知

11()[1C ()]22

n n P A =-

45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正

面次数的概率.

【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

>正正（甲乙）

=（甲正

≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反）因此P (甲正>乙正)=

46. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |

C )≥

P (B |

C )，则P （A ）≥P (B ).

【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得 ()()

,()()

P AC P BC P C P C ≥

即有

()()P AC P BC ≥

同理由

(|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥

故

()()()()()()

P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=

47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求

每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 【解】设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则

121(1)1()(1)2

()(1)1()(1)

n k k

i k

i j k

i i i n P A n n

P A A n

n P A A A n

--==-=--=-

其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是

21121111

211

1111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0

()(1)n n n

k k

i n

i k

i j n i j n n k

n i i i n i i i n

n n

n i n

i S P A n n n S P A A n n S P A A A n

S P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--=

==-+-+-∑∑∑

121

121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n k n n n

n n n n

--=---++--

故所求概率为

1121()1C (1)C (1)n

k i i n n

i P A n n

=-=--+--+ 11

1(1)C (1)n n k n

n n

+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何

小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为

1(1)1()n n ε--→→∞

49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.

在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？

【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}

B ={这只硬币为正品}

由题知

(),()m n

P B P B m n m n

=++

(|),(|)12

r P A B P A B =

= 则由贝叶斯公式知

()()(|)

(|)()()(|)()(|)

P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B =

121212r

r m m m n m n m n m n m n

+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N

根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒

火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有

121

()()2

P B P B ==

.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。把取2n -r 次火柴视作2n -r 重贝努里试验，则所求概率为

12211112C ()()C 2222n n n r n

n r n r

r r

p ----==

式中2反映B 1与B 2盒的对称性（即也可以是B 2盒先取空）. （2）前2n -r -1次取火柴，有n -1次取自B 1盒，n -r 次取自B 2盒，

第2n -r 次取自B 1盒，故概率为

111

2122121

11112C ()()C ()2222

n n n r n n r n r n r p ----------== 51. 求n 重贝努里试验中A 出现奇数次的概率. 【解】设在一次试验中A 出现的概率为p .则由

00112220

()C C C C 1

n n n n n n n n n n q p p q pq p q p q --+=++++=

0011222n 0

()C C C (1)C n n n n n n n n n n q p p q pq p q p q

---=++-+-

以上两式相减得所求概率为

11333

1C C n n n n p pq p q

--=++ 1

[1()]2n q p =-- 1

[1(12)]2

n p =-- 若要求在n 重贝努里试验中A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

[1(12)]2

n p p =+-.

52.设A ，B 是任意两个随机事件，求P {（

A +

B ）（A +B ）（A +B ）（A +B ）}

的值.

【解】因为（A ∪B ）∩（

A ∪

B ）=A B ∪A B

（

A ∪

B ）∩（A ∪B ）=AB ∪AB

所

求 ()()()()A B A B A B A B ++++

[()()]AB AB AB AB =+

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A ，B 和C 满足条件：

ABC =Φ，P (A )=P (B )=P (C )< 1/2，且P （A ∪B ∪C ）=9/16，求P （A ）. 【

解

】

由

()()()()()()(

P A B C P A P B P C P AB P AC P =++---

293()3[()]16

P A P A =-=

故1()4P A =

或3

4,按题设P （A ）<

,故P （A ）=

54.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生

的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求P （A ）. 【

解

】

()()1()9

P AB P A B P A B ==-=

① ()()

P AB P AB =

②

故

()()()()P A P AB P B P AB -=-

故

()()P A P B = ③

由A ,B 的独立性，及①、③式有

1()()()()9

P A P B P A P B =--+

212()[()]P A P A =-+

2[1()]P A =-

故

11()3

P A -=±

故 2()3P A =

或4

()3

P A =（舍去）

即P （A ）=

55.随机地向半圆0

22x ax - (a 为正常数)内掷一点，

点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的

夹角小于π/4的概率为多少？

【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

πa 2.阴影部分面积为

22π142

a a + 故所求概率为

222π1114212ππ2

a a p a +=

=+ 56. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品

中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】设A ={两件中至少有一件是不合格品}，B ={另一件也是不合格品}

242102

C C ()1

(|)C ()51C P AB P B A P A ===- 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的

报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.

（1）求先抽到的一份是女生表的概率p ；

（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概

率q .

【解】设A i ={报名表是取自第i 区的考生}，i =1,2,3.

B j ={第j 次取出的是女生表}，j =1,2.

则 1

(),1,2,33

i P A i ==

111213375

(|),(|),(|)101525

P B A P B A P B A ===

(1)

111

137529

()(|)()310152590i i p P B P B A ====++=

∑ (2)

21212()

(|)()

P B B q P B B P B ==

而

221()(|)()i i i P B P B A P A ==∑

1782061

()310152590

=++= 3

21211

()(|)()i i i P B B P B B A P A ==∑

137785202

()3109151425249

=?+?+?= 故

2122

()20

961()

6190

P B B q P B ===

58. 设A ，B 为随机事件，且P （B ）>0,P (A |B )=1,试比较P (A ∪B )与P (A )的大小. (2006研考)

解：因为

()()()()P A B P A P B P AB =+-

()()()()P AB P B P A B P B =?=

所

以

()()()()()P A B P A P B P B P A =+-= .

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X

表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】

3535

3,4,51

(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

====

故所求分布律为

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)

133

{},{1},{1},{12}

222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.

【解】

31331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ==

======== 故X 的分布律为

（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=

2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=34

当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数

022

,0135

()34,12351,2x x F x x x

?≤

(3)

1122

()(),

2235333434

(1)()(1)0

2235353312

(1)(1)(1)2235

341

(12)(2)(1)(2)10.

3535

P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=

<<=--==--=

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.

312

(0)(0.2)0.008

(1)C 0.8(0.2)0.096

(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512

P X P X P X P X ============

故X 的分布律为

分布函数

00.008,01()0.104,120.488,231,

3x x F x x x x

=≤

≥??

(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==

4.（1）设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!

k a

λ，

其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a .

【解】（1）由分布律的性质知

1()e !

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

故

e a λ-=

(2) 由分布律的性质知

1()N N

k k a

P X k a N

======∑∑

即

1a =.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)

(1)

()(0,0)(1,1)(2,P X Y P X Y P X Y P X Y

====+==+=

(3,3)P X Y ==

331212

33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)

=++

222

23333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+

0.32076=

(2)

()(1,0)(2,0)(3,P X Y P X Y P X Y P X Y

>===+==+=

(2,1)(3,1)(3,2)

P X Y P X Y P X Y ==+==+==

123223

C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++

332212

(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++

312322

33(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需

配备N 条跑道，则有

()0.01P X N ><

即

200

200200

(0.02)(0.98)0.01k k k k N -=+<∑

利用泊松近似

2000.02 4.np λ==?=

e 4()0.01!k

k N P X N k -∞

=+≥<∑

查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）

(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=

0.10.11e 0.1e --=--?

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

C (1)C (1)

p p p p -=-

故 13

p =

所

以 4451210(4)C ()33243

P X ===.

9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k

k k k P X -=≥==∑

(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）

773

(3)C (0.3)(0.7)0.35293k

k k k P Y -=≥==∑

10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为

（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

【解】（1）

(0)e

P X -

== (2)

(1)1(0)1e

P X P X -≥=-==-

11.设P {X =k }=k k

p p --22)1(C , k =0,1,2

P {Y =m }=m m m

p p --44

)1(C , m =0,1,2,3,4

分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=

，试求P {Y ≥1}.

【解】因为5(1)9P X

≥=

，故4

(1)9

P X <=. 而

2(1)(0)(1)P X P X p <===-

故得

(1),9

p -=

即

1.3

p =

从

而

465

(1)1(0)1(1)0.8024781

P Y P Y p ≥=-==--=

≈

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求

在这2000册书中恰有5册错误的概率.

【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似

计算,

20000.0012np λ==?=

得

e 2(5)0.00185!

P X -=≈=

13.进行某种试验，成功的概率为

，失败的概率为

.以X 表示试验首

次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.

【解】

1,2,,,X k =

113

()()44

k P X k -==

(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+

321131313

()()444444

k -=++++ 21314145

1()4

==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一

年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为

(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤

由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有

514

e 5(15)10.000069!k

k P X k -=>≈-≈∑

(2) P (保险公司获利不少于10000)

(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤

510

e 50.986305!k

k k -=≈≈∑

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P

（

保

险

公

司

获

利

不

少

于

20000

）

(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤

e 50.615961!k

k k -=≈≈∑

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X 的密度函数为

f (x )=A e -|x |, -∞

求：（1）A 值；（2）P {0

()d 1f x x ∞

-∞

得

1e d 2e d 2x x A x A x A ∞

∞---∞

===??

故

A =

. (2)

011(01)e d (1e )22x p X x --<<=

=-? (3) 当x <0时，11()e d e 22

x x

x F x x -∞==? 当x ≥0时，

0||

0111()e d e d e d 222

x x x x F x x x x ---∞-∞==+?

?? 11e 2

-=-

故

1e ,0

()11e 0

x x F x x -?

?-≥??

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为

f (x )=?????<≥.100,

0,100,1002x x x

求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】

（1）

150

21001001

(150)d .3

P X x x ≤==?

33128

[(150)]()327

p P X =>==

(2)

1223

124

C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0

当x ≥100时()

()d x

F x f t t -∞

100

()d ()d x f t t f t t -∞=+??

2100100100

d 1x

t t x

==-?

故

100

1,100()0,

0x F x x

x ?-

≥?=??

点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数.

【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为

,0()0,

x a

f x a

?≤≤?=???其他

故当x <0时F （x ）=0 当

≤

≤a 时

1()()d ()d d x

F x f t t f t t t a a

-∞

====?

当x >a 时，F （x ）=1 即分布函数

0(),

01,

x x F x x a a x a

?? 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至

少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即

,25

()3

x f x ?≤≤?=???其他 53

(3)d 33

P X x >==?

故所求概率为

223333

21220C ()C ()33327

p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布

()5

E .某顾客在窗口等待服务，若超过

10分钟他就离开.他一个月

要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，

试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}.

【解】依题意知1

~()5

X E ，即其密度函数为

1e ,0

()5

0,x

x f x -?>?=??≤?

x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为

101(10)e d e 5

P X x -∞

->==?

~(5,e )Y b -,即其分布律为

225525

()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5

(1)1(0)1(1e )0.5167

k k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥

挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）.

（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大

些？

【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则

406040(60)(2)0.97727

1010x P X P Φ--??

<=<== ???

若走第二条路，X~N （50，42），则

506050(60)(2.5)0.9938

4X P X P Φ--??

<=<== ???++

故走第二条路乘上火车的把握大些. （2）若X~N （40，102），则

404540(45)(0.5)0.6915

10X P X P Φ--??

<=<== ???

若X~N （50，42），则

504550(45)( 1.25)4

4X P X P Φ--??

<=<=- ???

1(1.25)0.1056Φ=-=

故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X ~N （3，22），

（1）求P {2

【解】（1）

23353(25)2

22X P X P ---??

<≤=<≤ ???

11(1)(1)1220.841310.69150.5328

ΦΦΦΦ????

=--=-+ ? ?

????=-+=

433103(410)222X P X P ----??

-<≤=<≤ ???

770.999622ΦΦ????

=--= ? ?????

(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-

323323222

215151122220.691510.99380.6977

X X P P ΦΦΦΦ-----????=>+< ? ?

????????????=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=

333

(3)(

)1(0)0.522

X P X P Φ->=>=-=- (2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【

解

】

10.050.12(|10.05|0.12)0.06

0.06X P X P ?-?

->=> ???

1(2)(2)2[1(2)]0.0456

ΦΦΦ=-+-=-=

23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要

求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？【

解

】

120160160200160(120200)X P X P σσσ---??

<≤=<≤ ?

404040210.8ΦΦΦσσσ-??????=-=-≥ ? ? ???????

故

31.251.29

σ≤

24.设随机变量X 分布函数为

F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,

x λ-?+≥>?

（1）求常数A ，B ；

（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.

【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞

→+

→-=???=??得11A B =??=-?

（2） 2(2)(2)1e

P X F λ

-≤==-

33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=

(3)

e ,0

()()0,

0x x f x F x x λλ-?≥'==?

f （x ）=??

??<≤-<≤.

,0,21,

2,10,

其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.

【解】当x <0时F （x ）=0

当

≤

x <1时

()()d ()d ()d x

F x f t t f t t f t t -∞

-∞

==+?

0d 2

x t t ==?

当1≤x<2时()()d x

F x f t t -∞

()d ()d ()d d (2)d 13

222221

x f t t f t t f t t

t t t t

x x x x -∞==+=+-=+--=-+-?

????

当x ≥2时()

()d 1x

F x f t t -∞

==?

故

0,01

2()21,1221,

x x x F x x x x x

26.设随机变量X 的密度函数为

（1） f (x )=a e - |x |,λ>0;

(2) f (x )=?????<≤<<.

0,21,1

,10,

其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）.

【

解

】

（

）

由

()d 1

f x x ∞

-∞

知

||0

21e d 2e d x x a

a x a x λλλ

∞

---∞

===

故 2

a λ

即

密

度

函

数

为

e ,02

()e 02

x x f x x λλλλ-?>??=??≤??

当

≤

时

()()d e d e 22

x x F x f x x x λλλ

-∞

-∞===?

当

x >0

时

()()d e d e d 2

x F x f x x x x λλλ

--∞

-∞

==+?

1e 2

x λ-=-

故其分布函数

11e ,02

()1e ,02

x x F x x λλ-?->??=??≤??

(2) 由12

1()d d d 22

b f x x bx x x x ∞

-∞

=+=+?

得 b =1 即X 的密度函数为

011(),120,

x x f x x x

=≤

当x ≤0时F （x ）=0 当

时

()()d ()d ()d x

F x f x x f x x f x x -∞

-∞

==+?

d 2

x x x ==

当1

≤

x <2

时

1()()d 0d d d x

F x f x x x x x x x

-∞

==++?

???

312x

当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为

20,

0,01

()31,1221,2

x x x F x x x x ≤???<

27.求标准正态分布的上

α分位点，

（1）

α=0.01，求z α;

（2）

α=0.003，求z α，/2z α.

【解】（1）

()0.01P X z α>=

即

1()0.01z αΦ-=

即

()0.09z αΦ=

故

2.33z α=

（2）由()0.003P X

z α>=得

1()0.003z αΦ-=

即

()0.997z αΦ= 查表得

2.75z α=

由/2()0.0015P X

z α>=得

/21()0.0015z α-Φ=

即

/2()0.9985z αΦ=

查表得 /2 2.96z α=

28.设随机变量X 的分布律为

求Y =X 的分布律.

【解】Y 可取的值为0，1，4，9

(0)(0)5

117

(1)(1)(1)61530

(4)(2)511

(9)(3)30

P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X ====

===-+==+=

===-=

====

故Y 的分布律为

29.设P {X =k }=(

, k =1,2,…,令

1,1,.X Y X ?=?-?

当取偶数时当取奇数时

求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【

解

】

(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+

242111

()()()222

111()/(1)443

k =++++=-=

(1)1(1)3

P Y P Y =-=-==

30.设X ~N （0，1）.

（1）求Y =e X 的概率密度；（2）求Y =2X 2+1的概率密度；（3）求Y =｜X ｜的概率密度. 【解】（1）当y ≤0时，()

()0Y F y P Y y =≤=

当

y >0

时

，

(

)

Y F y P Y y

=≤=≤=≤

ln ()d y

X f x x -∞

故

2/2

d ()1()(ln ),0

d y Y Y x F y f y f y y y y -=

==>

(2)2

(211)1P Y X =+≥=

当y ≤1时()

()0Y F y

P Y y =≤=

当y >1时

2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤

212y P X P X ?-??

=≤=≤≤

? ???

()d X f x x =

故

d ()()d

Y Y X X f y F y f f y ?

?==

+? ???

(1)/4

,1y y --=

(3)

(0)1P Y ≥=

当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=

当y >0时()

(||)()Y F y P X y P y X y =

≤=-≤≤

()d y X y

f x x -=?

故d

()

()()()d Y Y X X f y F y f y f y y

=+- 2/2

,0y y -=

> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数.

【解】（1）

(01)1P X <<=

故

(1e e )1

P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=

当1

()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤

ln 0

d ln y x y ==?

当y ≥e 时

()(e )1X Y F y P y =≤=

即分布函数

1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤??

故Y 的密度函数为

1e ,

()0,Y y y f y ?<

=???

其他（2）由P （0

(0)1P Z >=

当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=

当z >0时，()

()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤

/2(ln )(e )2

z z

P X P X -=≤-=≥

/21

/2e

d 1

e z z x --==-?

即分布函数

-/2

0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0

故Z 的密度函数为

1e ,0

()20,

z Z z f z z -?>?=??≤?0

32.设随机变量X 的密度函数为

f (x )=22,0π,π0,

x ?<

试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y

<<=

当y ≤0时，()

()0Y F y P Y y =≤=

当0

(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<

arcsin π2

20πarcsin 22d d ππy

y x x

x x -=+?? 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）

arcsin π

y =

当y ≥1时，()1Y F y =

故Y 的密度函数为

201π()0,Y y f y ?<

其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：

???

??≥

<+=.

)3(,

)2(,

)1(,11

)(2

x x x x F

试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim

()1x F x →∞

=知②填1。

由右连续性

0lim ()()1x x F x F x →==知00x =，故①为0。

从而③亦为0。即

,0()11,

0x F x x x ?

=+??≥? 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X 的分布律. 【解】设A i ={第i 枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P (A i )=

.且A 1与A 2相互独立。再设C ={每次抛掷出现6点}。则

121212()()()()()()P C P A A P A P A P A P A ==+-

111111666636=

+-?= 故抛掷次数X 服从参数为11

的几何分布。

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X 为0出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则

X~b (n ,0.1)

00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9

n P X P X ≥=-==-≥

即

(0.9)0.1n ≤

得 n ≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

F （x ）=????

?????≥<≤+<.

1,1,21

21,0,0x x x x

则F （x ）是（）随机变量的分布函数.

（A ）连续型；（B ）离散型；（C ）非连续亦非离散型.

【解】因为F （x ）在（-∞,+∞）上单调不减右连续，且

lim ()0x F x →-∞

lim ()1x F x →+∞

=,所以F （x ）是一个分布函数。

但是F （x ）在x =0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F （x ）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C ）

37.设在区间[a ,b ]上，随机变量X 的密度函数为f (x )=sin x ，而在[a ,b ]外，f (x )=0，

则区间 [a ,b ]等于（）

(A ) [0,π/2]; (B ) [0,π]; (C ) [-π/2,0]; (D) [0,

π2

]. 【解】在π

[0,

上sin x ≥0，且π/20sin d 1x x =?.故f (x )是密度函数。

在[0,π]上

sin d 21x x =≠?

.故f (x )不是密度函数。

在π

[,0]2-上sin 0x ≤，故f (x )不是密度函数。

在3[0,π]2上，当3

ππ2

x <≤

时，sin x <0，f (x )也不是密度函数。

故选（A ）。

38.设随机变量X ~N （0，σ2），问：当σ取何值时，X 落入区间（1，3）的概率最大？【

解

】

因

为

~(0,),(13)(

X N P X P σσ

<<=<

()()()g σσσ

=Φ-Φ令

利用微积分中求极值的方法，有

()()()()g σσ

σσ

'''=-

Φ+

9/21/21/28/2[13e ]0σσσσ----==

-=令

得

204ln 3σ=

,则

0σ= 又

0()0g σ''<

故

0σ<

故当

σ=

X 落入区间（1，3）的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布P （λ），每

个顾客购买某种物品的概率为p ，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y 的分布律.

【解】e (),0,1,2,!

P X m m m λλ-==

= 设购买某种物品的人数为Y ，在进入商店的人数X =m 的条件下，Y ~b (m ,p )，即

(|)C (1)

,0,1,,k k m k

m P Y k X m p p k m -===-= 由全概率公式有

()()(|)m k

P Y k P X m P Y k X m ∞

======∑

(1)e C (1)!e (1)!()!()[(1)]e

()!()e e

()e ,0,1,2,!

m k k

m k

m m k

m k

m k k m k m k

k p k p p p m p

p k m k p p k m k p k p k k λλ

λλλλλλλλλ-∞

-=∞

--=-∞

-=---=-=---=-===∑∑∑

此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X 服从参数为2的指数分布.证明：Y =1-e -2X 在区间（0，1）

上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为

22e ,0

()0,

0x X x f x x -?>=?

≤? 由于P （X >0）=1，故0<1-e -2X <1，即P （0

当0

2()()(e 1)x Y F y P Y y P y -=≤=≥-

ln(1)220

(ln(1))

22e d y x

P X y x y

---=≤--==?

即Y 的密度函数为

1,01

()0,Y y f y <

?其他

即Y~U （0，1） 41.设随机变量X 的密度函数为

f (x )=???

?????≤≤≤≤.,

0,63,92

,10,31

其他x x 若k 使得P {X ≥k }=2/3，求k 的取值范围. (2000研考)

【解】由P （X ≥k ）=

知P （X

若k <0,P (X

11d 333

k x =≤?

当k =1时P （X

若1≤k ≤3时P （X

11d 0d 33

k x x +=?? 若3

10312211d d 39933

k x x k +=-≠?? 若k >6,则P （X

故只有当1≤k ≤3时满足P （X ≥k ）=

42.设随机变量X 的分布函数为

F (x )=???????≥<≤<≤--<.3,

1,31,8.0,11,4.0,1,

0x x x x

求X

的

概

率

分

布

（1991研考）

【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为

43.设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的

概率为19/27，求A 在一次试验中出现的概率.

【解】令X 为三次独立试验中A 出现的次数，若设P （A ）=p ,则

X ~b (3,p )

由P （X ≥1）=

1927知P （X =0）=（1-p ）3=827

故p =

44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少？【解】

,16

()5

0,x f x ?<

(40)(2)(2)(2)5

P X P X P X P X -≥=≥+≤-=≥=

45.若随机变量X ~N （2，σ2），且P {2

P {X <0}= . 【解】22

0.3(24)(

)X P X P σ

---=

<<=<

()(0)()0.5σσ

=Φ-Φ=Φ-

故 2

()0.8σ

Φ=

因

此

(0)(

)()X P X P σ

--<=<

=Φ-

1()0.2σ

=-Φ=

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需

进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n (n ≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求

（1）全部能出厂的概率α；

（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A ={需进一步调试}，B ={仪器能出厂}，则

A ={能直接出厂}，A

B ={经调试后能出厂}

由题意知B =A ∪AB ，且

()0.3,(|)0.8

()()(|)0.30.80.24()()()0.70.240.94

P A P B A P AB P A P B A P B P A P AB ====?==+=+=

令X 为新生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X ~6（n ，0.94）, 故

2()(0.94)(2)C (0.94)

(0.06)(2)1(1)()

n n P X n P X n P X n P X n P X n αβθ-=====-==≤-=-=--=

11(0.94)0.06(0.94)

n n

n -=--

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，

平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

【解】设X 为考生的外语成绩，则X ~N （72，σ2）

729672240.023(96)1()X P X P σ

σσ--??

=≥=≥=-Φ ?

故

(

)0.977σ

Φ=

查表知 24

2σ

=,即σ=12

从而X~N （72，122

）故

6072728472(6084)12

1212X P X P ---??

≤≤=≤≤ ???

(1)(1)2(1)10.682

=Φ-Φ-=Φ-=

48.在电源电压不超过200V 、200V~240V 和超过240V 三种情形下，某种电

子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X 服从正态分布N （220，252））.试求：（1）该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V 的概率β 【解】设A 1={电压不超过200V}，A 2={电压在200~240V}，

A 3={电压超过240V}，

B ={元件损坏}。由X ~N （220，252）知

1()(200)P A P X =≤

2202002202525(0.8)1(0.8)0.212

X P --??

=≤ ???

=Φ-=-Φ=

2()(200240)P A P X =≤≤

200220220240220252525(0.8)(0.8)0.576

X P ---??

=≤≤ ???

=Φ-Φ-=

3()(240)10.2120.5760.212

P A P X =>=--=

由全概率公式有

()()(|)0.0642i i i P B P A P B A α====∑

由贝叶斯公式有

222()(|)

(|)0.009()

P A P B A P A B P B β==

≈

49.设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y =e 2X 的

概率密度f Y (y ).

【解】

1,12

()0,X x f x <

?其他

因为P （1

2()()(e )X Y F y P Y y P y =≤=≤

(1ln )2

P X y =<≤

ln 21

d ln 12

y x y -==-?

当y ≥e 4时，()

()1Y F y P Y y =≤=

即

40,e 1

()ln 1,e e 21,e Y y F y y y y ?≤??=-<

故

1,e e

2()0,Y y y

f y ?<

其他 50.设随机变量X 的密度函数为

f X (x )=???<≥-.

0,0,0,x x x e

求随机变量Y =e X 的密度函数f Y (y ). (1995研考)

【解】P （Y ≥1）=1

当y ≤1时，()()0Y F y P Y y =≤=

当

y >1时

，

(

)(X

Y F y P Y

=≤=

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计学1至7章课后答案

一、习题详解： 3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0, (,)0, x y x y x y F x y ----?--+≥≥=??其他求}{ 12,35 P X Y <≤<≤. 解：因为 25 7(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F 5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F 所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤< == +--=----745672 3 22220.0234 3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1) 且 0)1,2(===Y X P ，6.053 )2,2(4 52 223=====C C C Y X P 4.052 )1,3(4 5 1 233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为 3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3) 且 81)2 1()3,0(3 = ===Y X P ，8 3)21()21()1,1(2 113====C Y X P 83)21()21()1,2(1 223====C Y X P ，8 1)21()3,3(3====Y X P

经济数学基础-概率统计课后习题答案

习题一写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ). 解 (1) Ω={正面，反面}　△ {正，反} (2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m } 掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”， B ＝“奇数点”， C ＝“点数小于5”， D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. 解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A Ω A 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ?D ，C ?D. 3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++= B － C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B = 321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =- 4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解 B A A B A +=+ C B A B A A C B A ++=++ C B A B B AC +=+ BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明. 解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容. 7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系. 解由于AB ?A ?A+B ，A －B ?A ?A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B). 因此有 A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ?A ?F ，A ?C. 8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1 315 C C .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1 图1－2

概率论与数理统计课后习题答案

第一章事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命。解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。（2）}18,,4,3{ =Ω。（3）},11,10{ =Ω。（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。（5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。（4）A ，B ，C 都发生。（5）A ，B ，C 都不发生。（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。解（1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。（1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

概率论课后习题答案

习题1解答 1、写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章

第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。（1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。（2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。（5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令，得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp 令mp = X ，解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率. 解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得 )2100|7300(|)94005200(<-=<

概率论与数理统计及其应用课后答案

第1章随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875.0)(1)(___--=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为

概率论与数理统计课后习题及答案

习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=）【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）. 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率统计习题带答案

概率统计习题带答案概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白

球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)；

概率论与数理统计学1至7章课后答案

一、第六章习题详解 6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式. 证明： (1) ∑∑∑===+=+==n i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1 11)(1 )(11 b X a b X n a n i i +=+=∑=1 )1( (2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y b X a b aX n Y Y n S 1 212 2 )]()[(1)(11 221 2212)(1)]([1X n i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑== 6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。证明与2 (),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121 1 1 [()]()()n n E X X X E X X X n n n n μμ++ = ++== ()Var X =22 1212221 1 1[()]()()n n Var X X X E X X X n n n n n σσ++ =++ == 6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本,2 21 1()1n i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2 S =)(11 21 2X n X n n i i --= ∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 1 2212 2 )2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121 2X n X n n i i --=∑=

概率论习题答案

第一章随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如：（1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，，在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()；（2）规范性：P ()?=1；（3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。

概率论1至7章课后答案

一、习题详解： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率统计课后答案

2 第一章思考题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 675844625664686762609 876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?

答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习题一 1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成Ω=正正，正反，反正，反反 {(,)(,)(,)(,)} （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6} Ω== i j i j （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 3

概率论与数理统计练习题第七章答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第七章参数估计（一）一、选择题： 1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计（B ）总体矩的函数（C ）样本矩的函数（D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ） 122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355 X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2 2 90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ] （A ）31.06 （B ）(- , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题： 1．如果1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差一定满足 1212????,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1 ~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布2 12 (,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本， 1 2 211 ()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C = 12(1) n - 三、计算题： 1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ 2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0x X f x θθ ?≤≤? =???其它 (0)θ>的样本, 试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ 456()2(1)22.5')1(0.6 L L θθθθθθθθ=?-=-==解：该样本的似然函数.为令得三、 ??()2,()2()22 2 2(1)E X X X E E X θθθ θθ==?===?= 、

概率论与数理统计统计课后习题答案

第二章习题解答 1. 设)(1x F 与)(2 x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2 1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ). A . 5 2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a 2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数} X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈； 2215542070{2}0.2167323 C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈； 041554201{4}0.0010969 C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为： 3．

5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. 051339552 2109 {0}0.22159520C C P x C ===≈； 14 133955227417 {1}0.411466640 C C P x C ===≈； 231339552 27417 {2}0.274399960C C P x C ===≈； 32133955216302 {3}0.0815199920 C C P x C ===≈； 4 11339 552429{4}0.010739984 C C P x C ===≈； 50 133955233 {5}0.000566640 C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为： 6.