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概率论5-6习题标准答案

5.1解：X 的全部可能取值为1，2，3，4

10}1{=

=X P ，12

133

}2{⋅

=X P ，11

1012

133

}3{⋅

⋅

=X P ，

}3{}2{}1{1}4{=-=-=-==X P X P X P X P

25}2{}1{}3{==+==

5.2解：X 的全部可能取值为0，1，2，3，4 59

}0{C X P =

=，59

14}1{C C C X P =

=，…, 4,3,2,1,0,}{59

4==

=-k C C C k X P k

511}1{}0{1}2{59

459

==-=-=≥C

C C C

X P X P X P

5.3解：设X —射击5发的命中发数,则)

6.0,5(~B X ，所求概率为：

(1)2304.04.06.025}2{3

2=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==X P

(2)663.06.04.06.0451)3()4(1)3(5

4=-⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==-=-=≤X P X P X P (3)98976.0)6.01(1)1(5

=--=≥X P 5.4.解：（1）)3

,6(~B X

6,...,2,1,0,3231}{66=⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P k

（2）31

}0{=

=Y P ，3

32}1{⋅=

=Y P ，…, 6

2(}6{;5,...,2,1,0,31)32(}{===⋅==Y p k k Y P k

(3)9122.0)0{1}1{≈=-=≥X P X P

5.5.解（1）

938

.01861)2)2(()1)2(()0)2((1)3)2((6

≈---==-=-=-=≥---e

N P N P N P N P

(2) 0)0)5((15

≈==-e

N P

5.6 设X---100人中发病的人数，则101.0100),

01.0,100(~=⨯=λB X

(1)19999.001.01

100

}1{-≈⨯⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛==e X P (2)1100199.01)0(1)1(--≈-==-=≥e X P X P 6.1解：由条件ak k X P ==)(，（α为常数）

由归一性，1)(4

==∑=k X P k

则 10

1,110;1432=

==+=+a a a a a a

故X 的分布律为：

X 的分布函数 )(),()(+∞<<-∞≤=x x X p x F

∑≤⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎧≥<≤<≤<≤<==k x x k x x x x x P x F 4

43;10632;10

21;1011;0

)( 又3.010

110

2)1()2()3(=+

=+==

6.03.03.0)3()3()3(;10

3)3(=+==+<=≤=

=x P x P x P x P

6.2解：由B F A F ==+∞==-∞1)(,

0)(，得1,0==B A ，8

1)02()2()2(=

--==F F X P

1)04()4()4(=

--==F F X P ， 8

5)06()6()6(=

--==F F

X P

于是X 的分布律为：

6.3解：①1)(=+∞F ，得A =1。

由X 为连续型的随机变量，则(x F 在0=x 连续。由于F （0）=0。

则0=+B A ，则1-=B ， ②λ21)2()2(--==≤e F X P λ3)3(1)3(-=-=>e F X P ③X 的概率密度

⎩⎨

⎧≤>='=-0

0;)()(x x e x F x f x

λλ

6.4解：（1）由密度函数的归一性，1)(=⎰

∞∞

-dx x f 则

2=+⎰⎰cxdx dx cx

1)23(2

)12(3

223=-+

-c c 29

6=c

故

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它

;

032;296

21;296)(2

x x

x x x f X 分布函数⎰

∞

-=x

dt t f x F )()( 当1

⎰∞-x

x F

当21≤≤x 时，)1(29

229

)(31

2-==⎰x dt t x F x 当32≤≤x 时，⎰⎰+

=x x tdt dt t x F 2221

229

329

)(

当3≥x 时，1)(=x F

故

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧

<≤+

<≤-<=其它

;

132;29229

1;)1(29

21;0)(23

x x x x x x F

（2）由05.0)(0=>x X P ，得05.0)(10=-x F

05.0)(0

=⎰

+∞

x dx x f ，则05.0)(3

=⎰

x dx x f

显然0x 不能小于1或者大于3。若)2,1(0∈x ，则05.029

62963

⎰

⎰dt t dt t x

即05.029

1529

⎰x dt t

又

05.029

15>，在上式不可能成立。故0x 应大于2小于3。由05.029

632

=⎰

x dt t ，得918.20=x

6.5解：方程有实根 ⇔方程的判别式0≥ 0)2(44)4(2≥+⨯-⇔x x

2022≥⇔≥--⇔x x x 或1-≤x 。

471

)()()1()2(1

2521

=+=

-≤+≥⎰⎰⎰⎰---∞

-+∞

dx dx x f dx x f x P x P

6.6 解： (1)由⎰

∞∞

-=1)(dx x f ，即⎰=+1

1)21(dx x A 。2

（2）⎰

⎰

=>∞

.05

.08

5)21(2

1)()5.0(dx x dx x f X P

（3）⎰

∞

dt t f x F )()(

当0

⎰∞-x

x F

当10<≤x 时，3

)21(2

1)(2

x dt t x F x

+=⎰

∞

当1≥x 时，1)21(2

1)()(10=+==

⎰

⎰∞

-dt t dt t f x F x

故 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

≥<≤+

<=1

;

110;220;0)(2

x x x x

x x F

概率论习题五答案

习题五 1.设抽样得到样本观测值为：计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。 10__ 110 __ 2221 __2 211 :(38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6)40.5; 1010 2.1587; 1 () 2.1587 4.66;91()10i i i i i x x s s x x x x σ========= -===-∑∑解10219 4.194. 10 i S ===∑ 2.设抽样得到100 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。解：由书上127页（）（）（）式可知： 6___ 1 6___ 2 22216___2 2 111(11522132542051267) 3.14; 10010011()[(1 3.14)15(6 3.14)7] 2.1216;9999 199() 2.1216 2.1004.100100i i i i i i i i i x x n s x x n x x n σ=====?+?+?+?+?+?==-=-?++-?==-=?=∑∑∑ 3.略 4.从总体中抽取容量为n 的样本1, ,n X X ，设c 为任意常数，k 为任意正数，作变换(),1,2, ,.i i Y k X c i n =-= 证明：（1）;Y X c k =+（2）2 2 2;y x S S k =其中X 及2x S 分别是1, ,n X X 的样本均值及样本方差；Y 及2 y S 分别是1,,n Y Y 的样本均值及样本方差。证明（1） 11,n i i X X n ==∑由()i i Y k X c =-得i i Y X c k =+ 11111()n n i i i i Y Y X c Y nc c n k k n n k ==∴=+=+?=+?∑∑

概率论5-6习题标准答案

5.1解：X 的全部可能取值为1，2，3，4 13 10}1{= =X P ，12 10 133 }2{⋅ = =X P ，11 1012 2 133 }3{⋅ ⋅ = =X P ， }3{}2{}1{1}4{=-=-=-==X P X P X P X P 26 25}2{}1{}3{==+==

《概率论》考试试题(含答案)

《概率论》考试试题（含答案） ................................................................................................... 1 解答与评分标准 . (3) 《概率论》考试试题（含答案）一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 (),()23 P A P B = = 则()P AB 可能为（） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A) 12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（） (A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e +=+，则F (0)的值为（） (A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B =_____. 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2 ()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥ 0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为

天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解

第 5 章大数定律与中心极限定理一、填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设n ξξξ,,,Λ21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i Λ218===ξμξ对于∑==n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n 211- . 3. 设随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i ==L , 令9 1i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 2 91ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i ===L 所以 99911 1()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 9992 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有2 2{||}.P X σμεε -≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=

概率论及数理统计习题集及答案

第1章概率论的基本概念 §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。 A B L R C D 1.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作业答案 §1 .8.1：用A,B,C,D表示开关闭合，于是T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 4 22p 2 2 4 - + = = p p p p- 2：(1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章随机变量及其分布 0-分布和泊松分布 §2.21 1 某程控交换机在一分钟接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X有分布律：X 2 3 , Y～π(X), 试求： p 0.4 0.6 （1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3) 已知Y≤2, 求X=2 的概率。 §2.3贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？ §2.6均匀分布和指数分布

概率论试题与答案

一、填空题：(每题4分，共24分) 1．已知事件A 与B 相互独立，()0.4P A =，()0.7P A B +=，则概率()P B A 为。 2．某次考试中有4个单选选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在 4个选项中随机选择1个答案，则该考生至少能答对两题的概率为， 3．若有 ξ～(0,1)N ，η=21ξ-，则η～N （，） 4．若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且DX EX -=4,则参数λ＝ 5．设连续型随机变量ξ的概率密度为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其他，且2ηξ=，则 η的概率密度为。 6．设总体2~(,)X N μσ的分布，当μ已知，12,,n X X X 为来自总体的样本，则统计量∑=-n i i X 12)( σ μ 服从分布。二、选择题：(每小题4分，共20分) 1. 设事件,,A B C 是三个事件，作为恒等式，正确的是（） A.()ABC AB C B = B.A B C ABC = C.()A B A B -= D.()()()A B C A C BC = 2.n 张奖券有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是（）。 A.11 k m n m k n C C C -- B. k n m C C. k n k m n C C --1 D. 1r n m k r n C C =∑ 3. 设EX μ=，2DX σ=，则由切比雪夫不等式知(4)P X μσ-≤≥（） A. 1416 B. 1516 C. 15 D. 1615 4. 如果随机向量),(ηξ的联合分布表为：

概率论与数理统计(理工类.第四版)吴赣昌主编答案5,6,7,8章

第五章数理统计的基础知识 5.1 数理统计的基本概念习题一已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知),X1,X2,?,Xn为X的样本，则(). (A)1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；(B)1n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量； (C)X1+X2是一个统计量；(D)1n∑i=1nXi2-D(X)是一个统计量. 解答：应选(C). 由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数. 习题2 观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm),得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),?,[150,160),将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率),并画出频率累积的直方图. 解答：分组数据统计表

Xˉ=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n(Xi-Xˉ)2 分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(Xˉ),E(S2). 解答：由X～B(10,3100),得 E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,所以 E(Xˉ)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.习题6 设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料

f(x)={λe-λx,x>00,其它,F(x)={1-e-λx,x>00,x≥0, X(2)的概率密度为 f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它, 又X(1)的概率密度为 f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它. 习题9 设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求： (1)没有元件在800h之前失效的概率； (2)没有元件最后超过3000h的概率. 解答： (1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它, 分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它, {没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800},有 P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6 =exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747. (2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000} P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6 =[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6 ≈0.93517. 习题10 设总体X任意，期望为μ,方差为σ2,若至少要以95%的概率保证∣Xˉ-μ∣<0.1σ,问样本容量n应取多大？解答：因当n很大时，Xˉ-N(μ,σ2n),于是 P{∣Xˉ-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ

概率论五套练习题及答案

《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿广东省电子技术学校继续教育部二O一O年四月练习一一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示 =0.5，P(B>=0.8，则P 0.65 。(B> 1.3。(C>0.9。 (D>0.3。b5E2RGbCAP

3．设X～B