《概率论与数理统计》课后习题解答
习题一
3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件：
（1）A 发生,B 与C 不发生;
（2）A 与B 都发生,而C 不发生;
（3）A ,B ,C 都发生;
（4）A ,B ,C 都不发生;
（5）A ,B ,C 中至少有一个发生;
（6）A ,B ,C 中恰有一个发生;
（7）A ,B ,C 中至少有两个发生;
（8）A ,B ,C 中最多有一个发生.
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ；
（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ；
（8）BC AC AB 或C B C A B A ．
5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．
（1）求最小的号码为5的概率;
（2）求最大的号码为5的概率.
解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得
（1）12
1)(31025==C C A P ； （2）20
1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：
（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率;
（2）任取3件产品没有废品的概率;
（3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.
解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得
（1）0855.0)(3200
2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200
31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200
3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：
A 表示“这三个数字中不含0和5”
； B 表示“这三个数字中包含0或5”
； C 表示“这三个数字中含0但不含5”
． 解：由概率的古典定义得
157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30
7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ．
解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P
)]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-==
3.0)
4.06.0
5.0(1=-+-=
10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()()
()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?
解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为
3
19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．
（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;
（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?
解：设事件A 分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B 分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为
（1）10
3819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P （2）5
3314354415451)|(=⨯⨯+⨯+=B A P 13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率． 解：设事件i A 表示“第i 次取得次品”（4,3,2,1=i ），则所求的概率为 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =
20
1768792103=⨯⨯⨯= 14．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取 一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率．
解：设事件321,,A A A 分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B 表示“产品是正品”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且
2.010
2)(,3.0103)(,5.0105)(321======A P A P A P 7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321=-==-==-=A B P A B P A B P
由全概率公式得
83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(3
1=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P
15．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.
（1）求飞机坠毁的概率;
（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.
解：设事件i A 表示“飞机被击中i 弹而坠毁”)3,2,1(=i ，
事件B 表示“飞机坠毁”，
显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得
008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131======C A P C A P C A P 1)|(,5.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P
（1）由全概率公式得
0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(3
1=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P
（2）由贝叶斯公式得
407.00944
.01.0384.0)|()()
|()()|(31111≈⨯==∑=i i
i A B P A P A B P A P B A P 16．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率. 解：设事件i A 表示“从甲袋取出的2个球中有i 个白球”)2,1,0(=i ，事件B 表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且29
254)(C C C A P i i i -=，115)|(i A B P i +=，)2,1,0(=i ，由全概率公式得 5354.09953115)|()()(2
02925420==+⋅==∑∑=-=i i i i i i i C C C A B P A P B P 17．已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解：设事件A 表示“此人是男性”，事件B 表示“此人是色盲患者”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且
5.0)()(==A P A P ，%25.0)|(%,5)|(==A B P A B P
由贝叶斯公式得
9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)
|()()|()()|()()|(≈=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 18．设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常（即不发生故障）的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.
解：设事件A 表示“该机器正常”，事件B 表示“产品是合格品”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且
%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(===-==A B P A B P A P A P A P
由贝叶斯公式得
984.0%
30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,4
1,问能将密码译出的概率是多少?
解：设事件C B A ,,分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件
C B A ,,相互独立，且4
1)(,31)(,51)(===C P B P A P ，则所求的概率为 5
3)411)(311)(511(1)()()(1)(=----=-=C P B P A P C B A P 20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.
解：设事件i A 表示“第i 道工序加工出次品”)4,3,2,1(=i ，显然事件4321,,,A A A A 相互独立，且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321====A P A P A P A P ，则所求的概率为
)()()()(1)(43214321A P A P A P A P A A A A P -=
124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(1=-----=
21．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.
（1）求至少有一个蓝球的概率;
（2）求有一个蓝球一个白球的概率;
（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.
解：设事件21,A A 表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件21,B B 表
示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件i A 与j B 相互独立
)2,1;2,1(==j i ，且9
4)(,92)(,72)(,73)(2121====
B P B P A P A P ，则所求的概率为 （1）9
5)921)(731(1)()(1)(1111=---=-=+B P A P B A P ； （2）631692729473)()()()()(12211221=⨯+⨯=+=+B P A P B P A P B A B A P ； （3）)
()])([()](|)[(11111221111221B A P B A B A B A P B A B A B A P +++=++ 35169
56316)()(111221==++=B A P B A B A P 22．设一系统由三个元件联结而成（如图51-）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p (10<
图51- 解：设事件i A 表示“第i 个元件正常工作”)3,2,1(=i ，事件B 表示“该系统正常工作”，显然，事件321,,A A A 相互独立，且p A P i =)(，则所求的概率为 )()()()(])[()(32132313231321A A A P A A P A A P A A A A P A A A P B P -+=== 3232132312)()()()()()()(p p A P A P A P A P A P A P A P -=-+=
24．一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：
（1）这5件样品中恰有2件次品的概率;
（2）这5件样品中最多有2件次品的概率.
解：设事件A 表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中%80)(%,20)(,5===A P A P n ，由二项概率公式有
（1）2048.0%)80(%)20()2(32255==C P
（2）942.0%)80(%)20()(2
055205==∑∑=-=k k k k k C k P
概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.0812 1)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门 基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数2 7C n A =, 467.0157910212167)(21027==?????==C C A P 因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P . 10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少? 解: 设A ={能打开门}, 基本事件总数2412344=???==P n , 有利于A 的基本事件数为2=A n , 因此, 0833.012 1)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, 基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i 则
00006.09833512196979697989910054321)(006.098 3359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(510029733510039723225100 49711510059700=??==???????????====??= ??????????????====???= ????????????????=?===????=????????===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n , 基本事件总数n N C m =, 有利于事件A k 的基本事件数k n N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n , 因此, n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310 121315==???????===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率. 解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数1644=?=n , 有利于A 的基本事件数422=?=A n , 有利于B 的基本事件数632=?=B n , 则25.04 1164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .
第一章 随机事件及其概率 §1.1-2 随机试验、随机事件 1. 多项选择题: ⑴ 以下命题正确的是 （ ） A .()()A B AB A =； B .,A B AB A ?=若则； C .,A B B A ??若则； D .,A B A B B ?=若则. ⑵某学生做了三道题，以i A 表示“第i 题做对了的事件”)3,2,1(=i ，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ ） A .123123 123A A A A A A A A A ； B .122331A A A A A A ； C .12 23 31A A A A A A ； D .123123123123A A A A A A A A A A A A . 2. A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义： ⑴ A ； ⑵ B C ； ⑶ AB C ； ⑷ A B C ； ⑸ A B C ； ⑹ABC . 3. 一个工人生产了三个零件，以i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正 品、次品的事件.试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品.
§1.3-4 事件的概率、古典概型 1. 多项选择题: ⑴ 下列命题中,正确的是 （ ） A . B B A B A =；B .B A B A =； C .C B A C B A = ； D .()?=)(B A AB . ⑵ 若事件A 与B 相容，则有 （ ） A .()()()P A B P A P B =+； B .()()()()P A B P A P B P AB =+-； C .()1()()P A B P A P B =--； D .()1()()P A B P A P B =-. ⑶ 事件A 与B 互相对立的充要条件是 （ ） A .()()()P AB P A P B = ； B .()0()1P AB P A B ==且； C .AB A B =?=Ω且； D . AB =?. 2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率. 3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.
第1章 随机变量及其概率 1， 写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338412 131425=C C C C ；
2008年4月第一章1.1 解⑴记9件合格品分别为正1 正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7 正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为 r1r2r3r4。则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4 ⅰA w1w2。ⅱB r1r2r3r4。 1.2 解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。 ⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。 ⑶当全系运动员都是三年级学生时。⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。 1.3 解⑴1niiA ⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD ⑶11nnijijjiAA ⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。 1.4 解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。1.5 解样本点总数为28A8×7。所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。于是PA23698714。1.6 解样本点总数为5310。所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成
MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。所以3222481313PA 18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在 9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817 个位置之一时正好互相“吃掉”。故所求概率等于1789。19解每个乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯现有7位乘客所以样本点总数为79。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”和相当于“从9层中任取7层各有一位乘客离开电梯”。所以A包含79A个样本点于是7979APA 110解用A表示“牌照号码中有数字8”显然44991000010PA所以491110PAPA。111解1参看何声武《概率论习题解法探讨》例5。答案为1/5。2当该数的末位数是1379之一时其四次方的末位数为1所以答案为42105。3一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字所以样本空间包 含210个点。用A表示事件“该数的立方的最后两位数字都是1”则该数的最后一位数字必须是1设最后第二位数字为a 则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数要使3a的个位数是1必须a7因此A所包含的样本点只有71这一点于是1100PA。112解16根草的情形。取定一个头它可与其它的5个头之一相接最后将剩下的两个头相接故对头而言有5·3·1种接法同样对尾也有5·3·1种接法所以样本点总数为5·3·12。用A表示“6根草连结成一个环”这种连接对头而言仍有5·3·1种连接法而对尾而言任取一尾它只能与和它的头
概率论课后习题答案学版 概率作业答案：第一章1―5节一(1) 仅A 发生; AB C (2) A、 B、C都发生; ABC (4) A、B、C 不都发生; ABC (3) A、B、C都不发生; A B C (5) A不发生，且B、C中至少有一发生; A( B C ) (6) A、B、C中至少有一个发生；A B C(7) A、B、C中恰有一个发生；AB C A BC A B C (8) A、B、C中至少有两个发生；ABC A BC AB C ABC 或AB BC AC (9) A、B、C中最多有一个发生。A B C AB C A BC A B C 或AB BC AC 或A B B C A C 概率作业答案：第一章1―5节二、单项选择题1.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为( ) (A “甲种产品滞销，乙种) 产品畅销”; (B “甲、乙两种产品均畅) 销”; (C“甲、乙两种产品均滞) 销”; (D “甲种产品滞销或乙种) 产品畅销” 答案：A 2.对事件A、B有B A, 则下述结论正确的是( ) ( A) A与B必同时发生；( B ) A发生，B必发生；(C ) B发生，A必发生；( D ) B 不发生，A必不发生。答案：C 3.对于任意两个事件A、B,与A B B不等价的是( ) ( A) A B;( B) B A;( C ) AB ;( D) A B . 概率作业答案：第一章1―5节3.对于任意两个事件A、B,与A B B不等价的是( ) ( A) A B;( B) B A;(C ) AB ;( D) A B . A A B B, B A , AB AA , B B A B, 推不出A B= , 答案选D4.设 A、B为任意两个事件，则下列各选项中错误的是( ) ( A)若AB , 则A , B 可能不相容;( B )若AB , 则A , B 也可能相容; ( C )若AB , 则A , B 也可能相容;( D )若AB , 则A , B一定不相容;.( A) AB , B A , A A B , 令B A , A B A A , A正确(B )若B A,AB , 则A B A A B , A B A B A , B 也对.__________
教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、 2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 2 1,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)=
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3,,12}Ω=L ； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=L ； (3) {0,1,2,}Ω=L ； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC U ； (2) A B C U U ； (3) ABC 或A B C U U . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B U ；(3) ()A B C U ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B U 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C U 为“命中0至2环或5至10环”；
概率论第一章习题解答 一、填空题: 1.设,()0.1,()0.5,A B P A P B ?==则()P AB = ,()P A B = , ()P A B = 。 分析：()(,)0.1;A P B P AB A ==?()()0.5;P A B P B == ()()()1()0.9P A B P A B P AB P AB ===-= 2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为 。 分析：设A 为抽正品事件，B 为抽一级品事件，则条件知()1()0.98P A P A =-=， ()0.85P B A =，所求为()()()0.980.850.833P B P A P B A ==?=； 3.设A ，B ，C 为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=41,8 1)(,0)()(===AC P BC P AB P ,则A,B,C 中至少有一个发生的概率为 . 分析：,()()0,()0ABC AB P ABC P AB P ABC ?≤=∴= 所求即为 5 ()()()()()()()()8 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+= ； 4.一批产品共有10个正品和2个次品,不放回的抽取两次,则第二次取到次品的概率 为 . 分析：第二次取到次品的概率为11 211 1211 C C ?或者为 111110*********C C C C +=? 5. 设A ，B 为两事件, ()0.4,()0.7,P A P A B == 当A ，B 不相容时, ()P B = 当A ，B 相互独立时, ()P B = 。 分析： (1)当A ，B 不相容时, ()0P AB =;()()()()P A B P A P B P AB =+- 由；则 ()()()()0.3P B P A B P A P AB =?-+=； （2）当A ，B 相互独立时, ()()() ()()()()P AB P A P B P A B P A P B P AB =? ? =+-? ；则 ()(()(()))P A B P A P P P B B A =+- 由，代入求得()0.5P B = 二.、选择题 2.每次试验成功的概率为p (0< p <1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )。
《概率论与数理统计》第一章习题及答案 习题1.1 1. 将一枚匀整的硬币抛两次，事务C ,分别表示“第一次出现 A, B 正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事务C ,中的样本点。 A, B 解：{= Ω(正，正)，〔正，反〕，〔反，正〕，〔反，反〕} {=A(正，正)，〔正，反〕}；{= B〔正，正〕，〔反，反〕} {= C(正，正)，〔正，反〕，〔反，正〕} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事务D , ,分别表示“点数之和为 A, B C 偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事务D - +, - , ,中 AB- , A B C A BC B C A 的样本点。 解： {})6,6(, = Ω； ),2,6(),1,6(, ),2,1(),1,1( ),6,2(, ),2,2(),1,2(),6,1(, {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1( AB； = {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(, +B A； = ),5,1(),3,1(),1,1( A； C = Φ {})2,2(),1,1( BC； = {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1( B A -D C - = - 3. 以C ,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 A, B ,表示以下事务： A, B C 〔1〕只订阅日报；〔2〕只订日报和晚报；
〔3〕只订一种报； 〔4〕正好订两种报； 〔5〕至少订阅一种报； 〔6〕不订阅任何报； 〔7〕至多订阅一种报； 〔8〕三种报纸都订阅； 〔9〕三种报纸不全订阅。 解： 〔1〕C B A ； 〔2〕C AB ； 〔3〕C B A C B A C B A ++； 〔4〕BC A C B A C AB ++; 〔5〕C B A ++； 〔6〕C B A ； 〔7〕C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ 〔8〕ABC ； 〔9〕C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事务321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明以下事务所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事务C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把以下事务表示为一些互不相容的事务的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
第一章 事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。 (2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则 ，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 ，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，， A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，， (2)记2个白球分别为1 ，2 ，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。则 {1 ，2 ， 1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) A {1 ，2 } (ⅱ) B {1r ，2r ，3r ，4r } 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。 (1) 叙述C AB 的意义。 (2)在什么条件下C ABC 成立？ (3)什么时候关系式B C 是正确的？ (4) 什么时候B A 成立？ 解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) C ABC 等价于AB C ，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i 1）。用i A 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1) n i i A 1 ; (2) n i i n i i A A 1 1 ; (3) n i n i j j j i A A 1 1)]([ ; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 n j i j i j i A A 1 ,； 1.4 证明下列各式： (1)A B B A ; (2)A B B A (3) C B A )()(C B A ; (4) C B A )()(C B A
第一章习题（A ）参考答案 （注：有些题可能存在多种解法，希望同学能够多动脑思考，不要将思维局限于 参考答案。） 4．解：（1）()1()0.7P B P B =-= ， ()()()()0.4P AB P A P B P A B ∴=+-⋃=； （2）()()()()0.3P B A P B AB P B P AB -=-=-= ； （3）()()1()0.2P AB P A B P A B =⋃=-⋃= 。 5．解：从8个球中任取2个，共有2 887 282! n C ⨯== =种取法。设事件A 表示取到的两个球颜色相同，可分成两种情况：取到白球；取到黑球。 完成事件A 共有2 2 535432 132!2! m C C ⨯⨯=+=+=种取法， 则根据古典概型的概率计算公式，可求得13()28 m P A n = = 。 6．解：考虑将两组分别记为甲组和乙组，则分配球队的时候，先将10支球队分到甲组，再将剩下的10支球队分到乙组，共有10 10 10 201020n C C C ==种分法。对于最强的两队，先取一支强队分到甲组，接着再从其余18支稍弱的球队中取9支分到甲组，这样甲组就有一支最强队及9支稍弱的队，最后将剩下的10支球队分到乙组，这样共有19 218m C C =种分法。则最 强的两队被分到不同组内的概率为192181020100.526319 ===≈C C m p n C 。 7．解：将12个球随意放入3个盒子中，对于每个球，都可以从3个盒子中选一个盒子放球进去，因此共有12 3n =种放法。设事件A 表示第一个盒子中有3个球，先从12个球中取出3个球放进第一个盒子，剩下的9个球随意放进其余两个盒子中，对于这9个球，每个都可以从其余两个盒子中选一个盒子放球进去，因此完成事件A 共有3 9 122m C =⨯种方法，则第 一个盒子中有3个球的概率为3 912 12 2()0.2123C m P A n ⨯==≈。 8．解：由于每颗骰子有6个不同的点数，因此同时掷4颗均匀骰子共有4 6n =种不同的结果。 （1）设事件A 1表示4颗骰子的点数不同，共有4 66543m P =⨯⨯⨯=种情形，其发生的概率为
概率论第一张习题及答案 1．设A，B是任意两个随机事件，则P[(+B)(A+B)(+)(A+)]=. 2．设P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，若事件A与B互斥，则P(B)=P(B) ;若事件A与B独立，则 =. 3．已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率 P(B|A)=0.8，则P(A∪B)= . 表示B的对立事件， 4．设随机事件A，B及其和事件A∪B的概率分别是0.4，0.3和0.6，若那么积事件A 的概率P(A )= . )= . 5．设A，B为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P( 6．已知A，B两个事件满足条件P(AB)=P()，且P(A)=p,则P(B)=. 7．设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为. 8．设两个相互独立的事件A，B和C满足条件：ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(A∪B∪ C)=9/16，则P(A)=. 9．设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的 概率相等，则P(A)=a= .
11．设A，B是两个随机事件，已知P(A|B)=0.3，P(B|A)=0.4，P( | )=0.7，则P(A+B)= . 12．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为. 13．已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/8，则事件A，B，C全不发生的概率为 . ，则P(A| | )+P( |B)=. . 14．设A,B是两个随机事件，0〈P(B)〈1，且AB= ,P(A+B)= . )=P( | )则 10．设随机事件A与B 互不相容，已知P(A)=P(B)=a (0 15．设A,B是两个随机事件，P(A)+(B)=0.9,P(AB)=0.2,则P(B)+P(A)=16．设A,B是两个随机事件，P(A)=0.4,P(AB)=0.2, P(A|B)+P( )=1,则P(A+B)= .
概率论 11、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头停泊•它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的•如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时,求这两艘船都不等候码头的概率. 解: 分别用X、y表示甲、乙船到达时刻，在直角坐标系下作直线x=24、y=24,它们与x轴及y轴围成一个正方形,点(x, y)总是落入这个正方形的； 作直线y=x+l与y=x-2,如果点(x, y)落入两直线所夹以外区域就不需要等待，所以不需要等待的概率为： p= (22*22/2+23*23/2) / (24*24)=1013/1152^0. 879340277777778 25、已知男人中5%是色盲患者，女人中有0.25%；今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？ 解： 可以算出色盲的人占总人数的比率是5%x50%+0. 25%x50%=2. 625%,而在2. 625% 的人中，男的占5%x50%,所以是男的几率为5%x50%除以2. 625%=20/21
1.设A, B, C为三个事件，试用A、B、C表示下列事件，并指出其中哪俩个事件是互逆事0 2.设对于事件A, B, C，有P (A) =P (B) =P (C) =1/4, P (AC) =1/8, P (AB) =P (BC) =0,习 3.设A, B 为随机事件，P (A) =0. 7, P (A-B) =0. 3,求P (AB(—))。 4.若事件A、B 满足P (AB) =P (A(—) nB(—)),且P (A) =1/3,求P (B)。 5.一个袋中有5个红球2个摆球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取- 6.一批产品有8个正品，2个次品，从中任取两次，每次取一个(不放回)。求：1)两次都取弓 7.长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15,刮风(记作事件E 8.有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球；乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋任取一E 90某专科医院平均接待K型病人50%, L型病人30%, M型病人20%,而治愈率分别为7/10, 8/1' 10.若P (A|B)^P(A|B(—)),证明事件A与事件B相互独立。 11.对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为P，求射击次数的分布率。 12.已知X】(i=l, 2)的分布函数为(x) o设是某一随机变量的分布函数，求常数a。 13.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相 14.设随机变量X的分布函数为：，求：1 )P{XW2}, P{X>3}； 2) X的概率密度。 15.设随机变量X 〜N (10, 22),求P{10VXV13}； P{X>13}； P{|XT0|V2}； P{XV - 28}； P{X 16.在电源电压不超过200, 200-240和超过240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别天 17.随即向量(X, Y)在矩形区域aWxWb, cWyWd,内服从均匀分布。求(X, Y)的分布密度 18.已知随机变量X〜N (-1, 1) , Y〜N (3, 1)且X与Y相互独立，设随机变量Z=X-2Y+7,求 19.设X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X, Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘 20.X
第一章 一、填空题 1、设事务A,B 满足AB AB =,那么()P A B = 1 ，()P AB = 0 。 2、确定P(A)0.5,P(B )0.6,P(B A)0.8,===那么()P A B = 0.7 。 3、确定()()()1P A P B P C 4===，()P AB 0=,()()1P AC P BC 6==，那么事务A,B,C 都不发生的概率为 712 。 4、把10本书随意放在书架上，其中指定的3本书放在一起的概率为 115 。 5、一批产品共有10个正品和2个次品，随意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，那么其次次抽出的是次品的概率为 16 。 二、选择题 1、以下命题成立的是〔 B 〕 A ：()()A B C A B C --=- B ：假设AB ≠∅且A C ⊂，那么BC ≠∅ C ：A B B A -= D ：()A B B A -= 2、设A,B 为两个事务，那么〔 C 〕 A ：()()()P A B P A P B ≥+ B ： ()()()P AB P A P B ≥ C ：()()()P A B P A P B -≥- D ：()() ()()P A P A B P B 0P B ≥>
3、设A,B 为随意两个事务，且A B ⊂，P(B )0>， 那么以下选项势必成立的是〔 D 〕 A ：P(A)P(A B )< B ：P(A)P(A B )> C ：P(A)P(A B )≥ D ：P(A)P(A B )≤ 4、袋中装有2个五分，3个贰分，5个壹分的硬币，任取其中5个，那么总币值超过壹角的概率〔 B 〕 A ：14 B ：12 C ：23 D ：34 三、解答题 1、某班有50名同学，其中正、副班长各1名，现从中随意选派5名同学参加假期社会实践活动，试求正、副班长至少有一个被选派上的概率。 ()248248142347P A 502455⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭或者()()48547P A 1P A 1502455⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2、一批产品共200个，有6个废品。求〔1〕这批产品的废品率；〔2〕任取3个恰有一个是废品的概率；〔3〕任取3个全不是废品的概率。 3、10件产品中有4件次品，6件正品，先从中任取两件，假设确定其中有一件为次品，试求另一件也为次品的概率。
1. 写出下列随机试验的样本空间： 1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）； 2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时 取出3个球； 3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； 4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 解：1）设小班共有n 个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为n ２x ，x x ,1，则全班平均分为n x x n i i ∑==1，于是样本空间为 }100,,2,1,0{n n n n S ==}100,3,2,1,0|{n i n i = 2）所有的组合数共有1035 =C 种， }345,245,235,234,145,135,134,125,124,123{=S 3）至少射击一次，},3,2,1{ =S 4）单位圆中的坐标),(y x 满足122<+y x ，}1|),{(22<+=y x y x S 2. 已知B A ⊂， 3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P . 解 )(A P 7.03.01)(1=-=-=A P 3.0)()(==A P AB P （因为B A ⊂） )(B A P 2.0)()()(=-=-=A P B P A B P 5.0)()(==B P B A P （因为B A ⊂，则A B ⊂） 3. 设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概 率： 1） 只有一件次品； 2） 最多1件次品； 3） 至少1件次品. 解 1）设A 表示只有一件次品，310 2614)(C C C A P =. 2)设B 为最多1件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件次品，310 261431036)(C C C C C B P +=. 3）设C 表示至少1件次品，它的对立事件为没有一件次品， 310 361)(1)(C C C P C P -=-= 4. 盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码. （1） 求最小号码为5的概率. （2）求最大号码为5的概率. 解1）若最小号码为5，则其余的2个球必从6，7，8，9，10号这5个球中取得。
《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得
（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5” ． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．
习 题 一 （A ） 1. 写出下列事件的样本空间： )1(把一枚硬币连续抛掷两次； )2(掷两颗骰子； )3(连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； )4(在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数； )5(某城市一天内的用电量． 解 )1(1{(,),(,),(,)}H H H T T T Ω=，其中H 表示正面，T 表示反面． )2( )} 6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),6,2(),5,2(),4,2(), 3,2(),2,2(),1,2(),6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(2=Ω )3(}),,,,(),,,(),,(),{(3 H T T T H T T H T H =Ω )4(},2,1,0{4 =Ω )5(}0,{5≥=Ωt t 2.C B A ,,为三个事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来： )1(仅A 发生；)2(均发生；)3(均不发生； )4(A 发生而C B ,至少有一个不发生； )5(A 不发生而C B ,至少有一个发生；
)6(不全发生；)7(最多有2个发生；)8(至少有2个发生； )9(最多有一个发生；)10(恰有2个发生． 解 )1(C B A ； )2(ABC ； )3(C B A 或C B A ++； )4(BC A ； )5(A C B -+)(； )6(ABC 或C B A ++； )7(ABC 或C B A ++； )8(AC BC AB ++； )9(C B A C B A C B A C B A +++； )10(BC A C B A C AB ++； 3．掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件=A ＂偶数点＂，=B ＂奇数点＂，=C ＂点数小于5＂，=D ＂小于5的偶数点＂，讨论上述各事件间的关系． 解 }6,5,4,3,2,1{=Ω，}6,4,2{=A ，}5,3,1{=B ，}4,3,2,1{=C ， }4,2{=D ． A 与 B 为对立事件，即A B =；B 与D 互不相容；D C D A ⊃⊃,． ４．事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，3,2,1=i ，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及C B -的含义，并且用i A )3,2,1(=i 表示出来． 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务． 323121A A A A A A B ++= 321A A A C B =-表示三个车间均完成生产任务． ５．抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率． 解 设事件A 表示＂两枚硬币中至少出现一个正面＂．若用＂H ＂表示正