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概率统计课后答案

第一章思考题

1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？

2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:

5844625664686762609

876543210出现次数数字

你能说出他产生怀疑的理由吗?

答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？

５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？

６．条件概率是否是概率？为什么？

习题一

1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次

答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰子抛掷一次

答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω== （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出

答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥

2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB

(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A (6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB (8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A (11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A

B A B (2) ()()A B A B

解:(1)()()A B A

B AB

B B ==,

(2) ()()A

B A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.

4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.

解：510

50.302410

P P ==.

5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率.

解法一：试验可模拟为m 个红球，n m -个白球，编上号，从中任取k 个构成一组，则总数为k n

C ，而全为白球的取法有k m

n C

-种，故所求概率为k n

k m n C C --

解法二：令i A —第i 人中奖，,.,2,1k i =B —无一人中奖，则k A A A B 21=，注意到 k A ，，A ，A 21不独立也不互斥：由乘法公式

)

(

)()()()(1

1-=k k

A A A P A A A P A A P A P

B P

(1)(2)(1)

1n m n m n m n m k n n n n k -------+=??

---+!,1k k n m n m k k n n

C C k C C ---同除故所求概率为.

6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A ）的

概率是多少？

解：122

5854

()C C C P A C -=

7．在[]1,1-上任取一点X ，求该点到原点的距离不超过1

的概率. 解：此为几何概率问题：]11[，-=Ω,所求事件占有区

间 ]5151[，-，从而所求概率为1

21525

P ?

==. 8．在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.

解：设一段长为x ，另一段长为y ，样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<，

所求事件满足： 0202()a x a y x y a x y ?<

+>--???

从而所求概率＝

CDE OAB

S S

. 9．从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于

的概率. 解：设所取两数为,,X Y 样本空间占有区域Ω,

两数之积小于14:1

XY <,故所求概率

()()1()

()1

S S D S D P S Ω--=

Ω, 而1

()(1)1(1ln 4)44

S D dx x =

=-+?,故所求概率为1

(1ln4)4

+. 10．设A 、B 为两个事件，()0.9P A =，()0.36P AB =，求()P AB . 解：()()()0.90.360.54P A B P A P AB =-=-=;

11．设A 、B 为两个事件，()0.7P B =，()0.3P AB =，求()P A B .

解：()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6P A

B P AB P AB P B P AB ==-=--

-=.

12．假设()0.4P A =，()0.7P A B =，若A 、B 互不相容，求()P B ；若A 、

B 相互独立，求()P B .

解：若A 、B 互不相容，()()()0.70.40.P B P A

B P A =-=-=；

若A 、B 相互独立，则由()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-可得()P B =0.5. 13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.

解：设=A {命中仓库}，则=A {没有命中仓库}，又设=i A {命中第i 仓库})3,2,1(=i 则03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A P A P A P ，

根据题意321A A A A =（其中321,A A A 两两互不相容）故123()()()()P A P A P A P A =++=0.01+0.02+0.03=0.06 所以94.006.01)(1)(=-=-=A P A P 即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94

14．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少

订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比解：设=A {用户订有日报}，B ={用户订有晚报}，则=B A {用户至少订有日报和晚报一种}，

=AB {用户既订日报又订晚报}，已知

85.0)(,65.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，所以

3.085.065.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P

即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%

15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.

解：设=A {第一次取得次品}，=B {第二次取得正品}，则

=AB {第二次才取得正品}，又因为99

90)(,10010)(==

A B P A P ，则

0909.099

10010)()()(==

P A P AB P

16.设随机变量A 、B 、C 两两独立，A 与B 互不相容. 已知0)(2)(>=C P B P

且5

()8

P B

C =，求()P A B .

解：依题意0)(=AB P 且)()()(B P A P AB P =，因此有0)(=A P . 又因 25

()()()()()3()2[()]8P B C P B P C P B P C P C P C +=+-=-=，解方程

5)(3)]([22=+

-C P C P 151

()[()]()442

P C P C P B ==?=舍去，，()()()()()0.5.P A

B P A P B P AB P B =+-==

17．设A 是小概率事件，即()P A ε=是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A 迟早总会发生（以概率1发生）. 解：设事件i A —第i 次试验中A 出现(1,2,,)

i n =，∵(),()1i i P A P A εε==-，(1,2,

,)i n =，∴n 次试验中，至少出现A 一次的概率为

1212

()1()n n P A A A P A A A =-12

1()n P A A A =-

121()()()n P A P A P A =-???（独立性）

1(1)n ε=--

∴12lim ()1n n

P A A A →∞

=，证毕.

18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是

15，13，1

，求此密码被译

出的概率.

解:设A ，B ，C 分别表示{第一、二、三人译出密码}，D 表示{密码被译出}，则

()()()1 P D P A B C P A B C ==-

1()1()()() P ABC P A P B P C =-=-4233

1..5345

=-=.

19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立

解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为123p p p ，从而所求

概率为31231(1

)p p p --；（2）同理得2

2[1(1)]p p --. 20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概

率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率. 解：设1A —第一第三台机器发生故障，2A —第一第三台机器发生故障，3A —第一第三台机

器发生故障，D —三台机器中至少有一台发生故障，则

123()0.1,()0.2,()0.3P A P A P A ===，故 ()()()1 P D P A B C P A B C ==-

1()1()()()10.90.80.70.496 P A BC P A P B P C =-=-=-??=

21．设A 、B 为两事件，()0.7P A =,()0.6P B =,()0.4B P A =，求()P A

B .

解：由()0.4B P A

=得

()

0.4,()0.12,()()()0.48()

P AB P AB P AB P B P AB P A ==∴=-=， ()()()()0.82P A B P A P B P AB =+-=.

22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?

解：设A —某种动物由出生算起活到20年以上，()0.8P A =，B —某种动物由出生

算起活到25年以上，()0.4P B =，则所求的概率为

()()0.4

()()0.5()()0.8

P AB P B B

P P A A

P A P A ==

===

23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内

发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率.

解：设A —某地区后30年内发生特大洪灾，()0.8P A =，B —某地区后40年内发生特大洪灾，()0.85P B =，则所求的概率为 ()()0.15()1()1110.250.2()()

P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=.

24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球. 1）问取到白球的概率是多少？

2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A ：取到白球，B ：从甲球袋取白球

2443

1) ()(/)()(/)()5/9 6666P A P A B P B P A B P B =+?+?=

(/)()2/9

2) (/)()/()2/5()5/9

P A B P B P B A P AB P A P A ==

25．一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不

再放回，求第二次抽出的是次品的概率.

解：设i B 表示第i 次抽出次品,(1,2)i =,由全概率公式

2111

()()(

)()(

)B B P B P B P P B P B B =+=

211021*********

?+?=. 26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h 的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h 以上的概率.

解：设=i B {取到元件为i 等品}(i =1,2,3) ，=A {取到元件能工作500小时以上} 则%1)(%,4)(%,95)(321===B P B P B P

%70)(%,80)(%,90)(3

===B A

P B A

所以)()()()()()()(3

1B A

P B P B A

P B P A P ++=

=?+?+?=%70%1%80%4%90%950.894

27．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以B

分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优等品}，则有：

123()0.35,()0.25,P B P B ==P(B )=0.4, 1

()0.65,A

P B =3

()0.7,()0.85A

P P B B ==

所求概率为().P A 由全概率公式得：

1231

()()()()()()()A

P A P B P P B P P B P B B B =++

0.650.40.70.350.850.250.7175.=?+?+?=

1111

()()(|)0.26

()0.3624()()0.7175

P B A P B P A B B P A P A P A =

===

28．用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率

为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.

解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}.据题意有

()0.95,()0.90,A

P P B

==()0.0005,P B =所求概率为().B

P A

()0.10,()0.9995.A

P P B B

==由Bayes 公式得

()()()()()()()

P B P B

P A

P B P P B P B B

0.00050.95

0.00470.47%0.00050.950.99950.10

?===?+? 29．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率. 解:设A={敌机被击落}，B i ={i 个射手击中}，i=1,2,3. 则B 1,B 2,B 3

互不相容.由题意知：

()0.2,()0.6,()1A

P P P B B B ===，由于3个射手射击是互相独立的，所以

1()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P B =??+??+??= 2()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436P B =??+??+??=

3()0.40.60.70.168P B =??=

因为事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,B 3之一同时发生.于是

（1）由全概率公式得

()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944i i i P A P B P A B ===?+?+?=∑

（2）由Bayes 公式得

3333

()(|)

0.168

(|)0.340.4944

()(|)

i P B P A B P B A P B P A B ==

=∑.

30．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求

（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率. 解：A ——需经调试 A ——不需调试 B ——出厂

则%30)(=A P ，%70)(=A P ，%80)|(=A B P ，1)|(=A B P （1）由全概率公式：)()()()()(A

P A P A

P A P B P ?+?=

%941%70%80%30=?+?=.

（2）由贝叶斯公式：94

70%94)()()()()(=?==A B P A P B P B A P B A P .

31．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p ，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率. 解：所求的概率为234(1)p p -.

32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第n 次才取k

次()k n ≤红球的概率

解：所求的概率为11191010k

n k

k n C ---???? ? ?????

33．灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h 后，最多只有

一个坏了的概率.

解：由二项概率公式所求概率为

2333(0)(1)0.2(0.2)0.80.104P P C +=+?=

34．（Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一

根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r 根的概率. 解：设试验E —从二盒火柴中任取一盒，A —取到先用完的哪盒，1()2

P A =

，则所求概率为将E 重复独立作2n r -次A 发生n 次的概率，故所求的概率为

222211()()()222n

n n r n r n r n r n r C P n C -----==.

第二章

思考题

1. 随机变量的引入的意义是什么？

答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.

2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？

答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.

3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型. 例：设随机变量[]2,0~U X ，令

?≤≤<≤=.

21,1;

10,)(x x x x g 则随机变量)(X g Y =既非离散型又非连续型.

事实上，由)(X g Y =的定义可知Y 只在[]1,0上取值，于是当0

1≥y 时，1)(=y F Y ；当10<≤y 时，

()2

))(()(y y X P y X g P y F Y =

≤=≤= 于是

????

???≥<≤<=.

1,1;10,2;0,0)(y y y y y F Y

首先Y 取单点{1}的概率02

)01()1()1(≠=

--==Y Y F F Y P ，故Y 不是连续型随机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y 也不是离散型随机变量.

4.通常所说“X 的概率分布”的确切含义是什么？

答：对离散型随机变量而言指的是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.

5.对概率密度()f x 的不连续点，如何由分布函数()F x 求出()f x ？

答：对概率密度()f x 的连续点，()()f x F x '=，对概率密度()f x 的有限个不连续点处，可令()f x c =（c 为常数）不会影响分布函数的取值.

6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？

答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导.

习题

1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.

解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 样本空间为

}0|{≥=Ωt t ，若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}

0|{≥=Ωt t 上的函数，即t t X X ==)(是随机变量.

2．一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.

解：{报童赔钱}?{卖出的报纸钱不够成本}，而当 0.15 X <1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ?{X ≤666}

3．若2{}1P X x β<=-，1{}1P X x α≥=-，其中12x x <，求12{}P x X x ≤<.

解：1221{}{}{}P x X x P X x P

X x ≤<=<-<

21{}[1{}]1P X x P X x αβ=<--≥=--.

4．设随机变量X 的分布函数为??

???≥<≤<=1,110,0,0)(2

x x x x x F

试求（1）??????≤

21X P （2）??????≤<-431X P （3）?

?????

>21X P

解：4

1)21(21)1(==??????

≤

F X P ；（2）16

0169)1()43(431=-=--=????

≤

<-F F X P ；（3）

43)21(121121=-=????

≤-=??????>F X P X P .

5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的乒乓

球的个数是

一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.

解：设X 表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，X 的所有可能

取值为0，1，2，∵33351{0}10C P X C ===，1223356{1}10C C P X C ===，213335

{2}10C C P X C ===

∴随机变量X 的概率分布律如下表所示：由()k k

x x

F x P

≤=

∑可求得()F x 如下:

0 ,0

{0} ,01(){0}{1} ,12{0}{1}{2} x P X x F x P X P X x P X P X P X <=≤<==+=≤<=+=+= ,2

x ????

??≥? 0 ,0

0.1 ,010.7 ,121 ,2

x x x x

6．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，命不中就

一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X 的概率分布解：

7 .一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.

解：设{}i i A =第次取得废品，{}i A i =第次取得合格品，由题意知，废品数X 的可能值为0，1，2，3，事件{0}X =即为第一次取得合格品，事件{1}X =即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有

{0}()0.7512

P X P A ===

=， 2

121

399

{1}()0.2045121144

A P X P A A P A P A ====

?=≈（）（）， 3

1231

3299

{2}()0.0409121110220A A P X P A A A P A P P A A A ===??=≈（）（）（）=

123411

123

{3}()32191

0.00451211109220

A A A P X P A A A A P A P

A A A A A A ====

???=≈（）（）（）（）

所以X

8.从101-中任取一个数字，若取到数字)101( =i i 的概率与i 成正比，即 1,2,,10P X i ki i ===（），（），求k . 解：由条件 1,2,,P X i k i

i ===（），（），由分布律的性质

i p

==∑,应有

1i ki ==∑,1

55k =.

9 .已知随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，试满足条件{}01.0=>N X P 的自然数

N .

解：因为{}{}{}99.0101.0),1(~=>-=≤=>N X P N X P Y X P P X 所以从而

{}99.0!0

==≤∑=-N

k k e N X P λ

查附表得4=N

10.某公路一天内发生交通事故的次数X 服从泊松分布，且一天内发生一次交

通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有交通事故发生的概率.

解：设~()X P λ，由题意：)1(=X P =)2(=X P ，2

2!1λλλλ--=e e ，解得2=λ，所求的概率即为

22!

0)0(--===e e X P .

11 . 一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.

解：设X 表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，1

~(100,

)1000

X B ，所求的概率即为)0(=X P ，)1(=X P ，)2(=X P 三者之和.而100个工作时内故障平均次数为

=μ1.01000

100=?

，根据Poisson 分布的概率分布近似计算如下： 99984.000452.009048.090484.0!

0)2(2

=++=+

≈

≤---μμ

μμμe e

X P

故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984.

12.设[]~2,5X U ，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率. 解：()1

,25

30 ,x f x ?≤≤?=???其余

，令()3A X =>，则()23p P A ==，令Y 表示三次重复独立观

察中A 出现次数，则2~3,3Y B ??

???，故所求概率为

()2

32121202333327P Y C C ????????≥=+= ? ? ? ?

????????

. 13.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群

中发病头数的概率分布律.

解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率3/2=p ，不发病率3/1=q ，由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为X ，则X (50,2/3)X

B ，X 的分布律为

{})50,,2,1,0(31325050

????? ??==-k C k X P k

k k

14.设随机变量X 的密度函数为2, 01

()0 , x x p x <

其它，用Y 表示对X 的3次

独立重复观察中事件1

{}2

X ≤出现的次数，求{2}P Y =.

解：(3,)

p B ，12

{}22

p P X xdx =≤==?，由二项概率公式 223139

{2}()()4464

P Y C ===

. 15.已知X 的概率密度为2,

()0,

x ax e x f x x λ-?>=?

≤?，试求：（1）、未知系数a ；（2）、X 的分布函数()F x ；（3）、X 在区间1

(0,)

内取值的概率.

解：（1）由?+∞

-=021dx e

ax x

λ，解得.2

2λ=

(2) ()()()F x P X x f x dx +∞

-∞

=≤=?，∴当x ≤0时0)(=x F ,当x >0时，

222

()1(22)2

x x

e F x ax e

dx x x λλλλ--==-++?,

∴22

11(22),0

()20, 0

x x x F x x λλ?-++>?=??≤? .

（3）5

11(0)()(0)12P X F F e

λλ<<=-=-.

16.设X 在(1,6)内服从均匀分布，求方程210x Xx ++=有实根的概率.

解: “方程210x Xx ++=有实根”即{2}X >，故所求的概率为{2}P X >=4

. 17.知随机变量X 服从正态分布2(,)N a a ，且Y aX b =+服从标准正态分布

(0,1)N ，求,a b .

解：由题意

222

(0)1a b a a a ?+=>??=?

解得：1,1a b ==-

18.已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且X 落入区间（1，2）内的概率达到最大，求λ.

解：2(12)(1)(

2)()P X P X P X e e g λ

λ--<<=>->=-=

令

,令

()0g λ'=，即022=---λλe e ,即021=--λe ，

∴.2ln =λ 19．设随机变量(1,4)

N ，求(0 1.6)P X ≤<，(1)P X <. 解：01 1.61

(0 1.6)()22P X P

X --≤<=≤<

1.6101

()()0.309422

--=Φ-Φ=

(1)()(0)0.52

P X -<==Φ=Φ=.

20.设电源电压()

2~220,25X N ，在200,200240,240X X X ≤<≤>电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求：

（1）该电子元件损坏的概率α；

（2）该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率β.

解：设()()()123200,200240,240A X A X A X =≤=<≤=>， D —电子元件损坏，则（1）

123,,A A A 完备，由全概率公式

()()()()1231

D D D P D P A P P A P P A P A A A α??????==++ ? ? ??

，

今()()()12002200.810.80.21225P A -??

=Φ=Φ-=-Φ= ???

，

同理()()()()20.80.820.810.576P A =Φ-Φ-=Φ-=，

()310.2120.5760.212P A =--=，从而()0.062P D α==.

（2）由贝叶斯公式

()()222D P A P A A P D P D β?? ?????== ???0.5760.001

0.0090.062?==. 21.随机变

求2Y X =的分布律

解：

. 22.变量X 服从参数为0.7的0－1

分布，求2X 及22X X -的概率分布.

解．X 的分布为

易见，2X 的可能值为0和

1；而22X X -的可能值为1-和0，由于

2{}P X u =={P X }u =

(0,1)u =，可见2X 的概

率分布为：

由于2{21}{1}0.7P X X P X -=-===，2{20}{0}0.3P X X P X -====，可得22X X -的概率分布为

23.X 概率密度函数为21

()(1)

X f x x π=

+，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .

解：2y x =的反函数为2

x =

，代入公式得22()()()22(4)Y X y y f y f y π'==+.

24.设随机变量[]~0,2X U ，求随机变量2Y X =在()0,4内概率密度()Y f y . 解法一（分布函数法）当0y <时，()0,4Y F y y =>时()1Y F y =，当04y ≤≤时， (

)(

Y X

F y P X F ==

从而 (

)

40 ,X

Y f y f y ?

=≤≤?=???

其余

解法二（公式法）2y x =在()0,2

单增，由于反函数x =在()0,4

可导，'y x =，从

而由公式得

(

)

40 ,X

Y f y f y ?

=≤≤?=???

其余

25. ,0

)0 ,0

x X e x f x x -?≥=?

解法一（分布函数法）因为0X ≥，故1Y >，当1y >时，()()()ln ln Y X F y P X y F y =≤=，

()()ln 2111ln ,10 ,1y X Y f y e

y y y y f y y -?==>?∴=??≤?

解法二（公式法）x y e =的值域()1,+∞，反函数ln x y =，故

()()[]21ln ln ' ,1

0 ,1X Y f y y y y f y y ?

=>?=??≤?

26.设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量X Y e =和ln Z X =的概率密度()Y f y 和()Z f z .

解：X 的密度为1, 01() x f x ?<

0,若其它，

（1）函数x y e =有唯一反函数，ln x y =，且1Y e <<，故

(ln )(ln ), 1() X f y y y e f y '?<

y ?<

??0,

其它. （2）在区间(0,1)上，函数ln ln z x x ==-，它有唯一反函数z x e -=，且0Z >，从而

()(), () z z X Z f e e f z -->?'?=?

??z 00,

其它 0

, z

z e ->??=???0,其它. 27. 设()X f x 为X 的密度函数，且为偶函数，求证X -与X 有相同的分布. 证：即证Y X =-与X 的密度函数相同，即()()Y X f y f y =.

证法一（分布函数法）

()()()()()11Y X F y P X y P X y P X y F y =-≤=≥-=-≤-=--， ()()()()1Y X X p y p y p y ∴=--?-=，得证.

证法二（公式法）

由于y x =-为单调函数，∴()()()()()'

Y X X X p y p y y p y p y =--=-=.

28.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，0,>+∞<<-∞σμ ，)(x F 是X 的分布函数，随机变量)(X F Y =. 求证Y 服从区间]1,0[上的均匀分布. 证明：记X 的概率密度为)(x f ，则?

∞

-=x

dt t f X F .)()( 由于)(x F 是x 的严格单调增函数，

其反函数)(1x F -

存在，又因1)(0≤≤x F ，因此Y 的取值范围是]1,0[. 即当10≤≤y 时

{}{}{}1()()()Y F y P Y y P F X y P X F y -=≤=≤=≤.)]([1y y F F ==-

于是Y 的密度函数为

1, 01

()0, Y y p y ≤

其它

即Y 服从区间]1,0[上的均匀分布.

第三章思考题

1(答:错)2 (答:错) 3答:错)

习题三

1 解：)(}1,1{}1,1{}{已知独立==+-=-===Y X P Y X P Y X P 2

121212121}1{}1{}1{}1{=?+?=

==+-=-==Y P X P Y P X P . 由此可看出,即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, Y X 与一般情况下也不会以概率1相等. 2解：由

∑∑i

=1可得：14.0=b ,从而得：

.1,0;2,1,0}{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故Y X ,相互独立. 7

.035.015.014.006.0}1,1{}0,1{}

1,0{}0,0{)1,1(}1,1{=+++===+==+==+====≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P F Y X P

3解: )()1,1(11AB P Y X P p ====

,12

1)()(=

=A B P A P )()0,1(12B A P Y X P p =

===

3241)()(=?==A B P A P

因为: ,3

2)(1)(:,

1)()(=

-==+A B P A B P A B P A B P 所以

《应用概率统计》复习题及答案

工程硕士《应用概率统计》复习题考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（）（而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其

4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<

经济数学基础-概率统计课后习题答案

习题一写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ). 解 (1) Ω={正面，反面}　△ {正，反} (2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m } 掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”， B ＝“奇数点”， C ＝“点数小于5”， D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. 解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A Ω A 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ?D ，C ?D. 3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++= B － C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B = 321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =- 4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解 B A A B A +=+ C B A B A A C B A ++=++ C B A B B AC +=+ BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明. 解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容. 7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系. 解由于AB ?A ?A+B ，A －B ?A ?A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B). 因此有 A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ?A ?F ，A ?C. 8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1 315 C C .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1 图1－2

概率论课后习题答案

习题1解答 1、写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

《应用概率统计》张国权编课后答案详解习题一解答

习题一解答１. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来： (1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生； (2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生； (3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生； (4) 三个事件中至少有两个事件发生； (5) 三个事件中最多有两个事件发生； (6) 三个事件中只有一个事件发生．解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ? (4)BC A C AB ABC ?? (5)ABC (6)C B A C B A C B A ?? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”．试用文字叙述下列事件： (1) 41 ==i i A A ， (2) A ,(3) B ， (4) 32A A ．解：（1）至少有一次取得白球（2）没有一次取得白球（3）最多有2次取得白球（4）第2次和第3次至少有一次取得白球 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系． (1) ＡＢ＝Ａ（2）ＡＢ＝Ａ解：（1）A B ? (2)A B ? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事件： (1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ．解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”，Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问： (1) ＡＢＣ表示什么事件？ (2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ?Ｂ表示什么意思？ (4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书（2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书（3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书（4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ６. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系． (1) X ＜ 20 与X ≥ 20 ； (2) X ＞ 20与X ＜ 18 ；

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计课后习题答案

第一章事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命。解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。（2）}18,,4,3{ =Ω。（3）},11,10{ =Ω。（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。（5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。（4）A ，B ，C 都发生。（5）A ，B ，C 都不发生。（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。解（1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。（1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n

7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01

应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。

7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=

概率论与数理统计课后习题及答案

习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=）【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）. 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地

概率论习题答案

第一章随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如：（1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，，在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()；（2）规范性：P ()?=1；（3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。

概率论与数理统计统计课后习题答案

第二章习题解答 1. 设)(1x F 与)(2 x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2 1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ). A . 5 2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a 2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数} X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈； 2215542070{2}0.2167323 C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈； 041554201{4}0.0010969 C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为： 3．

5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. 051339552 2109 {0}0.22159520C C P x C ===≈； 14 133955227417 {1}0.411466640 C C P x C ===≈； 231339552 27417 {2}0.274399960C C P x C ===≈； 32133955216302 {3}0.0815199920 C C P x C ===≈； 4 11339 552429{4}0.010739984 C C P x C ===≈； 50 133955233 {5}0.000566640 C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为： 6.

概率论课后答案

习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .

工程数学应用概率统计习题九答案

习题9答案 9.1 假定某厂生产一种钢索，其断裂强度5(10)X Pa 服从正态分布2(,40),N μ从中抽取容量为9的样本，测得断裂强度值为 793, 782, 795, 802, 797, 775, 768, 798, 809 据此样本值能否认为这批钢索的平均断裂强度为580010Pa ?？（0.05α=）解：00:800H μμ== 10:H μμ≠ 选取检验统计量~(0,1)Z N =，对于0.05α=，得0H 的拒绝域2 1.96W z z α? ?=>=???? 计算得7918000.675 1.96403 z -==< 所以接受0H ，拒绝1H .即可以认为平均断裂强度为580010Pa ?. 9.3 某地区从1975年新生的女孩中随机抽取20个，测量体重，算得这20个女孩的平均体重为3160g ，样本标准差为300g ，而根据1975年以前的统计资料知，新生女孩的平均体重为3140g ，问1975年的新生女孩与以前的新生女孩比较，平均体重有无显著性的差异？假定新生女孩体重服从正态分布，给出0.05α=. 解：00:3140H μμ== 10:H μμ≠ 选取检验统计量~(1)T t n =-，对于0.05α=，得0H 的拒绝域2 (19) 2.0930W T t α? ?=>=???? 计算得 0.298 2.0930T ===<

故接受0H ，拒绝1H .即体重无明显差异. 9.5 现要求一种元件的使用寿命不得低于1000h ，今从一批这种元件中随机的抽取25件，测定寿命，算得寿命的平均值为950h ，已知该种元件的寿命2~(,),X N μσ已知100σ=，试在检验水平0.05α=的条件下，确定这批元件是否合格？解：00:1000H μμ≥= 10:H μμ< 选取检验统计量~(0,1)Z N =，对于0.05α=，得0H 的拒绝域{}1.645W Z z α=<-=- 计算得 9501000 2.5 1.6451005 Z -==-<- 所以拒绝0H ，接受1H . 即认为这批元件不合格. 9.8 某厂生产的铜丝，要求其拉断力的方差不超过216()kg ，今从某日生产的铜丝中随机的抽取9根，测得其拉断力为（单位：kg ） 289 , 286 , 285 , 284 , 286 , 285 , 286 , 298 , 292 设拉断力总体服从正态分布，问该日生产的铜丝的拉断力的方差是否合乎标准？（0.05α=）. 解： 2200:16H σσ≤= 2210:H σσ> 选取检验统计量2 2220(1)~(1)n S n χχσ-=- 对于0.05α=，得0H 的拒绝域{} 22(8)15.507W αχχ=>= 计算得 2 220(1)820.3610.1815.50716 n S χσ-?==≈< 所以接受0H ，拒绝1H ，即认为是合乎标准的。

概率论1至7章课后答案

一、习题详解： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

《应用概率统计》复习题及答案

工程硕士《应用概率统计》复习题考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（）（而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其

概率论与数理统计课后习题答案

习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2, ,6i =， 135{,,}A e e e =。（2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。解（1）ABC （2）AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ；（3）A B C 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（4）ABC ABC ABC ；（5）AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解（1）123A A A ；（2）1 23A A A ；（3） 123123123A A A A A A A A A ；（4） 12 13 23A A A A A A 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。解（1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =；

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