概率论第4-6章课后习题答案(总
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习题四
1.设随机变量X 的分布律为
X 1 0 1
2
P 1/8 1/2 1/8
1/4
求E （X 【解】(1)
11111
()(1)012;
82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2)
2222211115
()(1)012;
82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (3) 1
(23)2()3234
2E X E X +=+=⨯+=
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期
望、方差.
X 0 1 2 3 4 5
P 5905100
C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 411090
5100C C 0C = 5
105
100C 0C =
故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,=
5
20()[()]i i
i D X x E X P ==-∑
222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0
0.432.
=-⨯+-⨯+
+-⨯=
3.X 1 0
1
P p1 p2 p3
且已知E （【解】因1231P
P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P
P P P P =-++=-=……②, 2222
12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③
由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P
P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任
取1球为白球的概率是多少
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
0(){|}{}
N
k P A P A X k P X k ===∑全概率公式
00
1{}{}
1().
N
N
k k k P X k kP X k N
N n E X N
N =====
===∑∑
5.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-<≤.
,0,21,2,10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】
12
20
1
()()d d (2)d E X xf x x x x x x x
+∞
-∞
==+-⎰
⎰⎰
2
1
3
3201
1 1.33x x x ⎡⎤
⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1
2
2
2
3
20
1
7
()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞
-∞
==+-=
⎰
⎰⎰
故
221
()()[()].
6D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下
列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ 4X. 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=
(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=-
,()()4()
Y Z E Y E Z E X -因独立
1184568.=⨯-⨯=
7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X 2Y ），D （2X 3Y ）.
【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=
(2)
22
(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨
⎧<<<<.,
0,
0,10,其他x y x k 试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因
10
1
(,)d d d d 1,2x
f x y x y x k y k +∞+∞
-∞
-∞
==
=⎰⎰
⎰⎰故k=2
10
()(,)d d d 2d 0.25
x
E XY xyf x y x y x x y y +∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰
⎰⎰.
9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
fX （x ）=⎩⎨
⎧≤≤;,0,
10,2其他x x fY （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他
求E （XY ）.
【解】方法一：先求X 与Y 的均值
102
()2d ,
3E X x x x ==⎰ 5
(5)
500()e
d 5
e d e d 51 6.
z y y z
z E Y y y
z z z +∞
+∞
+∞
=-----=+=+=⎰
⎰⎰
令
由X 与Y 的独立性，得
2
()()()6 4.
3E XY E X E Y ==⨯=
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为
(5)2e ,01,5,
(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨
⎩其他 于是
1
1
(5)
2
(5)5
5
2
()2e
d d 2d
e d 6 4.
3y y E XY xy x x y x x
y y +∞+∞
----===⨯=⎰
⎰
⎰⎰
10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为
fX （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e fY （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,
0,
0,
44y y y e
求（1） E （X+Y ）;（2） E （2X 3Y2）. 【解】
22-200
()()d 2e d [e ]e d x x x
X X xf x x x x x x
+∞
+∞
+∞
--+∞-∞
==-⎰
⎰
⎰
20
1
e d .
2x x +∞-==⎰
40
1
()()d 4e dy .
4y Y E Y yf y y y +∞
+∞
--∞
==⎰
⎰
22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞
+∞
--∞===
=⎰
⎰
从而(1)113
()()().
244E X Y E X E Y +=+=+= (2)
22115
(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=
11.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.
0,0,
0,2
2x x cx x k e
求（1） 系数c;（2） E （X ）;（3） D （X ）.
【解】(1) 由22
20
()d e d 12k x c
f x x cx x k +∞
+∞
--∞
==
=⎰
⎰得2
2c k =.
(2)
22
2
()()d()2e
d k x E X xf x x x k x x
+∞
+∞
--∞
==⎰
⎰
22
220
π
2e d .2k x k x x k +∞
-==
⎰
(3)
22
222220
1()()d()2e .k
x
E X x f x x x k x k +∞
+∞--∞
==⎰
⎰
故
2
22221π4π
()()[()].4D X E X E X k k -=-=-=⎝⎭
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）.
【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
9{0}0.750,12P X === 39
{1}0.204,
1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219
{3}0.005.
1211109P X ==⨯⨯⨯=
X 0 1 2 3
P
由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
22222222
()075010.20420.04130.0050.413
()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=
13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为 f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.
0,0,0,414
x x x
e
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元
/41/4
11
{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰
1/4
{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=- 故
1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元). 14.设X1，X2，…，Xn 是相互独立的随机变量，且有E （Xi ）=μ，D （Xi ）=σ2，i=1，2，…，n ，记
∑==n i i S X n X 1
2
,1，S2=∑=--n i i X X n 12)(11.
（1） 验证)(X E =μ，)(X D =n 2
σ；
（2） 验证S2=)
(11122
∑=--n
i i X n X n ；
（3） 验证E （S2）=σ2.
【证】(1) 11111
11()()().
n n
n i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑ 22
111
11
1()()n n
n
i i i i
i i i D X D X D X X DX
n n
n ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立
22
21.n n n σσ==
(2) 因
2
2
2
2
21
1
1
1
()(2)2n
n
n
n
i
i
i i
i
i i i i X
X X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑
2
2
221
1
2n
n
i
i i i X nX X nX X nX
===+-=-∑∑
故22
21
1
()
1n
i i S X nX n ==--∑.
(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故
2222
()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2
(),()E X u D X n σ==
,故
2
2
2
()E X u n
σ=
+.
从而
222
22
1111()()[()()]
11n n
i i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑ 221
222221[()()]11().1n i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥
⎪-⎝⎭⎣⎦∑
15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X,Y)=1,
计算：Cov （3X 2Y+1，X+4Y 3）.
【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-
(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=22
1,1,π0,.
x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他
试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.
【解】设
22
{(,)|1}D x y x y =+≤. 221
1
()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞
+∞
-∞
-∞
+≤==
⎰
⎰
⎰⎰
2π1
001=cos d d 0.
πr r r θθ=⎰⎰ 同理E(Y)=0.
而
Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y
+∞
+∞
-∞
-∞
=--⎰
⎰
222π12001
11d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+
≤===⎰⎰⎰⎰,
由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关.
下面讨论独立性，当|x|≤1
时，
1()X f x y
当|y|≤1
时，
1()Y f y x .
显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠
故X 和Y 不是相互独立的.
17. 1 0 1
1 0 1 验证X 和Y 【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 1
1
1
由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的.
又331
{1}{1}{1,1}
888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=-
从而X 与Y 不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY.
【解】如图，
SD=1
2，故（X ，Y ）的概率密度为
题18图
2,(,),
(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨
⎩其他.
()(,)d d D
E X xf x y x y =⎰⎰110
1d 2d 3x
x
x y -==
⎰⎰
22()(,)d d D
E X x f x y x y =⎰⎰1
120
1d 2d 6x x x y -=
=
⎰
⎰
从而
2
22111
()()[()].
6318D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 同理
11
(),().
318E Y D Y == 而 110
1
()(,)d d 2d d d 2d .12x
D
D
E XY xyf x y x y xy x y x xy y -====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以
1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=
-⨯=-.
从而
11
36
2()()
111818
XY D X D Y ρ-
=
=
=-
⨯
19.设（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=1
ππsin(),0,0,
2
220.x y x y ,
⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他 求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY.
【解】
π/2
π/2
1π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x x
x y y +∞
+∞
-∞
-∞
==+=⎰
⎰
⎰
⎰
ππ
22
2
220
1ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰
从而
22
2
ππ
()()[()] 2.
162D X E X E X =-=+-
同理 2πππ
(),() 2.
4162E Y D Y ==+-
又
π/2
π/2
π
()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=
-⎰
⎰
故
2
ππππ4Cov(,)()()()1.
2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫
=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2
22222π4Cov(,)(π4)π8π164.
π
ππ8π32π8π32()()2162XY X Y D X D Y ρ-⎛⎫
- ⎪--+⎝⎭=
==-=-+-+-+-
20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡4111，试求Z1=X 2Y 和
Z2=2X Y 的相关系数.
【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而
12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯= 12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--
2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=
故
12
12125
13.
26
()()134Z Z D Z D Z ρ=
==⨯
21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V2），E （W2）存在，证明：
［E （VW ）］2≤E （V2）E （W2）. 这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy Schwarz ）不等式.
【证】令
2
(){[]},.g t E V tW t R =+∈ 显然
22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++
222
[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈ 可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0，
即
222
0[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=-
222
4{[()]()()}.E VW E V E W =- 故
222
[()]()()}.E VW E V E W ≤ 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.
【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的
等待时间X~E(λ),E(X)=1
λ=5.
依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.
对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1e λx,所以
F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1e y/5.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为
333
3
6C C {}C k k P Z k -==, 0,1,2,3.k =
Z=k 0 1 2 3 Pk
120 920 920 120
因此，
19913()0123.202020202E Z =⨯
+⨯+⨯+⨯=
(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有
3
0(){}{|}
k P A P Z k P A Z k ====∑
191921310.
20
2062062064=
⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系
T=⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,
1X X X 若若若
问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大 【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->
{10}20{1012}5{12}
(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ-- 故
2/2d ()125(12)(1)21(10)(1)0(()e ),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ-=-⨯---⨯-= 令
这里
得 2
2
(12)/2
(10)
/2
25e
21e u u ----=
两边取对数有
2211
ln 25(12)ln 21(10).
22u u --=--
解得 1251
11ln 11ln1.1910.9128
2212u =-=-≈(毫米)
由此可得，当u=毫米时，平均利润最大.
25.设随机变量X 的概率密度为
f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,
0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望. （2002研考）
【解】令
π1,,3(1,2,3,4)
π0,3i X Y i ⎧
>⎪⎪==⎨
⎪≤⎪⎩X .
则
4
1
~(4,)
i i Y Y B p ==∑.因为
ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11
{}cos d 3222x P X x ≤==
⎰,
所以111
(),(),()42,
242i i E Y D Y E Y ===⨯= 22
11
()41()()22D Y E Y EY =⨯⨯==-,
从而
222
()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+= 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E （T ）及方差D （T ）.
【解】由题意知：
55e ,0,()0,
0t i t f t t -⎧≥=⎨
<⎩. 因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).
当t<0时，fT(t)=0;
当t≥0时，利用卷积公式得
55()5120
()()()d 5e 5e d 25e t
x t x t
T f t f x f t x x x t +∞
-----∞
=-==⎰⎰
故得
525e ,0,()0,
0.t T t t f t t -⎧≥=⎨
<⎩ 由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=15,D(Ti)=1
25(i=1,2)
因此，有E(T)=E(T1+T2)=2
5.
又因T1,T2独立，所以D （T ）=D （T1+T2）=2
25.
27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X Y|的方差.
【解】设Z=X Y ，由于
22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 且X 和Y 相互独立，故Z~N （0，1）. 因
22
()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -
==-
22
()[()],E Z E Z =-
而
22/2
1()()1,(||)||
e d 2πz E Z D Z E Z z z +∞
--∞===⎰
2/20
22
e d π2πz z z +∞-==⎰， 所以
2
(||)1πD X Y -=-
.
28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0 故 1 2 111()().1(1)i i i i q p E X iq p p q p q q p ∞ ∞ -=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又 2 21 2 1 11 2 1 ()()i i i i i i E X i q p i i q p iq p ∞∞∞ ---=====-+∑∑∑ 223221 1()12112.(1)i i q pq q pq p q p pq q p q p p p ∞ =''⎛⎫''=+=+ ⎪-⎝⎭ +-=+==-∑ 所以 22222211()()[()].p p D X E X E X p p p --=-= -= 题29图 29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y 的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY)E(X)·E(Y)]. 由条件知X 和Y 的联合密度为 2,(,), (,)0,0.x y G f x y t ∈⎧=⎨ <⎩ {(,)|01,01,1}.G x y x y x y =≤≤≤≤+≥ 从而 1 1()(,)d 2d 2. X x f x f x y y y x +∞ -∞ -===⎰ ⎰ 因此 1 1 12 2 300031()()d 2d ,()2d , 22X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰ 22141 ()()[()]. 2918D X E X E X =-=-= 同理可得 31 (),(). 218E Y D Y == 11 15 ()2d d 2d d ,12 x G E XY xy x y x x y y -=== ⎰⎰⎰⎰ 541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-= -=- 于是 1121 ()().18183618D U D X Y =+= +-= 30.设随机变量U 在区间[2,2]上服从均匀分布，随机变量 X=1,1,1,1,U U -≤-⎧⎨>-⎩ Y=1,1,1, 1.U U -≤⎧⎨>⎩若 试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X+Y ）. 【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值(1,1),(1,1),(1,1)及(1,1)的概率. P{x=1,Y=1}=P{U≤1,U≤1} 112d d 1 {1}444x x P U ---∞-=≤-=== ⎰⎰ P{X=1,Y=1}=P{U≤ 1,U>1}=P{∅}=0, P{X=1,Y= 1}=P{U>1,U≤1} 11d 1 {11}44x P U -=-<≤== ⎰ 21 d 1 {1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰ . 故得X 与Y 的联合概率分布为 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110 424X Y ----⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) 因22 ()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X+Y 及（X+Y ）2的概率分布相应为 202~11 142 4X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢ ⎥⎣⎦, 2 4()~1122X Y ⎡⎤ ⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 从而11 ()(2)20, 44E X Y +=-⨯+⨯= 211 [()]042, 22E X Y +=⨯+⨯= 所以22 ()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f(x)=x -e 21，（ ∞ (1) 求E （X ）及D （X ）； （2） 求Cov(X,|X|),并问X 与|X|是否不相关 （3） 问X 与|X|是否相互独立，为什么 【解】(1) || 1()e d 0.2x E X x x +∞--∞ ==⎰ 2 || 201()(0)e d 0e d 2. 2x x D X x x x x +∞ +∞---∞ =-==⎰⎰ (2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-= || 1|| e d 0,2x x x x +∞ --∞ ==⎰ 所以X 与|X|互不相关. (3) 为判断|X|与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域∞ 0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂< 所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<< 故由 00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><< 得出X 与|X|不相互独立. 32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY= 1/2，设Z= 23Y X +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）； （2） 求X 与Z 的相关系数ρXZ ； （3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么 【解】(1) 1 (). 323X Y E Z E ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232X Y X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ =++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111 9162Cov(,), 9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而 1Cov(,)() ()346 2XY X Y D X D Y ρ⎛⎫ ==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 所以 1 ()146 3. 3D Z =+-⨯= (2) 因()() 11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛ ⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119 ()(6)3=0, 323D X =+⨯-=- 所以 0. ()()XZ D X D Z ρ= = (3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9) 3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也 相互独立. 33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ. 【解】由条件知X+Y=n ，则有D （X+Y ）=D （n ）=0. 再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=1 2, 从而有 ()()4n D X npq D Y == = 所以 0()()()2() ()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++ 2,24XY n n ρ= + 故XY ρ= 1. 34.设随机变量X 和Y 的联合概率分布为 1 0 1 1 试求X 和Y 的相关系数ρ. 【解】由已知知E(X)=,E(Y)=，而XY 的概率分布为 YX 1 0 1 P 所以E （XY ）=+= Cov(X,Y)=E(XY)E(X)·E(Y)=×=0 从而 XY ρ=0 35.对于任意两事件A 和B ，0 ρ=())()()()() ()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证： （1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB)P(A)·P(B)=0. 而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为 1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生; 1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨ ⎪⎩若发生若发生. 由条件知，X 和Y 都服从01分布，即 01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨ -⎩ 从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B), D(X)=P(A)·P(A ),D(Y)=P(B)·P(B ), Cov(X,Y)=P(AB)P(A)·P(B) 所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为 fX(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-., 0,20,4 1 ,01,21 其他x x 令Y=X2，F （x,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求： (1) Y 的概率密度fY(y)； Y X (2) Cov(X,Y); (3)1(,4) 2F -. 解： (1) Y 的分布函数为 2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤. 当y≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时， (){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤ =<+≤≤ = ， ()Y f y = ； 当1≤y<4时， 1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤ = ()Y f y = ； 当y≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为 1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他 (2) 210111 ()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞ =+=⎰ ⎰ ⎰--, 22 2 2210115 ()()()d d d ) 246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞ ∞ =+=⎰ ⎰⎰--, 2233310117 ()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞ ∞ =+=⎰ ⎰ ⎰--, 故 Cov(X,Y) = 2 ()()()3E XY E X E Y = ⋅-. (3) 2111 (,4){,4}{,4} 222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤ 11{,22}{2} 22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤- 11 {1}24P X =-≤≤-= . 37. 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10 4 1i i X X ==∑ 22222221111117 ()123456, 666666211111191 ()123456, 6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而 2 2291735()()[()]. 6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X1,X2,X3,X4独立同分布. 从而4 4 117 ()()()414, 2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑ 4 4 1 1 3535 ()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯ =∑∑ 所以 2 35/3 {1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥- ≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是.要使一批产品的合格率达到在76%与 84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件 【解】令1,,0,i i X ⎧⎨ ⎩若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i=1,2,…,n,且 X1，X2，…，Xn 独立同分布，p=P{Xi=1}=. 现要求n,使得 1 {0.760.84}0.9. n i i X P n =≤ ≤≥∑ 概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不 大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20 件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此 习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207ππx x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； 习题四 1.设随机变量X的分布律为 1 0 1 2 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012; 82842 E X=-?+?+?+?= (2) 22222 11115 ()(1)012; 82844 E X=-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()3234 2 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 故 ()0.58300.34010.07020.00730405 E X=?+?+?+?+?+? 0.501, = 5 2 ()[()] i i i D X x E X P = =- ∑ 222 (00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0 0.432. =-?+-?++-? = 3.设随机变量X的分布律为 1 0 1 P p1 p2 p3 且已知E （X ）=,E(X2)=,求P1，P2，P3. 【解】因1231 P P P ++=……①, 又 12331()(1)010.1 E X P P P P P =-++=-=……②, 2222 12313()(1)010.9 E X P P P P P =-++=+=……③ 由①②③联立解得 1230.4,0.1,0.5. P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{} N k P A P A X k P X k ===∑全概率公式 00 1 {}{} 1(). N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）= ?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】 1 2 2 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ ==+-? ?? 2 1 3 32011 1. 33x x x ?? ??=+-=???????? 12 22320 1 7 ()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 221 ()()[()]. 6D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的 概率论与数理统计课后答案第 第4章大数定律与中心极限定理 4.1设D(x)为退化分布: 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ 1 1 卄亠 (1){D(x n)}; (2){D(x )}；(3){D(x 0},其中n =1,2; n n 解：(1) (2)不是；(3)是。 4.2设分布函数F n(x)如下定义： ‘0x 兰-n l /、x + n F n (x)=」---- 一n c x 兰n 2n 1 x > n 问F(x) =lim F n(x)是分布函数吗？ n_)pC 解：不是。 4.3设分布函数列{ F n(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{F n(x)}在(」：，：：)上一致收敛于F(x)。 证：对任意的；.0,取M充分大，使有 1 —F(x) ：：；, —x _ M; F(x) ：：；,—x^ -M 对上述取定的M，因为F(x)在［-M,M］上一致连续，故可取它的k分点： 捲- -M :: X2 ：…X k4 ：：X k = M ，使有F(X j .J - F(xJ ：：；,1 一i ：：k ，再令x° - - ：：, X k 1 =：:，则有 F(X i J —FW) ：：：；,0 G ：：k 1 (1) 这时存在N，使得当n ? N时有 | F n(X i) —F(X i)|：：；,0 叮牛 1 (2) 成立，对任意的X ?(-：：,：：)，必存在某个i(0 _i 一k)，使得x?(X i,X i 1)，由(2) 知当n ?N时有 F n (X)— F n (X i i ) ：：： F(X j .J ； F n (X)_ F n (X i ) . F(X i )-； (4) 由( 1), (3), (4)可得 F n (x) -F(x)：：： F(X i 1)-F(x) , F(X i i )-F(X i ) ； ：：：2；, F n (x) - F (x) F (X i ) - F (x) - ； _ F (X i ) - F (X i .1)- ； -2 ；, 即有F n （x ）-F （x ） 名成立，结论得证 4.5设随机变量序列 「鳥同时依概率收敛于随机变量 ?与，证明这时必有 P （二）二1。 即对任意的名＞0有卩护」岸门=0成立，于是有 _n 从而P 「二）=1成立，结论得证 4.6设随机变量序列1分别依概率收敛于随机变量■与，证明: （1）…P 厂? ；（ 2） ； n 。 证: （1）因为住z —鳥一—王名v ［怡一鳥色上L R —X 王？ F 故 n n LV 2八 n 2丿」 （ （ z \ 0 兰卩^+耳一九一匕 H E ）兰 P 王一|+P .H —S 兰―|T 0, n T 旳 ＜ 2丿 I 2丿 即；■ n P 厂成立。 (3) 证：对任意的；0有 - （2）先证明这时必有n 2 2 对任给的；? 0「? 0取M 足够大 0 EP 徑一叫王g 芦P 卩 k J 」心＜ 概率论第四章习题解答 1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。 “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y （3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。 解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为 所 以 151115 ()234988884 E X =?+?+?+?=。 （2）因为Y 的取值为2,3，4，9 当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故 1 21 {2}3015 C P Y == =； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 112314673 ()234915215103015 E Y =? +?+?+?== 。 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12； 若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。 2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。） 解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率 因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件 数为Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010 {}(0.1)(0.9)k k k P Y k C -== （2）一次检验中不需要调整设备的概率 则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律 由于X 取值为0，1，2，3，4。0.2369p =，则(4,0.2369)X B : 于是 0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C === （4）求数学期望 概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征 习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验 4次，每次随机地取 10件产品进行检 验，如发现其中的次品数多于 1个，就去调整设备，以 X 表示一天中调整设备的次数，试 求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的) 解：设表示一次抽检的 10件产品的次品数为 1 —=. 从而 E ( X )=np =4X = 的数学期望不存在. 解: 3j —)不绝对收敛，由数学期望的定义知， X 的数学期望不存在. J 求 E(X), E(X 2), E(3X 2 5). 解 E (X )=(-2) +0 +2 习题4-3 设随机变量 X 的分布律为 P =P (调整设备)=P ( E >1)=1 — P ( E W 1)= 1 -[P ( E =0)+ P ( E =1)］查二项分布表 因此X 表示一天调整设备的次数时 4 P ( X =1)= XX =, P ( X =2)= 1 4 P ( X =3)= XX =, P ( X =4)= X ?巳4,. 4 XX = 2 4 XX = P ( X =0)= XX 习题4-2 设随机变量 X 的分布律为P X 2 3 j ， 1,2,,说明X 由于 .1 3j (1)j 勺一P(X j (1)j1-) -，而级数2 j 1 j ? 1 3j - 1)j1- P(X ( 1)j 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知 E(X2)=(-2) 2小2 小2 +0 +2 E(3 X2+5)=[3 2 2 2 (-2) +5] +[3 0 +5] +[3 2+5] 如利用数学期望的性质, 则有 E(3X2+5)=3E(X2)+5=3 +5= E(X) 2 E(X ) E(3X22 0.4 0 2 0.3 0.3 0.2 , 习题求（1）Y 2 2 (2) 0.4 2 2 5) 3E(X ) 5 4-4 设随机变量 2X; (2)Y e 2X 0.3 2.8, 13.4 X的概率密度为f（X） 的数学期望. (I)E( Y) E(2X) 2xf (x)dx 2( 0dx 2( xe 0 e x dx) 2e (II )E(Y) E(e 2X) 2x x . e e dx 3x dx 习题4-5 设（X,Y）的概率密度为f(x, y) 求 E(X), E(Y), E(XY), E(X2 Y2). 解各数学期望均可按照E[g（X, Y）] 在有限区域G:｛（x,y） |0 E(X) E(Y) 0 , xe 3x x 0, x 0 dx) 12y2, 0, y x 1, 其它 g(x, y) f (x, y)dxdy 计算。因f (x, y)仅 y x 1｝内不为零，故各数学期望均化为G上相应积分的计 算。 2 xf (x, y)dxdy 12xy dxdy G 1 x 2 4 0dx 0 12xy dy - 2 yf(x,y)dxdy 12yy dxdy G 1 x 3 0dx012y3d y 5 第四章 随机变量的数字特征 1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用ξ，η 解：因为E ξ=0⨯0.7+1⨯0.1+2⨯0.1+3⨯0.1=0.6; E η=0⨯0.5+1⨯0.3+2⨯0.2=0.7。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。 2. 连续型随机变量ξ的概率密度为 f x kx x k a a ()(,) =<<>⎧⎨ ⎩0100其它 又知E ξ=0.75，求k , a 之值 。 解：首先由密度函数性质知11,1,1)(=+∴ ==⎰⎰∞ +∞-∞ +∞ -a k dx kx dx x f a 即； 又 E ξ=0.75，即有 75.02,1,75.0)(1 =+∴==⎰⎰∞+∞ -+∞+∞-a k dx kx dx x xf a 即； 由上述两式可求得k =3, a =2。 3.求解：E ξ=(-1)⨯(1/8)+0⨯(1/4)+2⨯(3/8)+3⨯(1/4)=11/8; E ξ2=(-1)2⨯(1/8)+02⨯(1/4)+22⨯(3/8)+32⨯(1/4)=31/8; E (1-ξ)2=(1-(-1))2⨯(1/8)+(1-0)2⨯(1/4)+(1-2)2⨯(3/8)+(1-3)2⨯(1/4)=17/8 或者， E (1-ξ)2=E (1-2ξ+ξ2)=1- (E 2ξ)+E ξ2=17/8。 4. 若ξ的概率密度为 f x e x ()||= -12。求(1)E ξ，(2)E ξ2 。 解：(1) dx xe E x ⎰∞∞ --= | |21ξ中因e -|x |为偶函数，x 为奇函数，故x e -|x |为奇函数，且积分区 间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上 +∞<=Γ===⎰⎰⎰∞ +--∞ ∞ -∞ ∞-1)2(||21)(||0||dx xe dx e x dx x f x x x 故 E ξ=0。 (2)dx x f x E )(2 2 ⎰∞ ∞-=ξ2!2)3(2102||2==Γ===-∞+-∞∞-⎰⎰dx e x dx e x x x 。 5. 轮船横向摇摆的随机振幅ξ的概率密度为 f x Axe x x x ()() =>≤⎧⎨⎪⎩⎪>-2 2 2000 0σ σ 求(1)确定系数A ；(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少？ 解：(1)由密度函数性质知 221 ,1,1)(22σσ= ∴==⎰⎰∞ +∞--∞ +∞-A dx Axe dx x f x 即, 第四章数字待征 4・1 解：£(X) = Vx p ；=i E (门=2＞少产09 I •.甲机床生产的零件茨品数多于乙机床生产蹒件次融，又•.•两硼床的^的产量相同 ••.乙机床生产的豹的质量较好. 4・2解；X 的所有可能取值为：3, 4, 5 E(X) = Vxp. =3x0・l + 4x0.3 + 5x0.6 =4.5 P{X = 5}= fl 0.6 尸心3}= P{X = 4} = 00$T = 0001*OOS- 粹(000—畔1-了 +呻i = ooor z OOH 护(x)/J =(y)j L l = £Oxt = ^ = CY)y (LO £)&-/!«审伽里必坊叱也範 銮黔砲OK申站尋卄 d .[(d_DT】= 二 Y = — = ^-i)^Z= d^Z = Cr)j ……£ = [ = “¥«_【対={—汕4.10裁见课本后面231页参考答秦 心腿抿題1泊: 4.11解：设i酒为“，方差为(J：，则X~N( U P(A F>96)=1-P(X<96) = 1-P( ) 所以酸在60到84的抚率为 P(60 S X S 84) = P(竺丄 < 丄上 12 a 4151) =20(1)-1 -2x0.8413 ・1 =0.6826 4.!2E(X 2) = OxO4+l :xO.3 + 22xO2+3: xO 1 = 2 £(5X 2 + 4) = 4x0.4+(5xl 2 + 4)x0.3 + (5x22 + 4)x0 2+(5x3: + 4)x0.1 = 14 EQ ・)=£(2X) = F 2xe^dx = £( V) = H V |： + 不呦 4.13 H ： =2(-厂)|； = 2 4 15聲看课本后面231页答案 E(T) = E( 概率论与数理统计(第四版)习题答案全 概率论与数理统计习（第四版）题解答 第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算 一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”． （1）写出试验的样本点及样本空间； （2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合； （3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的 集合． 解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则 （1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB = （3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除” 二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点 数之和小于15”． （2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3 只，A —“最小号码为1”． 解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则 },,,{1843ωωω =Ω； },,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB = (2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则 },,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA = 三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生； (3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ； (2) ABC ； (3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃ (4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC 四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件： 习题四 1.设)2,5(~2N X ，求下列概率 （1）)52(≤≤X P ;(2))2(≤X P ;(3))3(>X P ;(4))93(≤≤-X P . 解：（1）)02 5 5.1()25525252( )52(≤-≤-=-≤-≤-=≤≤X P X P X P 4332.019332.05.01)5.1()0()5.1()0(=-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ= （2）)2 5 225252( )22()2(-≤-≤--=≤≤-=≤X P X P X P )5.3()5.1()5.12 5 5.3(-Φ--Φ=-≤-≤ -=X P 0666.09332.099977.0)5.1()5.3(=-=Φ-Φ= （3）8413.0)1()1(1)12 5 ()25325( )3(=Φ=-Φ-=->-=->-=>X P X P X P （4）)22 5 4()25925253()93(≤-≤-=-≤-≤--=≤≤-X P X P X P 9772.01999968.09772.01)4()2()4()2(=-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ= 2．已知某次测试的成绩),73(~2σN X ，95分以上的同学占2.28%.求 （1）介于80分与90分之间的同学的比例； （2）小于60分的同学的比例. 解：因0228.0%28.2)73 95( 1)73 9573 ()95(==-Φ-=-> -=>σ σ σ X P X P 即9772.0)22 ( =Φσ ，查表得 222 =σ ，则11=σ，故).11,73(~2N X （1）)11 17 1173117()1173901173117380( )9080(<-<=-<-<-=< 第4章习题答案 三、解答题 1•设随机变量X的分布律为 X -2 P. 求E(X)・£(X-). E(3X+5)・ 解：E{X}= D P广(-2)x0.4+0x03+2x03 = r.) X f(X2)= = 4x0-4+0x0.3 + 4x03 = r.) E{3X +5) =3f(X)+5 =3 X (一 0.2)+5 = 2.同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望. 解：记掷1颗骰子所掷出 的点数为X，则X的分布律为 P{X=Z} = l/6, , = 12…,6 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ,同时掷8颗骰子，相当于作了 8次独立重复的试验, f {X,) =]>6X(1+2+3+4+5+6)=2]^ f (X )=8 X 21/5=28 3.某图书馆的读者借阅甲种图书的槪率为血，借阅乙种图书的概率为P2,设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的. (1)某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望. (2)某天恰有门个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望. 解：⑴ 设借阅甲种图书的人数为X ,则所以f(X)=n“ ⑵ 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为匕则y-e(n,pb 记人={借甲种图书}，8={借乙种图书},则戸={>4 U 3} = P1+ P1 -P1P1 所以E{Y}=n(P1+ P2-P1 Pl] 4.将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓需、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X). 解J依题意，XTS，l/n),所以f {X)=l. 5.设X - P(2),且 P{X=5} = P{X=6H 求 E(X)・ 解：由题意知X〜P(/l),则X的分布律P {X =k}=, k=t2,... 60 解 E(Y) E(2X) 2E(X) 2 xe x dx 2, E(Z) E(e 2X ) e 2x e x dx 1. 3 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光 , 电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和 第 55分钟从底层起行 . 假设一游客在早八点的第 X 分钟到达底层侯梯处 , 且 X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布 . 求该游客等候电梯时间的数学期望 . 解已知X 在[0,60] 上服从均匀分布 , 其概率密度为 1 X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 E(X)；E(2－3 X); E(X 2 )； 2 E(3X 2 5). 解 由定义和数学期望的性质知 E(X) ( 2) 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2; E(2 3X) 2 3E(X ) 2 3 (0 2) 2.6; E(X 2) ( 2)2 0.4 0 2 0.3 22 0 3 2.8 ; E(3X 2 5) 3E(X 2) 5 3 2.8 5 13.4. 2. 设随机变量 X 的概率密度为 x e, x 0, 1. 设随机变量 X 的分布律 为 习题 4-1 f (x) 2X 求Y 2X 和Z e 2X 的数学期望 . 0, x ≤0. 0, 其它. 记Y 为游客等候电梯的时间 ,则 5 X, 0 X ≤5, 25 X, 5 X ≤25, Y g(X) 55 X, 25 X ≤55, 65 X, 55 X ≤60. 16 0 因此, E(Y) E[g(X)] g(x) f (x)dx g(x)dx f (x) 60 , 0≤x≤60, 60 (A) 若 X ~ B(n, p),则 E(X) np. c a ， Y c, X 1, X 0. 于是 E(Y) (c a) P{ X 1} c P{X 0} ap c . 据题意有 ap c a 10% , 因此应要求顾客角保费 c (0.1 p)a . 习题 4-2 1. 选择题 (1) 已知 E(X ) 1,D(X) 3 则 E[3(X 2 2)2] ( ). (A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36 解 E[3(X 2)2 ] 3E(X 2 4X 4) 3[E(X 2) 4E(X) 4] 3{D(X) [E(X)]2 4E(X) 4} 3 (3 1 4 4) 36 . 可见，应选 (D). (2) 设 X ~ B(n, p),E(X ) 6,D(X) 3.6 , 则有 ( ). (A) n 10, p 0.6 . (B) n 20, p 0.3 (C) n 15, p 0.4 . (D) n 12, p 0.5 解 因为 X ~ B(n, p), 所以 E(X)=np,D(X)=np(1-p), 得到 np=6, np(1- p)=3 n=15 , p=0.4 . 可见，应选 (C). (3) 设 X 与 Y 相互独立，且都 服从 2 N( , 2 ) , 则有 ( ). (A) E(X Y) E(X) E(Y). (B) E(X Y) 2 . (C) D(X Y) D(X) D(Y). (D) D(X Y) 2 2 . 解 注意到 E(X Y) E(X) E(Y) 0.由于 X 与Y 相互独立 ,所以 D(X Y) D(X) D(Y) 2 2 2 . 选 (D). (4) 在下列结论中 , 错误的是 ( ). 6 . 解之 , 1 5 25 (5 x)dx (25 x)dx 60 0 5 =11.67(分钟 ).. 14. 某保险公司规定 , 如果在一年内顾客的投保事件 A 发生 , 该公司就赔偿顾客 a 元. 若一年内事件 A 发生的概率为 p, 为使该公司受益的期望值等于 a 的 10％, 该公司应该要求 顾客交多少保险费？ 解 设保险公司要求顾客交保费 55 (55 x)dx 60 (65 x)dx 55 c 元. 1， 0, 则 P{X 1} p, P{X 0} p . 引入随机变量 事件A 发生, 事件A 不发生. 保险公司 的受益值 概率论与数理统计课后答案第4章 第4章 大数定律与中心极限定理 4.1 设)(x D 为退化分布： ⎩ ⎨ ⎧≤>=000 1)(x x x D 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ ,2,1},01 ({)3()};1({)2()};({)1(=-++n n x D n x D n x D 其中 解：（1）（2）不是；（3）是。 4.2 设分布函数)(x F n 如下定义： ⎪⎩⎪⎨ ⎧>≤<-+-≤=n x n x n n n x n x x F n 1 20 )( 问)(lim )(x F x F n n ∞ →=是分布函数吗？ 解：不是。 4.3设分布函数列)}({x F n 弱收敛于分布函数)(x F ，且)(x F 为连续函数，则 )}({x F n 在),(∞-∞上一致收敛于)(x F 。 证：对任意的0>ε，取M 充分大，使有 M x x F M x x F -≤∀<≥∀<-,)(;,)(1εε 对上述取定的M ，因为)(x F 在],[M M -上一致连续，故可取它的k 分点： M x x x M x k k =<<<<-=-121 ，使有k i x F x F i i <≤<-+1,)()(1ε，再令∞=-∞=+10,k x x ，则有 10,)()(1+<≤<-+k i x F x F i i ε （1） 这时存在N ，使得当N n >时有 1 0,|)()(|+≤≤<-k i x F x F i i n ε （2） 成立，对任意的),(∞-∞∈x ，必存在某个)0(k i i ≤≤，使得),(1+∈i i x x x ，由（2）知当N n >时有 习题4.1 1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望． 解 可得X 的概率分布为 012 3~7 77110 30120120X ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 于是X 的数学期望为 7771()01231030120120 453 1208E X =⨯ +⨯+⨯+⨯== 2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望． 解 可得X 的概率分布为 12~1 11n X n n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是X 的数学期望为 111 ()121(1)1 22 E X n n n n n n n n =⨯+⨯++⨯ ++== 3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。 解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.5E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的 2 1 ，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。 解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因 1 {1}{2}2 P X P X == = 即 1 21 41! 22! e e λ λλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为 ()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。 5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2 {()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为 17 ()42 E X += = 于是 22{()}{4}1 {22}6 P X E X P X P X <=<=<-<<= 6．设连续型随机变量X 的概率密度为 01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它 又知()0.75E X =,求,a b 的值 解 由密度函数的性质可得 ()1p x dx +∞ -∞ =⎰ 即 1 1 11 b a ax dx b =⇒=+⎰ 又由()0.75E X =，可得 1 ()0.75b xp x dx x ax dx +∞ -∞ =⋅=⎰ ⎰ 即 0.752 a b =+ 求解概率论第4章习题参考解答
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