概率论课后习题答案

习题1解答

1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：

（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为

{|0,1,2,

,100}i

i n n

Ω==.

（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为

{10|0,1,2,}k k Ω=+=，

或写成{10,11,12,

}.Ω=

（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为

{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.

（3）取直角坐标系，则有2

2

{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有

{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.

2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.

解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；

(2)ABC ABC ABC ；

(3)A

B C 或ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC ；

(4)ABC ABC

ABC .

(5)AB AC BC 或ABC ABC ABC

ABC ；

(6)ABC

ABC

ABC

ABC .

3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：

(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .

解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；

（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}A

B x x x =≤<<≤或.

4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为2

2,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以

2241 1.p p p ++-=

解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以

3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；

(3)()P AB .

解：(1)由()()()()P A

B P A P B P AB =+-得

()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.

(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P A

B =-=-=-=

6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P A

B P A P B P AB =-=-=--+得

()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-

7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，

()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .

解：

()

()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.

P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=

8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为3

4个.

以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有3

4A 种方法，故

3

4136

().416

A P A ==

2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，

放法总数为211

343C C C 种，故

21134323

9

().416

C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有1

4C 种放法，故

1

4331

().416

C P A ==

9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?

解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为

498748798741

1098790

P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=

=

⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.

解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .

(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .

(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217

551010

=

+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .

(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.

解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所

以 23

342/1/2P A A =⨯=.

12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.

解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为7

9.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各

有一位乘客离开电梯”.所以包含79

A 个样本点，于是77

9

9

)(A A P =.

13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,

求他(她)等待时间短于10分钟的概率.

解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=

.6

1

= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率．

解:以,X Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 812X ≤≤ ，812Y ≤≤；若以(,)X Y 表示平面上的点的坐标，则样本空间可以用这平面上的边长为4的一个正方形

{(,):812,812}X Y X Y Ω=≤≤≤≤表示，二人能会面的充要条件是1

||2

X Y -≤，即事件1(,):||,812,8122A X Y X Y X Y ⎧⎫

=-≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭

．所以所求的概率为：

()211221624()15()()1664

A P A μμ⎡⎤--⎣⎦===Ω

15. 现有两种报警系统A 和B ，每种系统单独使用时，系统A 有效的概率0.92，系统B 的有效概率为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求

(1) 这两个系统至少有一个有效的概率; (2) 在B 失灵条件下，A 有效的概率.

解：设A 表示“系统A 有效”，B 表示“系统B 有效”，则

()0.92,()0.93,(|)0.85.P A P B P B A ===

由()()

(|)0.851()

P B P AB P B A P A -==-知()0.862P AB =.

(1)()()()()0.920.930.8620.988.P A

B P A P B P AB =+-=+-=

(2)()()0.920.862

(|)0.8285.1()10.93

P A P AB P A B P B --=

==--

16. 已知事件A 发生的概率()0.5P A =，B 发生的概率()0.6P B =，以及条件概率

(|)P B A =0.8，求,A B 和事件的概率.

解：由乘法公式得

()()(|)0.50.80.4.P AB P A P B A ==⨯=

所以

()

()()()0.50.60.40.7.

P A B P A P B P AB =+-=+-= 17. 一批零件共100个，其中次品有10个．每次从中任取1个零件，取3次，取出后不放回．求第3次才取得合格品的概率． 解：设i A 表示事件“第i 次取得合格品”，则

123121312109909

()()(|)(|)0.00835.10099981078

P A A A P A P A A P A A A ==

⨯⨯=≈ 18. 有两个袋子，每个袋子都装有a 只黑球，b 只白球，从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中取出一球，求取得黑球的概率是多少？

解：设从第一个袋子摸出黑球A ，从第二个袋中摸出黑球为B ，则

P A a a b ()=

+，P A b a b

()=+，P B A a a b (|)=+++11，P B A a a b (|)=++1，

由全概公式知:

P B P B A P A P B A P A a

a b

()(|)()(|)()=+=

+. 19. 一个机床有

1

3

的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ．加工零件A 时，停机的概率是0.3，加工零件B 时，停机的概率时0.4，求这个机床停机的概率．

解：设C 表示“机床停机”，A 表示“加工零件A ”，B 表示“加工零件B ”，则

1211()()(|)()(|)0.30.40.367.3330

P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯==

20. 10个考签中有4个难签，3个人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后.证明3人抽到难签的概率相同.

证明：设甲、乙、丙分别抽到难签的事件为,,A B C ，则，显然4

()10

P A =

. 43644()()(|)()(|).10910910

P B P A P B A P A P B A =+=

⨯+⨯=

()

()(|)()(|)()(|)()(|)43264346365410981098109810984.10P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++=

⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

21. 两部机器制造大量的同一种机器零件，根据长期资料总结，甲、乙机器制造出的零件废品率分别是0.01和0.02．现有同一机器制造的一批零件，估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍，现从这批零件中任意抽取一件，经检查是废品．试由此结果计算这批零件是由甲生产的概率．

解：设A 表示“零件由甲生产”，B 表示“零件是次品”，则

12

(),(),(|)0.01,(|)0.02.33

P A P A P B A P B A ====

由贝叶斯公式有

1

0.01

()(|)3(|)0.2.12()(|)()(|)0.010.02

33

P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯

22. 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4．如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是41、31、12

1

，而乘飞机则不会迟到．结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

解： 用1A 表示“朋友乘火车来”，2A 表示“朋友乘轮船来”，3A 表示“朋友乘汽车来”，

4A 表示“朋友乘飞机来”，B 表示“朋友迟到了”.则

2

1)

|()()

|()()|(4

1

111=

=

∑=k k

k

A B P A P A B P A P B A P

23. 加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出现废品的概率分别是0.9、0.95、0.8．若假定各工序是否出废品相互独立，求经过三道工序而不出现废品的概率． 解：设,1,2,3i A i =分别表示第一、二、三道工序不出现废品，则由独立性得

123123()()()()0.90.950.80.684.P A A A P A P A P A ==⨯⨯=

24. 三个人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.2、1/3、0.25．求密码被破译的概率．

解：设,1,2,3i A i =分别表示第一、二、三个人破译出密码，则 由独立性得

1231

2

3123123()1()

1()1()()()2

10.80.75

3

0.6.

P A A A P A A A P A A A P A P A P A =-=-=-=-⨯⨯=

25. 对同一目标，3名射手独立射击的命中率是0.4、0.5和0.7，求三人同时向目标各射一发子弹而没有一发中靶的概率?

解：设,1,2,3i A i =分别表示第一、二、三个射手击中目标，则 由独立性得

123123)()()()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A A A P A P A P A ==---=（.

26. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6， 若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.

解：设,1,2,3i C i =依次表示甲、乙、丙击中飞机，,1,2,3i A i =分别表示有i 人击中飞机，B 表示飞机被击落，则

1123123123()()()()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.060.090.210.36.

P A P C C C P C C C P C C C =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=

2123123123()()()()0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.060.140.210.41.

P A P C C C P C C C P C C C =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= 3123()()0.40.50.70.14.

P A P C C C ==⨯⨯=

由全概率公式，得

112233()()(|)()(|)()(|)0.360.20.410.60.1410.458.

P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=

27. 证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A

B 、AB 及A B -都与

C 独立．

证明: (1))()()())((ABC P BC P AC P C B A P -+=⋃

=)()(C P B A P ⋃.

(2))()()()()()C P AB P C P B P A P PABC ==.

(3))())(())((ABC AC P C AB A P C B A P -=-=-=)()(C P B A P -.

28. 15个乒乓球中有9个新球，6个旧球，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球全是新球的概率．

解：设i A =第一次取出i 个新球，0,1,2,3i =，B 表示第二次取出3个新球，则

33213123333

6969869796

333333330

1515151515151515()()(|)0.089i i i C C C C C C C C C C P B P A P B A C C C C C C C C ===⋅+⋅+⋅+⋅=∑.

29. 要验收一批100件的物品，从中随机地取出3件来测试，设3件物品的测试是相互独立的，如果3件中有一件不合格，就拒绝接收该批物品.设一件不合格的物品经测试查出的概率为0.95，而一件合格品经测试误认为不合格的概率为0.01，如果这100件物品中有4件是不合格的，问这批物品被接收的概率是多少？

解： 设i A =抽到的3件物品中有i 件不合格品，0,1,2,3i =.B =物品被接收，则

3

3211203

32112

03969649649643333100100100100

()()(|)

0.990.990.050.990.050.990.050.8629.

i i i P B P A P B A C C C C C C C C C C C ===⋅+⋅+⋅+⋅=∑ 30. 设下图的两个系统KL 和KR 中各元件通达与否相互独立，且每个元件通达的概率均为p ，分别求系统KL 和KR 通达的概率.

解： 设''

,A B 分别表示系统KL 与KR 通达, (1)解法一

'3334556323(){{[)]()}}()

()()()()()()()(32).

P A P A B C D E F P ACF BCF DEF P ACF P BCF P DEF P ABCF P ACDEF P BCDEF P A BCDEF p p p p p p p p p p p ===++---+-=++---+=--+

解法二：

'34323(){{[)]()}}

(){[()]()[()()][()()()()()()()()][()()()()][()()()](32).

P A P A B C D E F P F P A B C P DE P A B C D E p P A B P C P D P E P A B P C P D P E p P A P B P A P B p p p P A P B P AB p p p p ==+-=+-=+-+-+-=--+

(2)

'22422223()[()()()]

(1)()()()(2252).

P B P C AD

BE A B C D E p p p p p p p p p p p p p p p =+=-+-++-+-=+-+

习题二参考答案

1.随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3，4，5，6，分布律为：

()()()()()()()111"1,1""1,2""1,3""1,4""1,5""1,6""2,1""3,1""4,1""5,1""6,1"36

92"2,2""2,3""2,4""2,5""2,6""3,2""4,2""5,2""6,2"36

73"3,3""3,4""3,5""3,6""4,3""5,3""6,3"36

4"4,4P X P P X P P X P P X P ==⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃===⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃===⋃⋃⋃⋃⋃⋃===()()()()()5""4,5""4,6""5,4""6,4"36

35"5,5""5,6""6,5"36

16"6,6"36

P X P P X P ⋃⋃⋃⋃===⋃⋃====

2.(1)

31；(2)4

1. ()()()()()2

224602

241

112211112,4,6, (i)

1222312

111

3131121224

n n P X P X P X P X P X →⎡⎤⎛⎫-⎢⎥

⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==++==-≥=-<=-=-==--=

3. 随机变量X 的分布律为：

()()()31221

132********

15151522

1210,1,2353535

C C C C C P X P X P X C C C =========

因为}{)(x X P x F ≤=，那么

当0x <时，0)()()(==≤=φP x X P x F ， 当01x ≤<时，22()()(0)35

F x P X x P X =≤===, 当21<≤x 时，

221234()()(0)(1)353535

F x P X x P X P X =≤==+==

+=, 当2≥x 时，

()()

22121

(0)(1)(2)1

353535F x P X x P X P X P X =≤==+=+==++=. 综合上述情况得

随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.21

;21 3534 ;10 35

22

;0

0)(x x x x x F

4.1-e .

()11

1

1

1

1lim 1111

k k

k k e e e p

a a e e

a e ---∞

--→∞

=-=⋅

=⋅=--∴=-∑

5. （1）0.0729；（2）0.00856；（3）0.99954；（4）0.40951. 设X 表示设备被使用的个数 则()~5,0.1X b

（1）{}()

()

2

3

2520.10.90.0729P X C ===

（2）

{}{}{}{}

()()()()()()3

2

4

1

5

3455553345 =0.10.90.10.90.10.9 =0.00856

P X P X P X P X C C C ≥==+=+=++

（3）{}{}{}()

()

()4

1

5

4

5

553145=10.10.90.1=0.99954P X P X P X C C ≤=-=-=-+

（4）{}{}()5

5110=10.9=0.40951P X P X C ≥=-=-

6. （1）0.321；（2）0.243.

设X 为甲投篮中的次数，Y 为乙投篮中的次数，则 （1）

()()()()()

()()

33

33330

0.60.40.70.30.32076k k

k k

k k k k P X Y P X k P Y k C C --========∑∑

（2）

()()()

()()

()()

()()

()()()()()()()()3

13

10

3

33331

1232131210201

33333 0.60.40.70.3 0.60.40.30.60.40.30.70.3 k h k

k h h k

k k

h h

k

h k h P X Y P X k P X k P X k P Y h C C C C C C C =<==<--==>==<====⎡⎤=++⎣⎦+∑∑∑∑∑()()()()()()331221301233330.60.30.70.30.70.3 0.243

C C C C ⎡⎤++⎣⎦=

7.(1)

70

1；(2) 猜对3次的概率约为4

103-⨯，这个概率很小，根据实际推断原理，可以认为他确有区分能力. （1）所求概率为：

4

81170

C = （2）令试验10次中成功次数为X ，则1~10,

70X b ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

{}3

7

3410

16733107070P X C -⎛⎫⎛⎫

==≈⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

猜对3次的概率约为4

103-⨯，这个概率很小，根据实际推断原理，可以认为他确有区分能力. 8. (1) 2

3-e

；(2) 2

51-

-e

.

设X 服从泊松分布，其分布率为：

2

2,2!k

t

t e t P X k k λ-⎛⎫ ⎪⎧

⎫⎝⎭

===⎨⎬⎩

⎭ （1）0

3

2

323320,20!e P X e λ--⎛⎫ ⎪⎧⎫⎝⎭====⎨⎬⎩

⎭

（2）0

5

2

5255521,10,11220!e P X P X e λλ--⎛⎫ ⎪⎧⎫⎧⎫⎝⎭≥==-===-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩

⎭

9.解：此题为P=0.005的n 重伯努利试验，设X 为同时发生故障的台数，则

（1）设需要配备x 个维修工人，设备发生故障不能及时排除的事件是}{x X >，即 ，

而由于n=200，P=0.005，所以可以用泊松分布近似替代二项分析，λ=np=1。

查泊松分布表得51=+x ，求得4=x ，即配备4人即可。

（2）

因维修工人只有一个，设备发生故障不能及时排除的事件是}2{≥X ，则有

k

k k

C k X P B X --==200200)005.01()005.0(}{ ),005.0,200(~01.0}{≤>x X P ∑+=--=

>200

1

200200

)005.01()005.0(}{ x k k

k

k

C x X P 01

.0!}{1

1

≤=>∑∞

+=-x k k e x X P k

k k C k X P B X --==4040)005.01()005.0(}{ ),005.0,40(~0175

.02.11 !

1)2.0(!0)2.0(1 995.0005.040)995.0(1 }1{}0{1}2{1}2{2.02

.02.003940≈-=-

-≈⨯⨯--==-=-=<-=≥---e e e X P X P X P X P

（3）由于是2人共同维修100台设备，这里n=100，P=0.005，λ=np=0.5，则有

设备发生故障不能及时排除的事件是}3{≥X ，所以 10. 0.2.

()

()~20,2220.520.120.120.52220

x u P x -≤≤=

-

11. (1) 69315.02ln ≈，1，22314.025.1ln ≈；(2) ⎩⎨⎧<<=-其它当,

01,)(1e

x x x f .

12. (1)1,1-==b a ；

（2）⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,

00,)(2

2

x x xe x f x

；

(3)

2

2

2

2

2ln 42ln 2ln 4ln 222ln 4ln 21111111424

P X F F

e

e e e e e e e -

-

----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪<-=--- ⎪

⎪⎝

⎭⎝

⎭=-+=-+=-+=-+=

.

13. (1)⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤-+

<=2

,121,42

21,0)(x x x x x x F ； 当1x <时，0)(=x f ，所以，00)(==

⎰

∞

-dt x F x

；

当12x ≤<时，2

()2(11/)f x x =-，所以，

k

k k

C k X P B X --==100100)005.01()005.0(}{ ),005.0,100(~0144

.08

13

1 !2)5.0(!1)5.0(!0)5.0(1 }2{}1{}0{1}3{1}3{5.05

.025.015.00≈-=-

--≈=-=-=-=<-=≥----e e e e X P X P X P X P X P

121

1

()02(11/)22/22/4x

x F x dt t dt t t

x x -∞

=+-=+=+-⎰⎰．

当1x ≥时，0)(=x f ，所以1

2221

1

()02(11/)22/1F x dt t dt t t

-∞

=+-=+=⎰

⎰

综合上述得：

⎪⎩⎪⎨⎧

≥<≤-+

<=2

,121,42

21,0)(x x x x x x F ． (2)⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=2121,12210,20

,0)(2

2

x x x x x x x x F 当0x <时，0)(=x f ，所以，00)(==

⎰

∞

-dt x F x

；

当01x ≤<时，()f x x =，所以，2

2

0()02

2

x

x

t x F x dt tdt -∞=+=

=⎰⎰． 当12x ≤<时，()=2f x x -，所以，

()2

20

1

1

1

012

2

()0+222

21122+2122

22x

x

t t F x dt tdt t dt t x x

x x -∞⎛⎫=+-=

+- ⎪

⎝

⎭⎛⎫⎛⎫=

+---=-- ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭⎰⎰⎰．

当2x ≥时，0)(=x f ，所以，

()2

20

1

2

1

2

1

012

()0+2+022

21212221

22

2t t F x dt tdt t dt dt t -∞-∞⎛⎫=+-=

+- ⎪

⎝

⎭⎛⎫⎛⎫

=

+⨯---= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰

综合上述得：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

≥<≤-+-<≤<=2121,12210,20,0)(22

x x x x x x x x F 14.⎩⎨⎧≥-=-其他,

00

,1)(241t e t F t T ；241100

24150}10050{---=<

当0t <时，()0T f t =，所以，()00t

T F t dx -∞

=

=⎰

；

241241001()=()0|1241

t

t

x x t t T T F t f x dx dx e dx e e ----∞

-∞

=+=-=-⎰

⎰⎰

()()50100241

241

{50100}10050T T P T F F e

e

-

-

<<=-=-

15.0.9547.

当1000x ≤时，0)(=x f ，所以，00)(==

⎰

∞

-dt x F x

；

当1000x >时，2

1000

()f x x =

，所以 10001000

2100010001000

1000

()01x x F x dt dt t t

x

-∞=+=-

=-

⎰⎰， 器件的寿命X 大于1500小时的概率：

()()10002

1500115001115003

p P X F ⎛⎫=>=-=--= ⎪⎝⎭

设k 为器件的寿命X 大于1500小时的个数，至少有2只寿命大于1500小时的概率 ()()()0

5

1

4

015

521212101110.00410.04120.95473333P k P k P k C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--≈--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

16.当0x ≤时，0)(=x f ，所以，00)(==⎰

∞

-dt x F x

；

当0x >时，/5

1()5

x f x e -=

，所以 0/5

/5/50

1()015

x

t t x x F x dt e dt e e ----∞

=+=-=-⎰⎰

，

分布函数：

/5

10

()0

x e x F x -⎧->=⎨

⎩其他

某顾客离开的概率：

()()()10/521011011p P X F e e --=≥=-=--=

以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，则

),5(~2-e B Y ，即k k k e e C k Y P ----==5225)1(}{，5,4,3,2,1,0=k ；

{}(){}(){}()(){}()(){}()(){}()5

24

12

252

3

2

2253

2

3225

4

422

5

5

25

010.4833

110.3782

210.1184

310.0185410.00155 4.5410

P Y e P Y C e e P Y C e

e P Y C e e P Y C e e P Y e -----------==-≈==-≈==-≈==-≈==-≈==≈⨯

{1}1{0}0.5167P Y P Y ≥=-=≈

17. (1)0.5328，0.9996，0.6977，0.5；(2) c =3；(3) 42.0≤d . (1)

()()()2-3353532-3{25}=P 222210.50.841310.69150.5328

x P X x ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫

<≤<<=Φ-Φ⎨⎬ ⎪ ⎪

⎩⎭⎝⎭⎝⎭=Φ-Φ-=--=

()()()-4-33103-4310-3{-410}=P 22223.5 3.50.999810.99980.9996

x P X x ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫

<≤<<=Φ-Φ⎨⎬ ⎪ ⎪

⎩⎭⎝⎭⎝⎭=Φ-Φ-=--=

{}()()()()323323{2}=P 2,2=P P 222.510.510.99380.69150.6977x x P X X X x x -----⎧⎫⎧⎫

><-><+>⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩

⎭=Φ-+-Φ-=--= ()333{3}=P 1010.50.52x P X x

--⎧⎫

>>=-Φ=-=⎨⎬⎩⎭

(2){}{}

333322223312230.523

023

P X c P X c x c x c P P c c c c c >=≤----⎧⎫⎧⎫

>=≤⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩⎭--⎛⎫⎛⎫-Φ=Φ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭-⎛⎫

Φ= ⎪⎝⎭-== （3）因为 9.0}{≥>d X P ，则

9.0)2

3

(

1)(1}{1}{≥-Φ-=-=≤-=>d d F d X P d X P

即 1.023≤⎪⎭⎫

⎝⎛-Φd ，可知023<-d ，那么 1.023123≤⎪⎭

⎫

⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φd d 所以查表得，42.0≤d 。 18.应允许σ最大为31.25. 根据题意，

()160

~0,1X N σ

-，所以有，

()20016012016040120200210.80P X σσσ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

<<=Φ-Φ=Φ-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

即()400.9 1.28σ⎛⎫

Φ≥=Φ

⎪⎝⎭

，从而40 1.28,31.25σσ≥≤ 故允许σ最大为31.25. 19.129.8. 根据题意，

()110

~0,112

X N -，所以有， 110{}10.0512x P X x -⎛⎫

>=-Φ≤ ⎪⎝⎭

即()1100.95 1.6512x -⎛⎫Φ≥=Φ

⎪

⎝⎭

，从而110 1.65,129.812x x -≥≥ 20. 0.682.

题意，考生外语成绩

2~(,),X N μσ

其中72μ=，且{96}0.023P X >=

于是：{96}1{96}10.0230.977P X P X ≤=->=-= 又

969672

24

{96}()(

)(

)P X ΦΦΦμ

σ

σ

σ

--≤===

24

(

)0.977Φσ

∴=

查表知：(2)0.977Φ= 由()Φx 的单调增加性，得24

2,12σσ

==

因此，2

~(72,12)X N 故

84726072

{6084}(

)()(1)(1)(1)[1(1)]2(1)11212

P X ΦΦΦΦΦΦΦ--≤≤=-==--=--=-查表得(1)0.841Φ=，

故{6084}20.84110.682P X ≤≤=⨯-= 21.184厘米. 设车门的最低高度h 根据题意，

()170

~0,16

X N -，所以有， ()17010.016h P X h -⎛⎫

>=-Φ≤ ⎪⎝⎭

即()1700.99 2.336h -⎛⎫Φ≥=Φ

⎪

⎝⎭

，从而170 2.33,1846h h -≥≥ 故车门的最低高度h 为184. 22.(1)

处理后立即得到的分布率

(2)

处理后立即得到的分布率

23.(1)

()()111(1)0.3P X F x F x =-=-≤<-<-=

()()112(11)0.80.30.5P X F x F x ==≤<--≤<=-=

()()()221210.80.2P X F x F x ==≥-≤<=-=

处理后立即得到的分布率

24.(1) X 的密度函数为 )( 21)(2

2+∞<<-∞π

=

-x e

x f x X ，12-=X Y 的分布函数为

12

1

()()(21)()(), 2

y Y X y F y P Y y P X y P X

f t dt y +-∞

+=≤=-≤=≤

=-∞<<+∞

⎰

0 , 0)(<=y y F Y

所以12-=X Y 的密度函数为 2

1(

)2

21().2

y Y f y y +-=

-∞<<+∞， 故 2(1)/8()y Y f y -+=

(2) X 的密度函数为 )( 21)(2

2+∞<<-∞π

=

-

x e

x f x X ， X Y e -=的分布函数为

-ln ()()()(ln )(), 0X

Y X y

F y P Y y P

e

y P X y f t dt y +∞

-=≤=≤=≥-=

≥⎰

0 , 0)(<=y y F Y

所以 X

Y e -=的密度函数为 2

()21

., 0()0, 0lny Y y f y y

y --⎧>=≤⎩

概率论第4-6章课后习题答案

概率论第4-6章课后习题答案(总 29页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--

习题四 1.设随机变量X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E （X 【解】(1) 11111 ()(1)012; 82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115 ()(1)012; 82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (3) 1 (23)2()3234 2E X E X +=+=⨯+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期 望、方差. X 0 1 2 3 4 5 P 5905100 C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 411090 5100C C 0C = 5 105 100C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 5 20()[()]i i i D X x E X P ==-∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0 0.432. =-⨯+-⨯+ +-⨯= 3.X 1 0 1 P p1 p2 p3 且已知E （【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③

概率论课后习题答案

习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

概率论第一章课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得

（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5” ． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．

概率论课后习题答案

习题1解答 1. 写出下列随机试验的样本空间Ω： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为 {|0,1,2, ,100}i i n n Ω==. （2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=， 或写成{10,11,12, }.Ω= （3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=. （3）取直角坐标系，则有2 2 {(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<. 2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.

概率论第7-10章课后习题答案

习题七 1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本， 求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数 f （x ,θ）=22 (),0, 0, .x x θθθ?-<

所以θ的极大似然估计量为1 ?X θ =. (2) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ -==<<∏,i =1,2,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如 下： 序 号 2 3 4 5 6 7 8 910 收益率 .01 -0.11 -0.12 -0.09 -0.13 -0.3 0.1 -0.09 -0.1 - 0.11 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = 0.094.EX x ==- 由2 2 2 2 21()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=,即有 1022 221 1??[()][10()]10i i A E X X X σ ==-+-∑ 于是 9 ?0.90.101890.096610 s σ ==?= 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值： 0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2 E X θ = ,令()E X X =，则

1—7章概率论课后习题及答案

第一章 随机事件及其概率 §1.1-2 随机试验、随机事件 1. 多项选择题: ⑴ 以下命题正确的是 （ ） A .()()A B AB A =； B .,A B AB A ?=若则； C .,A B B A ??若则； D .,A B A B B ?=若则. ⑵某学生做了三道题，以i A 表示“第i 题做对了的事件”)3,2,1(=i ，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ ） A .123123 123A A A A A A A A A ； B .122331A A A A A A ； C .12 23 31A A A A A A ； D .123123123123A A A A A A A A A A A A . 2. A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义： ⑴ A ； ⑵ B C ； ⑶ AB C ； ⑷ A B C ； ⑸ A B C ； ⑹ABC . 3. 一个工人生产了三个零件，以i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正 品、次品的事件.试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品.

§1.3-4 事件的概率、古典概型 1. 多项选择题: ⑴ 下列命题中,正确的是 （ ） A . B B A B A =；B .B A B A =； C .C B A C B A = ； D .()?=)(B A AB . ⑵ 若事件A 与B 相容，则有 （ ） A .()()()P A B P A P B =+； B .()()()()P A B P A P B P AB =+-； C .()1()()P A B P A P B =--； D .()1()()P A B P A P B =-. ⑶ 事件A 与B 互相对立的充要条件是 （ ） A .()()()P AB P A P B = ； B .()0()1P AB P A B ==且； C .AB A B =?=Ω且； D . AB =?. 2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率. 3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.

概率论课后习题答案

概率论课后习题答案 概率论课后习题答案 概率论是一门研究随机事件发生规律的数学学科。在学习概率论过程中，课后 习题是巩固知识、提高能力的重要环节。本文将给出一些概率论课后习题的答案，帮助读者更好地理解和应用概率论知识。 1. 掷骰子问题 问题：一枚均匀的六面骰子，投掷两次，求两次投掷点数之和为7的概率。 解答：投掷两次，每次都有6种可能的结果，总共有6 * 6 = 36 种可能的结果。点数之和为7的情况有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共计6种情况。 所以，点数之和为7的概率为6/36 = 1/6。 2. 抽取球问题 问题：一个袋子里有3个红球和2个蓝球，从中不放回地抽取2个球，求两个 球颜色相同的概率。 解答：首先计算总共的抽取方式。第一次抽取有5种可能的结果，第二次抽取 有4种可能的结果，总共有5 * 4 = 20 种可能的结果。然后计算两个球颜色相 同的情况。红球抽取2个的情况有C(3,2) = 3 种，蓝球抽取2个的情况有C(2,2) = 1 种。所以，两个球颜色相同的概率为(3 + 1)/20 = 4/20 = 1/5。 3. 生日问题 问题：在一个房间里有23个人，求至少有两个人生日相同的概率。 解答：首先计算不同人生日都不相同的概率。第一个人的生日可以是任意一天，概率为365/365。第二个人的生日不能与第一个人相同，概率为364/365。以此类推，第23个人的生日不能与前22个人相同，概率为343/365。所以，23个

人生日都不相同的概率为(365/365) * (364/365) * ... * (343/365) ≈ 0.492703。 因此，至少有两个人生日相同的概率为1 - 0.492703 ≈ 0.507297。 4. 排列组合问题 问题：从10个人中选取3个人组成一个小组，求其中至少有一个女生的概率。解答：首先计算总共的选取方式。从10个人中选取3个人的组合数为C(10,3) = 120。然后计算没有女生的情况。从剩下的9个男生中选取3个人的组合数为C(9,3) = 84。所以，没有女生的概率为84/120 = 7/10。 因此，至少有一个女生的概率为1 - 7/10 = 3/10。 通过以上几个例子，我们可以看到概率论在解决实际问题中的应用。通过计算概率，我们可以更好地理解事件发生的可能性，并作出相应的决策。概率论的研究和应用范围广泛，不仅可以用于解决数学问题，还可以应用于统计学、金融学、生物学等领域。掌握概率论的基本原理和方法，对于培养我们的逻辑思维和分析问题的能力都具有重要意义。 总之，概率论课后习题是巩固和应用概率论知识的重要方式。通过解答习题，我们可以更好地理解概率论的概念和方法，并将其应用于实际问题中。希望本文给读者提供了一些有关概率论习题的答案，帮助读者更好地学习和应用概率论知识。

概率论课后习题解答

一、习题详解： 写出下列随机试验的样本空间： (1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3)观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： (5)检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω； (8)在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??；

概率论课后习题答案第一章

2008年4月第一章1.1 解⑴记9件合格品分别为正1 正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7 正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为 r1r2r3r4。则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4 ⅰA w1w2。ⅱB r1r2r3r4。 1.2 解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。 ⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。 ⑶当全系运动员都是三年级学生时。⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。 1.3 解⑴1niiA ⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD ⑶11nnijijjiAA ⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。 1.4 解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。1.5 解样本点总数为28A8×7。所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。于是PA23698714。1.6 解样本点总数为5310。所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成

MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。所以3222481313PA 18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在 9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817 个位置之一时正好互相“吃掉”。故所求概率等于1789。19解每个乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯现有7位乘客所以样本点总数为79。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”和相当于“从9层中任取7层各有一位乘客离开电梯”。所以A包含79A个样本点于是7979APA 110解用A表示“牌照号码中有数字8”显然44991000010PA所以491110PAPA。111解1参看何声武《概率论习题解法探讨》例5。答案为1/5。2当该数的末位数是1379之一时其四次方的末位数为1所以答案为42105。3一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字所以样本空间包 含210个点。用A表示事件“该数的立方的最后两位数字都是1”则该数的最后一位数字必须是1设最后第二位数字为a 则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数要使3a的个位数是1必须a7因此A所包含的样本点只有71这一点于是1100PA。112解16根草的情形。取定一个头它可与其它的5个头之一相接最后将剩下的两个头相接故对头而言有5·3·1种接法同样对尾也有5·3·1种接法所以样本点总数为5·3·12。用A表示“6根草连结成一个环”这种连接对头而言仍有5·3·1种连接法而对尾而言任取一尾它只能与和它的头

概率论课后习题答案学版

概率论课后习题答案学版 概率作业答案：第一章1―5节一(1) 仅A 发生; AB C (2) A、 B、C都发生; ABC (4) A、B、C 不都发生; ABC (3) A、B、C都不发生; A B C (5) A不发生，且B、C中至少有一发生; A( B C ) (6) A、B、C中至少有一个发生；A B C(7) A、B、C中恰有一个发生；AB C A BC A B C (8) A、B、C中至少有两个发生；ABC A BC AB C ABC 或AB BC AC (9) A、B、C中最多有一个发生。A B C AB C A BC A B C 或AB BC AC 或A B B C A C 概率作业答案：第一章1―5节二、单项选择题1.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为( ) (A “甲种产品滞销，乙种) 产品畅销”; (B “甲、乙两种产品均畅) 销”; (C“甲、乙两种产品均滞) 销”; (D “甲种产品滞销或乙种) 产品畅销” 答案：A 2.对事件A、B有B A, 则下述结论正确的是( ) ( A) A与B必同时发生；( B ) A发生，B必发生；(C ) B发生，A必发生；( D ) B 不发生，A必不发生。答案：C 3.对于任意两个事件A、B,与A B B不等价的是( ) ( A) A B;( B) B A;( C ) AB ;( D) A B . 概率作业答案：第一章1―5节3.对于任意两个事件A、B,与A B B不等价的是( ) ( A) A B;( B) B A;(C ) AB ;( D) A B . A A B B, B A , AB AA , B B A B, 推不出A B= , 答案选D4.设 A、B为任意两个事件，则下列各选项中错误的是( ) ( A)若AB , 则A , B 可能不相容;( B )若AB , 则A , B 也可能相容; ( C )若AB , 则A , B 也可能相容;( D )若AB , 则A , B一定不相容;.( A) AB , B A , A A B , 令B A , A B A A , A正确(B )若B A,AB , 则A B A A B , A B A B A , B 也对.__________

大学概率论课后习题答案

第二章 离散型随机变量 2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)???? ??2.03.05.0531 (2) ??? ? ??1.01.07.0321 (3) ????? ? ???? ????? ????? ?? n n 31213121312121 210 2 (4)???? ? ????? ????? ?? 2221212121 n 解 （1）是 （2）11.01.07.0≠++，所以它不是随机变量的分布列。 （3）4 3312131213121212=+??? ??++??? ??+??? ??+ n ,所以它不是随机变量的分布列。 （4）,021>??? ??n n 为自然数，且1211=?? ? ??∑∞=n n ，所以它是随机变量的分布列。 2.2 设随机变量ξ的分布列为：5,4,3,2,1,15 )(== =k k k P ξ，求(1))21(==ξξ或P ; (2)2 5 21( <<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。 解 (1) 5 1152151)21(=+= ==ξξ或P ; (2) 5 1)2()1()2521(==+==<<ξξξP P P ; (3) )21(≤≤ξP 5 1 )2()1(==+==ξξP P . 2.3 解 设随机变量ξ的分布列为3,2,1,32)(=?? ? ???==i C i P i ξ。求C 的值。 解 1 32323232=??? ???? ???? ??+?? ? ??+C ，所以3827=C 。 2.4 随机变量ξ只取正整数N ，且)(N P =ξ 与2N 成反比，求ξ的分布列。 解 根据题意知2)(N C N P ==ξ，其中常数C 待定。由于16212 =?=∑∞ =πC N C N ，所以26π =C ，即ξ的分布列为 2 26)(N N P πξ= =，N 取正整数。 2.5 一个口袋中装有m 个白球、m n -个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。 解 设“k =ξ”表示前k 次取出白球，第1+k 次取出黑球，则ξ的分布列为： .,,1,0,) ()1() )(1()1()(m k k n n n m n k m m m k P =---+--= =ξ 2.6 设某批电子管的合格品率为4 3，不合格品率为 4 1，现在对该批电子管进行测试，设第ξ次为首次测到合格品，求ξ的分 布列。 解 .,2,1,4 3 41)(1 =?? ? ??==-k k P k ξ 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，求ξ的分布列。 解 .5,4,3,3521)(=??? ? ?????? ??-==k k k P ξ

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及解答 第一章 随机事件和概率 一. 填空题 1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解. )(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=- =)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.07 2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______. 解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B 51 1)()()()()|(2 10 2 621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-< <为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率 与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4 π 的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则 121)),((2==∈a k D Y X P π, k 为比例系数. 所以22a k π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4 π 的区域} π ππ121)2141(2)),((222 11+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______. 解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1

《概率论与数理统计教程》课后习题解答答案1-8章

第一章 事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。 (2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则 ，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 ，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，， A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，， (2)记2个白球分别为1 ，2 ，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。则 {1 ，2 ， 1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) A {1 ，2 } (ⅱ) B {1r ，2r ，3r ，4r } 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。 (1) 叙述C AB 的意义。 (2)在什么条件下C ABC 成立？ (3)什么时候关系式B C 是正确的？ (4) 什么时候B A 成立？ 解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) C ABC 等价于AB C ，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i 1）。用i A 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1) n i i A 1 ; (2) n i i n i i A A 1 1 ; (3) n i n i j j j i A A 1 1)]([ ; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 n j i j i j i A A 1 ,； 1.4 证明下列各式： (1)A B B A ; (2)A B B A (3) C B A )()(C B A ; (4) C B A )()(C B A

概率论与数理统计课后习题参考答案

习题1 1、（1）同时掷两枚骰子，记录点数之和 {2,3, ,12}S =； （2）生产产品知道得到5件正品，记录生产产品的总件数 {5,6,}S =； （3）单位圆任取一点，记录它的坐标 22{(,)1,,}S x y x y x R y R =+<∈∈； （4）将单位长线段分3段，观察各段长度{(,,)1,0,0,0}S x y z x y z x y z =++=>>>。 2、（1）A 与B 都发生，C 不发生：ABC ；（2）ABC 至少一个发生：A B C ； （3）ABC 不多于一个发生：AB AC BC 。 3、对事件ABC ，已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求ABC 至少发生一个的概率？ 解：依题可知，()0P ABC =，则所求的概率为 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+ 115 3000488 = ⨯---+= 4、将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求概率？ 解：设事件A 表示“成套的书放在一起”，B 表示“成套的书按卷次顺序排好放在一起”，由概率的古典定义可得所求的概率为 （1）成套的书放在一起：7!4!1 ()10!30 P A ⋅= = （2）成套的书案卷次顺序排好放在一起：7!11 ()10!720 P B ⋅= = 5、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子不能配成一双的概率是多少？ 解：设事件A 表示“取出的4只鞋子不能配成一双”，由概率的古典定义可得所求的概 率为 4454 1028()21 C P A C ⋅== 6、在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率？ 解：设事件A 表示“电话号码的后面4个数全不相同”，由概率的古典定义可得所求的概 率为 410 4()0.50410 A P A == 7、已知P(非A)=0、3，P(B)=0、4，P(A 非B)=1/2，求P(B|AU 非B)？ 解：依题可知，()1()0.7P A P A =-=，()1()0.6P B P B =-=，而

第三版详细《概率论与数理统计》课后习题答案

习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 216,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；

概率论与数理统计课后习题答案(共9篇)(共9页)

概率论与数理统计课后习题答案(共9篇) [模版仅供参考，切勿通篇使用] 感恩作文概率论与数理统计课后习题答案（一）: 概率论与数理统计的习题答案 有人知道李保松编写的《概率论与数理统计》的课后习题答案吗?我急用!1谢谢了 分别用A1,A2,A3表示任取一件产品,取得的是由甲,乙,丙车间生产的, B：任取一件产品是合格品 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =*()+*()+*()= P(B~)=1-P(B)= 检出一个次品,它不是由丙车间生产的概 率:P(A3~|B~)=P(A3~)/P(B~) 因为 P(A3~)=P(A3~)-P(A3~B)=P(A3~)-[P(B)-P(A3B)]=P(A3~)-P(B)+ P(A3)P(B|A3) =+*()=

所以P(A3~|B~)=P(A3~)/P(B~)=/= 取得一个合格品,是甲车间生产的概率： P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(B) =*/= 概率论与数理统计课后习题答案（二）: 自考04183概率论与数理统计课后习题答案详解20xx年版,武汉大学出版社.概率论与数理统计课后习题答案 这个真没有的,给你一个好的建议：去买套试卷吧（共有是几套真题）都有答案详解,跟考试题型一样,做完在总结一下一般都是考7,8十分概率论与数理统计课后习题答案（三）: 谁有概率论与数理统计的课后习题详细答案（李炜吴志松主编）中国农业出版社 .有的卖的呀概率论与数理统计课后习题答案（四）: 概率论与数理统计习题求答案 1.已知X的分布律为P（X=K）=ae-k+2 (k=0,1,2,…),求常数a. 2.设X的可能取值为-1,0,1,且取这三个值的概率之比为1:2:3,求X的分布律. 3.设X~B（2,P）,B(3,P),且已知P（X≥1）=5／9,求P（Y≥1） 4.设一汽车共要通过三个十字路口,到每个路口遇红灯停下的概率均为P,以X表示该汽车在首次停下之前所通过的十字路口数,求X的分布律

概率论第二版杨振明课后题答案

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.习题 1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随 机变量，并求η的分布函数． 证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξ η e =也是随机变量． η的分布函数为 }{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη 当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η； 当 0>y 时， ) (ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<= 因此，η的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>=00 ),(ln )(y y y F y F ξ η． 3．假定一硬币抛出正面的概率为 (01)p p <<，反复抛这 枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率． 解：（1）}{k =ξ 表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次 出现反(正)面，据题意知， p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ， ,4,3,2=k 所以，抛掷次数ξ的密度阵为 221 1 2322(1)(1) k k k p p p p p p p p --⎛ ⎫ ⎪ ⎪---+-⎝ ⎭ (2) 恰好抛掷偶数次的概率为： +=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ ++++++++= --q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533 ) 1()1(4242 +++++++=q q qp p p pq 2 211 11q qp p pq -⋅ +-⋅= ) 1(1 )1(1q p qp q p pq +⋅ ++⋅ = q q p p +++= 11 4．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}3 2{R P > ξ ．解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为 }{)(x P x F <=ξ 当0x ≤时，φξ =<}{x ，()0F x =； 当0x R <<时，22 2 2}{)(R x R x x P x F ==<=ππξ； 当x R ≥ 时， ()1F x = 故ξ的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=R x R x R x x x F , 10,0, 0)(22． 95 941)3/2(1)32(1}32{2 2=-=-=-=>R R R F R P ξ． 5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度ξ的分布函数． 解：当0x ≤时，φξ=<}{x ，()0F x =； 当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为 ()(){}{}1arccos(1,1122R x F x F P R ππξππ --=-∞=<= ==； 1x = R