人教版
§2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥β
C．b⊂βD．b⊂β或b∥β
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥β
C．a⊂βD．a⊂β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．
6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN
是直角，则∠C1MN＝______.
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.
8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别
是AB、PC的中点，P A＝AD.
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：
B1O⊥平面P AC.
三、探究与拓展
13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．
答案
1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°
7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，
∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .
8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .
又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .
(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，
∴GF 綊1
2CD ，
∴GF 綊AE ，
∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .
∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°
12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.
∴AB 1＝CB 1＝2，
∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .
连接PB 1.
∵OB 21＝OB 2＋BB 2
1＝32
， PB 21＝PD 21＋B 1D 2
1＝94
， OP 2＝PD 2＋DO 2＝3
4
，
∴OB 21＋OP 2＝PB 2
1.
∴B 1O ⊥PO ，
又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .
13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分
别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成
角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝3
3.
∴∠BAH ＝30°.
(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角．
∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1
＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，
∴B 1C ＝23
3
.
∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2
23
3＝3，
∴∠BCB 1＝60°.
综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.
2018-2019学年必修二第二章训练卷 点、直线、平面之间的位置关系（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列推理错误的是（ ） A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α?l ?α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β?α∩β＝AB C ．l ?α，A ∈l ?A ?α D ．A ∈l ，l ?α?A ∈α 2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是（ ） A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点 C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GC D ．A E ∶EB ＝AH ∶HD ，且B F ∶FC ＝D G ∶GC 4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体 的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n 等于（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 5．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（ ） A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1D 1 6．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 7．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点． 此 卷 只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
第二章 2.1 2.1.1 基础巩固 一、选择题 1．空间中，可以确定一个平面的条件是() A．两条直线B．一点和一条直线 C．一个三角形D．三个点 [答案] C 2.如图所示，下列符号表示错误的是() A．l∈αB．P?l C．l?αD．P∈α [答案] A [解析]观察图知：P?l，P∈α，l?α，则l∈α是错误的． 3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)： ①∵A?α，B?α，∴AB?α； ②∵A∈α，B?α，∴AB?α； ③∵A?a，a?α，∴A?α； ④∵A∈a，a?α，∴A∈α. 其中表述方式和推理都正确的命题的序号是() A．①④B．②③ C．④D．③ [答案] C [解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB?α；③错，推理错误，有可能A∈α； ④推理与表述都正确． 4.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C?l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于() A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上都不对 [答案] C
[解析]由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR. 5．若一直线a在平面α内，则正确的图形是() [答案] A 6．下图中正确表示两个相交平面的是() [答案] D [解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画． 二、填空题 7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系： (1)点C与平面β：________. (2)点A与平面α：________. (3)直线AB与平面α：________. (4)直线CD与平面α：________. (5)平面α与平面β：________. [答案](1)C?β(2)A?α(3)AB∩α＝B(4)CD?α(5)α∩β＝BD 8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)． (1)直线AC1在平面CC1B1B内． (2)设正方体ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1. (3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1. (4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面． [答案](2)(3)(4)
（人教版）高中数学必修二（全册）单元测试卷 汇总、 阶段通关训练（一） （60分钟 100分） 一、选择题（每小题5分，共3。分） 1?已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 □ □ 便視囲 A. 长方体 C.匹棱锥 【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示 ? 入城商中目字必零二01 ：酚俭1王训停 爺人椒版為中教学宕偌2!； &馈通关训号 信，奴薮版快9E 必偌二好：阶段遑关训澤 司：人馭艇苣中数猝偌二桂測：跻蜀■美训遂 琼人板版毫中gtl 修二窗I ；樓埃蜃量怦估 S 人会版毎中數⑴ C 2） Word 版言眾忻 Word 版合解忻 W 。招版 含解忻 （AS ） Word 板 合樹ff （B 卷） Word B.圆性 D.四棱台 正視图 悟视图
2.以钝角三角形旳较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到 的几何体是（） A .两个圆锥拼桜而成的组合体 B.一个圖台 C.一个圆锥 D . 一个圆锥挖去一个同底的小圆维 【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥. 3.已知AAB攏边长为2a的正三角形，那么△ABCE勺平面直观图△ A' B‘ C'的面积为（） D.\Ga~ 【鮮析】选C.直观图面积S与原图面积S具有关系：S' Mfs.因为S 好芸12a）所以S …c 三?X\/3a'=^a . 4- 4 4
【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三信形的面积是
【解析】根据宜观图和原图形的关系可知原图形的面积为X 2vl X 2 二2卮 答案：2^2 4. 某三梭锥的三视图如图所示，则该三検锥的体积是 【解析】选B .由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三 棱锥旳高为 2. RI V=x x 1 x 1 x 2=.^ 【补偿洲练】已知正三棱镣V-ABC 的正视图、侧视图和帽视图如图所 示，则该正三枝锥侧视图的面积是 A. B. C. D.1 A.v39 B.6\,r 3 D.6 俯视 C.即3
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 A 组 一、选择题 1．设 α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ?α，m ?β，有如下的两个命题：①若 α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则 α⊥β．那么( )． A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题 2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60° 3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ． 其中真命题的序号是( )． A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 4．给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行 ④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．下列命题中正确的个数是( )． ①若直线l 上有无数个点不在平面 α 内，则l ∥α ②若直线l 与平面 α 平行，则l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 (第2题)
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§2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 一、基础过关 1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥β C．b⊂βD．b⊂β或b∥β 2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥β C．a⊂βD．a⊂β或a∥β 3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为() A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．无法确定 5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________； (2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________； (3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______． 6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______. 7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.
8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别 是AB、PC的中点，P A＝AD. 求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面PCD. 二、能力提升 9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为() A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)． 12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证： B1O⊥平面P AC. 三、探究与拓展 13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．
直线、平面平行与垂直习题课进．2平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．能熟练应用直线、．1【课时目标】一步体会化归思想在证明中的应用． a 表示平面．γ、β、α表示直线，c、b、 ) 符号语言(性质定理) 符号
语言(判定定理位置关系 b ∥a⇒________________，α∥a α∥a⇒________且 b ∥a 直线与平面平行 ________________，且α∥b， α∥a b ∥a⇒________________，β∥α平面与平面平行⇒β∥α________________，且 b⊥l ，a⊥l ________ ⇒α⊥b， α⊥a 直线与平面垂直α⊥l⇒____________ ，a＝α∩β，
β⊥α， α ⊥a 平面与平面垂直 β⊥α⇒ β⊥b ⇒ 一、选择题、M ．不同直线 1 ．给出下列命题：β、α和不同平面n n ∥m β ∥ ∥ ；n β∥M ⇒ ；β⇒∥m α⊂ m β⊥αα⊂m ．
β⊥M ⇒④ 异面；n ，M ⇒∥m β⊂n (其中假命题的个数为) C 1 ．B 0 ．A3 ．D 2 ．平行于同一平面的两个平面平(2)平行于同一直线的两个平面平行；(1)．下列命题中：2(4)垂直于同一直线的两直线平行；(3)行；垂直
于同一平面的两直线平行．其中正确命题的) (个数有 1 ．B 4 ．A3 ．D 2 ．C α表示直 线，b、a．若3) (表示平面，下列命题中正确的个数为 ；α∥b⇒b⊥a，α⊥a；②b⊥a⇒α∥b，α⊥a① ．α⊥b⇒b⊥a，α∥a③ 1 ．A0 ．D 3 ．C 2 ．B 垂α平行；②存在无数条直线与平面α：①存在无数条直线与平面P．过平面外一 点4其中真命题的垂直，α④有且只有一条直线与平面平行；α③有且只有一条直线与平面直；(个数是) ．C 2 ．B 1 ．A4 ．D 3 及其边界上运动，并BBCC在侧面P中，点DCBA－ABCD．如图所示，正方体5111111 ) (的轨迹是P，则动点BD⊥AP且总是保持1 C B．线段A1 BC．线段B1的中
高一数学必修2第二章测试题 【第七次周练】 一、选择题（每小题4分，共48分） 1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A 、A B α⊂ B 、AB α⊄ C 、由线段AB 的长短而定 D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 A 、三点确定一个平面 B 、四边形一定是平面图形 C 、梯形一定是平面图形 D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 4、在正方体 1 1 1A B C D A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 5、若直线l 垂直平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 A 、l 垂直a B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、以上三种 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个 平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取 E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点P 不在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面ABC 内 D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ， a ∥ b ，则a ∥M ；③若a ⊥ c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中有下列几个结论 ①BM//ED ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成600 角 ④DM ⊥BN 其中正确的结论的序号是（）
第一章 空间几何体 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )． 主视图 左视图 俯视图 （第1题） A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ )． A ．2＋2 B ．221＋ C ．2 2 ＋2 D ．2＋1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）． A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ）． A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( ）． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶3 6．在△ABC 中,AB ＝2，BC ＝1。5，∠ABC ＝120°,若使△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )． A ．29π B ．27π C ．25π D ．2 3π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ）． A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2 3 ，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ）． A ． 2 9 B ．5 C ．6 D ． 2 15 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．． 的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆 10．如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是（ )． (第8题)
高二周末检测题 一、选择题 1．下面四个命题： ①分别在两个平面内的两直线是异面直线； ②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( ) A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( ) A ．三条交线为异面直线 B ．三条交线两两平行 C ．三条交线交于一点 D ．三条交线两两平行或交于一点 4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ） A 、点P 必在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面BC D 内 D 、点P 必在平面ABC 外 5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( ) A ．过点P 且垂直于α的直线平行于β B ．过点P 且垂直于l 的直线在α内 C ．过点P 且垂直于β的直线在α内 D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E ， F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论： ①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中
第二章 平面解析几何初步 (时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线x ＋3y －5＝0的倾斜角为( ) A ．－30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：直线的斜率为－13＝－ 3 3 ，故倾斜角为150°. 答案：D 2．以(－1,2)为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2 ＋y 2 －2x ＋4y ＝0 B ．x 2 ＋y 2 ＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2 ＋y 2 ＋2x －4y ＝0 D ．x 2 ＋y 2 －2x －4y ＝0 解析：圆的方程为(x ＋1)2 ＋(y －2)2 ＝5，即x 2 ＋y 2 ＋2x －4y ＝0，故选C ． 答案：C 3．过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5 C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0 D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0 解析：若直线过原点，则设直线方程为y ＝kx ， 将(4,1)代入，得1＝4k ， ∴k ＝14 ， ∴y ＝1 4 x ，即x －4y ＝0， 若直线不过原点，设直线方程为x ＋y ＝a ， 将(4,1)代入，得a ＝5， 即x ＋y ＝5，故选C ． 答案：C
4．设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2 ＝3，那么y x 的最大值是( ) A ．12 B ． 33 C ． 32 D ． 3 解析：令y x ＝k ，则y ＝kx ，∴kx －y ＝0， 问题转化为直线kx －y ＝0与圆有关系， 则 |2k －0|1＋k 2 ≤3，∴k 2 ≤3，∴－3≤k ≤3，故y x 的最大值为3，故选D ． 答案：D 5．已知在空间坐标系中，A (－1,0,1)，B (2,4,3)，C (5,8,5)，则( ) A ．三点构成等腰三角形 B ．三点构成直角三角形 C ．三点构成等腰直角三角形 D ．三点不构成三角形 解析：|AB |＝(2＋1)2 ＋(4－0)2 ＋(3－1)2 ＝29， |AC |＝(5＋1)2 ＋(8－0)2 ＋(5－1)2 ＝116＝229， |BC |＝(5－2)2 ＋(8－4)2 ＋(5－3)2 ＝29， ∴|AB |＋|BC |＝|AC |，即三点在同一条直线上． 答案：D 6．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0与l 2：(2a －1)x －ay －1＝0平行，则a 的值是( ) A ．0或1 B ．1或1 4 C ．0或1 4 D ．14 解析：∵l 1∥l 2，12a －1＝2a －a ≠－1－1，∴a ＝1 4 ，当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：x ＋1＝0， l 1∥l 2，∴a ＝0或a ＝14 ，故选C ． 答案：C 7．如图，直线y ＝ax －1 a 的图象可能是( )
第二章单元测试 1．下列命题正确的是………………………………………………（ ） A ．三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两条相交直线确定一个平面 2．若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面 4．平面α与平面β平行的条件可以是…………………………（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行 B ．直线βα//,//a a 且直线a 不在α内，也不在β内 C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//b D ．α内的任何直线都与β平行 5．下列命题中，错误的是…………………………………………（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．平行于同一个平面的两个平面平行 C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 6．已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 7．下列命题中错误的是……………………………………（ ） A ．如果平面βα⊥，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
单元形成性评价(一)(第一、二章) (120分钟150分) 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( ) A．点P一定在直线BD上 B．点P一定在直线AC上 C．点P一定在直线AC或BD上 D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上 【解析】选B. 如图，因为P∈HG，HG⊂平面ACD，所以P∈平面ACD.同理，P∈平面BAC.因为平面BAC∩平面ACD＝AC， 所以P∈AC. 2．给定下列四个说法： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，说法正确的是( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【解析】选D.当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确． 3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形； ③圆．其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解析】选B.根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形． 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数
章末检测 一、选择题 1.如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几 何体是( ) A．棱柱B．棱台 C．棱柱与棱锥组合体D．无法确定 1 题图 2 题图 2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不．可．能．为：①长方形；②正方 形；③圆．其中正确的是( ) A．①②B．②③C．①③D．①② 3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN 则四边形D1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是 ( ) 4.如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′ 离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC 的AB、AD、AC 三条线段中( ) A.最长的是AB，最短的是AC B.最长的是AC，最短的是AB C.最长的是AB，最短的是AD D.最长的是AD，最短的是AC 4 题图 5 题图 5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD 是( ) A．等腰梯形B．直角梯形 C．任意四边形D．平行四边形 6.如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体 积为 ( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 8. 平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为( ) B ．4 3π C ．4 6π D ．6 3π 9. 如图所示，则这个几何体的体积等于 ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 10. 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示，A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如 图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图为选项图中的 ( ) 11. 圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) A ．120° B ．150° C ．180° D ．240° 12. 已知三棱锥 S －ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( ) A. 6π
一、选择题 1．设( )( ) 2 2 25322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i) 3．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 D ．5 4．已知复数1322 z i =--，则z z +=（ ） A ．132i - - B ．132i - + C ． 132i + D ． 132i - 5．已知复数，是z 的共轭复数，则= A ． B ． C ．1 D ．2 6．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ． 12 D ．-1 7．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限 8．复数z 满足(1i)2i z -=，则z = A ．1i - B ．1i -+ C ．1i -- D ．1i + 9．设3i z i +=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 10．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为 31+22 i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 11．已知复数21ai z i += -是纯虚数，则实数a 等于（ ）
一、选择题 1．设a R ∈，则复数22 121a ai z a -+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆 B ．单位圆除去点()1,0± C ．单位圆除去点 ()1,0 D ．单位圆除去点()1,0- 2．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB = （ ） A B C ．2 D ．4 3．2 13(1) i i +=+（ ） A ． 3122 i - B ． 3122 i + C ．3122 i - - D ．3122 i - + 4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1 z =（ ） A B ．2 C D ． 12 6．“复数3i i a z -= 在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知集合，( )( ){} 2 2 1,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=， 则实数m 的值为 （ ） A ．4 B ．－1 C ．4或－1 D ．1或6 8．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝ A ． B ．2 C ．4 D 9．设3i z i +=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 10．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解析几何部分（共：1—17课时及每章评价）参考答案： 第1课时 直线的斜率（1） 1．D 2．C 3．D 4．4- 5．1k ≤ 6．可以是(2,4)，不惟一． 7．由题意， ()13 2212 a -=++，∴2a =-． 8．当1m =时，直线l 与x 轴垂直，此时直线斜率不存在； 当1m ≠时，直线斜率341 11k m m -= = --． 9．在直线斜率为0，OC 边所在直线斜率不存在，BC 边所在直线斜率为43 -． 10．由AB AC k k ≠，可得 111 2383 k --≠ ---， ∴1k ≠． 第2课时 直线的斜率（2） 1．C 2．B 3．D 4．60． 5．6 6． (0,2) 7． 045α≤<或135180α<<． 8．倾斜角为45时斜率为1，倾斜角为135时斜率为1-． 9．直线l 上任一点(,)M m n 经平移后得(3,1)N m n -+在l 上，由两点的斜率公式得 (1)1 (3)3 l n n k m m +-= =---． 10．直线2l 的倾斜角为180(6015)135α=--=， ∴2tan135tan 451k ==-=-． 第3课时 直线的方程（1） 1．C 2．D 3．A 4．D 5．（1）4y =-；（2） 2y x =- 6．1y +6y x =-+ 7．由直线1l 的方程2y = +可得1l 的倾斜角为60， ∴直线l 的倾斜角为30，斜率为3tan 30= ， 所以，直线l 的方程为1(2)3y x -= -，即133 y x =-+．
8． 1:1:(2)- 9．由直线1l 的方程20x y -+=可求得1l 的斜率为1， ∴倾斜角为145α=， 由图可得2l 的倾斜角2115 αα=+∴直线 2l 的斜率为tan 603=， ∴直线2l 的方程为2)y x -=-0y -=． 10．设直线方程为3 4 y x b = +， 令0x =，得y b =；令0y =，得43 x b =- ， 由题意，14||||623 b b ⨯-⨯=，2 9b =，∴3b =±， 所以，直线l 的方程为3 34 y x = ±． 第4课时 直线的方程（2） 1．D 2．D 3．B 4． 2y x =或1y x =+ 5．3 6． 10x y +-=或32120x y -+= 7．设矩形的第四个顶点为C ，由图可得(8,5)C ， ∴对角线OC 所在直线方程为00 5080 y x --= --，即580x y -=，AB 所在 直线方程为 185 x y +=，即58400x y +-=． 8．当截距都为0时，直线经过原点，直线斜率为4 3 -，方程为43y x =-； 当截距都不为0时，设直线方程为 1x y a a +=， 将点(3,4)-代入直线方程得34 1a a -+=，解得1a =-， 所以，直线方程为430x y +=或10x y ++=． 9．当0t =时，20Q =；当50t =时，0Q =，故直线方程是15020 t Q +=．图略． 10．直线AB 的方程为3x =，直线AC 的方程为 123 x y +=，直线x a =与,AB AC 的交点分别为(,3)a 、63(, )2a a -，又∵9 2 ABC S ∆=，
人B版高中数学必修2同步习题 目录 第1章1.1.1同步练习 第1章1.1.2同步练习 第1章1.1.3同步练习 第1章1.1.4同步练习 第1章1.1.5同步练习 第1章1.1.6同步练习 第1章1.1.7同步练习 第1章1.2.1同步练习 第1章1.2.2第一课时同步练习 第1章1.2.2第二课时同步练习 第1章1.2.3第一课时同步练习 第1章1.2.3第二课时同步练习 第1章章末综合检测 第2章2.1.1同步练习 第2章2.1.2同步练习 第2章2.2.1同步练习 第2章2.2.2第一课时同步练习 第2章2.2.2第二课时同步练习 第2章2.2.3第一课时同步练习
第2章2.2.3第二课时同步练习 第2章2.2.4同步练习 第2章2.3.1同步练习 第2章2.3.2同步练习 第2章2.3.3同步练习 第2章2.3.4同步练习 第2章2.4.1同步练习 第2章2.4.2同步练习 第2章章末综合检测
人教B版必修2同步练习 1．关于平面，下列说法正确的是() A．平行四边形是一个平面 B．平面是有大小的 C．平面是无限延展的 D．长方体的一个面是平面 答案：C 2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的有() A．1个B．2个 C．3个D．4个 解析：选B.被平面遮住的部分应画虚线，故(1)(4)正确． 3．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于() A．45°B．60° C．90°D．120° 答案：B 4．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________． 答案：点动成线 5．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分． 答案：23或4 1．下列不属于构成几何体的基本元素的是() A．点B．线段 C．曲面D．多边形(不含内部的点) 解析：选D.点、线、面是构成几何体的基本元素． 2. 如图是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与B相对的是() A．字母E B．字母C C．字母A D．字母D 解析：选B.正方体展开图有很多种，可以通过实物观察，选一个面作为底面，通过空间想象操作完成．不妨选字母D所在的面为底面，可以得到A，F是相对的面，E与D相对；若选F做底面，则仍然得到A，F是相对的面，E与D相对，则与B相对的是字母C. 3．如图，下列四个平面图形，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是()
数学2（必修）第一章：空间几何体[基础训练A 组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[综合训练B 组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[提高训练C 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[基础训练A 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[综合训练B 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[提高训练C 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[基础训练A 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[综合训练B 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[提高训练C 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程 [基础训练A 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程 [综合训练B 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程 [提高训练C 组] （数学2必修）第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 主视图 左视图 俯视图
6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中， O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。 （1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3） 哪个方案更经济些？ 2．将圆心角为0 120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 （数学2必修）第一章 空间几何体 [综合训练B 组] 一、选择题 1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为0 45， 腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）