《等式与不等式性质、基本不等式习题课》
教学设计
♦教学目标
1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质；
2.掌握基本不等式同V啰(a,b20),结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
♦教学重难点
教学重点：1.不等式基本性质及应用；2.基本不等式及变形公式的应用.
教学难点：利用基本不等式求最值时对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
♦课前准备
PPT课件
一、复习回顾
问题1:前面我们学习了不等式的基本性质和基本不等式，不等式有哪些性质？基本不等式能解决哪些问题？使用时需注意哪些条件？
师生活动：两个学生在黑板上默写，其余同学纸上默写，以精准把握他们对基本知识的掌握程度.易错的，易混的用彩色粉笔标注.
教师总结：在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时，应注意：
①由于不等号具有方向性，注意在性质1 “自反性”和性质4 “两边同乘负数”时，不等号要变号.
②性质6、性质7、性质8中都有a, b>0的条件.
③性质1和性质3是可逆的.
④性质5给出的是一个充分不必要条件：即条件"a>b, c>d",是条件"a+c>b+d” 的充分不必要条件，后者推不出前者.
对于基本不等式使用时，要注意：解决最值问题时的三个限制条件：“一正、二定、三 相等”.
设计意图：通过梳理、归纳帮助学生将头脑中零散的数学知识相互连接起来，构成系统 的知识链.把涉及的有关概念或知识点巩固和深化，为例题分析做好充分的准备.
二、典例研究
(一)基础知识检测
例 1 (1)若 a > b > 0, cede 。,则一定有()
D.
(2)己知xeR,下列说法中正确的是(
)
(3)已知函数/(x) = 4x + -(x>0,fl>0)在x = 3时取得最小值，则。=.
问题2：每个题对应的知识点和方法分别是什么？
师生活动：学生独立思考，之后小组讨论，整个过程老师检查学生的做题情况，掌握情 况.最后根据学生的问题针对性的讲解.
预设答案：(1)D ； (2) C ； (3) 36.
设计意图：本题组紧扣不等式的基本性质和基本不等式的简单应用，根据概念的核心和 易错点设计问题，一方面检测学生对基本知识的掌握情况，另一方面使学生进一步理解知识 的内涵，为后面的综合应用扫清障碍.
(二)知识的综合应用
例2已知l 问题3：如何求上式的范围？用到哪些不等式性质？ 师生活动：引导学生利用不等式的性质求范围，注意等价性. 预设答案：••- l 变式：已知-g+心心-3队2,求。―力的取值范围. 追问1：上式如何求范围？和例2比较，在方法上有什么异同？需要注意什么？ B. x 2 +1 > 2x ， J+i 的最小值是2 C. 1 x 2 +1 <1 D. 函数" A. x —的最小值是2 x 师生活动：引导学生利用不等式的性质求范围，注意等价性.把学生中的正解和错解分别在展台上展示. 学生受求解二元一次方程组解法的影响，可能会出现如下错解： 由一+ —3>M2,得一』<。<°, --<&<0,所以一- 2 4 2 2 4 师生共同分析错解的原因在于将不等式多次使用有时会扩大取值范围.其根本原因是，不等式的性质5本质上是一个充分不必要条件.因此不能由a+b, a-3b的范围求a,力的范围，再由s力的范围求a-b的取值范围. 预设答案：将a+b,广3人看作性质5中的条件，用他们表示a~b ,再联合运用性质4 和5求解. 解：设a - Z? = m(a + b) + n(a _ 3b) = (m + n)a + (m - 3n)b, fm + H-1 「2 ；所以+ 奸3", m-3n = -l〃 = J_ 22' 2 2 2V I 2 3 由以上两式相加，^Q 4 追问2：通过例2及变式，你能说说在利用不等式求范围问题时，应怎样求解才能使得 所求范围正确？ 师生活动：学生反思后，师生总结得到：利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范 围要注意：同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），但是这种转化不是等价转化，如果在解题中多次使用，就有可能扩大取值范围. 设计意图：通过对例2和变式，及学生产生错解的原因分析，进一步理解不等式的意义及逻辑关系，提高学生逻辑推理能力. 例3 （1）已知x< —,求函数y = 4x-2 的最大值. 4 ' 4x-5 （2）已知x>0,y>0，且x+y = l，求（％+软）+ 1）的最大值. 问题：观察以上题目，如何转化为基本不等式的形式？用基本不等式求最值时需满足什么条件？ 师生活动：学生独立思考后，回答解题思路，教师引导学生将已知条件及所求的结论与基 本不等式的条件和结论进行对比，寻找解题的突破口，并强调不等式成立的条件.在（2）中引导学生创造使用基本不等式的条件，要求学生写出规范步骤，并注意变量的取值范围. 预设答案: 解：(1) vx<—4x-5<0,/.5-4x>0. 4 •■•5-4x + ^—>2J (5-4x)•— =2,当且仅当5 —4x = ^—,即 x = l 日寸取等 5-4x v 7 5-4x 5-4x 号..-.4x-5 + —-—<-2 , :.y<-2 + 3 ,即 yMl 故当x = l 时，V 取最大值 1. 4x-5 (2)法 1：由 x+y=l,得y=l-x,且 0 法 3： v x+y = l (x + l) + (y + l) = 2. 则(x+iX"i )4^|^[=s ， 当且仅当X+I = y+1,即x = y = ?时等号成立，即(x + l)(y + l)的最大值为:. 1 9 变式1：已知x>0,y>0,且一+ — = 1,求x+y 的最小值. x v 追问L 上面变式和例3比较，在解题思路上什么相同之处，你还有什么发现？ 师生活动：教师引导学生观察变式1和例3之间的区别，启发学生构造的思维，提示没 有定值时，要创造定值，要将表达式变形，让学生发现如何创造性的用“1”在解答过程中 进行过渡，并总结"1”的代换方法.也应学会将二元问题转化为一元问题进行解决，同时 让学生说出自己的思路，师生共同对每一种思路可行或不可行的原因进行分析. 1 9 1 9 11 9 学生可能出现的错解：由一+ 一= 1,及一+ ->2 ——，得A-y2：36,当且仅当 X v X v \x V 1 9 1 … I — ——即x=2, y=18时取等号，所以x + y> 2Jxy —12, x + y 取得最小值12.这时 x y 2 引导学生从基本不等式求最值需满足的三个条件入手分析错误原因在于等号取不到. 预设答案: y = 4x-2-l ----- 4x-5 =4x — 5 ---------- F 3 . 4x-5 1 9 Q V 解：法1：由一+ —= 1得y =——，且X>1, x y x-1 贝2+y = x+ " =x+ 9 +9 = =-1+ 9 +10 >2./(x-l)——— 10 = 16 . x-1x-1 x-1 V x-1 9 当且仅当1-1二一，即户4时取等号，.•.x = 4,y = 12时，x+y取得最小值16. x-\ 、工 1 9 1 / 、/1 9)m y 9x 法2：•.•— + —= 1 .•.x+y = (x+y)・一+ ― =10 + 二 + — . x y y J x y •.•*>。,”。,.成+您2仁室=6,则"空16,当且仅当>*,又上+堂1, x y V x y x y x y ..•x = 4,y = 12时，x+y取得最小值16. 1 9 变式2：已知x>0,y>0,且x+y = 2,求一+ 一的最小值. x V 追问2：上式和变式1式子不同，如何求解？ 师生活动：教师引导学生从变式1的思路出发，寻求变式2的解题思路，同时指出表象不同的问题，有时本质是相同的. 预设答案： V x>0,y >0, V Q v 1 Q 当且仅光/时取等号，又f = 2.•.七，七 1 2 变式3：已知x>-l,y>-1, 2x+y = l,求商+不的最小值. 追问3：根据上式形式特征，如何构造基本不等式的形式进行求解？ 师生活动：学生思考并进行解答，教师提醒学生应注意所求式子和已知条件的关系，将 分母看成一个整体变量，将已知代数式构造成分母的形式. 预设答案： 解：由2%+y = 1，得(2x+2)+(y+l)=4, 2x+2>0, y+l>0. 1 2 2 2 1 1 1 贝I — + ——= ---------- +——=—[(2x + 2) + (v + l)]( ----------- +——) x + 1 v + 1 2.x + 2 v + 1 2 2.x + 2 v + 1 3"扣2品"2 y+ 1 2尤 + 2 八 _ 当且仅当上=〒，即“。,"1时取等号，所以所求式子的最小值为2. *变式 4：已知x>0,y>0, JLx + 3y = 5xv ,求3x + 4y 的最小值. 追问4：观察上面问题，和变式1, 2对比，你发现了它们的共同点了吗？和例3比较, 你还有其他想法吗？ 师生活动：教师引导学生先观察式子特征，和变式1的式子比较，发现已知条件可以转 化为变式1的条件形式，因此可以用变式1的方法求最值.和例3 (1)比较，可以将已知 条件进行因式分解成乘积形式，利用不等式求解. 预设答案: 解：法 1：由 x + 3y = 5xy , 当且仅当—时取等号，又- + - = 5, .•.x = l,y = -.-.3x + 4y 的最小值是5. y x y x 2 尤 3 法 2：由 x + 3y = 5xy ,可得 y = -------- 5尤一 3 5 C 4 C 4% 1J 3x + 4y = 3x-\ ---------- = — 15x + 5x-3 12 1 当且仅当15x — 9 = ----- 时取等号，即x = 1, Y = — .I 3x + 4y 的最小值是5. 5x-3 2 3 1 x 〉一，y 〉一 5 - 5 9 4 13 9 4 13 3x + 4y = (3x--) + (4v-j) + y > 2J(3x- j)(4v- j) +y = 9 4 1 当且仅当3%---4y--时取等号，即x = 1，V = 5等号成立， 3x + 4y 的最小值是5. 20x-12 5x — 3 = ||15x+ 12 5x —3 +4 冷2加一9) *3 12 +13) = 5 3 1 3 法 3：由 x+3y = 5xy , =— EC 9、八 4、 36 3 1 即(3x — —)(4 y ——)=—,x 〉一，y 〉一. 5, 设计意图：让学生体会在应用基本不等式解决问题时，要学会观察，学会变形.若“一 正、二定、三相等”的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用基本不等式.转化的方法有拆项、添项、凑项、变号等.通过一系列的问题，让学生明白数学的学习不只是学习解题的套路，更要通过不断地思考变换的问题，让自己思维更广阔，增强自己的思维能力，培养将未知转化为已知的能力. 例4某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则了=吨. 问题5：如何将实际问题转化为代数问题？ 师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，尝试解决.教师可以提出问题，帮助学生分析： (1)一年的总运费与总存储费用之和如何用*表示？(答案：—x6 + 4x ) X (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，此问题可以用基本不等式来求最值吗？ 设计意图：通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别生活中的最值问题，也就是最优化问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想，从而能体现数学应用价值. 预设答案： 解：设一年的总费用为y万元，由题知y = —X6 + 4.X, 由 600 右，“900、… c [900— 而y =---- x6 + 4% = 4( ----- x)>4x2x --------- x = 240， X X V x 当且仅当—= 即x = 30吨时取等号. X 故一年的总运费与总存储费用之和最小时X的值是30. 三、归纳总结 问题6：回顾本节学习过程，回答以下问题： (1)如何利用作差(商)法比较两个实数的大小？ (2)不等式的基本性质有哪些？需要注意哪些条件？ (3)基本不等式是什么？能够解决什么问题？在解决问题时应注意什么？ 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质.而不等式性质是解决不等式问题的理论依据.基本不等式是解决最值 的有力工具.并掌握利用这些基本知识求解问题时的易错点及转化办法. 四、布置作业：教科书复习参考题2第1, 2, 3, 4题. 五、目标检测设计 1.设a,b,ceR, S.a>b,则下列不等式成立的是（） 1 1 b A. c-a B. |a| >\b\ C. -<- D. -<1 a b a 设计意图：考查学生对不等式性质的综合应用能力，特别是的大小关系. a b i i ,— 2.己知"> 0,Z? > 0 ,则—I ----- F 2』ab的最小值是（） a b A. 2 B. 2V2 C. 4 D. 5 设计意图：考查在多次使用基本不等式求最值时等号成立的条件要一致. 3.（1）若Q>0,b>Q, ab=2a+b,则。+人的最小值为,沥的最小值为. 1 4 （2 ）若0 VxV1,则—I ------- 的最小值为. x 1-x 4.已知xeR,试比较%3+6X与尤？+6的大小. 设计意图：考查学生用作差（商）法比较两个代数式（实数）大小的能力及分类讨论思想的应用. 5.设1>0,人>0,。2 +项=1求iJl + »2的最大值. 设计意图：考查学生面对没有定值的情况，如何对表达式恒等变形，创造定值. *6.己知。，方,c为不全相等的正实数，且abc=l.求证：• + ++ + M . a b c 设计意图：考查利用基本不等式证明不等式及“1”的代换. *7.某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m,现准备在该地区重新建一个猪圈.平面图为矩形，面积为56 m2,预计：①修复Im旧墙的费用是建造Im新墙费用的25%,②拆去1 m旧墙所得材料用以建成1 m新墙的费用是建1 m新墙费用的50%,③为安装圈门，要在围墙的适当处留出Im的空缺.试问：这里建造猪圈的围墙应当怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？ 设计意图：考查解决实际问题的能力. 参考答案： 1. A 利用不等式的性质或者举反例判断.取。=1,防-1, B, C选项都错了.对于D,取奸-1, b=-2, D 也错了.由不等式的性质4可乘性知-a<-b ,再根据可加性得c-a 2. C 112 13 \a = cA 贝!J y =尤・口・25% + (12 —工)・口・50%+ 2工+ 解析：因为上+上+ 2\/^2 + 2A /^F = 2(jL + 2 4当且仅当— = ^~,且 a b v ab N ab a b — = 4ab^ 即a = b 时，取"=”号. ab 3. (1) 3 + 2扼，8, (2) 9 4. 解(J ? + 6尤)一(尤2 +6)=工3 _x 2 + 6x-6 = x 2(x-1) + 6(x-1) = (x-l)(x 2 +6) v X 2+6>0 ..当X >1 时,(X -1)(X 2+6)>0,即X 3+6X >X 2+6; 当 x = l 时，(x-l)(x 2 +6)=0 ,即 ^3 +6X = X 2 + 6; 当 xvl 时，(x-l)(x 2 +6)<0 ,即 X 3 +6X 3A /2 6.证明：a,b,c 都是正实数，且abc=l, + -^> —= 2A ,^ + -^> —= 2/? c be a c ac 以上三个不等式相加，得2^—+ -^- + —j > 2(ab + c), •.・gc 不全相等，所以上述三个等式中的“=”不都同时成立， 匚5 7 1 1 1 所以" + /? + CV —z- H z- H —z-. a 2 b 1 c 1 7.解：显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好.设修复成新墙的旧墙 为xm,则剩下的旧墙拆得的材料可建造新墙(12-x) m,于是还需建造新墙的长为 2 —+ (x-l)-(12-x)=2x + —-1 3 (m) 设建造Im 新墙所需。元，建造围墙的总费用为y 元， — a 2 b 2 ab =2$ Hn 1 1 1、, 即/ + + + b + c 且仅当/=1±久时取等号，又后+1±片=2,...“ =虫力=虫，商须的最大值是 2 2 2 2 2 应 l + b 因此修复的旧墙约为8 m,拆除并改建成新墙的旧墙约为4m 时，建造的总费用最小. 注意：标注的内容为选做. 7x 112 又x>0, —>2 =28, 4 x V 4 x 7x 112 当且仅当— 即x = 8时，上式等号成立. 【新教材】2.1等式性质与不等式性质 教学设计（人教A版） 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）； 5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点：掌握不等式性质及其应用． 难点：不等式性质的应用． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？ 2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？ 3.重要不等式是？ 4.等式的基本性质？ 5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1、两个实数比较大小的方法作差法{a?b>0?a>b a?b=0?a=b a?b<0?a1?a>b a b =1?a=b a b <1?a 《等式与不等式性质、基本不等式习题课》 教学设计 ♦教学目标 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质； 2.掌握基本不等式同V啰(a,b20),结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. ♦教学重难点 教学重点：1.不等式基本性质及应用；2.基本不等式及变形公式的应用. 教学难点：利用基本不等式求最值时对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. ♦课前准备 PPT课件 一、复习回顾 问题1:前面我们学习了不等式的基本性质和基本不等式，不等式有哪些性质？基本不等式能解决哪些问题？使用时需注意哪些条件？ 师生活动：两个学生在黑板上默写，其余同学纸上默写，以精准把握他们对基本知识的掌握程度.易错的，易混的用彩色粉笔标注. 教师总结：在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时，应注意： ①由于不等号具有方向性，注意在性质1 “自反性”和性质4 “两边同乘负数”时，不等号要变号. ②性质6、性质7、性质8中都有a, b>0的条件. ③性质1和性质3是可逆的. ④性质5给出的是一个充分不必要条件：即条件"a>b, c>d",是条件"a+c>b+d” 的充分不必要条件，后者推不出前者. 对于基本不等式使用时，要注意：解决最值问题时的三个限制条件：“一正、二定、三 相等”. 设计意图：通过梳理、归纳帮助学生将头脑中零散的数学知识相互连接起来，构成系统 的知识链.把涉及的有关概念或知识点巩固和深化，为例题分析做好充分的准备. 二、典例研究 (一)基础知识检测 例 1 (1)若 a > b > 0, cede 。,则一定有() D. (2)己知xeR,下列说法中正确的是( ) (3)已知函数/(x) = 4x + -(x>0,fl>0)在x = 3时取得最小值，则。=. 问题2：每个题对应的知识点和方法分别是什么？ 师生活动：学生独立思考，之后小组讨论，整个过程老师检查学生的做题情况，掌握情 况.最后根据学生的问题针对性的讲解. 预设答案：(1)D ； (2) C ； (3) 36. 设计意图：本题组紧扣不等式的基本性质和基本不等式的简单应用，根据概念的核心和 易错点设计问题，一方面检测学生对基本知识的掌握情况，另一方面使学生进一步理解知识 的内涵，为后面的综合应用扫清障碍. (二)知识的综合应用 例2已知l 必修五基本不等式及其应用习题课教学设计 ［教材分析］: 本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第 一课时。本节课时在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一， 为后续的学习打下基础，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。基本不等式在知识体系中 起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广发的应用，学好基本不等式非常重要。 ［学情分析］: 本节课教授的对象是高二学生，学生已经学习了不等式和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用。高二学生已具备了必要的感知能力、概括能力、 逻辑推理能力，但比较复杂的举一反三的灵活变通、综合能力还有待提高，通过本节课的教学，学生能 达到对基本不等式的常见应用题型的熟练化、综合问题的解题思维提升化。 ［教学目标］: （一）知识与技能 1. 通过本节课的学习，能掌握基本不等式并能理解等号成立的条件及几何意义 2. 通过基本不等式的复习，能灵活比较大小、求有关最值等应用 （二）过程与方法 1. 通过本节课的学习，能体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等 2. 通过本节课的学习，能体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程 3. 能体会例题的变式改变过程，达到灵活应用的能力 （三）情感态度与价值观 1. 通过变式教学，逐步培养学生的探索研究精神 2. 通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯 3. 通过高考试题与教材例题对比教学，培养学生重视基础，勿好高骛远的习惯 ［教学重点］:正确应用基本不等式进行判断和计算。 ［教学难点］:基本不等式的变形应用。 ［教学方法］： 以启发引导，探索发现为主导，讲解练习为主线，用一题多解，一题多变突出重点、突破难点，以综合应用提高分析解决问题的能力，培养创新能力。 2.2.1等式性质与不等式性质 (人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章) 一、教学目标 1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的 不等关系； 2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力； 3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想. 二、教学重难点 1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小； 2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小. 三、教学过程 1.用不等式（组）表示不等关系 1.1创设情境，引发思考 【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v)不小于第一宇宙速度(记作v2),且小于第二宇宙速度(记作v1). 问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 【预设的答案】0 ＜v ≤40;{ f≥ 2.5 p≥ 2.3% ;设△ABC的三条边为a，b，c，则a + b ＞c ，a – b ＜c ;设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE. 【设计意图】不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达. 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 【活动预设】 2.2基本不等式 教材分析： “基本不等式” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. 教学目标 【知识与技能】 1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.掌握基本不等式2a b ab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】 通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2 a b ab +≤ 的证明过程； 【教学难点】 1.基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件； 2.利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 一般地，，有 a 2+ b 2≥2ab ， 当且仅当a =b 时，等号成立 特别地，如果a >0，b >0，我们用,分别代替上式中的a ，b ，可得 ① 当且仅当a =b 时，等号成立. 通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中， 叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 2.讲授新课 1）2 a b ab +≤ 特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2 a b ab +≤ 2）2a b ab +≤ 用分析法证明： 要证 2 a b ab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b -≥0 （3） 要证（3），只要证 （-）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立. 探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a b ab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2 b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2.1 等式性质与不等式性质（第2课时） 教学目标： 1．通过梳理等式基本性质及其本质属性，类比等式的基本性质的研究方法探索不等式的基本性质，体会类比思想及分类讨论思想在解决问题中的应用，发展学生逻辑推理素养．2．运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质，运用不等式的性质证明一些简单的命题，发展学生逻辑推理素养． 教学重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异． 教学难点：类比等式的性质研究不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异． 教学过程： （1）两个实数大小关系的基本事实； （2）正数大于0 ，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数；（3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数； （4）两个正数的和是正数，两个负数的和是负数； （5）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数． 但是，不需要一下子提供给学生，在需要的时候指明即可． 预设的答案： 性质1证明：∵a＞b，∴a-b＞0， 又由于正数的相反数是负数，∴-(a-b)＜0，即b-a＜0 ∴b＜a 性质2证明：∵a＞b，b＞c， ∴a-b＞0，b-c＞0 根据两个正数的和还是正数，得(a-b)+(b-c)＞0， ∴a-c＞0，∴a＞c． 性质3证明：∵a＞b，∴a-b＞0， ∴(a+c)-(b+c)= a-b＞0 ∴a+c＞b+c 追问2：从不同角度表达不等式的性质，可以加深理解，用文字语言怎样表达性质3？ 师生活动：教师引导学生先独立思考，再进行交流．并不断对学生的语言表述进一步规范． 预设的答案：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向． 追问3：两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？ 师生活动：教师展示课件，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另外两个点A1和B1，A与B和A1与B1的左右位置不变，学生直观感受不等式的几何意义，并体会向左或向右移动时，对应的实数c的正负． 设计意图：为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解． 复习引入 问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？ 利用基本不等式解决生活问题 运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值.基本不等式是求最值的工具，特别是对求代数式的最值问题有重要的意义. 例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 追问：（1）前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例的两个问题分别属于哪类问题吗？ （2）例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型： （1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； （2）如果正数x，y的和x+y等于定值 S，那么当x=y时，积xy有最大值. 怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解？ 学生独立阅读题目，理解题意 由池底的边长确定 设贮水池池底相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z 元，则 本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少.可以转化为数学模型（1）解决. 学生回答解答过程，教师板书. 学生尝试总结，教师帮助梳理.首先，要从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；接着，思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；然后，根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解；最后，用求得的结果解释实际问题. 课时达标检测设计 检测的目标点与用时 设；反馈、矫正方法预 与达标效果补充 2.1 等式性质与不等式性质 教材分析： 本单元主要学习用不等式表示现实问题、数学问题，为了解不等式，要探究不等式性质，而不等式性质的探究要先学习证明不等关系的“根本大法”，即“两个实数大小关系的基本事实”还要梳理等式基本性质及蕴含的思想方法，然后通过类比的方法猜想并证明不等式的性质，最后要会运用不等式的性质证明其它的一些不等关系． 现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．实际问题中所蕴含的不等关系可抽象出不等式的关键是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式． 两个实数大小关系的基本事实既是实数的基本性质，又是研究式的大小关系的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手． 重要不等式222 ≥是基本不等式基础，该不等式从赵爽弦图中获得猜想，运用由一般 a b ab 性与特殊性获得“=”成立的条件．证明中，运用了完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解決不等式问题中的应用价值． 等式性质可从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”．“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征．从运算角度看，“加法”、“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不変；也有其派生出来的在“乘方”、“开方”等运算中的不变性． 不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类．不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种．“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现．“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现．运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”、“乘法”等运算，得出新的不等关系．由于“正数乘正数大于0”，“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异．实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位．利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性 《基本不等式》教学设计 张中华 教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修5 课题：3.4 基本不等式（第一课时） 一、教材分析 《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。 基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式a 2+ b 2 > 2 ab （a, b G R）。在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。 二、教学重难点 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。 教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。 三、教学目标 《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。根据《课标》要求和本节教学内 容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为： 等式性质与不等式性质（一） 【整体感知】 问题1：请同学们阅读本章引言的文章，说说本章要学习的内容是什么？和初中所学的哪些内容有联系？对我们今后学习数学有什么作用？用什么方法来研究本章内容？ 师生活动：学生自主阅读后、讨论交流． 预设的答案：1．本章主要研究的内容是方程和不等式，包括不等关系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通过回顾、梳理初中学习的等式内容，提炼出其中蕴含的思想方法，用一次函数的观点看一次方程、不等式中蕴含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有关问题． 2．方程和不等式是重要的数学工具，可以解决数学内外的各种问题，为今后学习作工具上的准备，另外，用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法，体现了数学知识之间的联系性和整体性，为今后的学习作思想方法上的准备． 设计意图：一章的起始课，首先要从整体上把握所学内容，让学生明确本章内容的地位、作用、内在联系及研究方法，有助于学生良好认知结构的建立和完善． 引语：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，首先来学习等式性质和不等式性质．（板书：等式性质和不等式性质） 【新知探究】 任务一：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式 问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系． 预设的答案：（1）设速度为v km/h，则0＜v≤40； 《等式性质与不等式性质》教学设计 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （ 3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%. 2.5%2.3% f p ≥⎧⎨≥⎩ 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图2.1-1，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ， 垂足为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图2.1-1 接着，就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇） 篇一：高中数学教学设计篇一 教学目标 1、明确等差数列的定义。 2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题 3、培养学生观察、归纳能力。 教学重点 1、等差数列的概念； 2、等差数列的通项公式 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教具准备 投影片1张 教学过程 （I）复习回顾 师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（放投影片） （Ⅱ）讲授新课 师：看这些数列有什么共同的特点？ 1，2，3，4，5，6；① 10，8，6，4，2，…；② 生：积极思考，找上述数列共同特点。 对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6） 对于数列②—2n（n≥1）（n≥2） 对于数列③（n≥1）（n≥2） 共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。 一、定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2…… 二、等差数列的通项公式 师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得： 若将这n—1个等式相加，则可得： 即：即：即：…… 由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。 如数列①（1≤n≤6） 数列②：（n≥1） 数列③：（n≥1） 由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解 例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？ 解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。 （Ⅲ）课堂练习 生：（口答）课本P118练习3 课时教学设计 课题 2.1等式性质与不等式性质 授课时间：年月日课型：新授课课时：一课时 1.教学目标 知识与技能：能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力； 过程与方法：通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤； 情感态度与价值观：培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，提高学生数学运算和逻辑推理能力。 2.学习重点难点 教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小； 教学难点：在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小； 3.教学准备 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 4.学习活动设计 环节一：情景引入，温故知新 （一）情境导学 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/ℎ; （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/ℎ,“限速40km/ℎ”就是v的大小不能超过40，于是0 必修一第二章等式与不等式 2.2.1《不等式及其性质》教学设计 一、教学目标： 1、通过具体的问题情境，体会不等量关系存在的普遍性及研究不等式的必要性，培养数学抽象的核心素养。 2、探究两个实数（代数式）比较大小的方法，发展直观想象与数学运算的核心素养。 3、通过类比等式的性质，猜想不等式的性质，能从“形” 的角度加以理解，从“数”的角度加以论证，并初步体会证明不等式多种方法，培养逻辑推理与数学运算等核心素养。 教学重点：两个实数（代数式）比较大小的方法，不等式的性质及推论。 教学难点：不等式性质推论的证明以及应用。 二、教学方法： 本节课在学法设计上，采取“创设情境---提出问题---探索猜想---启发引导---解决问题”的学习模式；在教学设计上，采用以问题为中心，学生探索、交流与教师启发、引导相结合的教学方法，引导学生独立思考，大胆猜想，有效调动学生的思维，提供合作交流的机会，培养学生的合作意识。 三、教学流程设计： （一）创设情境，引入课题 【师】同学们，在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，你 能举出生活中的其他不等关系吗？ 【生】分别由不同学生给出自己的例子。 【师】其实老师也找到一些例子，我们一起来看一下：如天平两侧的重量不等、道路交通标志、地球上海洋面积大于陆地面积，经常提到的关键词“至多、至少”……，生活中的最优化问题（利润最大，用料最省，用时最短……）等问题。 【设计意图】通过大量具体的问题情境，体会不等量关系存在的普遍性及研究不等式的必要性，进而引出本单元《不等式》的第一节：不等式及其性质。 【师】选取三个实际问题，抽象出三个不等式。同学们想一想：我们可以用哪些数学符号来连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系。 【生】 【师】我们把含有这些不等号的式子称为不等式。 值得注意的是对于 的理解？ 【生】“或”字连接。 【师】想一想： 【生】真命题。 【设计意图】由实际问题抽象出两个数的不等关系，进而得出不等式的概念，并重点强调了对符号≤≥“与” 的理解。 （二）问题引领，直观分析 【师】 怎样理解两个实数之间的大小呢？ ≠><≤≥“”“”“”“”“” 5322≥≤，是真命题吗？ 《基本不等式 2 a b ab +≤（第1课时）》教学设计 “基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质． 1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．通过实例探究抽象基本不等式； 3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣． 【教学重点】 2 a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】 a b ab +≤ 等号成立条件 1．课题导入 2 a b ab +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活． ◆ 教学过程 ◆ 教学重难点 ◆ ◆ 教学目标 ◆ 教材分析 2．讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2 2 a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2 22a b ab +≥． 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a =b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有 222a b ab +=． 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当2 2 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2 ≥-b a ，即.2)(2 2 ab b a ≥+ 4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2 a b ab +≤ 特别的，如果a >0，b >0，我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2 a b ab +≤ （2）从不等式的性质推导基本不等式2 a b ab +≤ 用分析法证明： 要证 2 a b ab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立． （3）理解基本不等式2 a b ab +≤的几何意义 探究： 第一教时 教材：不等式、不等式的综合性质 目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质 ⅠⅡ. 过程: 一、引入新课 1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的. 2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 （例略） 1．“同向不等式与异向不等式" 2．“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系(充要条件） 1．从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔x 从而22)1(+x 〉124++x x 小结：步骤：作差-变形—判断—结论 例三 比较大小1． 231-和10 解:∵23231 +=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴ 231-〈10 2．a b 和m a m b ++ ),,(+∈R m b a 解:（取差） a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时 a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b 等式性质与不等式性质 教学设计(2021)-人教A版高中数学必修第一册
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