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第五章
Error!平面向量 第一节 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小
叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0
单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的 单位向量为± a
|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做
共线向量)
0 与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
加法
求两个向量和的
运算 三角形法则
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
( ＋ )＋ ＝
a b c a
平行四边形法则
＋(b＋c)
求 a 与 b 的相反
减法
向量－b 的和的
a－b＝a＋(－b)
运算叫做 a 与 b 三角形法则
的差
求实数 λ
与向量
(1)|λ
a|＝|λ
||a|； λ
(μ
a)＝
(λμ
)a；
数乘
a 的积的运算
(2)当 λ
＞0 时，λ
a 的方向 (λ
＋μ
)a＝λ
a＋μ
a； 第 2 页 共 50 页
与 a 的方向相同；当 λ
＜0 λ
(a＋b)＝λ
a＋
λ
b
时，λ
a 的方向与 a 的方向 相反；当 λ
＝0 时，λ
a＝0
3.共线向量定理
向量 a(a≠
0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ
，使得 b＝λ
a.
[小题体验]
1．下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若 a∥b，则 a＝b B．若|a|＝|b|，则 a＝b
C．若|a|＝|b|，则 a∥b D．若 a＝b，则|a|＝|b|
答案：D
2．若 m∥n，n∥k，则向量 m 与向量 k( )
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
答案：D
3．若 D
第 1 页 共 4 页 第五章 平面向量教材分析
这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约25课时，具体安排如下：
5.1向量 约1课时
5.2向量的加法与减法 约2课时
5.3实数与向量的积 约2课时
5.4平面向量的坐标运算 约2课时
5.5线段的定比分点 约l课时
5.6平面向量的数量积及运算律 约2课时
5.7平面向量数量积的坐标表示 约1课时
5.8平移 约1课时
5.9正弦定理、余弦定理 约4课时
5.10解斜三角形应用举例 约2课时
5.11实习作业 约2课时
5.12研究性课题向量在物理中的应用 约3课时
小结与复习 约2课时
(一)本章内容
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法
本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等
第二大节是“解斜三角形”这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业和研究性课题等
正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题
学必求其心得，业必贵于专精
1。平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2。平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2,y2)，则
a＋b＝（x1＋x2,y1＋y2)，a－b＝（x1－x2，y1－y2）,
λa＝（λx1，λy1），|a｜＝错误!.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A（x1，y1)，B（x2，y2），则错误!＝（x2－x1,y2－y1),|错误!|＝错误!。
3.平面向量共线的坐标表示
设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2） (a≠0），如果a∥b,那么x1y2－学必求其心得，业必贵于专精
x2y1＝0；反过来,如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b。
【知识拓展】
1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0。
2.设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），如果x2≠0,y2≠0，则a∥b⇔错误!＝错误!.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
(1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（ × ）
（2）若a，b不共线,且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2。（ √ )
(3）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（ √ ）
(4)若a＝(x1，y1）,b＝（x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.（ × ）
（5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标。( √ )
1。(教材改编）如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______.(填序号)
核按钮（新课标）高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算习题理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的_________(或称模).AB→的模记作____________．
(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．
(3)单位向量：长度等于______________的向量叫做单位向量.a||a是一个与a同向的____________．－a|a|是一个与a________的单位向量．
(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量____________．
(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：长度__________且方向__________的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量OB→就是a与b的________(如图1)．
推广：A1A2→＋A2A3→＋…＋An-1An→＝____________.
图1 图2
②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中，BC→＝AD→＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．
③加法的运算性质：
a＋b＝____________(交换律)；
