8.1 向量及其线性运算

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

微积分题⽬8.1 向量及其线性运算⼀、填空题1.点(1,2,3)-在第卦限，点(2,3,1)--在第卦限．2.点M 的向径与x 轴成45⾓，与y 轴成60⾓，长度为6，若在z 轴上的坐标是负值，则点M 的坐标为．3.与向量(16,15,12)a =-⽅向相反且长度为75的向量为． 4.与向量(6,7,6)a =-平⾏的单位向量为．5.向量AB在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，－4，7，它的终点坐标为(2,1,7)B -，则起点坐标．6．xoy ⾯上，与三点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点为．⼆、单项选择题1.设向量,a b互相平⾏，但⽅向相反，当0a b >> 时，必有．Ａ．a b a b +=- Ｂ．a b a b +>- Ｃ．a b a b +<- Ｄ．a b a b +>+2.下列各组⾓可以作为某向量的⽅向⾓的是． A ．90,150,60αβγ===B ．45,135,60αβγ===C ．60αβγ===D ．60,120,150αβγ===三、计算题1.已知两点()1M 和()23,0,2M ．计算向量12M M的模、⽅向余弦和⽅向⾓．2.向量a 与三坐标轴的正向构成相等的锐⾓，其模长为3，求a ．8.2 数量积向量积⼀、填空题1．a ? ⊥b a b ? = ；a b ? ∥a b ?=．2．向量()(),,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==,若两向量夹⾓为θ，则cos θ= ．3．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=- ,则()23a b -?= ,2a b ?=．4．已知点()()()2,4,,3,7,5,,10,9A n B C m 三点共线，则m = ,n = ．5．已知点()()()1231,1,2,3,3,1,3,1,3M M M -,与,M M M M 1223同时垂直的单位向量为．6．设()()2,5,1,1,3,2a b ==- ,a b λµ+与z 轴垂直，则λ与µ的关系．7．,,a b c 为三个⾮零向量，a b ⊥,a 与c 的夹⾓为3π，b 与c 的夹⾓为6π，且a =1,2,3bc == ，则a b c ++=．⼆、单项选择题 1.()()0,3,4,2,1,2a b ==- ，则ab =Prj ． A ．３Ｂ．13-Ｃ．－１Ｄ．１2.已知向量,a b的模分别为4,2a b == ，且a b ?= a b ?= ．A B ．．．2三、计算题1．()()()2,3,1,1,1,3,1,2,0a b c =-=-=- ,求()a b c ?? ．2．求向量()4,3,4a =- 在向量()2,2,1b =上的投影．3．已知3,26,72a b a b ==?= ，求a b ?．8.3 曲⾯及其⽅程⼀、填空题1．xoy ⾯上双曲线224936x y -=分别绕x 轴、y 轴旋转⼀周所得旋转曲⾯的⽅程依次为和 .2．曲⾯2221x y z --=是由xoy ⾯上的曲线221x y -=绕x 轴旋转⼀周所得或由_____⾯上曲线___________绕____轴旋转⼀周所得. 3．z =表⽰的曲⾯为．4.22y x =表⽰的曲⾯为．⼆、计算题1．⼀动点与两定点()2,3,1A 和()4,5,6B 等距离，求这动点的轨迹⽅程．2.下列旋转曲⾯是怎样形成的：⑴2221499x y z ++= ⑵22214y x z -+=8.4 空间曲线及其⽅程⼀、填空题1.母线平⾏于y 轴且经过曲线222222216x y z x z y ?++=?+-=?的柱⾯⽅程为 . 2.球⾯z =z =的交线在xoy ⾯上的投影⽅程为.⼆、单项选择题1.曲线2221:1645230x y z x z ?+-=?Γ??-+=?关于xoy ⾯的投影柱⾯的⽅程是 . A .2220241160x y x +--= B .22441270y z z +--=C .22202411600x y x z ?+--=?=?D .224412700y z z x ?+--=?=?2.曲线22203y z x z ?+-=?=?在⾯xoy 上的投影曲线的⽅程是 .A .220y x z ?=?=?B .2290y x z ?=-?=?C .2293y x z ?=-?=?D .223y xz ?=?=?8.5 平⾯及其⽅程⼀、填空题1.设⼀平⾯经过点()000,,x y z ,且垂直于向量(),,A B C ，则该平⾯⽅程为 .2.平⾯260x y z -+-=与平⾯250x y z ++-=的夹⾓为 .3.平⾏于xoz ⾯且经过点()2,5,3-的平⾯⽅程为 .4.经过x 轴和点()3,1,2--的平⾯⽅程为 .5.点()1,2,1到平⾯22100x y z ++-=的距离为 .⼆、求平⾏于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平⾯⽅程.三、⼀平⾯过点()1,0,1-且平⾏于向量()2,1,1a = 和()1,1,0b =-,试求该平⾯⽅程.四、求平⾯2250x y z -++=与各坐标⾯夹⾓的余弦.8.6 空间直线及其⽅程⼀、填空题1．设直线经过点()000,,x y z ，且平⾏于向量(),,m n p ,则该直线的对称式⽅程为 ,参数⽅程为 . 2．直线124x y z x y z -+=??++=?的对称式⽅程为 .3．过点()0,2,4且与两平⾯21x z +=和32y z -=平⾏的直线⽅程为 . 4．直线300x y z x y z ++=??--=?与平⾯10x y z --+=的夹⾓为 .5．点()3,1,2-到直线10240x y z x y z +-+=??-+-=?的距离为 . 6．过直线1123:101x y z L ---==-且平⾏于直线221:211x y zL +-==的平⾯⽅程为 .7．直线326040x y z x y z D -+-=??+-+=?与z 轴相交，则D = .⼆、单项选择题1．两直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=??+=?的夹⾓为 . A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π2．直线111x x y y z z m n p---==与平⾯0Ax By Cz D +++=的夹⾓θ满⾜ . A ．sin θ= B ．cos θ=C ．sin θ= D ．cos θ=3．过点()2,0,3-且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=?垂直的平⾯⽅程是 .A ．16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=B .(2)2(0)4(3)0x y z ---++=C ．3(2)5(0)2(3)0x y z -+--+=D .16(2)14(0)11(3)0x y z -++++-= 4．设直线3210:21030x y z L x y z +++=??--+=?及平⾯:4220x y z π-+-=，则直线L .A ．平⾏于πB ．在π上C ．垂直于πD ．与π斜交三、计算题1．求过点()4,1,3-且与直线230:510x y L y z --=??-+=?平⾏的直线⽅程．2．求直线2403290x y z x y z -+=??---=?在平⾯41x y z -+=上的投影直线的⽅程．3．求过直线20:4236x y L x y z +=??++=?且切于球⾯2224x y z ++=的平⾯⽅程．。