第一节向量及其运算复习目标学法指导1.平面向量的实际背景及基本概念(1)向量的物理背景与概念向量的概念.(2)向量的几何表示零向量、单位向量、向量模的概念.(3)相等向量、平行向量、共线向量的概念.2.平面向量的线性运算(1)①向量加法的定义及几何意义.②向量加法的交换律和结合律.(2)①相反向量的概念.②向量减法的定义及几何意义.(3)①向量的数乘运算.②向量数乘运算的几何意义. 1.熟记概念,对于概念中的前提条件引起重视.2.解决向量的概念问题要注意两点,一是考虑大小,更要考虑方向;二是考虑零向量的特殊性.3.向量的线性运算,要在所表达的图形上多思考、多联系相关几何图形.一、平面向量的有关概念1.向量的有关概念(1)定义既有大小又有方向的量叫做向量.(2)表示方法①用字母表示:如a,b,c等;②用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.如AB u u u r,CD u u u r等.(3)模向量的大小叫做向量的模,记作|a|,|b|或|AB u u u r|,|CD u u u r|.2.特殊向量相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01.概念理解(1)仅从向量的模定义零向量和单位向量,它们方向不确定,因此解题时注意特殊性.(2)按照方向相同或相反定义平行向量和共线向量,因此两个向量方向相同或相反即可判定是否为共线向量.2.与零向量有关的结论(1)零向量与任意向量为共线向量;(2)0·a=0.二、平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb概念理解(1)利用三角形法则进行加法运算时,要注意两向量的首尾相连,在几何图形中求和向量时,一般要进行向量的平移让两个向量首尾相连.(2)减法运算必须要求两向量有相同起点,差向量即为从减数终点指向被减数终点的向量,如:AB u u u r-AC u u u r= CB u u u r.三、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. 1.概念理解(1)向量的平行和直线平行不同,两向量所在直线重合也可以称平行向量.(2)注意定理中a ≠0的条件. 2.与共线向量相关联的结论(1)若a,b,c 均不为零向量,则平行具有传递性. (2)在a(a ≠0)方向上的单位向量:a a.(3)利用共线向量定理证明三点共线的步骤: 第1步:三点构造两个向量; 第2步:证明两向量之间成倍数关系.1.如图,e 1,e 2为互相垂直的单位向量,则向量a-b 可表示为( C )(A)3e 2-e 1 (B)-2e 1-4e 2 (C)e 1-3e 2 (D)3e 1-e 2解析:由题图可知a=-4e 2,b=-e 1-e 2, 则a-b=e 1-3e 2. 故选C.2.设两个非零向量e 1和e 2,且e 1与e 2不共线,AB u u u r =e 1-e 2, BC u u u r=3e 1+2e 2,CD u u u r=-8e 1-2e 2,则下列三点共线的是(D )(A)A,B,C (B)A,B,D (C)B,C,D (D)A,C,D 解析:AB u u u r =e 1-e 2,AC u u u r =AB u u u r + BC u u u r=4e 1+e 2, 因为AC u u u r=-12CD u u u r,且有公共点C,所以A,C,D 三点共线.故选D.3.在△ABC 中,点M,N 满足AM u u u u r =2MC u u u u r ,BN u u u r =NC u u u r .若MN u u u u r =x AB u u u r +y AC u u u r,则x= ,y= . 解析:由题中条件得MNu u u u r =MC u u u u r +CN u u u r=13ACu u u r+12CB u u u r =13AC u u u r +12(AB u u u r -AC u u u r)=12AB u u u r -16ACu u u r=x AB u u u r +y AC u u u r,所以x=12,y=-16. 答案:12 -16考点一 平面向量的基本概念 [例1] (1)下列有关向量相等的命题: ①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D 是不共线的四点,则AB u u u r =DC u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b. 其中正确命题的序号是( )(A)②③ (B)①② (C)③④ (D)②③④(2)设a,b 都是非零向量,则“a=2b ”是“a a=b b”成立的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)下列与共线向量有关的命题:①相反向量就是方向相反的向量;②若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为.(填序号)解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,它们的方向不一定相同.②正确.因为AB u u u r=DC u u u r,所以|AB u u u r|=|DC u u u r|且AB u u u r∥DC u u u r,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则AB u u u r∥DC u u u r且|AB u u u r|=|DC u u u r|,AB u u u r与DC u u u r方向相同,因此,AB u u u r= DC u u u r.③正确,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c 的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且|a|=|b|,不一定a=b,也可以是a=-b.故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.解析:(2)因为aa =bb,则向量a与向量b方向相同,但它们的模没有关系.因此“a=2b”是“aa =bb”成立的充分不必要条件.故选A.解析:(3)①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正确,两向量不能比较大小;③不正确.当λ=μ=0时,a与b可能不共线;④正确.答案:(1)A (2)A (3)①②③(1)相等向量具有传递性,共线向量不具有传递性,只有当非零向量之间才具有传递性.(2)注意0的特殊性,验证命题为假命题时,通常采用举反例的方式,在向量概念问题的判定上,反例通常可以选取0.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量相等.下列命题中正确的个数为( B )①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;②若向量a与b满足a+b=0,则a与b共线;③若向量a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等;④设e为单位向量,若a与e平行,则a=|e|·a.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①不正确,若向量a与向量b中有一个为零向量,则两个向量方向不一定相同或相反;③不正确,因为|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|与|a|+|b|不一定相等;④正确,因为|e|=1,所以a=|e|a成立.故选B.考点二平面向量的线性运算[例2] 下列各式不能化简为PQ u u u r的是( )(A)AB u u u r+(PA u u u r+ BQ u u u r)(B)(AB u u u r+PC u u u r)+(BA u u u r-QC u u u r)(C)QC u u u r-QP u u u r+CQ u u u r(D) PA u u u r+AB u u u r-BQ u u u r解析:选项A,AB u u u r+(PA u u u r+BQ u u u r)= AB u u u r+BQ u u u r+PA u u u r=AQ u u u r+PA u u u r=PQ u u u r;选项B,( AB u u u r+PC u u u r)+(BA u u u r-QC u u u r)=(AB u u u r+BA u u u r)+(PC u u u r-QC u u u r)=PQ u u u r;选项C,QC u u u r-QP u u u r+CQ u u u r=QC u u u r+CQ u u u r- QP u u u r= PQ u u u r;选项D,PA u u u r+ AB u u u r-BQ u u u r=PB u u u r-BQ u u u r得不到PQ u u u r.故选D.三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,在运算时,要注意两种法则的适用条件.在三棱锥O-ABC中,若D为BC的中点,则AD u u u r等于( C )(A)12OAu u u r+12OCu u u r-OBu u u r(B)12OAu u u r+12OBu u u r+OCu u u r(C)12OBu u u r+12OCu u u r-OAu u u r(D)12OB u u u r +12OC u u u r +OA u u u r解析:如图根据向量加法三角形法则,AD u u u r =12(AC u u u r +AB u u u r )=12(OC u u u r -OA u u u r +OB u u u r -OA u u u r),所以AD u u u r =12OC u u u r+12OB u u u r-OA u u u r.故选C.考点三 共线向量定理及应用 [例3] 设两个非零向量a 与b 不共线, (1)若AB u u u r =a+b,BC u u u r =2a+8b,CD u u u r=3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b 和a+kb 同向. (1)证明:因为AB u u u r =a+b,BC u u u r =2a+8b,CD u u u r=3(a-b), 所以BD u u u r =BC u u u r +CD u u u r=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5AB u u u r. 所以AB u u u r,BD u u u r 共线, 又因为它们有公共点B, 所以A,B,D 三点共线. (2)解:因为ka+b 与a+kb 同向,所以存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb.所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b 是不共线的两个非零向量,1,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得1,1k λ=⎧⎨=⎩或1,1,k λ=-⎧⎨=-⎩ 又因为λ>0,所以k=1.(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别:只有两向量有公共点且共线时,才能得出三点共线.(2)a 与b 共线是指存在不全为零的λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则a 与b 不共线.1.设a,b 是不共线的两个非零向量,若OA u u u r=ka+12b,OB u u u r =4a+5b,OC u u u r=-ka+10b,且点A,B,C 三点共线,则k= .解析:AB u u u r =OB u u u r -OA u u u r=(4-k)a-7b,CB u u u r =OB u u u r -OC u u u r=(4+k)a-5b,因为A,B,C 三点共线,所以44k k -+=75--,k=-23. 答案:-232.在△ABC 所在平面内有一点P,如果PA u u u r +PB u u u r +PC u u u r =AB u u u r,则△PAB 与△ABC 的面积之比是 . 解析:因为PA u u u r +PB u u u r +PC u u u r =AB u u u r =PB u u u r -PA u u u r, 所以2PA u u u r +PC u u u r=0,PC u u u r =-2PA u u u r =2AP u u u r ,所以点P 是线段AC 的一个靠近点A 的三等分点. 所以△PAB 与△ABC 的面积之比是1∶3.答案:1∶3类型一平面向量的基本概念1.以下给出了4个命题:(1)两个长度相等的向量一定相等;(2)相等的向量起点必相同;(3)若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;(4)若向量a的模小于b的模,则a<b.其中正确命题共有( D )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个解析:长度相等方向相同的向量是相等向量,故(1)错误;根据相等向量的定义知,相等向量起点不一定相同,故(2)错误;因为a·b=a·c,所以a·(b-c)=0,又因为a≠0,所以必有a⊥(b-c),而b=c不一定成立,故(3)错误;向量不能比较大小,故(4)错误.故选D.2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若AC u u u r=λAM u u u u r+μBD u u u r (λ,μ∈R),则λ+μ等于( B )(A)43(B)53(C)158(D)2解析:根据向量的平行四边形加法法则,AC u u u r =AB u u u r +AD u u u r, 又根据向量的三角形加法法则,AMu u u u r =AB u u u r +AM u u u u r =AB u u u r +12BC u u ur =AB u u u r +12AD u u u r ,BD u u u r =AD u u u r -AB u u u r ,所以AC u u u r =λAM u u u u r +μBD u u u r= λ(AB u u u r +12AD u u u r 0+μ(AD u u u r -AB u u u r )=(λ-μ)AB u u u r +(12λ+μ)AD u u u r, 所以1,11,2λμλμ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得4,31,3λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以λ+μ=53. 故选B.类型二 平面向量的线性运算3.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F,若AC u u u r=a,BD u u u r =b,则AF u u u r等于( B )(A)14a+12b (B)23a+13b (C)12a+14b (D)13a+23b 解析:AF u u u r =AD u u u r +DF u u u r,DE ∶BE=1∶3=DF ∶AB,所以DF u u u r =13AB u u ur ,所以AF u u u r=12a+12b+13(12a-12b)=23a+13b. 故选B.4.在△ABC 中,G 为△ABC 的重心,D 在边AC 上,且CD u u u r =3DA u u u r,则( B )(A)GD u u u r =13AB u u u r +712AC u u u r(B)GD u u u r=-13AB u u u r -112AC u u u r(C)GD u u u r =-13AB u u u r +712AC u u u r (D)GD u u u r=-13AB u u u r+112AC u u u r解析:如图所示,GD u u u r =GA u u u r +AD u u u r,AG u u u r =23×12(AB u u u r +AC u u u r)=13(AB u u ur +AC u u u r ),AD u u u r =14ACu u ur .所以GD u u u r=-(13AB u u u r+13AC u u u r)+14AC u u u r=-13AB u u u r-112AC u u u r. 故选B.5.任意四边形ABCD 中,E,F 分别是AD,BC 的中点,则EF u u u r= (用向量AB u u u r,DC u u u r表示).解析:因为EF u u u r =EA u u u r +AB u u u r +BF u u u r,EF u u u r =ED u u u r +DC u u u r +CF u u u r ,所以2EF u u u r =AB u u u r +DC u u u r +BF u u u r +CF u u u r +EA u u u r +ED u u u r =AB u u u r +DC u u u r, 所以EF u u u r =12(AB u u u r +DC u u u r). 答案:12(AB u u u r+DC u u u r) 类型三 共线向量定理6.已知O 为△ABC 内一点,且AO u u u r =12(OB u u u r +OC u u u r ),AD u u u r =t AC u u u r,若B,O,D 三点共线,则t 等于( B ) (A)14(B)13(C)12(D)23解析:设E 是BC 边的中点, 则12(OB u u u r +OC u u u r )=OE u u u r,由题意得AO u u u r =OE u u u r,所以AO u u u r =12AE u u ur =14(AB u u u r +AC u u u r )=14AB u u u r +14AD tu u ur ,又因为B,O,D 三点共线,所以14+14t =1,解得t=13, 故选B.7.已知点P 是△ABC 所在平面内一点,边BC 的中点为D,若2PD u u u r=(1-λ)PA u u u r +CB u u ur ,其中λ∈R,则P 点一定在( C )(A)AB 边所在的直线上 (B)BC 边所在的直线上 (C)AC 边所在的直线上 (D)△ABC 的内部 解析:因为D 为边BC 的中点, 所以2PD u u u r =PB u u u r +PC u u u r=(1-λ)PA u u u r +CB u u u r=(1-λ)PA u u u r+PB u u u r -PC u u u r, 即2PC u u u r=(1-λ)PA u u u r, 故A,P,C 三点共线,即点P 在AC 边所在的直线上. 故选C.8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA u u u r -4OB u u u r +3OCu u u r=0,则AB BCu u u r u u u r 等于( A )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:由OA u u u r-4OB u u u r+3OC u u u r=0,得OA u u u r -OB u u u r =3(OB u u u r -OC u u u r ),即BA u u u r =3CB u u u r, 所以AB u u u r =3BC u u u r, 所以|AB u u u r |=3|BC u u u r|, 所以AB BCu u u r u u u r =3.故选A.。
