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①| a|=|||a| ; ②当 ＞0 时， a与a的方向相同；当 ＜0 时，a 与a的方向相反；当=0时， a= 0 . (2)运算律：设、μ∈R，则： ① (μa)=(μ)a ;②(+μ)a= a+μa; ③ (a+b)= a+ b .
4.两个向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ， 使得b= a .
是
（）
A.a,b方向相同
B.a,b两向量中至少有一个为零向量
C. ∈R,b= a D.存在不全为零的实数1, 2,1a+ 2b=0
知能迁移3 设两个非零向量e1和e2不共线. (1)如果AB=e1-e2,BC =3e1+2e2,CD =-8e1-2e2,求证: A、C、D三点共线；
（2）如果AB=e1+e2,BC =2e1-3e2,CD =2e1-ke2,且A、 C、D三点共线，求k的值.
（1）证明 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2,CD =-8e1-2e2,
2
22
AG AB BG AB 2 BE 3
AB 1 (BA BC) 3
2 AB 1 ( AC AB) 33
1 AB 1 AC 1 a 1 b.
33
33
探究提高 （1）解题的关键在于搞清构成三角形
的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的
相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转
定时检测
一、选择题
1.（2009·湖南理，2）对于非零向量a、b,“a+b=0”
是“a∥b”的
（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当a+b=0时，a=-b,∴a∥b;
当a∥b时，不一定有a=-b.
∴“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.
2.已知O为△ABC内一点，且 OA OC 2OB =0，则△AOC与△ABC的面积之比是（ A）
第五编 平面向量
§5.1 平面向量的概念及其线性运算 基础知识 自主学习
要点梳理
1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向 量的大小叫做向量的 长度 （或模）. (2)零向量： 长度为0的向量叫做零向量，其方向是 任意 的. (3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量 又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一条直 线上. 规定：0与任一向量平行 . (5)相等向量：长度 相等且方向相同 的向量. (6)相反向量：长度 相等且方向相同的向量.
题型二 平面向量的线性运算
【例2】在△ABC中，D、E分别为
BC、AC边上的中点，G为BE上
一点，且GB=2GE，设 AB=a， AC =b，试用a、b表示AD ，AG . 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法
则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.
解 AD 1 ( AB AC) 1 a 1 b ;
解析 如图所示,
∵E是OD的中点,
∴OE 1 BD 1 b. 44
又∵△ABE∽△FDE,
∴ AE BE 3.
EF DE 1
∴ AE =3
EF
,∴
AE =
3 4
AF .
在△AOE中, AE= AO OE 1 a 1 b.
24
∴ AF= 3 AE 2 a 1 b.
4 33
答案 B
5.（2008·海南理，8）平面向量a,b共线的充要条件
2.向量的加法和减法 （1）加法 ①法则：服从三角形法则、平行四边形法则. ②运算性质： a+b= b+a (交换律）； (a+b)+c= a+(b+c)（结合律）； a+0= 0+a = a. (2)减法 ①减法与加法互为逆运算； ②法则：服从三角形法则.
3.实数与向量的积
（1）长度与方向规定如下：
③正确.
④不正确.当b=0时， a∥c不一定成立. 答案 D
5.在四边形ABCD中， AB=a+2b，BC =-4a-b，CD =-5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（ A ）
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
解析 由已知得 AD AB BC CD =-8a-2b， 故AD 2 BC ，由共线向量知识知AD∥BC， 且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形，所以选A.
题型分类 深度剖析
题型一 平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题
①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D
必在同一AB条直线上C；D ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
由平面向量的基本定理，
得 3=2 -2=- k,解之得
=3
2
,k= 4 3
.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是 十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.
2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点， 最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为 零向量.
AC AB BC
=4e1+e2=
1 2
(-8e1-2e2)=
1 CD 有公共点C，
∴A、C、D三点共线.
（2）解 AC AB BC =（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2， ∵A、C、D三点共线，∴ AC与 CD共线，
从而存在实数 使得 AC= CD ， 即3e1-2e2= (2e1-ke2),
c 2（b c） 2 b 1 c.
3
33
4.（2008·广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与
BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交
于点F.若 A=Ca, B=Db,则 A等F 于
（）
A. 1 a 1 b 42
C. 1 a 1 b 24
B.2 a 1 b 33
D.1 a 2 b 33
（1）证明 ∵ AB =a+b,BC =2a+8b,
CD =3（a-b），
∴BD BC CD =2a+8b+3（a-b）
=2a+8b+3a-3b
=5（a+b）=5 AB .
4分
∴AB 、BD 共线， 又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线. 6分
（2）解 ∵ka+b与a+kb共线，
∴存在实数 ，使ka+b=(a+kb), 即ka+b= a+ kb. ∴（k- ）a=( k-1)b.
其中假命题的个数为
（）
A.2
B.3
C.4
D.5
思维启迪 熟练掌握向量的有关概念并进行判断.
解析 ①中，∵向量AB与 BA 互为相反向量， ∴它们的长度相等，∴此命题正确.
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方
向不一定相同或相反，∴此命题错误.
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k- = k-1=0,∴k2-1=0.
∴k=±1.
9分 12分
探究提高 （1）向量共线的充要条件中要注意当 两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共 线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思 想. （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但 应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向 量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
等于
（ A）
A. BC 1 BA
2
B. BC 1 BA
2
C. BC 1 BA
2
D. BC 1 BA
2
解析 ∵D是AB的中点，∴ BD 1 BA
2 CD CB BD BC 1 BA.
2
3. （ 2009· 北 京 理 ， 2 ） 已 知 向 量 a 、 b 不 共 线 ，
c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d，那么（ D ）
（ B）
D. PA PB PC 0
解析 因为BC BA 2 BP ，所以点P为线段AC的 中点，即 PC PA 0 ，如图.
题型三 共线向量问题 【例3】 （12分）设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB=a+b，BC =2a+8b，CD =3（a-b）. 求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使 ka+b和a+kb共线. 思维启迪 （1）由已知求 B→D判断 与AB的关BD系→判断 A、B、D的关系. （2）应用共线向量的充要条件→列方程组→ 解方程组得k值.
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶3
D.1∶1
解析 设AC的中点为D，则 OA OC 2OD ∴ OA OC 2OB 2OD 2OB 0，∴ OD OB, 即点O为AC边上的中线BD的中点，∴ SAOC 1.
SABC 2
3.(2008·全国Ⅰ理，3)在△ABC中，AB =c，AC=b,
知能迁移1 下列结论中，不正确的是 （ D ）
A.向量 AB ，CD 共线与向量 AB∥CD 同义 B.若向量 AB ∥ CD ，则向量 AB 与 DC 共线 C.若向量 AB = CD ，则向量 AB = DC D.只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b 解析 根据平行向量（或共线向量）定义知A、B均 正确；根据向量相等的概念知C正确；D不正确.
