大学高数向量及其线性运算

向量的线性运算向量的加法和数乘向量的线性运算：向量的加法和数乘向量是数学中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

在线性代数中，向量的线性运算是一项基础且重要的内容。

本文将重点介绍向量的加法和数乘两种线性运算，以及它们的性质和应用。

一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相应位置上的元素进行相加得到一个新的向量。

设有两个向量：向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)和向量B = (b₁,b₂, ..., bₙ)，则它们的加法可表示为：A +B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)其中，a₁ + b₁表示A和B的第一个元素相加，a₂ + b₂表示A和B的第二个元素相加，以此类推。

需要注意的是，参与加法运算的两个向量必须有相同的维度，即拥有相同数量的元素。

向量的加法具有以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量A和B，有A + B = B + A。

即向量的加法满足交换律，顺序可以交换而不影响结果。

2. 结合律：对于任意三个向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B +C)。

即向量的加法满足结合律，可以按照任意顺序进行多次加法运算。

3. 零向量：对于任意向量A，存在一个全零向量0，使得A + 0 = A。

即任何向量与零向量进行加法运算，结果仍为原向量本身。

向量的加法有着广泛的应用，例如在力学中，将多个力的作用效果用向量的加法表示；在几何学中，将多个向量的位移用向量的加法表示等等。

二、向量的数乘向量的数乘是指将一个实数乘以一个向量的每个元素得到一个新的向量。

设有一个向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)，实数k，则它们的数乘可表示为：kA = (ka₁, ka₂, ..., kaₙ)即向量A的每个元素都乘以k得到新的元素。

这里的实数k称为标量，而向量A称为向量kA的标量倍。

需要注意的是，标量与向量进行数乘时，不改变向量的维度。

向量的数乘具有以下性质：1. 结合律：对于任意实数k₁和k₂以及向量A，有(k₁k₂)A =k₁(k₂A)。

高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。

2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。

3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。

4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。

ay。

az)，向量b=(bx。

by。

bz)，则a±b=(ax±bx。

ay±by。

az±bz)，λa=(λax。

λay。

λaz)。

5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。

二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。

2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。

三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。

2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。

3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。

4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。

2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

高数大一下知识点总结向量高数大一下知识点总结：向量一、向量的概念与表示方法在数学中，向量是有大小和方向的量，常常用于表示位移、速度、力等。

表示向量的常见方法有以下几种：1. 基本表示法：用一个有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 坐标表示法：在坐标系中，可以用有序数组或矩阵来表示向量，其中元素表示向量在各个坐标轴上的分量。

3. 分解表示法：将向量沿着坐标轴的方向进行分解，得到该向量在各个坐标轴上的分量。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量加法是指将两个向量按照相同的方向相加，得到一个新的向量。

向量的加法满足交换律和结合律。

2. 向量的数量积：向量的数量积，又称为内积或点积，是指将两个向量的对应分量相乘，然后将乘积相加得到一个数值。

3. 向量的向量积：向量的向量积，又称为叉积或外积，是指通过对两个向量进行交叉运算得到一个新的向量。

三、向量的性质与定理1. 向量的模：向量的模是指向量的大小，通常用两个竖线表示。

向量的模等于向量的长度。

2. 零向量：零向量是指所有分量都为零的向量，其方向可以是任意方向。

零向量与任何向量相加都会得到原向量本身。

3. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则这两个向量被称为是平行的。

4. 垂直向量：如果两个向量的数量积为零，则这两个向量被称为是垂直的。

5. 向量的模长公式：设向量a=(a1, a2, ..., an)，则向量a的模长等于sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)。

四、常用的向量运算公式1. 向量加法公式：设向量a=(a1, a2, ..., an)，向量b=(b1, b2, ..., bn)，则 a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。

2. 两向量数量积的公式：设向量a=(a1, a2, ..., an)，向量b=(b1, b2, ..., bn)，则 a·b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn。

第八章；向量代数与空间解析几何 1.向量及其线性运算1.1向量概念及线性运算1.2 向量的方向角，方向余弦，在某轴的投影例：(,,)OA x y z =，则，cos ||||x x OA r α==，cos ||||y y OA r β==，cos ||||z z OA r γ== 投影||cos ba a Prj ϕ=2.向量的数量积，向量积，混合积：||||cos a b a b θ⋅= ，||||||sin a b a b θ⨯=，xy z xyzi j ka b a a a b b b ⨯=()xy z xy z x yza a a abc b b b c c c ⨯⋅=3.平面 3.1 平面方程（1） 平面的点法式方程：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= （2） 平面的一般方程:0Ax By Cz D +++=（3） 平面的截距式方程:1x y za b c++= （知三点求平面方程：利用任意两点做差乘得法向量，在利用另一点用点法式可得）3.2两平面的夹角11111:0A x B y C z D ∏+++=22222:0A x B y C z D ∏+++=夹角余弦：cos θ=121212120A A B B C C ∏⊥∏⇐⇒++=11112222//A B C A B C ∏∏⇐⇒==4.空间直线4.1 空间直线的方程（1）一般式：可看作两平面交线 （2）对称式：000x x y y z z m n p---== （3）参数式：000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩4.2空间直线的位置关系121212120L L m m n n p p ⊥⇐⇒++=；11112222//m n p L L m n p ⇐⇒==5.点线面距离：66设()()()000011112222,,,,,,,,M x y z M x y z M x y z === （1）两点间距离公式：12M M =（2）点线距离，直线过M1，方向向量为v ，|1|||MM v d v ⨯=（3）两直线间距离：设L1,L2 分别过M1,M2, 且方向向量分别为1s ，2s， 则()1212|1||MM s s d s s ⋅⨯=⨯ 6.曲面及其方程6.1旋转曲面：平面曲线绕其坐标轴旋转时，则该坐标轴对应的变量不变，另一变量改为该变量与第三个变量平方和的正负平方根，如设有曲线(,)0:0f x y L z =⎧⎨=⎩其绕x 轴旋转形成的旋转曲面方程为:(,0f x =绕Y 轴旋转形成的旋转曲面方程为:()0f y =例：球面：2221x y z ++= 圆锥面：222x y z +=旋转双曲面：2222221x y z a a c+-=6.2柱面： 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面，这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. （曲面方程缺一个变量） 例：圆柱面：222x y R += 抛物柱面：22(0)x pyp =>椭圆柱面：22221x y a b+=6.3二次曲面（1）椭球面：2222221x y z a b c++=(2) 椭圆抛物面：（3）马鞍面：2222x y z p q-+=（4）单叶双曲面2222221x y z a b c +-=（5）双叶双曲面：2222221x y z a b c --=（6）双曲抛物面2222x y z a b-=（马鞍面）（7）椭圆锥面：22222x y z a b+=（z=xy 为马鞍面）7. 空间曲线方程,投影(1)空间曲线的一般方程:(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(2)空间曲线的参数方程:()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(3) 曲线在xoy 面上的投影曲线为:(,)0H x y z =⎧⎨=⎩练习题：1. 椭圆222210y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕oy 轴旋转而成的曲面方程为（ ）。

⾼等数学：向量及其线性运算四、向量的模、⽅向⾓、投影两个向量的夹⾓：即间任意取值．规定它们的夹⾓可在0与?之OBAj向量的⽅向⾓：?、?、?(0??对于⾮零向量?我们可以⽤它与三条坐标轴的夹⾓向量的⽅向余弦：因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以ax?||cos?；ay?||cosb；az?||cosg；上述cos?、cos?、cos?叫做向量的⽅向余弦．向量的模的坐标表⽰：向量的⽅向余弦的坐标表⽰：当?0时，可得⽅向余弦的平⽅和：单位向量的表⽰：?{cos?，cos?，cos?}．向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A?和B?.称有向线段A?B?为定义的投影向量或射影向量.向量AB在轴u上B''BA''uA机动⽬录上页下页返回结束称向量AB在轴u上的投影，记作向量的投影性质.定理(投影定理)设向量AB与轴u的夹⾓为?则PrjuAB=|AB|·cos?B?BA?Au?B1??机动⽬录上页下页返回结束解致的单位向量．过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上，⽽z轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．⼀、向量的概念及线性运算⼆、空间直⾓坐标系三、利⽤坐标作向量的线性运算§6．1向量及其线性运算四、向量的模、⽅向⾓及投影1、向量的概念：既有⼤⼩，⼜有⽅向的量叫做向量．在数学上，⽤⼀条有⽅向的线段(称为有向线段)来表⽰向量．有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，有向线段的⽅向表⽰向量的⽅向．例如⼒、⼒矩、位移、速度、加速度等都是向量．⼀、向量的概念及线性运算以M1为起点、M2为终点的有向线段所表⽰的向量，记作．向量的符号：向量可⽤粗体字母表⽰，也可⽤上加箭头书写体字母表⽰，例如，b，i，j，k，F，M1M2由于⼀切向量的共性是它们都有⼤⼩和⽅向，所以在数学上我们只研究与起点⽆关的向量，并称这种向量为⾃由向量，简称向量．⾃由向量：因此，如果向量a和b的⼤⼩相等，且⽅向相同，则说向量a和b是相等的，记为a?b．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的模：单位向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0．零向量的起点与终点重合，它的⽅向可以看作是任意的．模等于1的向量叫做单位向量．零向量：向量的⼤⼩叫做向量的模．向量的平⾏：零向量认为是与任何向量都平⾏．两个⾮零向量如果它们的⽅向相同或相反，就称这两个向量平⾏．向量a与b平⾏，记作a//b．2、向量的线性运算向量的加法：再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取⼀点A，作?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，bacaABbCbbaa注意求和过程：再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取⼀点A，作?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，cab向量的加减法向量的加法：这种作出两向量之和的⽅法叫三⾓形法则．平⾏四边形法则：AD 为边作⼀平⾏四边形ABCD，以AB、C连接对⾓线AC，当向量a与b不平⾏时，作?a，?b，那么向量等于向量a与b的和a?b．bacaABbD负向量：向量的减法：设a为⼀向量，与a的模相同⽽⽅向相反的向量叫做a的负向量，记为?a．我们规定两个向量b与a 的差为b?a?b?(?a)．即把向量?a加到向量b上，便得b与a的差b?a．a-ab-abb?ab?aa三⾓不等式：由三⾓形两边之和⼤于第三边的原理，有|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|，其中等号在b与a同向或反向时成⽴．a+babaa?bb向量与数的乘法向量a与实数?的乘积记作?a，规定?a是⼀个向量，它的模|?a|?|?||a|，它的⽅向当?>0时与a相同，当??0时，|?a|?0，即?a为零向量，当?<0时与a相反．向量平⾏的充分必要条件：定理1设向量a?0，那么，向量b平⾏于a的充分必要条件是：存在唯⼀的实数?，使b??a．向量的单位化：设a?0，则向量是与a同⽅向的单位向量，记为．于是a?|a|．解由于平⾏四边形的对⾓线互相平分，所以baABCDM形对⾓线的交点．⼆、空间直⾓坐标系O过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．y轴(纵轴)z轴(竖轴)(坐标)原点x轴(横轴)x1y1z1拇指⽅向四指转向右⼿规则三条坐标轴中的任意两条可以确定⼀个平⾯，这样定出的三个平⾯统称为坐标⾯．x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯，另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯.坐标⾯：OzyxOzyx三条坐标轴中的任意两条可以确定⼀个平⾯，这样定出的三个平⾯统称为坐标⾯．x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯，另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯.坐标⾯：Ozyx第⼀卦限卦限：三个坐标⾯把空间分成⼋个部分，每⼀部分叫做卦限．Ozyx第⼆卦限卦限：第三卦限Ozyx卦限：Ozyx第四卦限卦限：Ozyx第五卦限卦限：Ozyx第六卦限卦限：Ozyx第七卦限卦限：Ozyx第⼋卦限卦限：点的坐标：设M为空间⼀已知点．过点M作三个平⾯分别垂直于x轴、y轴和z轴，三个平⾯在x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q、R，在x轴、y轴和z轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、z的点M记为M(x，y，z)．OxyzPRxzyMQM1M2=OM2?OM1=(x2i+y2j+z2k)?(x1i+y1j+z1k)=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)kzxyM1M2o机动⽬录上页下页返回结束设M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)为空间两点．??ax?ay?az上式称为向量按基本单位向量的分解式．=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)k向量在三个坐标轴上的投影ax、ay、az叫做向量的坐标，并记?{ax、ay、az}，此式叫做向量的坐标表⽰式．注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是三个数ax，ay，az，⽽向量在坐标轴上的分向量是三个向量d=|M1M2|=向径：以原点O为起点，向⼀个点M引向量，OxyzMr这个向量叫做点M对于点O的向径，三、利⽤坐标作向量的线性运算：则?{ax?bx，ay?by，az?bz}．?{ax-bx，ay-by，az-bz}．?{?ax，?ay，?az}．，利⽤向量的坐标判断两个向量的平⾏：则即于是过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上，⽽z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．。