向量及其线性运算

空间向量及其线性运算1.空间向量及其线性运算【知识点的认识】1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.f f2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为I, II特别地：f①规定长度为0的向量为零向量，记作0;②模为1的向量叫做单位向量；3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.ff4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如的相反向量记为. _5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.6.注意：f①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小.1.加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.BA = OA - OB = a - b2 .加法运算律: 空间向量的加法满足交换律及结合律.(1)交换律：+3.推广: (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:1 2 + 2 3 + 3 4 +^+ _1(求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1 .空间向量的数乘运算④|入|=|入|・加法的三甬形法则 加法的平行四边形法贝ij 减法的三眉形法则 一 的长度是 的长度的|入|倍.(2)结合律：(+ ) ++( + )•1 2 +2 3 + 3 4 +一 + 一1=0.实数入与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算. ①当入 >0时 一与的方向相同;②当入<0时 一与的方向相反; ③当入=0时 一 0.空间向量的数乘满足分配律及结合律.一②(入+P )=+一一 (2)结合律：()=( )A<0(1)分配律:一 一 ①（+ ）= + 注意：实数和空间向量可 行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算.。

向量的线性运算向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。

本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。

一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。

设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。

向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：A+B=B+A2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。

二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。

设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。

向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。

三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。

设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。

向量的数乘满足以下性质：1. 分配律：k(A+B)=kA+kB2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数四、向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。

设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。

向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。

向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。

通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。

在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。

例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。

综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。

通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。

向量的线性运算及其性质向量是线性代数中的重要概念，是指由一组数按照一定规律排列而成的有序数列。

向量的线性运算是指在向量空间中，对两个或多个向量进行数学运算的过程，其中包括向量加法和数量乘法等两种基本运算。

一、向量加法向量加法是向量运算中最基本的一种运算方式。

在向量空间中，向量加法的定义是两个向量相同位置上的数值相加。

例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的加法定义为：a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)在向量加法中，满足加法交换律和结合律。

即对于任意向量a,b,c，有：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)此外，零向量也是一个特殊的向量，它的各个分量都为0，记为0。

对于任意向量a，都有：a+0=a二、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个常数。

常数也称为标量，表示为k。

例如，对于向量a=(a1,a2,a3)，其数量乘法定义为：ka=(ka1,ka2,ka3)在数量乘法中，也满足交换律和结合律。

即对于任意向量a，b 和任意实数k，有：k(a+b)=ka+kb(k1k2)a=k1(k2a)此外，特别地，当k=0时，有：0a=0这个公式表示了任何向量与零向量相乘结果都是零向量。

三、线性组合如果给定一个向量集合，可以通过线性组合的方式来构造出一个新的向量。

线性组合的形式是将每个向量分别与对应的系数相乘后相加，例如：k1a1+k2a2+k3a3其中k1，k2，k3为实数，a1，a2，a3为向量。

线性组合可以看作是向量加法和数量乘法的叠加，它有着很多重要的性质。

线性组合是向量空间中的重要概念，它可以用于描述向量之间的关系。

四、向量空间向量空间是指一组向量所组成的空间，其中的向量可以进行向量加法和数量乘法等线性运算。

向量空间必须满足以下条件：1. 零向量存在并唯一。

2. 加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。

3. 对于任意向量a，都有它的相反向量-b，使得a+b=0。

第1讲 向量代数—向量及其线性运算主要内容1 向量的概念2 向量的线性运算3空间直角坐标系4利用坐标进行线形运算5向量的模、方向角、投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数在平面解析中. 通过坐标法把平面上的点与一对有次序地数对应起来，就可以把平面上的图形和方程对应起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.本章中我们先介绍向量的概念及向量的某些运算，然后再介绍空间解析几何，其主要内容包括平面和直线方程、一些常用的空间曲线和曲面的方程以及关于它们的某些基本问题.这些方程的建立和问题的解决是以向量作为工具的. 正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，本章的内容对以后学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.第一节 向量及其线性运算一、向量的概念.既有大小，又有方向。

例如位移、速度、加速度等等。

二、向量的线性运算：向量的加减法, 向量与数的乘法定理1 设向量0≠a , 那末向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使a b λ=.定理1是建立数轴的理论依据. 我们知道，确定一条数轴, 需要给定一个点、一个方向及单位长度. 由于一个单位向量既确定了方向, 又确定了单位长度, 因此, 只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.三、空间直角坐标系特钲四、利用坐标进行线形运算(=+b ak b a j b a i b a z z y y x x )()()+++++(=-b ak b a j b a i b a z z y y x x )()()-+-+- (=aλk a j a i a z y x )()()λλλ++五、向量的模、方向角、投影性质1 ϕcos ||Pr a a j u = （ϕ为向量a与u 轴的夹角）;性质2 b j a j b a j u u uPr Pr )(Pr +=+;性质3 a j a j u uPr )(Pr λλ= （λ为实数）.例题选讲：1.向量的线性运算例1 化简 13325.25b a a b b ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭例2 在平行四边形ABCD 中, 设,,AB a AD b == 试用a和b 表示向量,,MA MB MC 和MD, 这里M 是平行四边形对角线的交点.解：由对角线互相平分，所以()2,a b A C A M +==即()2,a b MA -+=于是1()2MA a b =-+，111(),(),()222MC a b MD b a MB a b =+=-=-例3 在x 轴上取定一点O 作为坐标原点. 设A , B 是x 轴上坐标依次为21,x x的两个点, i是与x 轴同方向的单位向量, 证明 21().AB x x i =-2.空间两点间的距离例4 已知点)10,3,4(),4,1,2(B A ，写出以线段AB 为直径的球面方程。

⾼等数学：向量及其线性运算四、向量的模、⽅向⾓、投影两个向量的夹⾓：即间任意取值．规定它们的夹⾓可在0与?之OBAj向量的⽅向⾓：?、?、?(0??对于⾮零向量?我们可以⽤它与三条坐标轴的夹⾓向量的⽅向余弦：因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以ax?||cos?；ay?||cosb；az?||cosg；上述cos?、cos?、cos?叫做向量的⽅向余弦．向量的模的坐标表⽰：向量的⽅向余弦的坐标表⽰：当?0时，可得⽅向余弦的平⽅和：单位向量的表⽰：?{cos?，cos?，cos?}．向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A?和B?.称有向线段A?B?为定义的投影向量或射影向量.向量AB在轴u上B''BA''uA机动⽬录上页下页返回结束称向量AB在轴u上的投影，记作向量的投影性质.定理(投影定理)设向量AB与轴u的夹⾓为?则PrjuAB=|AB|·cos?B?BA?Au?B1??机动⽬录上页下页返回结束解致的单位向量．过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上，⽽z轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．⼀、向量的概念及线性运算⼆、空间直⾓坐标系三、利⽤坐标作向量的线性运算§6．1向量及其线性运算四、向量的模、⽅向⾓及投影1、向量的概念：既有⼤⼩，⼜有⽅向的量叫做向量．在数学上，⽤⼀条有⽅向的线段(称为有向线段)来表⽰向量．有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，有向线段的⽅向表⽰向量的⽅向．例如⼒、⼒矩、位移、速度、加速度等都是向量．⼀、向量的概念及线性运算以M1为起点、M2为终点的有向线段所表⽰的向量，记作．向量的符号：向量可⽤粗体字母表⽰，也可⽤上加箭头书写体字母表⽰，例如，b，i，j，k，F，M1M2由于⼀切向量的共性是它们都有⼤⼩和⽅向，所以在数学上我们只研究与起点⽆关的向量，并称这种向量为⾃由向量，简称向量．⾃由向量：因此，如果向量a和b的⼤⼩相等，且⽅向相同，则说向量a和b是相等的，记为a?b．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的模：单位向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0．零向量的起点与终点重合，它的⽅向可以看作是任意的．模等于1的向量叫做单位向量．零向量：向量的⼤⼩叫做向量的模．向量的平⾏：零向量认为是与任何向量都平⾏．两个⾮零向量如果它们的⽅向相同或相反，就称这两个向量平⾏．向量a与b平⾏，记作a//b．2、向量的线性运算向量的加法：再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取⼀点A，作?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，bacaABbCbbaa注意求和过程：再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取⼀点A，作?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，cab向量的加减法向量的加法：这种作出两向量之和的⽅法叫三⾓形法则．平⾏四边形法则：AD 为边作⼀平⾏四边形ABCD，以AB、C连接对⾓线AC，当向量a与b不平⾏时，作?a，?b，那么向量等于向量a与b的和a?b．bacaABbD负向量：向量的减法：设a为⼀向量，与a的模相同⽽⽅向相反的向量叫做a的负向量，记为?a．我们规定两个向量b与a 的差为b?a?b?(?a)．即把向量?a加到向量b上，便得b与a的差b?a．a-ab-abb?ab?aa三⾓不等式：由三⾓形两边之和⼤于第三边的原理，有|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|，其中等号在b与a同向或反向时成⽴．a+babaa?bb向量与数的乘法向量a与实数?的乘积记作?a，规定?a是⼀个向量，它的模|?a|?|?||a|，它的⽅向当?>0时与a相同，当??0时，|?a|?0，即?a为零向量，当?<0时与a相反．向量平⾏的充分必要条件：定理1设向量a?0，那么，向量b平⾏于a的充分必要条件是：存在唯⼀的实数?，使b??a．向量的单位化：设a?0，则向量是与a同⽅向的单位向量，记为．于是a?|a|．解由于平⾏四边形的对⾓线互相平分，所以baABCDM形对⾓线的交点．⼆、空间直⾓坐标系O过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．y轴(纵轴)z轴(竖轴)(坐标)原点x轴(横轴)x1y1z1拇指⽅向四指转向右⼿规则三条坐标轴中的任意两条可以确定⼀个平⾯，这样定出的三个平⾯统称为坐标⾯．x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯，另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯.坐标⾯：OzyxOzyx三条坐标轴中的任意两条可以确定⼀个平⾯，这样定出的三个平⾯统称为坐标⾯．x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯，另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯.坐标⾯：Ozyx第⼀卦限卦限：三个坐标⾯把空间分成⼋个部分，每⼀部分叫做卦限．Ozyx第⼆卦限卦限：第三卦限Ozyx卦限：Ozyx第四卦限卦限：Ozyx第五卦限卦限：Ozyx第六卦限卦限：Ozyx第七卦限卦限：Ozyx第⼋卦限卦限：点的坐标：设M为空间⼀已知点．过点M作三个平⾯分别垂直于x轴、y轴和z轴，三个平⾯在x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q、R，在x轴、y轴和z轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、z的点M记为M(x，y，z)．OxyzPRxzyMQM1M2=OM2?OM1=(x2i+y2j+z2k)?(x1i+y1j+z1k)=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)kzxyM1M2o机动⽬录上页下页返回结束设M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)为空间两点．??ax?ay?az上式称为向量按基本单位向量的分解式．=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)k向量在三个坐标轴上的投影ax、ay、az叫做向量的坐标，并记?{ax、ay、az}，此式叫做向量的坐标表⽰式．注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是三个数ax，ay，az，⽽向量在坐标轴上的分向量是三个向量d=|M1M2|=向径：以原点O为起点，向⼀个点M引向量，OxyzMr这个向量叫做点M对于点O的向径，三、利⽤坐标作向量的线性运算：则?{ax?bx，ay?by，az?bz}．?{ax-bx，ay-by，az-bz}．?{?ax，?ay，?az}．，利⽤向量的坐标判断两个向量的平⾏：则即于是过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上，⽽z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．。