2 向量及其线性运算

由勾股定理得
r r = OM
对两点 与 因
P x
= x2 + y2 + z2
得两点间的距离公式:
= (x2 x1) + ( y2 y1) + (z2 z1)
2 2
2
例2. 求证以 的三角形是等腰三角形 . 证:
为顶点
Q M1M2 = (7 4)2 + (1 3)2 + (2 1)2 = 14
解:设所求点的坐标为C(0,y,0) 由题意|AC|=|BC| 由两点间距离公式得:
(1 0) 2 + (3 y ) 2 + (7 0) 2 = (5 0) 2 + (7 y ) 2 + ( 5 0) 2
解之y=2
因此所求点C(0,2,0)
2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角α , β , γ 为其方向角 方向角. 方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 方向余弦. 方向余弦 x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ π ) 为向量
坐标原点 坐标轴 坐标面
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
卦限(八个) Ⅶ
oxoy面
y
y轴(纵轴) Ⅵ
x
x轴(横轴) Ⅷ Ⅴ
在直角坐标系下
→ → 点 M ← 有序数组 (x, y, z) ← 向径 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标 特殊点的坐标 :
11
11
原点 O(0,0,0) ;
坐标轴上的点 P, Q , R ;
第一节 向量及其线性运算
一,空间直角坐标系 二,向量与向量的线性运算 三,向量的坐标表示
第七章 七
向量的模,方向角, 四,向量的模,方向角,方向余弦
一,空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z z 轴(竖轴)
yoz面
本章教学要求:
(1)理解空间直角坐标系. (2)理解向量的概念. (3)掌握向量的坐标表示及运算(线性运算,内积及外积)会求两个向量的夹 角,知道向量的方向余弦,知道两个向量平行与垂直的充要条件. (4)了解平面方程,直线方程的概念,会求简单的平面方程,直线方程. (5)了解曲面方程的概念.知道常用二次曲面的方程其图形,知道以坐标轴为 旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形. (6)知道空间曲线的参数方程和一般方程,会求简单空间曲线在坐标平面上投影. 单元教学重点: 向量的概念,向量的坐标表示及运算,两个向量平行与垂直的充要条件.简单的 平面方程与直线方程的确定,常用二次曲面的方程及其图形.
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
r
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0)
A(x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
二,向量与向量的线性运算
1,向量的概念 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 向量的模 : 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向量的大小,
z
沿三个坐标轴方向的分向量 分向量. 分向量
r r 设 a = ( ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) , λ 为 数, 实 则 r r a ±b = (ax ± bx , ay ± by , az ± bz ) r (λ a , λ a , λ a ) λa = x y z
r r的夹角. a,b
z
r γ r β o α x
y
x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 y y cos β = r = r x2 + y2 + z2 z z cos γ = r = r x2 + y2 + z2
方向余弦的性质:
z
r γ r β o α x
y
例4. 已知两点
r r r r λ(a + b) = λ a + λ b 1 r ro r r r a. 因此 a = a ao 则 单 向 a = a 有 位 量 r
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则 定理 a‖b 证: " ". 设 a‖b , 取 λ=± (λ 为唯一实数) , a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 λ a 同向, 且
2 2
因点 A 在第一卦限 , 故 cosγ = 1 , 于是 2
cos γ =1 cos α cos β = 1 4
2
o
OA= OA OA = 6( 1 , 2
故点 A 的坐标为 (3, 3 2, 3).
2 1 , ) 2 2 = (3, 3
2, 3)
r r r r r r r r r r r 1. 设 m = 3 i + 5 j + 8k , n = 2 i 4 j 7 k , p =5i + j r r r r r 求向量 a = 4 m + 3n p 在 x 轴上的投影及在 y 4k ,
轴上的分向量. 解: 因
备用题
故在 x 轴上的投影为 a x=13
r r 在 y 轴上的分向量为 ay j = 7 j
2. 设 m = i + j, n = 2 j + k, 求以向量 m, n 为边的平 行四边形的对角线的长度 . 解: 对角线的长为
| m n |
Q m +n = ( 1, 1,1) mn = (1, 3, 1)
2,向量的线性运算 ,
1. 向量的加法 平行四边形法则:
( a + b) + c
c
b+ c b
b a+ b
三角形法则:
a + (b + c)
a
a+ b b
a+ b
a
运算规律 : 交换律
a +b = b + a 结合律 ( a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c
a
a +b = AC
= 2 MA = 2 MB
MD = 1 ( b a) 2
D
b
C
b a = BD
MC = 1 ( a + b) 2
∴ MA = 1 ( a + b) MB = 1 (b a ) A 2 2
M a B
三. 向量的坐标表示
r r r 以i , j , k 分 表 x, y , z 轴 的 位 量 , 设点 M 别 示 上 单 向
和
计算向量
的模 ,方向余弦和方向角 . 解:
M1M2 = ( 1 2, 3 2 , 0 2 )
= (1, 1, 2 )
(1)2 +12 + ( 2)2 = 2
1 cos β = , 2
2π , 3
π
3
,
2 cosγ = 2 3π 4
例5. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 π , π , 且 OA = 6, 求点 A 的坐标 . 3 4 解: 已知 α = π , β = π , 则 3 4
∴ | m+ n = 3
n
m
| m n = 11
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
�
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a=b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a‖b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, , , 记作-a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
=
=b
故 b = λ a.
再证数 λ 的唯一性 . 设又有 b= a , 则 (λ ) a = 0
故 λ = 0, 即λ = .
"
" 已知 b=λ a , 则 b=0 a , b 同向 a , b 反向 ABCD 对角线的交点,
a‖b
例1. 设 M MC, MD. 用 示
的坐标为 M(x, y , z) , 则 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM = ON + NM = OA + OB + OC
r r r r r = x i + y j + z k = (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 坐标分解式
C r r r r M k j B ro y i A N x
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 a4 a3
a5
s
a2
a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
r λ 是一个数 , λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 λ a .
规定 :
可见 r r r r 总之: λa = λ a 1a = a ; r r r r r 运算律 : 结合律 λ( a) = (λ a) = λ a 1a = a ;