1 2013高考总复习江苏专用（理科）：第五篇 平面向量与复数《第29讲 面向量的综合应用》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）
A级 基础达标演练
(时间：45分钟 满分：80分)
一、填空题(每小题5分，共35分)
1．在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
解析 由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，
可得|CA→|2＝|BC→|2＋|AB→|2，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，所以a·b＋b·c＋c·a＝2cos 120°＋23cos 150°＋0＝－4.
答案 －4
2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状是________．
解析 由(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，
得[(DB→－DA→)＋(DC→－DA→)]·(AB→－AC→)＝0，
所以(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0.
所以|AB→|2－|AC→|2＝0，∴|AB→|＝|AC→|，
故△ABC是等腰三角形．
答案 等腰三角形
3．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足AP→·OA→≤0，BP→·OB→≥0，则OP→·AB→的最小值为________．
解析 由已知得AP→·OA→＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且BP→·OB→＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以OP→·AB→＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.
答案 3 2 4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝1，那么c＝________.
解析 由题知AB→·AC→＋BA→·BC→＝2，
专题一 常以客观题形式考查的几个问题第2讲 平面向量、复数、框图及合情推理
真题试做
1．(2012·湖南高考，理7)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，ABBC＝1，则BC等于( )．
A.3 B.7 C．22 D.23
2．(2012·湖南高考，理12)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
3．(2012·湖南高考，理14)如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝________.
4．(2012·湖南高考，理16)设N＝2n(nN*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N2和后N2个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段N2个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段N2i个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．
(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；
(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．
考向分析
本部分内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或中档题，对平面向量的考查重点是应用或与其他知识的简单综合，出题频率较高；对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义；对框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解；对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和类比能力．
热点例析
热点一 平面向量的运算及应用
(1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(0,1)，|b|＝2，则|2a＋b|的值为__________．
1
（福建专用）2023年高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时闯关（含解析）
一、选择题
1．(2023·宁德质检)已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，那么a·(b·c)等于( )
A．(26，－78) B．(－28，－42)
C．－52 D．－78
解析：选A.a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．
2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，那么F3的大小为( )
A．6
B．2
C．25
D．27
解析：选D.F23＝F21＋F22＋2F1·F2＝28，所以|F3|＝27.
3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，那么a，b夹角的余弦值等于( )
A.865 B．－865
C.1665 D．－1665
解析：选C.b＝(2a＋b)－2a＝(－5,12)，易求得|a|＝5，|b|＝13，那么cos〈a，b〉＝4，3·－5，125×13＝1665.
4．在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，那么三角形ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，
得AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，
即AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0，
∴AC→·2BA→＝0，∴AC→⊥BA→，∴∠A＝90°.应选C.
5．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)，假设m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，那么角A，B的大小分别为( )
A.π6，π3 B.2π3，π6
1 【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题05 平面向量（教师版）
【考纲解读】
1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【考点预测】
高考对平面向量的考点分为以下两类:
(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.
(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.
【要点梳理】
1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;
2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；
3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；
4.两个向量夹角的范围是:[0,];
5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.
【考点在线】
考点一 向量概念及运算
例1. (2012年高考浙江卷理科5)设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
