高三文科数学培优资料——外接球内切球问题

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）

首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：

a^2+b^2=x^2

b+c=y

c^2+a^2=z^2

根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

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1 / 16 八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与切球

当讲到付雨楼老师于2018年1月14日 总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解与例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.

一、有关定义

1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.

2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的接多面体，这个球是这个多面体的外接球.

3．切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的切球.

二、外接球的有关知识与方法

1．性质：

性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；

性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；

性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；

性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；

性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. .

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2 / 16 cab初图2初图1NOO1PEFOO1D1C1B1DCA1O2ABM

2．结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；

结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球一样；

结论3：长方体的外接球直径就是面对角线与与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；

专题4.2 与球相关的外接与内切问题

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.

（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.

（3）球自身的对称性与多面体的对称性；

二．解题策略

类型一 柱体与球

【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCDABCD的表面积为208，118ABBCAA，则该长方体的外接球的表面积为（ ）

A．116 B．106 C．56 D．53

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得出11118104ABBCAAABBCBCAAABAA，由这两个等式计算出2221ABBCAA，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.

【详解】依题意，118ABBCAA，11104ABBCBCAAABAA，

所以，222211112116ABBCAAABBCAAABBCBCAAABAA，

故外接球半径2221292ABBCAAr，

因此，所求长方体的外接球表面积24116Sr.故选：A.

【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.

【举一反三】

1.（2020·河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为3的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．73

B．113 C．5 D．8

高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上， 那么称这个多面

体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接球的问题， 是立体几何的一个重点， 也是高考考查的一个热点 . 考查学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要

运用多面体的知识， 又要运用球的知识， 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系， 而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用 .

一、直接法 (公式法 )

1、求正方体的外接球的有关问题

例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为 .

例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上， 若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为 .

2、求长方体的外接球的有关问题

例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 .

例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，

体积为 16，则这个球的表面积为（ ）.

A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 3.求多面体的外接球的有关问题

例 5 一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直于底面， 已知该

六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为为 3 ，则这个球的体积为 .

解 设正六棱柱的底面边长为 x ，高为 h ，则有 9 ，底面周长

8

6x 3

9 6

8 h 3

3 x2 h x 1

4 2

∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1 ，球心到底面的距离 d

2 3 .∴外

2

接球的半径 R r 2 d 2 . 体积： V 4 R3 .

3

小结 本题是运用公式 R2

的半径的常用公式 .

二、构造法 (补形法 ) r 2 d 2 求球的半径的，该公式是求球

1、构造正方体

例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 .