2020届高三文科数学精准培优专练：外接球(附解析)

外接球专题练习1．已知菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为（）A．πB．8πC．7πD．2．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A．12πB．20πC．24πD．36π3．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．41πD．31π4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．2+2+2B．4+4+2C．2+4+4D．4+4+4 6．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．25πB．C．D．40π7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+2+B．15++C．12++D．18++ 8．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD=（）A．B．2C．D．9．在三棱锥S﹣ABC中，，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．16πC．36πD．72π10．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，则球O的表面积为（）A．9πB．C．4πD．π12．四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB垂直于底面ABCD，且三角形PAB是等边三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．πB．C．4πD．π13．已知三棱锥D﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为的正三角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且AD=8，二面角C﹣AB﹣D 为120°，则球O的表面积为（）A．B．124πC．D．31π14．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1的顶点在球O上，∠ABC=120°，AA1=BC=AB=1，则球O的表面积为（）A．7πB．6πC．5πD．4π15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．23πB．C．D．64π16．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，已知平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E，平面α与平面ABCD交于直线m，与平面ABB1A1交于直线n，则直线m，n所成角的余弦值为（）A．B．C．D．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．19．已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A．B．C．D．21．四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点M是球O1上的动点，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共19小题）22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2CD=2CB=PA=PD，F为AD的中点．（1）证明：PB⊥BC；（2）求直线CF与平面PBC所成角的正弦值．23．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，CD=SB=，SD=4，P为侧棱SD 上的点，SD⊥面APC．（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，试说明理由．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，PD=AD=，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．26．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是边长为2的等边三角形，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，PA=2CD，PD=，E是棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出T的位置；若不存在，请说明理由．27．已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．（2）求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值．28．已知四棱锥S﹣ABCD，四边形ABCD是正方形，BA=AS=SD=2，S△ABS=2．（1）证明：平面ABCD⊥平面SAD；（2）若M为SD的中点，求二面角B﹣CM﹣S的余弦值．29．如图1，ABCD为梯形，AB∥CD，∠C=60°，点E在CD上，AB=EC=DE=2，BD⊥BC．现将△ADE沿AE折起如图2，使得平面DBC⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ABCE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．已知菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为（）A．πB．8πC．7πD．【解答】解：由题意菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，∴AC=2，DB=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，∴三棱锥B﹣ACD高为．底面ACD外接圆半径为，外接球半径为R，球心与圆心的距离为d，d2+r2=R2……①……②由①②解得：R2=外接球的表面积S=．故选：A．2．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A．12πB．20πC．24πD．36π【解答】解：取CD中点E，BD中点F，连结BE、AF、EF，∵四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，∴AF⊥BD，EF⊥BD，∴∠AFE是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，BD=BC==2，CD=，CE=DE=，AF=BF=DF=EF=1，，则点E为△BCD外接圆的圆心，点F为△ABD外接圆的圆心，过点E作平面BCD的垂线EO，过点F作平面ABD的垂线FO，且直线EO与直线FO交于点O，则点O为四面体ABCD外接球的球心，如下图所示，易知，，所以，，所以，，则四面体ABCD的外接球半径为，因此，球O的表面积为，故选：B．3．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．41πD．31π【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，A，D为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：4﹣x，∴R2=x2+（2）2，R2=22+（4﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=41π，故选：C．4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：A﹣BCD，E为CD的中点，由题意可知AB=4，OE=，OA=OB=2，OD=2，则DE=，所以三棱锥A﹣BCD的体积为：×=．故选：C．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．2+2+2B．4+4+2C．2+4+4D．4+4+4【解答】解：由题意几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，可知几何体的表面积为：=4+4+2．故选：B．6．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．25πB．C．D．40π【解答】解：由三视图还原几何体的直观图如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG=PH=，GC=BC=，∴OC==，∴三棱锥外接球表面积为4π×（）2=．故选：C．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+2+B．15++C．12++D．18++【解答】解：几何体的三视图，可知几何体是组合体，下部是四棱柱，上部是四棱锥，底面是直角梯形，下底为2，上底边长为1，高为2，四棱柱的高为2，棱锥的高为1，如图：该几何体的表面积是：++=15++．故选：B．8．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD=（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意可得，点G是△ABC的重心，∴AG=AE=，设△ABC的外心为O，由题意点O在AE上，令OA=r，则OE2+EC2=OC2，即（3﹣r）2+12=r2，解得r=，∵AD⊥平面ABC，∴四面体ABCD的外接球的半径R2=r2+（）2=+，由题意得4πR2=4π（+）=，解得AD=4，∴tan∠AGD=．故选：B．9．在三棱锥S﹣ABC中，，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．16πC．36πD．72π【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB=SC，OA=SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB=SC=R，∴△AOBRt正三角形，则∠BOA=90°，=V S﹣OAB+V C﹣OAB===，∴V S﹣ABC∴R=2，则该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π．故选：B．10．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为2，可得对角线的一半为，折成正四棱锥后，设正四棱锥边长为a，高为h，可得：h2=2﹣，（0）．正四棱锥体积V=最大时，即．由y=，则y′=8，令y′=0，可得a=，即当a=体积取得最大值；∴h=．正四棱锥底面正方形外接圆r=．正四棱锥外接球的半径R，可得解得：正四棱锥外接球的表面积S=．故选：D．11．已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，则球O的表面积为（）A．9πB．C．4πD．π【解答】解析：设AB中点为D，则D为△ABC的外心，因为PA=PB=PC=，易证PD⊥面ABC，，所以球心O在直线PD上，又PA=，AB=2，算得PD=1，设球半径为R，则△AOD中，（R﹣1）2+2=R2，可得：R=．则球O的表面积S=4πR2=9π，故选：A．12．四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB垂直于底面ABCD，且三角形PAB是等边三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．πB．C．4πD．π【解答】解：由题意，可以将四棱锥P﹣ABCD补成以△PAB为底面的直三棱柱，直三棱柱外接球的半径，△PAB是边长为2的等边三角形，其外接圆的半径为；所以球的半径r=，则球的表面积S=4πr2=．故选：D．13．已知三棱锥D﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为的正三角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且AD=8，二面角C﹣AB﹣D 为120°，则球O的表面积为（）A．B．124πC．D．31π【解答】解：作图如下：O1为经过△ABC外接圆圆心，O2为经过△ABD外接圆圆心，则O2为BD中点，取AB中点M，则∠CMO2为二面角C﹣AB﹣D的平面角，易得|O2M|=4，|O1M|=1，，由余弦定理得|O1O2|=，由正弦定理得，所以R2=|OM|2+|AM|2=31⇒S=124π，故选：B．14．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1的顶点在球O上，∠ABC=120°，AA1=BC=AB=1，则球O的表面积为（）A．7πB．6πC．5πD．4π【解答】解：如图：外接球的球心为O，底面三角形的外心为：O1，由正弦定理可得：2A1O1=，可得A1O1=1，R2=12+=，外接球的表面积为：4π•R2=5π．故选：C．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．23πB．C．D．64π【解答】解：根据题意，得到三棱锥P﹣ABC的外接球的球心在等边三角形PAC 的中线高线和过直角三角形ABC斜边BC的中点的高的交点位置，如图所示：三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，所以PF=，，在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2，解得：BC=2，所以CD=，三棱锥的外接球半径r==，则S=4，故选：C．16．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则：SD=，设外接球的半径为R，则：在△BOD中，利用勾股定理：，解得：R=所以：S=4π•R2=4．故选：D．17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，已知平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E，平面α与平面ABCD交于直线m，与平面ABB1A1交于直线n，则直线m，n所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的边长为2，取CD的中点F，AB的中点为M，AD的中点为N，连接EF，DB，MN，可得MN∥BD∥EF∥B1D1，由于平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E即有平面A1MN即为平面α，直线MN即为直线m，直线A1M即为直线n，∠A1MN即为直线m，n所成角，由A1M=A1N==，MN=，可得cos∠A1MN==．故选：B．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，连接EO，O是底面ABCD为菱形的中点，又E为线段AP的中点，∴EO∥PC，则异面直线DE与PC所成角的平面角为∠DEO，∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AC⊥BD，POC是直角三角形，∴PC⊥BD，则EO⊥BD，∴△DEO是直角三角形，∵BD=2，PC=4，∴OD=1，EO=2，则ED=．∴cos∠DEO=．故选：A．19．已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：过O作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′所成锐角为60°①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a′、b′所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成60°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条∵a′∥a，b′∥b，∴过点O与a′、b′都成60°角的直线，与a、b也都成60°的角．故选：C．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，设E（a，0，c），0≤a≤1，0≤c≤1，B1（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），=（a﹣1，﹣1，c﹣1），=（1，1，0），=（0，1，1），设平面DBC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），∵B1E∥平面BDC1，∴=a﹣1+1+c﹣1=0，解得a+c=1，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=1﹣2ac，ac≤（）2=，设直线B1E与直线AB所成角为θ，∵=（0，1，0），∴cosθ==，∵ac≤（）2=，∴2﹣2ac≥，∴，∴sinθ====≥=．∴直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选：B．21．四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点M是球O1上的动点，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]【解答】解：如图O1O2O O4是正四面体，设边长为2r，过O1作O1O⊥底面O2O3O4，可得O为底面的中心，由O2O⊥O3O4，可得O2O1⊥O3O4，则M在直线O1O2上，可得直线O2M与直线O3O4垂直，即有所成角的正弦值为1，过O2作大圆的切线，设切点为M，可得O2M与O1O2成30°的角，由O2N∥O3O4，可得O3O4与O2M成60°的角，即有所成角的正弦值为，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为[，1]．故选：C．二．解答题（共19小题）22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2CD=2CB=PA=PD，F为AD的中点．（1）证明：PB⊥BC；（2）求直线CF与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：在△PAD中，PA=PD，F为AD的中点，可得AD⊥PF，在四边形ABCD中，连接BF，由题意可得四边形BCDF为平行四边形，可得BF∥CD，由CD⊥AD，可得AD⊥BF，而BF∩PF=F，可得AD⊥平面PBF，由AD∥BC，可得BC⊥平面PBF，则BC⊥PB；（2）设PC=AD=2CD=2CB=PA=PD=2，可得CD=CB=1，PA=PD=，过F在△PBF中作FH⊥PB于H，连接CH，由BC⊥平面PBF，可得BC⊥FH，即有FH⊥平面PBC，则∠FCH为CF和平面PBC所成角，由BC⊥PB，可得PB==，由PF==1，BF=CD=1，cos∠PFB==﹣，可得∠PFB=120°，可得H为PB的中点，即有FH⊥PB，即有FH=BFcos∠BFH=1×=，则直线CF与平面PBC所成角的正弦值为==．23．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，CD=SB=，SD=4，P为侧棱SD 上的点，SD⊥面APC．（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：：（1）连BD，设AC交BD于O，SD⊥面APC，可得SD⊥AP，SD⊥PC，可得△PAD≌△PCD，可得∠SDA=∠SDC，可得SA=SC，SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，可得∠SOD为二面角S﹣AC﹣D的平面角，在△SBD中，SB=2，BD=4，SD=4，可得cos∠SBD==，SO==2，可得cos∠SOB==，即有二面角S﹣AC﹣D的余弦值为﹣；（2）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，正方形ABCD的边长为2，SD=4，OD=BD=2，则PD=ODcos∠SDB=2•=，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：3，故SE：EC=2：3．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，PD=AD=，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，…………（1分）从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，…………（3分）又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，…………（4分）所以BD⊥平面PAD．…………（5分）故PA⊥BD…………（6分）解：（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，…………（7分）则B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1），=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），平面PAD的一个法向量为=（0，1，0），…………（8分）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，…………（9分）取y=1，得=（0，1，），…………（10分）|cos＜＞|==，…………（11分）故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为60°．…………（12分）25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．【解答】解：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，根据题中空间直角坐标系可知：A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，），…（1分）∴=（2，2，0），=（0，1，﹣），∴cos＜＞===，…（3分）设异面直线AB与A1C的所成角为α，则，∴异面直线AB与A1C所成角的余弦值为．…（4分）（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），∴，取z=1，则=（0，），…（7分）∴cos＜，＞===．…（9分）设直线AB与平面A1BC所成角为β，β∈（0，]，则sinβ=|cos＜，＞|=．故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．…（10分）26．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是边长为2的等边三角形，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，PA=2CD，PD=，E是棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出T的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD ⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥AD，∵直线PB与底面ABCD所成的角为45°，∴∠PBA=45°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴PA=AB=2，又PA=2CD，∴CD=1．在Rt△PAD中，∵PD=，PA=2，∴AD=，在三角形ADC中，AD=，CD=1，AC=2，∴AD2+CD2=AC2，可得CD⊥AD，又AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE；（2）解：假设在棱PB上存在一点T，满足题意，则（0＜λ≤1），由（1）可知，∠DAC=30°，∴∠DAB=90°，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，，0），E（0，，1）．设T（x1，y1，z1），则，又，∴（x1，y1，z1﹣2）=（2λ，0，﹣2λ），得x1=2λ，y1=0，z1=2﹣2λ，∴，．设平面ATE的法向量为．则有，取y2=2，得．而平面PAB的一个法向量为，∴|cos＜＞|=||==，解得．故在棱PB上存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为．27．已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．（2）求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，则由该几何体的三视图可知：C（0，0，4），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4）．（1）设平面CNB1的法向量为，由，，得，其x=1，得．设P（0，0，a）（0≤a≤4），由于M（2，0，0），则．∵MP∥平面CNB1，∴，得a=1．∴在线段CB上存在一点P，使得MP∥平面CNB1，此时BP=1；（2）设平面C1NB1的法向量为，由，得，取x=1，可得．∴cos＜＞=．由图可知，所求二面角为锐角，故二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值为．28．已知四棱锥S﹣ABCD，四边形ABCD是正方形，BA=AS=SD=2，S△ABS=2．（1）证明：平面ABCD⊥平面SAD；（2）若M为SD的中点，求二面角B﹣CM﹣S的余弦值．【解答】证明：（1）∵，∴sin∠BAS=1，即BA⊥AS，又∵ABCD为正方形，∴BA⊥AD，∵BA∩AS=A，∴BA⊥平面SAD，∵BA⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面SAD．解：（2）设AD的中点为O，∵AS=SD，∴SO⊥AD，由（1）可知平面ABCD⊥平面SAD，且平面ABCD∩平面SAD=AD，∴SO⊥平面ABCD，在平面ABCD内，过O作直线Ox⊥AD，则Ox，OD，OS两两垂直．以O为坐标原点，Ox，OD，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，∴，设平面BCM的法向量为，则，，即，取，设平面CMS的法向量为，则，，即，取，，由图可知，二面角B﹣CM﹣S的余弦值为．29．如图1，ABCD为梯形，AB∥CD，∠C=60°，点E在CD上，AB=EC=DE=2，BD⊥BC．现将△ADE沿AE折起如图2，使得平面DBC⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ABCE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）∵DF⊥AE，BF⊥AE，∴AE⊥面BDF，又BD⊂面BDF，∴AE⊥BD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵面BCD⊥面ABCE，BC∥AE，BF⊥AE，∴BF⊥BC，∴BF⊥面BCD，∵BD⊂面BCD，∴BF⊥BD，又∴BF∩BC=B，∴BD⊥面BCEF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解：（Ⅱ）∵DF⊥AE，BF⊥AE，∴∠BFD即为二面角D﹣AE﹣C的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）在Rt△BDE中，，∴二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，由PA=2AB=2，，得PB2+AB2=PA2，则PB⊥AB，又BC⊥PB，AB⊥BC，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D（1，3，0），P（0，0，），=（0，1，0），=（0，2，﹣），由图可知，平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），设平面PCD的法向量为，则，取z=2，得，设二面角P﹣CD﹣A的平面角为α，则cosα=|cos＜＞|=．∴二面角P﹣CD﹣A的余弦值为；（2）∵点E在PA上，∴，λ∈[0，1]，∵，∴，=（1﹣λ，0，），又∵BE∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得，∴，则BE=||=．。

外接球专项训练参考答案一．选择题1、已知球的半径为2，圆和圆是球的互相垂直的两个截面，圆和圆的面积分别为和，则（ ）A ．1 B．2 D【答案】D【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得，故D 。

考点：球的几何性质及运算。

2、在三棱锥中，，中点为，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C如图,易由余弦定理可因，故;同理，故，所以是棱长为应选C 。

考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。

3、球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（ ）A．4 【答案】AO M N M N 2ππ||MN =538212221222221=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d d R d R d 222PA AB PB =+BA PB ⊥222PC CB PB =+BC PB ⊥C B A P ,,,O ,,,S A B C ,,,O A B C ABC ∆SAB ⊥ABC S ABC -【解析】设球心和的外心为，延长交于点，则由球的对称性可知，继而由面面可得所在的平面，所以是三棱锥的高；再由四点共面可知是A 。

考点：几何体的外接球等有关知识的运用。

【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。

本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。

解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心的位置是三角形的外心，定当4、已知在三棱锥中，面，，若三棱锥的外接球的半径是3，，则的最大值是（ ）A ．36B ．28C ．26D ．18 【答案】D【解析】因为面，所以，，又因为,所以平面，所以，所以有，则由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值是,故选D.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式,中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解．5、如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）ABC ∆O CO AB P AB PD ⊥SAB ⊥ABC ⊥PD ABC ∆PD ,,,O A B C O ABC ∆O ABC PD P ABC -PA ⊥ABC PC AB ⊥P ABC -ABC ABP ACP S S S S ∆∆∆=++S PA ⊥ABC PA AB ⊥PA AC ⊥PC AB ⊥AB ⊥PAC AB AC⊥2222(23)36AB AC AP ++=⨯=AB AC AP ==S 36A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体 外接球的表面积为（ ）A ． C ． D 【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可8π16π32π64π8π9πO F BCD考点：三视图. 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正其外接圆的同样正的外接圆的半径是由球的对称性可知球心必在正方体的对角线上,,该球经过六个点,设球心到平面的距离为;球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,将其代入可得由应选C. x ,,a b c MNP ∆111P N M ∆O AC 111,,,,,P N M P N M O 111P N M ∆1d O MNP ∆2d MNP 111P N M 2222221212,r d R r d R +=+=822212122=-=-r r d d 82122=-d d 82122=-d d考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算. 【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正的边长为,其外接圆的半径,同样正的外接圆的半径是,由球的对称性可知球心必在对角线上,且经过六个点,设球心到平面的距离为；球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,又,将其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,其中计算时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】球的半径满足考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是 A ．24π B ．24π＋8πOO 2O 1P 1N 1M 1C APNMMNP ∆243241=r 111P N M ∆3222=r O 111,,,,,P N M P N M O 111P N M ∆1d O MNP ∆2d MNP 111P N M 2121334)(34d d h h d +==+-=2222221212,r d R r d R +=+=822212122=-=-r r d d 82122=-d d 33421=+d d 82122=-d d 3212=-d d 3352=d 113333832522222==+=+=r d R 11=R 21,h h 3O O 212673O 2223321()(3)232R R =+⋅⇒=C ．24π＋4πD ．32π答案：C10、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ） （A（B ）1 （C（D【答案】A【解析】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，即为到平面的距离，故选A ．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．11、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）（A （B）1 （C （D 【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ． C【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3，因此四棱锥外接球直径S ABC -AB 2,2,AB SA SB SC ====ABC S ABC -AB 2SA SB SC ===S ∴ABC AB H SH ∴⊥ABC SH ∴,,A B C 1CH =SHC SC MO O S ABC -2SC =Q 1SM ∴=30OSM ∠=︒O ABC S ABC -AB 2,2,AB SA SB SC ====ABC 34π，表面积是选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 13、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】连接，则由已知得，可知三棱锥是棱长为的正四面体，其高为，则三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为考点：三棱锥外接球．14、半径为1的三个球平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球，由四个球心构成一个新四面体，则该四面体外接球的表面积为（）A． D【答案】A【解析】由已知条件可知，该四面体是底面边长为的等边三角形，且侧棱长为.该四面体外接球半径计算公式为，其中为底面外接圆半径，为高.本题中，故考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥中，是的中点，且，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接2434.R ππ=OC OB OA ,,1======AC BC AB OC OB OA ABC O -1ABC S -ABC S -,,A B C αD ,,,A B C D O 9π23x h S ABC -M SC AM SB ⊥S ABC -6π12π32π36π球的表面积．取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，∵SB 平面SBN ，∴AC ⊥SB，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ？SB⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直． SA=2，∴正三棱锥S-ABC ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是，故选：B ．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体16、已知三棱锥,在底面中则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． 【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得,,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.⊂2412S R ππ==P ABC -ABC ∆16π2=AC 222AC BC AB =+090=∠ABC ⊥PA ABC BC PA ⊥⊥BC PAB PB BC ⊥PBC PAC ,PC PC O PC 4=PC ππ1642==R S考点：球与几何体17、已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意，三棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，把直三棱柱补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，则三棱柱1外接球的表面积是故选C ．考点：几何体的外接球18、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）111C C AB -A B 6O 3AB =C 4A =C AB ⊥A 112AA =O 153π160π169π360π111C C AB -A B C AB 111C C AB -A B 111C C AB -A B 224169R cm ππ=．1111ABCD A B C D -S ABCD -S 1111,,,A B C DA【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，则在中，，D ．考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式.19、在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A ． C ． D ． 【答案】A【解析】因为平行四边形中，，沿折成直二面角，所以三棱锥的外接球的直径为，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥A ． O 1OG x =12OB SO x ==-11Rt OB G ∆2221111OB G B OG =+ABCD AB BD ⊥22421AB BD +=BD A BCD -π2π4πABCD BD AB ⊥BDC BD A --BCD A -AC BCD A -BCD A -考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合．20、如图, 在菱形中为对角线的中点, 将沿折起到的位置，若 ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设分别是等边三角形的外心，则画出图象如下图所示，由图象可知，,外接球面积为.考点：球的内接几何体. 21、已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为( )（A （B （C ）3 （D ） 【答案】B【解析】连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以．因为ABCD BD ABD ∆BD PBD ∆120PEC ∠=o P BCD -28π32π16π12π,M N ,PBD CBD 11,2O N NC ==11120,60MO N OO N ∠=∠=o o 244728R πππ=⋅=P PA PB PC 60︒O A B C O 36πO P 6OP ABC 'O ABC ∆PAB ∆'AO PO OA PA ⊥⊥，为球的体积为，所以半径，所以考点：点、线、面间的距离计算． 【思路点睛】连接交平面于，由可得，根据球的体积可得半径，进而求出答案． 22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且，，，则等于（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B 【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，根据题意，得，则；故选B ．考点：多面体与球的组合23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选B ．36π3OA =OP ABC 'O 'AO PO OA PA ⊥⊥，3OA =AB CD x ==BC DA y ==CA BD z ==222x y z ++c b a ,,422222==++c b a 222222222,,z c a y c b x b a =+=+=+8)(2222222=++=++c b a z y x考点：三视图．24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为正方形高为正四棱柱,故其对角线长为故该几何体的外接球的面积为,选C.考点：三视图与几何体的外接球．25、如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′,若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）C【答案】D 【解析】因为折起后三点重合，所以两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为的长方体的外接球，球半径满足 D. 考点：几何体外接球的性质.26、已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SCQ 是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．3B ．2C 【答案】D【解析】因为三棱锥中，，且，所以三棱锥的外接球即为以43ππ2542==R S ,,A B C ',','A E A F A D 1,1,2R S ABC -,,SA SB SB SC SC SA ⊥⊥⊥SA SB SC ==,,SA SB SC所以球心到平面的距离所以点到平面的距离的最大值为D．考点：球的性质及组合体的应用．27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A．20 B． D【答案】A，两腰为的等腰三角形，高为，底面三角形的外接半径为，设该三棱柱的外接球的半径为，则，所以该三棱柱的外接球的表面积为，故选A．考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积．【名师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力．28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】BABC Q ABCο120π25π222R221215R=+=2420S Rππ==【解析】由题意此四面体是棱长为的正四面体，其外接球半径为，所以B ． 考点：三视图，外接球，球体积．【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：（1） 正四面体的内切球，如图. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有（可以利用体积桥证明）（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有（可用正四面体高减去内切球的半径得到）29、如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）a h R a h R h C C '''AB -A B C C A ⊥B C 2'B =BB =C 4A =M 'AB C M -ABA ． B【答案】A 【解析】由题意可取的中点，连接,在直角中，所以点在平面内的射影是的外心，即为的中点，设三棱锥的外接球的球心为，由球的截面性质可得，即，解得，故选A.考点：棱锥与球的组合体及球的体积.【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的空间想象能力属于中档题.本题解答的关键是根据已知条件求得,从而判断点在平面内的射影位置，而又是直角三角形，其外心位于斜边的中点上，据此可知三棱锥外接球的球心在上，根据球的截面性质得到球的半径，求得其体积.30、已知球面上有四个点，球心为点，在上，若三棱锥则该球的表面积为（ ） A ． B ．C【答案】B 【解析】设球的半径，首先因为在上，所以为球的直径，为直角三角形，，若使三角形的面积最大，则点到边的距离最大即可，因为三点共面．所以最大距离为半径，三角形；当点距离平面最大时为，则三棱锥的体积的，，所以该球的表面积为，选B ． 考点：1.球的表面积；2.棱锥的体积．31、一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以 圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）36πAB D ,MD CD MCD ∆M ABC ABC ∆AB C M -AB O ()222MD r CD r -+=()2215r r -+=3r =MA MB MC ==M ABC ABC ∆C M -AB MD ,,,A B C D O O CD A BCD -O 4π16πr O CD CD O BCD ∆2CD r =B CD ,,B C D r BCD A BCD r A BCD -2r =4416ππ⋅=A ．2π B．3π C ．4π D．5π【答案】B【解析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线B ．二、填空题（注释）32、在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形.若直线与平面所成的角为30°，则四棱锥的外接球的表面积为_______.【答案】【解析】连结交于，则可证得平面，连接，则就是直线与平面所成的角，即，四棱锥的外接球的半，则所求外接球的表面积为,故应填.考点：四棱锥的外接球的面积及求法．33、已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且棱锥的体积为，则= ________．【答案】【解析】由题可得四棱锥的侧棱为，则P ABCD -PB ⊥ABCD ABCD PC PDB P ABCD -12πAC BD H AC ⊥PDB PH CPH ∠PC PDB 30CPH ∠=°∴P ABCD -12π12πABCD R O O ABCD -R 4R考点：多面体与外接球．。

一．方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. （2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决. （3）球自身的对称性与多面体的对称性；二．解题策略类型一 柱体与球【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106πC ．56πD ．53π【答案】A 【解析】【分析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==.故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径. 【举一反三】1.（2020·2，若与球相关的外接与内切问题该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．73π B ．113π C ．5π D ．8π【答案】D【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，则其外接球的半径22221123222sin 60R OB OO BO ⎛⎫ ⎪⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪︒⎝⎭⎝⎭， 外接球的表面积428S ππ=⨯=.故选：D【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 2.（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a ，则这个球的表面积为（ ）． A ．234a π B ．23a π C ．26a πD ．232a π【答案】D【解析】由已知作出截面图形如图1，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图2所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为m ,外接球的半径为R ，则2a m =，23R m =，所以64R a =，所以外接球的表面积为222634442a S R a πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，3．（2020·河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为52cm ，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为()()10521n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足()10521100n +-≤，解得19213.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球．故选：C 类型二 锥体与球【例2】5．已知球O 的半径为102，以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部，若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为_________． 【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题 【答案】182【解析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2π，半径为1，故球心O 到正四面体各面的距离为2106122⎛⎫-=⎪⎝⎭，设正四面体棱长为a ，如图所示，则斜高332AE EF a ==，体高63=AF a ，在Rt AEF 和R t AGO 中，13OG EF AO AE ==，即61236632a =-，∴6a =，∴231362618234312V a a =⋅⋅=⋅=． 【举一反三】1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______． 【答案】【解析】如图，设正四面体ABCD 的棱长为，过A 作AD ⊥BC ， 设等边三角形ABC 的中心为O ，则，，，即．再设正四面体ABCD 的外接球球心为G ，连接GA ， 则，即．∴正四面体ABCD 的外接球的体积为.故答案为：．2．（2020·宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h 的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h 的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 【答案】288π【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是23R h =，设圆柱的底面圆半径为r ，母线长为l h =， 则232r ππ=，解得42r =222(2)(3)l r h +=， 222(82)9h h ∴+=，解得4h =，∴外接球的半径为3462R =⨯=，∴外接球的体积为3344628833R V πππ⨯===．3．（2020·贵阳高三（理））在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是一个正三角形，若平面PAD ⊥平面ABCD ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143πB ．283πC ．563πD ．1123π【答案】D 【解析】【分析】过P 作PF AD ⊥，交AD 于F ，取BC 的中点G ，连接,PG FG ，取PF 的三等分点H （2PH HF =），取GF 的中点E ，在平面PFG 过,E F 分别作,GF PF 的垂线，交于点O ，可证O 为外接球的球心，利用解直角三角形可计算PO ．【详解】如图，过P 作PF AD ⊥，交AD 于F ，取BC 的中点G ，连接,PG FG ，在PF 的三等分点H （2PH HF =），取GF 的中点E ，在平面PFG 过,E F 分别作,GF PF 的垂线，交于点O ．因为PAD ∆为等边三角形，AF FD =，所以PF ⊥AD ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PF ⊂平面PAD ，所以PF ⊥平面ABCD ，因GF ⊂平面ABCD ，故PF GF ⊥． 又因为四边形ABCD 为正方形，而,G F 为,BC AD 的中点，故FG CD ，故GF AD ⊥，因ADPF F =，故PF ⊥平面PAD ．在Rt PGF ∆中，因,OE GF PF GF ⊥⊥，故OE PF ，故OE ⊥平面ABCD ，同理OH ⊥平面PAD ．因E 为正方形ABCD 的中心，故球心在直线OE 上，因H 为PAD ∆的中心，故球心在直线OH 上，故O 为球心，OP 为球的半径． 在Rt PGF ∆中，2234343323PH PF ==⨯⨯=，2OH EF ==， 故16282214333OP =+==，所以球的表面积为28112433ππ⨯=． 类型三 构造法（补形法）【例3】已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ） A ．128π B ．132πC ．144πD ．156π【答案】B【解析】PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体PQMN ABEC -，如下图所示：设AE BC F =，连接OF 、DF 、OD ，可知点O 为PE 的中点，因为四边形ABEC 为矩形，AE BC F =，则F 为AE 的中点，所以，//OF PA 且12OF PA =，设2PA x =，且2210AE AB BE =+=，222225PE PA AE x ∴+=+所以，球O 的半径为21252R PE x ==+， 在Rt ABE △中，2ABE π∠=，6AB =，10AE =，3cos 5AB BAE AE ∠==，在ADF 中，243AD AB ==，5AF =， 由余弦定理可得222cos 17DF AD AF AD AF BAE =+-⋅∠=，PA ⊥平面ABCD ，OF ∴⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，则OF DF ⊥，12OF PA x ==，22217OD OF DF x ∴=+=+， 设过点D 的球O 的截面圆的半径为r ，设球心O 到截面圆的距离为d ，设OD 与截面圆所在平面所成的角为θ，则22sin d OD R r θ==-.当0θ=时，即截面圆过球心O 时，d 取最小值，此时r 取最大值，即2max 25r R x ==+；当2πθ=时，即OD 与截面圆所在平面垂直时，d 取最大值，即2max 17d OD x ==+，此时，r 取最小值，即()22min max 22r R d =-=. 由题意可得()()()222max min 1725r r x πππ⎡⎤-=+=⎣⎦，0x，解得22x =.所以，33R =，因此，球O 的表面积为24132S R ππ==.故选：B.【举一反三】1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于 ．【答案】【解析】把三棱锥，放到长方体里,如下图:,因此长方体的外接球的直径为,所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，,所以该长方体的外接球的体积，故选C.3．（2020·贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．43B．53C．83D．163【答案】A【解析】【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，取棱11,,,,B C DA AB BC CD 的中点分别为,,,,E M N P Q ，则该几何体为四棱锥E MNPQ -，其体积为()2142233⨯⨯=.故选：A 类型四 与球体相关的最值问题【例4】（2020·福建高三期末（理））在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（ ） A ．143B ．134C ．72D ．163【答案】D 【解析】【分析】设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，由勾股定理可得22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22183h h a -=，三棱锥的体积()23384V h h =-，对其求导，分析其单调性与最值即可得解. 【详解】解：设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，根据图形可知22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又正三棱锥的体积21334V a h =⨯()2384h h h =-()23384h h =-，则()231634V h h '=-， 令0V '=，则163h =或0h =（舍去）， ∴函数()23384V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当163h =时，V 取得最大值，故选：D. 【点睛】本题考查球与多面体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等式、导数等进行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高. 【举一反三】1.（2020·广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A ．22πB ．823C ．23D ．2π【答案】B【解析】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==时取得最大值.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==⨯+=.所以外接球的体积为()34π82π233⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B2．（2020·遵义市南白中学高三期末）已知A ，B ，C ，D 四点在同一个球的球面上，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π【答案】C 【解析】根据6AB BC ==可得直角三角形ABC ∆的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上,设小圆的圆心为Q , 由于底面积ABC S ∆不变,高最大时体积最大,所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为为133ABC S DQ ∆⨯=，即133,33DQ DQ ⨯⨯=∴=,如图, 设球心为O ,半径为R ，则在直角AQO ∆中,即222(3)(3,)2R R R =∴+=-, 则这个球的表面积为24216S ππ=⨯=,故选C.3．（2020·河南高三（理））菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为（ ） A ．153π B ．2153π C ．209π D ．203π 【答案】D 【解析】【分析】当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到2223(3)()3R OG =-+和22223()3R OG =+，计算得到答案. 【详解】易知：当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大. 如图所示：E 为AC 中点，连接,DE BE ，外接球球心O 的投影为G 是ABC ∆中心，在BE 上 3BE =，3DE =，33EG =，233BG =设半径为R ，则2223(3)()3R OG =-+，22223()3R OG =+ 解得：153R =，表面积22043S R ππ== 故选：D三．强化训练一、选择题1．（2020·广西高三期末）棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的表面积为（ ） A ．2334a + B ．2336a + C ．2336a - D ．2334a - 【答案】A【解析】由题意，多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球， 由题意可知AE ⊥面BCD 交于F ，连接CF ，则233323CF a a =⋅= 且其外接球的直径为AE ，易求正四面体ABCD 的高为223633a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎝⎭-. 设外接球的半径为R ，由2226333R a R a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=⎭-⎝-得64R a =. 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为6623AE a a h ==+，所以66h a =. 因为底面BCD ∆的边长为a ，所以2222EB EC ED CF h a ===+=， 则正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥E BCD -的表面积222121333322224S a a a ⎛⎫+=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：A .2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥外接球的表面积为．故选：C．3．（2020·安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（）A23B．223C．22D．223【答案】Ba b c R【解析】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为,,,则2223,23,22R a R b R c =⨯==, 即222,,2::2:2:333R R a b c R a b c ===∴=故选：B 4．（2020·北京人大附中高三）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，23AB =，2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π 【答案】B【解析】由四边形ABCD 为矩形，得AB AD ⊥，又SA AD ⊥，且SA AB A ⋂=，∴AD ⊥平面SAB ，则平面SAB ⊥平面ABCD ，设三角形SAB 的外心为G ，则23322sin 2sin12032AB GA ASB ====∠︒. 过G 作GO ⊥底面SAB ，且1GO =，则22215OS =+=.即四棱锥外接球的半径为5． ∴四棱锥外接球的表面积为24(5)20S ππ=⨯=.故选B ．5．（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥中，平面，M 是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以，在中，设外接圆的直径为，则：，所以外接球的半径，则：，故选：C．6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.故答案为：C.7．（2020·江西高三期末（理））如图，三棱锥P ABC -的体积为24，又90PBC ABC ∠=∠=︒，3BC =，4AB =，410PB =，且二面角P BC A --为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．169πB ．144πC ．185πD ．80π【答案】A【解析】因90PBC ABC ∠=∠=︒，所以BC ⊥平面PAB ，且PBA ∠为二面角P BC A --的平面角， 又3BC =，4AB =，410PB =，由勾股定理可得13PC =，5AC =， 因为1sin 8102PAB S PB AB PBA PBA ∆⋅=⋅∠=∠，所以三棱锥的体积1181032433PAB V S BC PBA ∆=⋅=⨯∠⨯=，解得310sin PBA ∠=，又PBA ∠为锐角，所以10cos 10PBA ∠=， 在PAB ∆中，由余弦定理得2101601624410144PA =+-⨯⨯=， 即12PA =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥， 由BC ⊥平面PAB 得BC PA ⊥，故PA ⊥平面ABC ，即PA AC ⊥，取PC 中点O ， 在直角PAC ∆和直角PBC ∆中，易得OP OC OA OB ===，故O 为外接球球心， 外接圆半径11322R PC ==，故外接球的表面积24169S R ππ==.故选：A. 8．（2019·湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长4AB AD ==，12AA =，上面的四棱锥1111P A B C D -中11D E C E =，1111PE A B C D ⊥平面，1PE =，则过五点A 、B 、C 、D 、P 的外接球的表面积为（ ）A ．311π9B ．311π18C ．313π9D ．313π18【答案】C【解析】问题转化为求四棱锥P ABCD -的外接球的表面积．4913PC =+=，∴3sin 13PCD ∠=．所以PCD ∆外接圆的半径为131336213r ==⨯，由于PE ⊥平面1111D C B A ，则PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 所以外接球的222169313243636R r =+=+=．所以2313π4π9S R ==球表面积．9．三棱锥P —ABC 中，底面ABC 满足BA=BC ， ，点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为（ ） A ．3 B ．C ．D ．【答案】B【解析】设外接球半径为，P 到底面ABC 的距离为，，则，因为，所以， 因为，所以当时，，当时，，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.10．（2019·河北高三月考）在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，∠BCD =30°，2246AB BD +=，若将△ABD 沿BD 折成直二面角A -BD -C ，则三棱锥A-BDC 外接球的表面积是( ) A ．4π B ．5πC ．6πD ．8π【答案】C【解析】取,AD BD 中点,E F ，设BCD ∆的外心为M ，连,,MB MF EF ， 则01,30,22MF BD BMF DMB BCD BM BF BD ⊥∠=∠=∠=∴== 分别过,E M 作,MF EF 的平行线，交于O 点， 即//,//OE MF OM EF ，,BD AB E ⊥∴为ABD ∆的外心，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，//,EF AB EF ∴⊥平面BCD ，OM ∴⊥平面BCD ，同理OE ⊥平面ABD ，,E M 分别为ABD ∆，BCD ∆外心，O ∴为三棱锥的外接球的球心，OB 为其半径, 22222221342OB BM OM BD EF BD AB =+=+=+=， 246S OB ππ=⨯=球.故选:C11．（2020·梅河口市第五中学高三期末（理））设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为3的等边三角形，45ACB ∠=︒，则当三棱锥P ABC -的体积最大时，球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．10πC ．323π D ．12π【答案】A【解析】如图，由题意得2334AB =，解得2AB =.记,,AB c BC a AC b ===， 12sin 24ABC S ab C ab ∆==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224222a b ab ab ab =+-≥-，42(22)22ab ≤=+-，当且仅当a b =时取等号．所以CA CB =且平面PAB ⊥底面ABC 时，三棱锥P ABC -的体积最大.分别过PAB ∆和ABC ∆的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心O ， 设PAB ∆和ABC ∆的外接圆半径分别为1r ，2r ，球O 的半径为R ，则123r =，21222sin 45r =⨯=︒.故222211172233R r r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 球O 的表面积为22843R ππ=.故选：A.12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥P-AEF （使B ，C ，D 重合于P ），三棱锥P-AEF 的外接球表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图，由题意可得，三棱锥P-AEF 的三条侧棱PA ，PE ，PF 两两互相垂直， 且，，把三棱锥P-AEF 补形为长方体，则长方体的体对角线长为， 则三棱锥P-AEF 的外接球的半径为，外接球的表面积为．故选：C ．13．已知球O 夹在一个二面角l αβ--之间，与两个半平面分别相切于点,A B .若2AB =，球心O 到该二面角的棱l 的距离为2，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题 【答案】A【解析】过,,O A B 三点作球的截面，如图：设该截面与棱l 交于D ，则OA l ⊥，OB l ⊥，又OA OB O =，所以l ⊥平面AOB ，所以OD l ⊥，所以||2OD =，依题意得,OA AD OB BD ⊥⊥，所以,,,O A D B 四点共圆，且OD 为该圆的直径，因为||2||AB OD ==，所以AB 也是该圆的直径，所以四边形OADB 的对角线AB 与OD 的长度相等且互相平分，所以四边形OADB 为矩形，又||||OA OB =，所以该矩形为正方形，所以2||||22OA AB ==，即圆O 的半径为2，所以圆O 的表面积为24(2)8ππ⨯=. 故选：A14．已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，3BC =，若S 是球面上任意一点，则三棱锥S ABC -体积的最大值为（ ） A ．32312+ B ．3236+ C ．23312+ D ．3312+ 【答案】A【解析】设ABC 外接圆圆心为O '，三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，1AB AC ==，设D 为BC 中点，连AD ，如图，则AD BC ⊥，且O '在AD 上，221()22BC AD AB =-=， 设ABC 外接圆半径为r ，222231()()()242BC r AD r r =+-=+-，解得1r =， 22||23OO r '∴=-=要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离最大， 即S 为O O '32，所以三棱锥S ABC -体积的最大值为11112)2)3322ABCS ⨯=⨯⨯⨯=故选：A15．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C ．6D 【答案】D【解析】如图1所示，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则1BF r =-，OO CF '===2得CO O D ''⋅=()()11O E O H OO OO ''''⋅=+⋅-，即((211r =+⋅，解得212x r =-，则圆台侧面积(2π1102x S x x ⎛⎫=⋅+-⋅<< ⎪⎝⎭，则'2322S x ππ=-，令'0S =，则3x =或x =，当0x <<时，'0S >x <<'0S <，所以函数2π112x S x ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭在⎛ ⎝⎭上递增，在⎝上递减，所以当3x =时，S 取得最大值．当3x BC ==时，21123x r =-=，则213BF r =-=．在轴截面中，OBC ∠为圆台母线与底面所成的角，在Rt CFB △中可得cos 3BF OBC BC ∠==故选：D ．16．（2020·重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为216π的正方形，该圆柱内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为 【答案】323π【解析】设圆柱的底面直径为2r ，高为l ，则222π16πr l l =⎧⎨=⎩，解得24πr l =⎧⎨=⎩.故圆柱的底面直径为4，高为4π，所以圆柱内最大球的直径为4，半径为2，其体积为34π32π233⨯=. 17．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular solid )亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为2，则该二十四等边体外接球的表面积为【答案】8π【解析】2，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，2222(2)(2)(2)2R ∴=++,2R ∴,∴该二十四等边体的外接球的表面积24πS R =24π(2)8π=⨯=.18．（2020·福建高三期末（理））在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AA ，BC 的中点，点M 在棱11B C 上，11114B M BC =，若平面FEM 交11A B 于点N ，四棱锥11N BDD B -的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 半径为 【答案】2293【解析】如图1，2,,B M F 三点共线，连结22,B E B MF ∈从而2B ∈平面FEM ，则2B E 与11A B 的交点即为点N ，又12Rt B B N ∆与1Rt A EN ∆相似，所以1112112A E A NB B NB ==； 如图2，设11B D N ∆的外接圆圆心为1O ，半径为r ，球半径为R ，在11B D N ∆中，111445,103NB D D N ︒∠==，由正弦定理得453r =，所以1853D P =，在1Rt DD P ∆中，解得4293DP =，即42293R =，所以所求的球的半径为2293.19．（2020·黑龙江高三（理））设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为【答案】183【解析】ABC 中，6BC =,60BAC ∠=︒，则643223sin sin 60a r r A ===∴=︒，22max 6h R r R =-=，222222cos 36a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥∴≤ ，1sin 932S bc A =≤ 当6a b c ===时等号成立，此时11833V Sh ==20．（2020·河北承德第一中学高三）正三棱锥S －ABC 的外接球半径为2，底边长AB ＝3，则此棱锥的体积为【答案】934或334【解析】设正三棱锥的高为h ，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H 为底面正三棱锥的中心因为底面边长AB=3，所以2222333332AH AD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当顶点S 与球心在底面ABC 的同侧时，如下图此时有222AH OH OA += ，即()()222322h +-=，可解得h=3因而棱柱的体积113393333224S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=当顶点S 与球心在底面ABC 的异侧时，如下图有222AH OH OA +=，即()222322h +-=，可解得h=1所以113333313224S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=9333421．（2020·江西高三（理））已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值为 【答案】338【解析】如下图，由题意，2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒，取AC 的中点为G ，则G 为三角形ABC 的外心，且为P 在平面ABC 上的射影，所以球心在PG 的延长线上，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22424h h --=-，所以1h =. 故G CG 3A ==，过B 作BD AC ⊥于D ，设AD x =(023x <<)，则23CD x =-,设(03)BD m m =<≤，则~ABD BCD ，故23m xx m-=， 所以()223m x x =-，则()23m x x =-，所以ABD 的面积()3112322S xm x x ==-，令()()323f x x x =-，则()2'634f x x x =-（），因为20x >，所以当3032x <<时，()'0f x >，即()f x 此时单调递增；当33232x ≤<时，()'0f x ≤，此时()f x 单调递减．所以当332x =时，()f x 取到最大值为24316，即ABD 的面积最大值为1243932168=．当ABD 的面积最大时，三棱锥P ABD -体积取得最大值为19333388⨯=.22．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学（文）试题 【答案】163π【解析】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=，所以球O 的半径为2323x =，则球O 的表面积为22316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 23．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB ==，22AC =，M 是BC 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最小值为___【答案】π 【解析】PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，则三棱锥P ABC -的外接球直径为22222223R PC PA AB AD PA AC ==++=+=，所以，3R =，设球心为点O ，则O 为PC 的中点，连接OM ，O 、M 分别为PC 、BC 的中点，则//OM PB ，且2211222OM PB PA AB ==+=， 设过点M 的平面为α，设球心O 到平面α的距离为d . ①当OM α⊥时，2d OM ==；②当OM 不与平面α垂直时，2d OM <=. 综上，2d OM ≤=.设过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面圆的半径为r ，则221r R d =-≥，因此，所求截面圆的面积的最小值为2r ππ=.24．若正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为8，M 为侧棱PA 的中点，则四棱锥M ABCD -外接球的表面积为___________.【来源】山西省运城市2021届高三上学期期末数学（文）试题 【答案】132π【解析】在正四棱锥P ABCD -中M 为侧楼PA 中点,∴四棱锥M ABCD -外接球即为棱台MNEF ABCD -的外接球，如图，四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为8，1214,42AB O N O M ===∴ 212242AO MO ==∴设球心为O ，则图中12,OO A OMO △△均为直角三角形， 设1OO h =，222(42)OA h ∴=+，222(22)(4)OM h =++，A , M 都在球面上，222O O M R A =∴=,解得21,33h R =∴=,24132S R ππ∴==球25．已知P 为球O 球面上一点，点M 满足2OM MP =，过点M 与OP 成30的平面截球O ，截面的面积为16π，则球O 的表面积为________.【来源】广西钦州市2021届高三第二次模拟考试数学（理）试题 【答案】72π 【解析】如图所示：设截面圆心为1O ， 依题意得130OMO ∠=， 设1OO h =，则2OM h =， 又2OM MP =，所以3OP h =，即球的半径为3h ，所以3ON h =，又截面的面积为16π，所以()2116O N ππ=，解得14O N =，在1Rt OO N 中，()22316h h =+， 解得2h =，所以球的半径为32， 所以球的表面积是()243272S ππ==，故答案为： 72π 26．如图是数学家GeminadDandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球1O 和球2O 的半径分别为1和3，128O O =，截面分别与球1O 和球2O 切于点E 和F ，则此椭圆的长轴长为___________.【来源】江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高三上学期期末数学试题【答案】15【解析】如图，圆锥面与其内切球12,O O 分别相切与,B A ，连接12,O B O A ，则12,O B AB O A AB ⊥⊥，过1O 作12O D O A 于D ，连接12,,O F O E EF 交12O O 于点C ，设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β，在Rt △12O O D 中,2312DO ,22182215O D11221515cos 84O D O O α===128O O = , 218CO O C =-,△2EO C △1FO C ,11218O C O C EO O F -= 解得12O C =,26O C = 222211213CF O C FO ∴=-=-= ,即13cos 2CFO C , 所以椭圆离心率为cos 25cos 5c e aβα=== 在△2EO C 中223cos cos 2EC ECO O C β=∠== 解得33EC =,432EF c ==2325155a a =⇒= 2215a ∴=故答案为：21527．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.【来源】江苏省六校2021届高三下学期第四次适应性联考数学试题 【答案】16538【解析】如图所示：平面ABMN 将长方体分成两部分，MN 有可能在平面11CDD C 上或平面1111A D C B 上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面11CDD C 上的情况，延长11B C 与BM 交于点P ，作1O Q BC ⊥于Q 点，设1CBP BPB α∠=∠=，圆1O 对应的半径为1r ，根据三角形内切圆的性质， 在1Rt O QB 中，12QBO α∠=，15BQ BC CQ r =-=-，111tan 25O Q r BQ r α==-， 则15tan5251tan 1tan 22r ααα==-++，又当BP 与1BC 重合时，1r 取得最大值，由内切圆等面积法求得1512251213r ⨯≤=++，则2tan 23α≤ 设圆2O 对应的半径为2r ，同理可得266tan2r α=-， 又252r ≤，解得7tan 212α≥. 故1255566tan 176(1tan )221tan 1tan 22r r αααα+=-+-=--+++，72tan 1223α≤≤， 设1tan 2x α=+，则195[,]123x ∈，()5176f x x x=--， 由对号函数性质易知195[,]123x ∈，函数()f x 单减，则19519165()()1761912123812f x f ≤=--⨯=，即最大值为16538 故答案为：16538 28．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为___________.【来源】江苏省南京市秦淮中学2021届高三下学期期初学情调研数学试题【答案】183【解析】ABC 为等边三角形且其面积为93，则23934ABC SAB ==，6AB ∴=，如图所示，设点M 为ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===， 点M 为三角形ABC 的重心，2233BM BE ∴==， Rt OMB ∴中，有222OM OB BM =-=，426DM OD OM ∴=+=+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值19361833D ABC V -=⨯=29．已知四面体ABCD 的棱长均为6,,EF 分别为棱,BC BD 上靠近点B 的三等分点，过,,A E F 三点的平面与四面体ABCD 的外接球O 的球面相交,得圆'O ，则球O 的半径为___________，圆'O 的面积为__________．【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期3月联考理科数学试题【答案】3 8π【解析】。

高考数学总复习培优练习：外接球（含答案）1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．2．补形法（补成长方体）c ab图1CP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc PCO 2BA例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ． 【答案】9π【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC =，π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是11232r =的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =⨯=△，3BD =116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =2r =， 对点增分集训设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径()222327R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．27πC ．18πD ．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2223232R a a a a R a =++=⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3π2S R a a ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为R ，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()222222x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=， 设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232sin120r =︒，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，10若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86C ．36πD ．323π【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 底面正方形的边长为10，5EA ∴=， 正四棱锥的体积为503，()21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =，∴外接球半径为7R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．19π2B ．1938π24C ．17πD ．1717π6【答案】A 【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF = ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE = ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC =可得6AF ∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，)2226πEF R +=……②由①②解得：19R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =321r r =⇒=，见图示：AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴32OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径．∴球的半径37142OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．4343π24B ．4343π6C ．43π2D ．43π【答案】D【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ，由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线，球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，∴72GF =，球半径743942DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=．故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1616232sin60232r =⨯=⨯=︒，则外接球的半径()2232391221R =+=+=，则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】()32163π-【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则2341634a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得4a =． 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，23PM PN ==22PE =．设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO POEN PN =，即22223r r -=， 解得226231r ==+∴内切球的表面积为(224π4π6232163πS r ===-．15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=，12AA ∴=，2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，3BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin60BCR ︒＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π⨯=．故答案为8π．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD-外接球的体积的最小值为_____． 【答案】82π3【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB +积的最小值即为AD 最小，()224AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为22282π。

培优点十四 外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．2．补形法（补成长方体）图2图3例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．【答案】9π【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是12r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =⨯=△，BD =116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()(22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径222327R =+=，对点增分集训外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．27πC ．18πD ．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222323R a a a a R a =++=⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3πS R a a ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ．5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为R ，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()222222x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ） A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=，设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项．8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，10若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86C ．36πD ．323π【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， Q 底面正方形的边长为10，5EA ∴=， Q 正四棱锥的体积为503，()21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形， 由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =7R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．19π2B ．1938πC ．17πD ．1717π【答案】A 【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC ==可得6AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF =设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，)2226πEF R +=……②由①②解得：19R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =321r r =⇒=，见图示：AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴3OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径． ∴球的半径3714OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．4343πB ．4343πC ．43π2D ．43π【答案】D【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ，由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线，球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，∴7GF =，球半径74394DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=． 故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为161232sin6023r =⨯=⨯=︒，则外接球的半径()2232391221R =+=+=，则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】()32163π-【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则234163a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，23PM PN ==22PE =． 设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO POEN PN =，即22223r r -=， 解得226231r ==+∴内切球的表面积为(224π4π6232163πS r ===-．15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=，12AA ∴=，2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-Q ，3BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR ︒＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π⨯=．故答案为8π．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____． 【答案】82π3【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+积的最小值即为AD 最小，()224AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为222故体积的最小值为82π3．。

微专题 几何体的外接球一 选择题1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．24πD ．48π2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12πB ．28πC ．44πD ．60π3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．27πC ．18πD ．9π4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==O 的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π167．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．16π9B ．16π3 C ．64π9D ．64π38．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（ ） A ．18πB ．86C ．36πD ．323π9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是（ ）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．19π2B 1938πC ．17πD 1717π11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π312．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．4343π24B ．4343π6C ．43π2D ．43π二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．16. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC ==，π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为________ 17. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积____ 18．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______________． 三 解答题已知三棱锥A-BCD 中，AB=AC=BC =2，2==CD BD ，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 的射影恰好为DE 的中点，求该三棱锥外接球的表面积.培优点十四 外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．2．补形法（补成长方体）图2图3例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．【答案】9π【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是12r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =⨯=△，BD =116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()(22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径222327R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接对点增分集训球的表面积为（ ） A ．32π B ．27πC ．18πD ．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222323R a a a a R =++⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭，故选C ． 5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为R ，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()222222x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ） A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=，设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232sin120r =︒，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项．8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86C ．36πD ．323π【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 105EA ∴=正四棱锥的体积为503，()21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =7R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．19π2B 1938πC ．17πD 1717π【答案】A 【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC ==可得6AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF =设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，)2226πEF R +=……②由①②解得：19R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =321r r =⇒=，见图示：AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴32OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径．∴球的半径37142OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4343π24B ．4343π6C ．43π2D ．43π【答案】D【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ， 由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线， 球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，∴72GF =，球半径743942DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=． 故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1616232sin60232r =⨯=⨯=︒， 则外接球的半径()2232391221R =+=+=，则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】()32163π-【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则2341634a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，23PM PN ==22PE =．设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO PO EN PN =，即22223r r -=， 解得226231r ==+∴内切球的表面积为(224π4π6232163πS r ===-． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=，12AA ∴=， 2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，3BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin 60BC R ︒＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π⨯=．故答案为8π．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．【答案】82π3【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+积的最小值即为AD 最小，()224AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为222 故体积的最小值为82π3．。

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。

外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。

2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。

4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。

2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。

其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。

几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。

练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。

本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。

对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。

补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。

而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。

对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。

对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。

培优点十四 外接球例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（） AB．C ．132D．【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，则长方体的体对角线就是球O 的直径，即球O的半径为1322=．例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（）A ．4B ．3C ．4D ．12【答案】C【解析】∵正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上，二、与正棱锥有关的外接球问题一、构造正方体与长方体的外接球问题∴球心是底面三角形的中心，∵球的半径为1，即该正三棱锥的体积为211344⨯⨯=．例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（） A ．36π B ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则212AOB S R =△， 当OC ⊥平面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大，此时2113632V R R =⨯⨯=，解得6R =， 所以球O 的表面积为24π6144πS =⨯=．一、选择题1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个对点增分集训三、其他柱体、锥体的外接球问题球面上，则这个球的表面积是（） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】正四棱柱的高为4，体积为16，则底面面积为4，即底面正方形的边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为，球的表面积为24π．2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（）A ．3πB ．C ．12πD ．【答案】A【解析】把原来的几何体补成以DA ，DC ，DP 为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2R l ==R =，23=4π4π3π4S R =⨯=球． 3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（） A ．4πB ．8πC ．12πD ．32π3【答案】C【解析】∵在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===， ∴AB ，BC ，1AA 为棱构造一个正方体，则外接球的半径2R ==24π12πS R ==．4．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD 则这个球的表面积为（） A ．169π16B ．289π16C ．25π16D ．8π【答案】B【解析】设ABC △的中心为E ，过点E 作平面ABC 的垂线l ，则有题意可知，点D 在直线l 上，ABC △的面积为1sin 602S =︒=．由体积的最大值可得1133S DE DE ⨯⨯==，则4DE =．由题意易知，外接球的球心在DE 上， 设球心为点O ，半径OD OB R ==．ABC △的外接圆半径满足2sin a r A=，即2sin 60r =︒，∴1r BE ==．在OBE Rt △中，222OE BE OB +=，即222(4)1R R -+=，解得178R =． 据此可得这个球的表面积为22892894π4ππ6416S R ==⨯=．5，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．D ．6π【答案】A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1即此球的半径R =，故球的表面积24π3πS R ==．6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==90B ∠=︒，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（） A ．21πB ．32π3C ．16π3D ．16π【答案】D【解析】因为ABC △为等腰三角形，所以AC 为截面圆的直径，AC =，即该三棱锥的外接球的球心O 在截面ABC 中的射影为AC 的中点D ，当P ，O ，D 三点共线且P ，O 位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为PD ，所以11=332PD ⨯，解得=3PD ，设外接球的半径为R ，则3OD R =-，OC R =，在OCD Rt △中，12CD AC ==222(3)R R -+=，解得2R =， 所以外接球的表面积为24π216πS =⨯=．7．已知四面体ABCD 中，6AB AD ==，4AC =，CD =，AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（） A ．36π B ．88πC ．92πD ．128π【答案】B【解析】在ACD △中，由6AD =，4AC =，CD = 可得222AD AC CD +=，则AC AD ⊥，又AB ⊥平面ACD ，故2R ==则24π88πV =⨯=．8．已知A ，B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（） A ．81π B ．128πC ．144πD ．288π【答案】D【解析】由题意可知221111(sin 60)(sin 60)3232C OAB V R h R R -=︒≤︒=6R =，34=π288π3V R =球．9．已知A ，B ，C ，D 是同一个球面上的四个点，其中ABC △是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的表面积为（）A ．16πB ．24πC ．D ．48π【答案】C【解析】把A ，B ，C ，D 扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，26AD AB ==，3OE =，ABC △是正三角形，所以AE ==AO ==所以球的体积为34π3⨯=．10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，60BAC ∠=︒，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（）A ．40π3B ．30π3C ．20π3D ．10π3【答案】A【解析】设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ， ∵2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，∴22212cos604922372BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，即BC =∴2sin 603BC r ==︒，解得3r =，∵PA AB ⊥，PA AC ⊥，∴PA ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得，2222110()1293PA R r =+=+=， 即球O 的表面积为21040π4π4π33S R ==⨯=． 11．如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．则四面体P ABC -的外接球的体积为（）A ．B ．24πC ．D ．48π【答案】A【解析】∵在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．∴sin 3APO ∠=，cos 3APO ∠=，∴3AO =，3PO =． 由题意知四面体P ABC -的外接球的球心O '在线段PO 上，∴222O O AO AO ''+=，∴222)R R -+=，解得R =．∴四面体P ABC -的外接球的体积为．12．已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且AB BC ==2AC =，DC =则这个四面体的体积为（）A ．23BCD【答案】B【解析】∵AB BC ==2AC =，∴222AB BC AC +=．∴AB BC ⊥，∴ABC △外接圆的直径为AC ，球心O '为AC 的中点．∵球心O 恰好在侧棱DA 上，∴OO '⊥面ABC ，又外接球球心O 恰好在棱AD 上，所以O 为AD 中点，所以AD BC ∥．即BC ⊥面ABC ，DC =则四面体的体积为1113323ABC S DC ⋅=⨯=△．二、填空题13．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为．【答案】29π【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为2，3，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体， 设该三棱锥的外接球半径为R ，∴2R ==R =．∴外接球的表面积为24π29πS R ==．14．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为正方形，若PA =OAB △的面积为．【答案】【解析】∵ABCD 是边长为PA ⊥平面ABCD ，PA =∴222242448PC AP AC =+=+=，∴2R =R OP ==∴1sin 602AOB S =⨯︒=△ 15．在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111ABC A B C -的 外接球的表面积． 【答案】160π3【解析】由题的直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心2O 和下底面 外接圆的圆心1O 的连线12O O 的中点O ．在三角形ABC 中，由余弦定理得222π46246cos 283BC =+-⨯⨯⨯=，∴BC =由正弦定理得2πsin 3r ==r = 在直角三角形1O OA 中，OA R =，12OO =，1O A r ==∴2428404214933R =+⨯=+=． ∴球的表面积为240160π4π4π33S R ==⨯=．16．已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．【答案】12π【解析】由三视图可知，组合体是求内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r =r =所以球的表面积为24π12πS R ==．。

2020届高三文科数学精准培优专练：外接球（附解析）例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A．2 B．．132D．例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ）A ．4 B ．3 C ．4 D ．12例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π三、其他柱体、锥体的外接球问题二、与正棱锥有关的外接球问题一、构造正方体与长方体的外接球问题一、选择题1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．12πD ．3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．32π34．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积的最大值 ） A ．169π16 B ．289π16 C ．25π16D ．8π 5，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．D ．6π6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==90B ∠=︒，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）对点增分集训A ．21πB ．32π3 C ．16π3D ．16π7．已知四面体ABCD 中，6AB AD ==，4AC =，CD =AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ）A ．36πB ．88πC ．92πD ．128π8．已知A ，B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ） A ．81π B ．128π C ．144π D ．288π9．已知A ，B ，C ，D 是同一个球面上的四个点，其中ABC △是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）A ．16πB ．24πC ．D ．48π10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，60BAC ∠=︒，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ）A ．40π3 B ．30π3 C ．20π3 D ．10π311．如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=P ABC -的外接球的体积为（ ）A ．B ．24πC ．D ．48π12．已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且AB BC ==2AC =，DC = 则这个四面体的体积为（ ）A ．23B ．3C ．3D ．3二、填空题13．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．14．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为PA =，则OAB △的面积为 ．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111ABC ABC -的外接球的表面积 ．16．已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．例1：【答案】C【解析】∵AB AC⊥，∴直三棱柱111ABC A B C-的底面ABC为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C-补成长方体，则长方体的体对角线就是球O的直径，即球O的半径为1322=．例2：【答案】C【解析】∵正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上，∴球心是底面三角形的中心，∵球的半径为1211344⨯⨯=．例3：【答案】C【解析】设球O的半径为R，则212AOBS R=△，当OC⊥平面AOB时，三棱锥O ABC-的体积最大，此时2113632V R R=⨯⨯=，解得6R=，所以球O的表面积为24π6144πS=⨯=．一、选择题1．【答案】C【解析】正四棱柱的高为4，体积为16，则底面面积为4，即底面正方形的边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为，球的表面积为24π．2．【答案】A外接球答案【解析】把原来的几何体补成以DA ，DC ，DP 为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2R l ==2R =，23=4π4π3π4S R =⨯=球． 3．【答案】C【解析】∵在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===， ∴AB ，BC ，1AA 为棱构造一个正方体，则外接球的半径2R ==，故表面积为24π12πS R ==． 4．【答案】B【解析】设ABC △的中心为E ，过点E 作平面ABC 的垂线l ，则有题意可知，点D 在直线l 上，ABC △的面积为1sin 602S =︒=．由体积的最大值可得1133S DE DE ⨯⨯==，则4DE =．由题意易知，外接球的球心在DE 上， 设球心为点O ，半径OD OB R ==．ABC △的外接圆半径满足2sin a r A=，即2sin 60r =︒，∴1r BE ==．在OBE Rt △中，222OE BE OB +=，即222(4)1R R -+=，解得178R =． 据此可得这个球的表面积为22892894π4ππ6416S R ==⨯=．5．【答案】A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，即此球的半径2R =，故球的表面积24π3πS R ==．6．【答案】D【解析】因为ABC △为等腰三角形，所以AC 为截面圆的直径，AC =，即该三棱锥的外接球的球心O 在截面ABC 中的射影为AC 的中点D ，当P ，O ，D 三点共线且P ，O 位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为PD ，所以11=332PD ⨯，解得=3PD ，设外接球的半径为R ，则3OD R =-，OC R =，在OCD Rt △中，12CD AC ==222(3)R R -+=，解得2R =， 所以外接球的表面积为24π216πS =⨯=．7．【答案】B【解析】在ACD △中，由6AD =，4AC =，CD =， 可得222AD AC CD +=，则AC AD ⊥，又AB ⊥平面ACD ，故2R ==则24π88πV =⨯=． 8．【答案】D【解析】由题意可知221111(sin 60)(sin 60)3232C OAB V R h R R -=︒≤︒=6R =，34=π288π3V R =球．9．【答案】C【解析】把A ，B ，C ，D 扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，26AD AB ==，3OE =，ABC △是正三角形，所以AE ==AO ==所以球的体积为34π3⨯=．10．【答案】A【解析】设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ， ∵2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，∴22212cos604922372BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，即BC =∴2sin 603BC r ==︒，解得3r =，∵PA AB ⊥，PA AC ⊥，∴PA ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得，2222110()1293PA R r =+=+=， 即球O 的表面积为21040π4π4π33S R ==⨯=． 11．【答案】A【解析】∵在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．∴sin 3APO ∠=，cos 3APO ∠=，∴3AO =，3PO =． 由题意知四面体P ABC -的外接球的球心O '在线段PO 上，∴222O O AO AO ''+=，∴222()(33R R -+=，解得R =∴四面体P ABC -的外接球的体积为．12．【答案】B【解析】∵AB BC ==2AC =，∴222AB BC AC +=．∴AB BC ⊥，∴ABC △外接圆的直径为AC ，球心O '为AC 的中点． ∵球心O 恰好在侧棱DA 上，∴OO '⊥面ABC ，又外接球球心O 恰好在棱AD 上，所以O 为AD 中点，所以AD BC ∥．即BC ⊥面ABC ，DC =则四面体的体积为111332ABC S DC ⋅=⨯=△． 二、填空题 13．【答案】29π【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为2，3，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体， 设该三棱锥的外接球半径为R ，∴2R ==，∴R =． ∴外接球的表面积为24π29πS R ==．14．【答案】【解析】∵ABCD是边长为PA ⊥平面ABCD，PA =∴222242448PC AP AC =+=+=，∴2R =R OP ==∴1sin 602AOB S =⨯︒=△ 15．【答案】160π3 【解析】由题的直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心2O 和下底面外接圆的圆心1O 的连线12O O 的中点O ．在三角形ABC 中，由余弦定理得222π46246cos 283BC =+-⨯⨯⨯=，∴BC =由正弦定理得2πsin 3r ==r = 在直角三角形1O OA 中，OA R =，12OO =，1O A r ==∴2428404214933R =+⨯=+=． ∴球的表面积为240160π4π4π33S R ==⨯=．16．【答案】12π【解析】由三视图可知，组合体是求内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r =，r =所以球的表面积为24π12πS R ==．。

高三数学专题外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ） A ．B ．C ．D ．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ． 3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．B ．C ．D ．一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12πB ．28πC ．44πD ．60π20π24π32π图2图3P ABC -ABC △BA BC ==π2ABC ∠=16π16π332π324π48π3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接 球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，ABCD ABC ⊥ADC D ABC -32π27π22πa 23πa 24πa A BCD -AB ⊥BCD 2BC BD ==2AB CD ==32π60π64π1111ABCD A B C D -S ABCD-9π1625π1649π1681π16ABC 12R 2AB AC ==，则球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．BC ． D11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）120BAC ∠=︒16π916π364π964π3P ABCD -ABCD 50336πABC △AB BC ==90ABC ∠=︒ABD △PBD △PC PD =P BCD -A BCD -60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒3AB =2CB DB ==19π2ABC △120BDC ∠=︒A B C D 、、、7π213π213π3A BCD -6AB CD ==5AC BD AD BC ====ABC ．D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____． 1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ） A ． B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ． 2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ． 【答案】43π243π111ABC A B C -2AB =1AC =60BAC ∠=︒A BCD -AB AC =DB DC =4AB DB +=AB BD ⊥A BCD-图2图3【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==． 3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ． B ．16πC ．16π3D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是12r =的半径是，球心到该底面的距离，如图，则1632ABC S =⨯=△，BD =116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．24πD ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：()222222R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：2r =2r =， 设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径22227R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．27πC ．D ．【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为AC =24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．B ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为a 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2R R =⇒，所以该几何体外接球面积2224π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭，故选C ．5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，2AB CD ==，则球的表面积为（ ）A ．B ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，CD =(222221cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为，连结SM ，易知球心在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()2222x x -+=⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球的表面积为（ ）A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：BC =设三角ABC 2r =，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)503，则此球的体积为（ ）A ．B ．C ．36πD ．【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为，正四棱锥P ABCD -的外接球心为， EA ∴=正四棱锥的体积为503，215033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，AB BC ==90ABC ∠=︒，点为的中点，将ABD △沿折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形，且BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为，PCD △外接圆的圆心为，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由BD11O D =，及OB OD =，得OB =R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ）A ．19π2BC ．D 【答案】A【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，BF =∴BCD △的外接圆半径r BE ==，FE ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得AD AC ==可得AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥，∴四面体A BCD -高为AF =设外接球，为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①， )222πEF R +=……②由①②解得：R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．7π2B ．C ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒， 底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到BC =21r r =⇒=， 见图示：是球的弦，DA =的位置，∴OM ，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到，即为球的半径．∴球的半径OD =．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C ．43π2 D ．43π【答案】D【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，， 由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴是与的公垂线， 球心在上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明为中点，4DE ==，3DF =，EF =∴GF =，球半径DG ==24π43πS DG =⨯=． 故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1612sin602r =⨯==︒ 则外接球的半径R ， 则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】(32π-【解析】设正四棱锥的棱长为，则24⎫=⎪⎪⎝⎭4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，PM PN ==PE =．设内切圆的半径为，由PFO PEN ≅△△，得FO PO EN PN =，即2r =，解得r == ∴内切球的表面积为(224π4π32πS r ===-． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．【答案】【解析】∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 602AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=12AA ∴=， 2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，BC ∴=， 设ABC △外接圆的半径为，则2sin 60BC R ︒＝，1R ∴=， =24π8π⨯=．故答案为．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．【答案】3【解析】如图所示，三棱锥A BCD-的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，⊥，所以AD=设AB AC x==-，AB BDDB DC x==，那么4积的最小值即为最小，AD2x=时，的最小值为。