高考文科数学考前培优练习异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断

异面直线所成的角专题训练1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC和XXX所成的角为多少度？答案：90度。

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是多少度？答案：60度。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

4.在三棱锥ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1上的点，且BE=B1E，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为多少？答案：1/3.5.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为多少？答案：-1/2.6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，直线AM与CN所成角的余弦值是多少？答案：-3/5.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且CA=CC1=10，则直线B1C与直线AB1所成角的余弦值为多少？答案：5/13.8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1B1=2，AB⊥BC，点M是AC1的中点，则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为多少？答案：-1/3.9.正三棱锥A-PBC的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为多少？答案：-3/5.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1D所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

中，ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与AC所成的角的正弦值为(。

)A．12B．13C．23D．110.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与直线AC所成的角的正切值为(。

异面直线所成的角例题
在几何学中，异面直线是指两条直线不在同一个平面内，但相交于一个点。

异面直线所成的角是一个重要的几何概念，它可以帮助我们理解空间中线线的交错。

在这篇文章中，我们将讨论异面直线所成的角的例题，并探讨这个概念在我们生活中的应用。

异面直线所成的角可以是一个有趣的数学问题，也可以在我们的日常生活中起到重要作用。

例如，在我们的日常生活中，异面直线所成的角常常被用来确定两个物体之间的角度。

例如，当我们站在一条街道上，我们可以通过观察对面建筑物的角度来确定我们与对面建筑物的角度。

另一个应用异面直线所成角的是在我们学习几何学时。

异面直线所成的角是几何学中一个重要的概念，可以帮助我们理解两个异面直线之间的角度。

例如，在学习平面几何时，我们可以学习如何计算异面直线所成的角。

通过学习这个概念，我们可以更好地理解异面直线在几何学中的作用。

此外，异面直线所成的角在我们日常生活中还有另一个应用，那就是在我们进行三维建模时。

当我们进行三维建模时，我们需要确定异面直线之间的角度，以便能够构建出更加准确和真实的产品模型。

总之，异面直线所成的角是一个非常重要的几何概念，在我们的日常生活中有着广泛的应用。

通过学习这个概念，我们可以更好地理解异面直线在几何学中的作用，以及如何计算它们之间的角度。

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题28 异面直线所成的角（学生版）一．选择题（共12小题）1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )A ．15B C D 2．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )A B C D 3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( )A B C D ．134．（2014•大纲版）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A ．14B C D ．125．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C D ．26．（2014•大纲版）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A ．16B C ．13D 7．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )A ．55B ．53C ．255 D ．358．（2010•全国）在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱12A A AB =，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点，则异面直线1AB 与MN 所成的角等于( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A ．10B ．15C ．310D ．3511．（2018•上海）如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(1,3)二．填空题（共5小题）13．（2016•全国）已知B AC D --为直二面角，Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，且AB BC =，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ．14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒，沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 ．15．（2015•浙江）如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．16．（2015•四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．17．（2012•四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是 ．三．解答题（共5小题）18．（2019•上海）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．19．（2016•上海）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，¶AC 长为23π，·11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题28 异面直线所成的角（教师版）一．选择题（共12小题）1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为() A ．15B ．5 C ．5 D ．2 【答案】C【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， Q 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，(1A ∴，0，0)，1(0D ，0，3)，(0D ，0，0)，1(1B ，1，3)，1(1AD =-u u u u r ，0，3)，1(1DB =u u u u r，1，3)，设异面直线1AD 与1DB 所成角为θ，则1111||5cos ||||25AD DB AD DB θ===u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g ，∴异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5．故选：C ．2．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( ) A 3B 15C 10D 3 【答案】C【解析】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点， 则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为(0,])2π，可知1152MN AB ==，1122NP BC ==； 作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形； 1PQ =Q ，12MQ AC =，ABC ∆中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠g g 141221()2=+-⨯⨯⨯-7=，7AC ∴=，7MQ ∴=；在MQP ∆中，2211MP MQ PQ =+=； 在PMN ∆中，由余弦定理得2222225211()()()10222cos 2522MN NP PMMNP MN NP+-+-∠===-⨯⨯g g ； 又异面直线所成角的范围是(0，]2π，1AB ∴与1BC 所成角的余弦值为10．3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( ) A ．3B ．2 C ．3 D ．13【答案】A【解析】如图：//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABA B n =， 可知：1//n CD ，11//m B D ，Q △11CB D 是正三角形．m 、n 所成角就是1160CD B ∠=︒． 则m 、n 所成角的正弦值为：3．4．（2014•大纲版）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A ．14B ．2 C ．3 D ．12【答案】B【解析】如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做EF AE ⊥，连接BF ，AE l ⊥Q 90EAC ∴∠=︒//CD AF Q 又135ACD ∠=︒45FAC ∴∠=︒45EAF ∴∠=︒在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，3BE a =，在Rt AEF ∆中，则EF a =，2AF a =，在Rt BEF ∆中，则2BF a =，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，222222(2)(2)(2)2cos 2222AB AF BF a a a BAF AB AF a a+-+-∴∠===⨯⨯g ．故选：B ．5．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A ．110B ．25C 30D 2 【答案】C【解析】直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，//1112MN B C OB ==，则0MN B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是ANO ∠，1BC CA CC ==Q ，设12BC CA CC ===，1CO ∴=，5AO 5AN222211(2)26MB B M BB =+=+在ANO ∆中，由余弦定理可得：222630cos 210256AN NO AO ANO AN NO +-∠===⨯⨯g ．6．（2014•大纲版）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．3 C ．13D ．3 【答案】B【解析】如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF ，E Q 为AB 的中点，//EF DB ∴， 则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，ABCD Q 为正四面体，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，CE CF ∴=．设正四面体的棱长为2a ，则EF a =，22(2)3CE CF a a a ==-=．在CEF ∆中，由余弦定理得：222223cos 223CE EF CF CEF CE EF a +-∠===⨯g ．故选：B ．7．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )ABCD ．35【答案】A【解析】分别以CA 、1CC 、CB 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图坐标系， 12CA CC CB ==Q ，∴可设1CB =，12CA CC ==(2A ∴，0，0)，(0B ，0，1)，1(0B ，2，1)，1(0C ，2，0) ∴1(0BC =u u u u r ，2，1)-，1(2AB =-u u u u r，2，1)可得110(2)22(1)13BC AB =⨯-+⨯+-⨯=u u u u r u u u u r g，且1||BC =u u u u u u r 1||3AB =u u u u u r， 向量1BC u u u u r 与1AB uuu u r所成的角（或其补角）就是直线1BC 与直线1AB 夹角，设直线1BC 与直线1AB 夹角为θ，则1111cos ||||||BC AB BC AB θ==u u u u r u u u u r g u u u u u u r u u u u u u r g A ．8．（2010•全国）在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A =，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点，则异面直线1AB 与MN 所成的角等于( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C【解析】在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A =，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中过点A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1A A ==， 则(0A ，0，0)，B ，12，0)，1B 12，(0C ，1，0)， (0N ，1，M 34，0)，∴1AB =u u u u r ，12，(MN =u u u u r 14，设异面直线1AB 与MN 所成的角为θ，则113||1cos 2||||AB MN AB MN θ==u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g ，60θ∴=︒． ∴异面直线1AB 与MN 所成的角等于60︒．故选：C ．9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形， 1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又112A D A B DB AB ===，则三角形1A DB 为等边三角形，160DA B ∴∠=︒故选：C ． 10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A 10B ．15C 310D ．35【答案】C【解析】Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点， 11//BA CD ∴，1A BE ∴∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，设122AA AB ==，则11A E =，22112BE =+，221125A B =+=2221111cos 2A B BE A E A BE A B BE +-∴∠=g g 252=⨯⨯310=． ∴异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为310．故选：C ．11．（2018•上海）如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线有：11A B ，AC ，1AA ，共3条．故选：C ．12．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，12a ，且长为a 的棱与长2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A ．2) B ．3)C ．2)D ．3)【答案】A【解析】设四面体的底面是BCD ，BC a =，1BD CD ==，顶点为A ，2AD = 在三角形BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：02a << （1） 取BC 中点E ，E Q 是中点，直角三角形ACE 全等于直角DCE ，所以在三角形AED 中，21()2aAE ED ==-Q 两边之和大于第三边∴2221()2a<- 得02a << （负值0值舍）（2）由（1）（2）得02a <<． 二．填空题（共5小题）13．（2016•全国）已知B AC D --为直二面角，Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，且AB BC =，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ． 【答案】3π【解析】分别取AD 、BD 、AC 的中点E 、F 、G ，连结EF 、EG 、BG 、DG ， 设2AB BC ==，则2AD CD ==，112EF AB ==，112EG CD ==， BG AC ⊥，DG AC ⊥，BGD ∴∠是二面角B AC D --的平面角， B AC D --Q 为直二面角，2BGD π∴∠=，2BG DG ==，222BD ∴=+=，1FG ∴=，EFG ∴∆是等边三角形，//EF AB Q ，//EG DC ，FEG ∴∠是异面直线AB 与CD 所成角， Q 3FEG π∠=，∴异面直线AB 与CD 所成角为3π．故答案为：3π．14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒，沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 ．【答案】66【解析】如图所示，取AC 的中点O ，3AB BC ==Q ，BO AC ∴⊥， 在Rt ACD ∆'中，221(5)6AC =+=．作D E AC '⊥，垂足为E ，153066D E ⨯'==． 62CO =，21666D C CE CA '===，63EO CO CE ∴=-=． 过点B 作//BF AC ，作//FE BO 交BF 于点F ，则EF AC ⊥．连接D F '．FBD ∠'为直线AC 与BD '所成的角．则四边形BOEF 为矩形，63BF EO ∴==． 226303()22EF BO ==-=．则FED ∠'为二面角D CA B '--的平面角，设为θ． 则222303*********()()2cos 5cos 626233D F θθ'=+-⨯⨯=-…，cos 1θ=时取等号． D B ∴'的最小值2106()233=+=． ∴直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值66326BF D B '===．15．（2015•浙江）如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．【答案】78【解析】连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则//ME AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是EMC ∠，22AN =Q ，2ME EN ∴==，22MC =，又EN NC ⊥Q ，223EC EN NC ∴=+=，2222837cos 282222EM MC EC EMC EM MC +-+-∴∠===⨯⨯g ．16．（2015•四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．【答案】25【解析】根据已知条件，AB ，AD ，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则： (0A ，0，0)，(1E ，0，0)，(2F ，1，0)； M 在线段PQ 上，设(0M ，y ，2)，02y 剟； ∴(1,,2),(2,1,0)EM y AF =-=u u u u r u u u r；2cos |cos ,|55EM AF y θ∴=<>=+u u u u r u u u rg ；设2()55f y y =+g ，22()5(5)5f y y y '=++；函数()25g y y =--是一次函数，且为减函数，(0)50g =-<； ()0g y ∴<在[0，2]恒成立，()0f y ∴'<； ()f y ∴在[0，2]上单调递减；0y ∴=时，()f y 取到最大值25．17．（2012•四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是 ．【答案】90︒【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则(0D ，0，0)，(0N ，2，1)，(0M ，1，0)，1(2A ，0，2)，(0DN =u u u r ，2，1)，1(2A M =-u u u u r，1，2)-10DN A M =u u u r u u u u r g ，所以1DN A M ⊥u u u r u u u u r ，即1A M DN ⊥，异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是90︒，故答案为：90︒．三．解答题（共5小题）18．（2019•上海）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．解：（1）M Q ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，3AC =，可得2223cos 2223PC AC PA PCA PC AC +-∠===⨯⨯g ，AC ∴与MN 的夹角为3arccos； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==． 22213PO ∴=-=．∴1133333224P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=．19．（2016•上海）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，¶AC 长为23π，·11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．解：（1）连结11O B ，则1111113O A B AO B π∠=∠=，∴△111O A B 为正三角形，∴1113O A B S =V ，1111111133C O A B O A B V OO S -=⨯⨯=V ． （2）设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连结1BB ，则11//BB AA ， 1BB C ∴∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角），111BB AA ==， 连结BC 、BO 、OC ，1113AOB AO B π∠=∠=，23AOC π∠=，3BOC π∴∠=， BOC ∴∆为正三角形，1BC BO ∴==，1tan 1BB C ∴∠=，∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒．20．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【答案】B【解析】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =I ，连接EG 、EF 、FG ， 在菱形ABCD 中，不妨设1BG =，由120ABC ∠=︒，可得3AG GC ==BE ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，可知AE EC =，又AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥，在直角EBG ∆中，可得2BE =2DF =， 在直角三角形FDG 中，可得6FG =， 在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =2FD =可得222322(2)2EF =+-= 从而222EG FG EF +=，则EG FG ⊥， （或由2tan tan 21EB FD EGB FGD BG DG ∠∠==g g g ， 可得90EGB FGD ∠+∠=︒，则)EG FG ⊥ AC FG G =I ，可得EG ⊥平面AFC ，由EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 为x 轴，y 轴，||GB 为单位长度， 建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(0A ，3-0)，(1E ，02)， (1F -，02)，(0C 30)， 即有(1AE =u u u r 32)，(1CF =-u u u r，3-2)2， 故cos AE <u u u r ，3||||962AE CF CF AE CF >===⨯u u u r u u u ru u u r g u u u r u u u r g ． 则有直线AE 与直线CF 3．21．（2014•湖南）如图，已知二面角MN αβ--的大小为60︒，菱形ABCD 在面β内，A 、B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=︒，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O ．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面ODE ；（Ⅱ）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．【答案】B【解析】（1）证明：如图DO ⊥Q 面α，AB α⊂，DO AB ∴⊥， 连接BD ，由题设知，ABD ∆是正三角形，又E 是AB 的中点，DE AB ∴⊥，又DO DE D =I ，AB ∴⊥平面ODE ； （Ⅱ）解：//BC AD Q ，BC ∴与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即ADO ∠是BC 与OD 所成的角，由（Ⅰ）知，AB ⊥平面ODE ，AB OE ∴⊥，又DE AB ⊥，于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角，从而60DEO ∠=︒，不妨设2AB =，则2AD =，易知3DE =，在Rt DOE ∆中，3sin 602DO DE =︒=，连AO ，在Rt AOD ∆中，332cos 24OD ADO AD ∠===， 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34．22．（2010•湖南）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 是棱1CC 的中点．（Ⅰ）求异面直线1A M 和11C D 所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面11A B M ．解：（1）如图，因为1111//C D B A ，所以11MA B ∠为异面直线1A M 和11C D 所成的角， 11A B ⊥Q 面11BCC B 1190A B M ∴∠=︒ 111A B =Q ，12B M =11tan 2MA B ∴∠=即异面直线1A M 和11C D 2． （Ⅱ）11A B ⊥Q 面11BCC B ，BM ⊂面11BCC B 11A B BM ∴⊥①由（1）知12B M =2BM =，12B B = 1BM B M ∴⊥② 1111A B B M B =Q I∴由①②可知BM ⊥面11A B MBM ⊂Q 面ABM∴平面ABM ⊥平面11A B M ．。

历年高考：两异面直线所成的角 题目解法大全（配有高考真题练习题） 异面直线所成角的求法(1)利用定义：将其中一条平移，使之与另一条相交于一点，得出两直线所成的角(有时需要同时平移两条);(2)利用空间向量知识来求：a 与b 的夹角θ为cos θ例一、已知正四棱锥P —ABCD 侧棱长与底面边长相等，E 、F 分别为PC 、PD 的中点，求异面直线BE 与CF 所成的角的余弦值.绿色通道：法一、BE 不动，在面PDC 内过点 E 平移CF ；法二、CF 不动，过F 平移EB ，其中是以平行四边形BEFH 为依托； 法三、利用空间向量知识来求解.解法一 ：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC 内过E 作EG 平行于CF ，交PD 于G ，连结BG . 则BEG ∠或其补角为BE 与CF 所成角. BD=22,又PB=PD=2, 所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2)21(=417.又CF=3, EG=23.在BEG ∆中,cos BEG ∠=EGBE BG EG BE .2222-+= —61，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小图1图2CBAP为arccos61. 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH //21CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结HC ，则HC=5,CF=3.在∆CFH 中，cos ∠CFH = FHCF CH FH CF ⋅-+2222=61,所以BE 与CF 所成角大小为arccos61 .解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0,2,0), E(0,22，22)，F(—22，0，22) , 则 = (—2，22，22)，=（—22，—2，22），与的夹角为θ， cos θ61，所以BE 与CF 所成的角为arccos 61. 红色警示：1、 算出是钝角时，应取锐角；2、 平移直线要在某个平面内平移.例二、（2006福建卷，18）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2，AB=AD=2.（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离.（Ⅰ）提示：证AO ⊥BD ，AO ⊥CO （勾股定理） （Ⅲ）7A（Ⅱ）绿色通道：法一、已知OE//CD ，过E 作AB 的平行线；法二、已知OE//CD ，过O 作AB 的平行线； 法三、用空间向量知识来求. 方法一 ：（II ）解：如上图.取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC , ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在OME ∆中,OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线， ∴OM=21AC=1. ME=21AB=22, OE= 21CD=1, 422cos 222=⋅⋅-+=∠EM OEOM EM OE OEM , 所以异面直线AB 与CD 所成角的大小为 方法二：如下图B AE设F 是AD 的中点，连结OF ，OE ，EF ，则OE//CD ，OF//AB,OF 与OE 所成的角就是AB与CD 所成的角.设H 是OD 的中点，连结FH ，HE ，则FH//AO.且FH =21AO =21，由（Ⅰ） 知FH ⊥HE.在∆HOE 中,HE 2=OH 2 +OE 2—2OH.OE cos120︒=47, EF 2 = FH 2+HE 2 = 2, 所以cos 42221221212222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=∠OF OE EF OE OF EOF , 所以AB 与CD 所成的角大小为arccos42. 方法三、解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(,(1,0,1),(1,22C A E BA CD =-=-.2cos ,4BACD BA CD BA CD∴<>==∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos4红色警示：总之,求线线所成角关键的一步是确定在哪个平面内作平行线,一般利用三角形中位线,或平行四边形来找到平行线;当平行线难于找到,或计算较繁时,可考虑用空间向量知识来求解,当然该图形结构也要利于空间直角坐标系的建立才可行.思维挑战1、（2006广东卷,19）如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是⊙O 的直径，6AB AC ==,//OE AD . (I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.2、（2006湖南卷,18）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.yAFD(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.CQ3、(2006上海卷,19)在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.答案提示：1、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD10828210064180,cos =⨯++=>=<EF BD 设异面直线BD 与EF 所成角为α， 则1082|,cos |cos =><=α 2、解法一： （Ⅰ）．连结AC 、BD ，设O BD AC = .由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD .（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． 由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故可以分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是A(22,0,0) ,(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，B ,所以)2,0,22(--=AQ,1)PB =-,于是3c o s ,.A QPB A QP B A Q P B⋅<>==⋅从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos 9. 解法二： （Ⅰ）．取AD 的中点M ，连结PM ，QM .因为P －ABCD 与Q －ABCD都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM .又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .（Ⅱ）．连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在 PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面. 取OC 的中点N ，连结PN ． 因为11,22PO NO NO OQ OA OC ===，所以PONOOQ OA=， 从而AQ ∥PＮ.∠BP Ｎ（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角.连接BN ，因为3PB ==．PN===BN ===所以222cos 29PB PN BN BPN PB PN +-∠===⋅ 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是. 3、[解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=31×23×3=2.（2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、 OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3).E 是PB 的中点,则E(21,0,23) 于是=(23,0, 23),=(0, 3,3).设的夹角为θ,有cosθ=4233434923=+⋅+,式θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42. 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF. 由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ，∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角)， 在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt △POA 中，PA=6， 则EF=26在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42,∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42.。

立体几何小题培优讲义高考规律立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或偏上．知识梳理【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】1.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：2.空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两垂直，且P A=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【知识点3 几何法与向量法求空间角】1.几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3.几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5.几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点4 立体几何中的最值问题及其解题策略】1.立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2.立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】1.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．2.立体几何中的轨迹问题的求解方法解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【知识点6 以立体几何为载体的情境题的求解策略】1.以立体几何为载体的几类情境题以立体几何为载体的情境题大致有三类：(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．2.以立体几何为载体的情境题的求解思路以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题.此类问题的求解过程主要分四步：一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【题型1 求几何体的体积与表面积】【例1】（2023·江苏徐州·沛县湖西中学模拟预测）在三棱锥P−ABC中，三条侧棱P A，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，若三棱锥P−ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（）A．4√3πB．4√2πC．6πD．12π【变式1-1】（2023·陕西铜川·统考一模）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③V台=13(S上+S下+√S上⋅S下)ℎ）A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高为2,AB=2A1B1,P,Q分别为B1C1,C1D1的中点，若四边形PQDB的面积为152，则该四棱台的体积为（）A．563B．56C．283D．28【变式1-3】（2023·山东·统考一模）陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制陀螺因此，陀螺的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积是（）A．(144+12√13)πcm2B．(144+24√13)πcm2C．(108+12√13)πcm2D．(108+24√13)πcm2【题型2 与球有关的截面问题】【例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球O的一个截面的面积为2π，球心O到该截面的距离比球的半径小1，则球O的表面积为（）A．8πB．9πC．12πD．16π【变式2-1】（2023·全国·校联考模拟预测）上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为√15，2√6，则该球的表面积为（）A．32πB．36πC．40πD．42π【变式2-2】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在三棱锥A−BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=AC=AD=3，以A为球心，√6为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为（）A．2√3πB．√3πC．√3π2D．√3π4【变式2-3】（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1上的一点，且满足平面BDE⊥平面A1BD，则平面A1BD截四面体ABCE的外接球所得截面的面积为（）A．136πB．2512πC．83πD．23π【题型3 体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】【例3】（2023·福建莆田·莆田一中校考一模）如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（）A．a327B．a336C．a354D．a372【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=60°，侧面BCC1B1的面积为2√3，则直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．4√3πD．8√3π【变式3-2】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，P为底面A1B1C1D1的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高ℎ∈[√2,2√2]，点M到平面PCD的距离的最大值为（）A．2√63B．83C．4√23D．329【变式3-3】（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知A，B，C，D是体积为20√53π的球体表面上四点，若AB=4，AC=2，BC=2√3，且三棱锥A－BCD的体积为2√3，则线段CD长度的最大值为（）A．2√3B．3√2C．√13D．2√5【题型4 几何体与球的切、接问题】【例4】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=BC．过点A分别作AE⊥SB，AF⊥SC交SB、SC于点E、F，记三棱锥S−FAE的外接球表面积为S1，三棱锥S−ABC的外接球表面积为S2，则S1S2=（）A．√33B．13C．√22D．12【变式4-1】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（）A．π6B．πC．4π3D．4π【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）为了便于制作工艺品，某工厂将一根底面半径为6cm，高为4cm的圆柱形木料裁截成一个正四棱台木料，已知该正四棱台上底面的边长不大于4√2cm，则当该正四棱台的体积最大时，该正四棱台外接球的表面积为（）A．128πcm2B．145πcm2C．153πcm2D．160πcm2【变式4-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为2√6，则模型中九个球的表面积和为（）A．6πB．9πC．31π4D．21π【题型5 空间线段以及线段之和最值问题】【例5】（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知底面边长为a的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1内接于半径为√3的球内，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，G，H分别为线段AC1，EF上的动点，M为线段AB1的中点，当正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积最大时，|GH|+|GM|的最小值为（）A．√2B．3√22C．2D．1+√2【变式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 1，AA1=√3，在线段A1D上取点M，在CD1上取点N，使得直线MN//平面ACC1A1，则线段MN长度的最小值为（）A．√33B．√213C．√37D．√217【变式5-2】（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，以下四个命题：；④|C1P|+①三棱锥D−BPC1的体积为定值；②C1P⊥CB1；③直线DC1与平面ABC1D1所成角的正弦值为12|DP|的最小值为√10．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-3】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线，则下列说法正确的是（）段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为163A．EF=2B．EF=4C．EG+FG的最小值为3√2D．EG+FG的最小值为2√6【题型6 空间角问题】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积是底面积的6√3倍，点E为四边形ABB1A1的中心，点F为棱CC1的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（）A．2√3913B．√3913C．√3926D．3√3926【变式6-1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．则A1E与面AA1D1D所成角的余弦值为（）A．13B．√33C．23D．√53【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点N是棱BB1上的动点，点M是线段A1C1（不含线段的端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在直线MN，使MN//B1C B．异面直线CM与AB所成的角可能为π3C．直线CM与平面BND所成的角为π3D．平面BMC//平面C1NA【变式6-3】（2023·四川遂宁·统考三模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E,F（E在F的左边），且EF=√2．下列说法不正确的是（）A．当E运动时，二面角E−AB−C的最小值为45∘B．当E,F运动时，三棱锥体积B−AEF不变C．当E,F运动时，存在点E,F使得AE//BFD．当E,F运动时，二面角C−EF−B为定值【题型7 翻折问题】【例7】（2023·四川泸州·统考一模）已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C到点P处，且二面角A−BD−P为120°，则此时三棱锥P−ABD的外接球的表面积为（）A．21πB．28√21πC．52πD．84π【变式7-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，将△ABD 沿对角线BD翻折至△A′BD的位置，使得平面A′BD⊥平面BCD，则在三棱锥A′−BCD的外接球中，以A′C为直径的截面到球心的距离为（）A．√43510B．6√25C．√23910D．√11310【变式7-2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A．存在点P，使得PE∥CFB．存在点P，使得PE⊥EDC．三棱锥P−AED的体积最大值为√26D．当三棱锥P−AED的体积达到最大值时，三棱锥P−AED外接球表面积为4π【变式7-3】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D,E分别是AB,AC 的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P−BCED，则下列命题错误的是（）A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3B．存在某个点P位置，满足平面PDE⊥平面PBCC．当PB⊥PC时，直线PB与平面BCED所成角的正弦值为√33πD．当PB=√10时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为523【题型8 立体几何中的轨迹问题】【例8】（2023·全国·模拟预测）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点P是平面ACB1内的动点，M，N分别为C1D1，B1C的中点，若直线BP与MN所成的角为θ，且sinθ=√55，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（）A．3π4B．π2C．π3D．π4【变式8-1】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【变式8-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为π3，动点Q在正方形ABCD 内运动，且满足OQ=OP，则动点Q形成轨迹的周长为（）A．2π11B．3π11C．4π11D．5π11【变式8-3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点且满足∠APB1=∠ADB1，则以下说法正确的有（）A．若P在面AB1C1D上，则其轨迹周长为8√6π9B．若A1P⊥AB1，则D1P的最小值为√3+1−√6C．P的轨迹围成的封闭曲面体积为32√6π227+4√3πD．四棱锥P-ABCD体积最大值为4(2√6+√2+3)9【题型9 以立体几何为载体的情境题】【例9】（2023·云南大理·统考一模）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则该天池盆中水的体积为（）A．1404π立方寸B．1080π立方寸C．756π立方寸D．702π立方寸【变式9-1】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，且点O到正六边形面的距离为√62，则球O的体积为（）A．7√1424πB．7√143πC．11√2224πD．11√223π【变式9-2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm 和6dm，则该花灯的表面积为（）A．(108+30√3)dm2B．(72+30√3)dm2C．(64+24√3)dm2D．(48+24√3)dm2【变式9-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列等式错误的是（）A．V1+V2+V3=V B．V1=2V2C．V2=2V3D．V2−V3=V61．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平，则该五面体的所有棱长之和为（）面与平面ABCD的夹角的正切值均为√145A．102m B．112mC．117m D．125m2．（2023·全国·统考高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．√25C．√35D．253．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为√3，O为底面圆心，P A，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于9√34，则该圆锥的体积为（）A．πB．√6πC．3πD．3√6π4．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=13PC，PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（）A．19B．29C．13D．495．（2021·浙江·统考高考真题）如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B16．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体7．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4√3πC．AC=2√2D．△PAC的面积为√38．（2023·全国·统考高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=．9．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．10．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．11．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=√2，则该棱台的体积为．12．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．立体几何小题【题型1 求几何体的体积与表面积】 (4)【题型2 与球有关的截面问题】 (7)【题型3 体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】 (10)【题型4 几何体与球的切、接问题】 (13)【题型5 空间线段以及线段之和最值问题】 (18)【题型6 空间角问题】 (23)【题型7 翻折问题】 (30)【题型8 立体几何中的轨迹问题】 (35)【题型9 以立体几何为载体的情境题】 (40)立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或偏上．【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】1.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：2.空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两垂直，且P A=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【知识点3 几何法与向量法求空间角】1.几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3.几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5.几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点4 立体几何中的最值问题及其解题策略】1.立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2.立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】1.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．2.立体几何中的轨迹问题的求解方法解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【知识点6 以立体几何为载体的情境题的求解策略】1.以立体几何为载体的几类情境题以立体几何为载体的情境题大致有三类：(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．。

异面直线所成的角专项练习异面直线是不在同一个平面上的两条直线。

它们所成的角度可以用三角函数来计算。

以下是关于异面直线所成角的专项训练。

1.异面直线的定义与取值范围异面直线是不在同一个平面上的两条直线。

它们所成的角度的取值范围是0到90度之间。

2.求两条异面直线所成角的步骤：1) 找到两条异面直线的公共点。

2) 找到两条直线在平面上的投影线，计算它们的夹角。

3) 用三角函数计算两条异面直线所成的角度。

类型一、以正方体和长方体为载体的异面直线所成的角1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为多少？解析：首先，找到两条异面直线的公共点，即点D。

然后，找到它们在平面上的投影线，即线段BC和线段A1D。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=1/√3，因此θ=30度。

答案为A。

2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C的中点，则直线EF与GH所成的角是多少？解析：同样地，找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段EF和线段GH。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=√2/2，因此θ=45度。

答案为B。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点C1.找到它们在平面上的投影线，即线段DC1和线段BE。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=-1/√10，因此θ=104.48度。

答案为B。

4.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段A1B和线段AD1.计算它们的夹角，可以得到cosθ=4/√73，因此θ=67.22度。

答案为D。

5.点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是多少？解析：根据题目描述，点P在正方形ABCD所在平面外，因此可以找到两条异面直线，即线段PB和线段AC。

点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

第 53 讲异面直线所成的角的求法【知识重点】一、异面直线的定义：直线a, b 是异面直线，经过空间随意一点O ，分别引直线a1∥ a ,b1∥b,我们把直线 a1和 b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和b所成的角.二、异面直线所成的角的范围：(0, ]2三、异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）m ? n方法二：（向量法）cos，此中是异面直线m, n 所成的角，m, n分别是直线m, n 的方向m n向量 .四、求异面直线所成的角表现的是数学的转变的思想，就是把空间的角转变为平面的角，再利用解三角形的知识解答 .五、温馨提示假如你解三角形获得的角的余弦是一个负值，如cos 1，你不可以说两条异面直线所成的角为21200，你应当说两条异面直线所成的角为180********，由于两条异面直线所成的角的范围为(0, ].2【方法讲评】方法一几何法使用情形图形中两条异面直线所成的角自己就存在或很方便就能作出.解题步骤找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）【例 1】以下左图，在Rt ABC 中，ABC 600，BAC900，AD 是BC上的高，沿 AD 将ABC 折成 600的二面角B AD C ，以下右图.（1）证明：平面ABD平面BCD；（ 2）设 E 为BC 的中点，BD 2 ，求异面直线AE和BD所成的角的大小.【分析】（ 1 ）由于折起前AD是 BC 边上的高，则当ABD折起后，AD CD， AD BD，又CD BD D ，则AD平面BCD .由于AD平面ABD，因此平面ABD平面BCD .【评论】（1）此题中异面直线AE与BD所成的角能够经过平移的方法作出，AEF为异面直线AE 与BD所成的角. 再利用余弦定理解AEF即得 .（2）利用几何法求异面直线所成的角，常常要解直角三角形或斜三角形，因此要用到直角三角函数或正余弦定理.【反应检测1】如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PD底面ABCD ，PD CD ，E 为 PB 的中点．（1）求异面直线PA 与 DE 所成的角；（2）在底边AD 上能否存在一点 F ，使 EF平面PBC？证明你的结论．方法二向量法使用情形图形中没有两条异面直线所成的角或不便作出.成立空间直角坐标系求两条直线 m, n 对应的的向量m, n的坐标代入公式解题步骤m ? ncos的大小 .写出两条异面直线所成角m n【例2】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是菱形，ABC 60 ，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点 E 是 PC 的中点，且平面PBC平面ABCD．（Ⅰ）求异面直线PD 与 AC 所成角的余弦值；（Ⅱ）若点 F 在线段PC上挪动，能否存在点 F 使平面 BFD 与平面 APC 所成的角为90？若存在，指出点 F 的地点，不然说明原因．（Ⅰ） PD( 3,2, 3) ， AC (0,1,3) ，则 PD 3 4 3 10，AC132，PDAC23 1设异面直线 PD 与 AC 所成角为, cos PD AC110 PD AC 2 1020因此异面直线 PD 与 AC 所成角的余弦值为10 20故1，即1，此时E( 2 3,1, 0) ，点F在 CP 延伸线上，因此，在 PC 边上不存在点 F 使01平面 BFD 与平面 APC 所成的角为90【评论】（ 1）异面直线PD 与AC所成角要作出来不是很方便，因此能够成立空间直角坐标系借助向量法解答 .(2) 关于异面直线所成的角的求法其实不是绝对的，是相对的. 不过简单和复杂的问题，因此我们要提高自己的选择能力, 提升解题效率.【反应检测2P ABCD中，侧棱 PD底面 ABCD ，底面ABCD是直角梯形，】四棱锥AB // DC, AD DC ，且 AB AD1,PD DC2， E 是 CD 的中点．（Ⅰ）求异面直线AE 与PC 所成的角；（Ⅱ）线段PB 上能否存在一点Q ，使得PC平面 ADQ ？若存在，求出PB的值；若不存在，请说QB明原因．高中数学常有题型解法概括及反应检测第53 讲：异面直线所成的角的求法参照答案【反应检测 1 答案】（ 1）90；（ 2）存在点F为AD的中点，使EF平面PBC，原因看法析．（ 2）存在点F为AD的中点，使EF平面 PBC ，证明：取 PC 的中点 H ，连接DH , EH．由于 PD CD ，则 DH PC ．①由于 PD底面 ABCD ，则 PD BC ．由于底面ABCD 为正方形，则 CD BC ．因此 BC平面 PCD ，进而 BC DH ．②联合①②知 DH平面 PBC ．由于 E、F 分别是PB、AD的中点，则11FD// BC,EH//BC ，22进而 FD / /EH ，四边形 EFDH 为平行四边形，因此EF / / DH．故 EF平面 PBC ．【反应检测2答案】（Ⅰ） 600（Ⅱ）PB3.QB【反应检测2详尽分析】以 D 为坐标原点，分别以DA, DC , DD1为x轴、y轴、z轴的正方向成立空间直角坐标系，则D 0,0,0 , A 1,0,0 , B 1,1,0 ,C 0,2,0 , P 0,0,2 , E 0,1,0 .。

高中数学异面直线所成角及距离测试题及答案高二数学异面直线所成角及距离人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：异面直线所成角及距离二. 重点、难点：1. 异面直线所成角定义。

异面直线、，过空间一点O作、，直线，所成的锐角（或直角）叫做异面直线和所成的角。

2. 异面直线所成角的计算。

（1）平移其中一条或两条使其相交。

（2）连接端点，使角在一个三角形中。

（3）计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。

（4）若余弦值为负，则取其相反数。

3. 公垂线。

与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。

4. 两条直线垂直。

（1）相交垂直（2）异面垂直5.6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。

【典型例题】异面直线所成的角与距离：[例1] 正方体棱长为，对角线长为。

① 异面直线与所成的角。

② 异面直线与的距离。

③ 异面直线与所成的角。

④ 异面直线与所成的角。

⑤ M、N为、中点，MN与AC所成角。

⑥ H为BC中点，与所成角。

解：① 与所成锐角即为两条异面直线所成的角。

② AB为两条异面直线的公垂线距离为③ 为等边三角形成角为④ 延长DC至E使CE=CD中，，，中，DE= ，AD=AE ，由余弦定理⑤ MN//BD 所成角为⑥ F为AD中点，，中，，所成角为[例2] 四面体ABCD，棱长均为（正四面体）① 求异面直线AD、BC的距离。

② 求AC、BD所成的角。

③ E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角。

解：① E、F为BC、AD中点，连AE、DE、BF、CF中， F为等腰底边中点 EFAD同上EFBC E、F为AD、BC公垂线② H为CD中点EH//BD EH= FH//AC 为两条异面直线AC、BD所成角③ K为DE中点，连FK，FK//AE CF与FK所夹锐角为异面直线AE、CF所成角[例3] 正方体中，E、F为AB、中点，求、所成的角。

证：H在上， M为中点HF与所成角等于异面直线、所成的角设棱长为中，、所成角为[例4] P为所在平面外一点，E为PA中点，且，，，（）。

第52讲空间角及其计算1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的平面角的概念．3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面角的简单问题．知识梳理1．两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫做这两条异面直线所成的角，若记这个角为θ，则θ∈(0°，90°].当两条异面直线所成的角为90°时，这两条异面直线互相垂直．2．直线与平面所成的角(1)射影自一点P向平面α引垂线，垂足P′叫做点P在平面α内的正射影(简称射影)．PP′的长度称为点P到平面α的距离.图形F上所有点在平面α上的射影构成的图形F′，叫做图形F在平面α上的射影.(2)平面的斜线如果一条直线m与平面α相交但不和这个平面垂直，则直线m叫做平面α的斜线，交点称为斜足.(3)直线与平面所成的角平面α的一条斜线P A和它在平面α上的射影OA所成的锐角，叫做斜线与平面所成的角；平面的垂线与平面所成的角为90°；直线在平面内或直线与平面平行，此直线与平面所成的角为0°.记任一直线与平面所成的角为θ，则θ∈[0°，90°].3．二面角从一条直线l出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做二面角.记作二面角α－l－β，l 叫做二面角的棱，两个半平面(α和β)叫做二面角的面.二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OA，OB，我们把∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角，用它来度量二面角的大小．二面角θ的取值范围为θ∈[0°，180°].平面角是直角的二面角叫做直二面角.热身练习1．在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，那么∠FEG为(D)A．30°B．60°C．120°D．60°或120°∠FEG为两异面直线AD与BC所成的角或其补角．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为60°.平移EF到AD1，则∠AD1B1为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角，易知△AB1D1为正三角形，所以∠AD1B1＝60°，所以EF与B1D1所成的角为60°.3．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接P A，PB，PC.(1)若P A＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是三角形AB边的中点．(2)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的外心．(3)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的垂心．4．如图，棱长都为a的正四棱锥中．(1)侧棱与底面所成的角为45°；(2)侧面与底面所成的锐二面角的平面角的正弦值为6 3.(1)此正棱锥的高为22a，故侧棱与底面所成的角为45°.(2)设侧面与底面所成的角为α，则sin α＝22a32a＝63.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)B1B与平面A1BC1所成的角的余弦值为63；(2)二面角D1－BC－A的大小为45°.(1)三棱锥B1－A1BC1为正三棱锥，设B1B与平面A1BC1所成的角为θ，则cos θ＝23×32×21＝63. (2)二面角D 1－BC －A 的平面角为∠D 1CD ，其大小为45°.异面直线所成的角(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22B.32C.52 D.72如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成的角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.C求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种：①利用图形中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为(C)A.32B.155C.105D.33将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.直线与平面所成的角棱长都为2的直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角的正弦值为 .过点A 1作直线A 1M ⊥D 1C 1，交C 1D 1的延长线于点M ，连接CM ，可得A 1M ⊥平面DD 1C 1C ，则∠A 1CM 就是直线A 1C 与面DD 1C 1C 所成的角． 由所有棱长均为2及∠A 1D 1C 1＝120°， 得A 1M ＝A 1D 1sin 60°＝3，又A 1C ＝A 1C 21＋CC 21＝(23)2＋22＝4，所以sin ∠A 1CM ＝A 1M A 1C ＝34.所以对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角的正弦值为34.34(1)求线面角的方法：①找角，通过射影，作出直线与平面所成的角；②计算，将所作出的角放入到某一三角形中，通过解三角形得解．(2)作角的关键是确定射影的位置，常利用面面垂直的性质定理及图形的特征．2．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为(C)A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3如图，连接BC 1，AC .因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角， 所以∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22， 所以V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×2 2 ＝8 2.二面角的平面角如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．(1)证明：AP ⊥BC ；(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.求二面角B －AP －C 的大小．(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ， 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC .因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD . 又P A 平面P AD ，故BC ⊥P A .(2)如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连接CM .因为BC ⊥P A ，BM ∩BC ＝B ，得P A ⊥平面BMC . 所以P A ⊥CM .故∠BMC 为二面角B －AP －C 的平面角．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41， 在Rt △POD 中， PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中， PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋BD 2＝36，得PB ＝6.在Rt △P AO 中， P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5. 又cos ∠BP A ＝P A 2＋PB 2－AB 22P A ·PB ＝13，从而sin ∠BP A ＝223，所以BM ＝PB sin ∠BP A ＝4 2.同理CM ＝4 2.因为BM 2＋MC 2＝BC 2，所以∠BMC ＝90°，即二面角B －AP －C 的大小为90°.求二面角的平面角的方法：①作角，根据图形特点作出二面角；②证明，依据二面角的平面角的定义，证明所成角是二面角的平面角；③计算，将所作出的角放入到某一三角形中，通过解三角形得解．3．如图，AD ⊥平面BCD ，∠BCD ＝90°，AD ＝BC ＝CD ＝a ，求二面角C －AB －D 的大小如图，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ，因为AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥CE ， 又AD ∩BD ＝D ，所以CE ⊥平面ABD ， 作EF ⊥AB ，垂足为F ，连接CF ，因为CE ⊥平面ABD ，所以CE ⊥AB ，又CE ∩EF ＝E ， 所以AB ⊥平面CEF ，所以CF ⊥AB ，所以∠CFE 为二面角C －AB －D 的平面角． 由题意易得CE ＝22a ，CF ＝63a ， 所以sin ∠CFE ＝CE CF ＝32，所以∠CFE ＝60°.即二面角C －AB －D 的大小为60°.1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角是刻画线线位置关系、线面位置关系及面面位置关系的重要方式，其重点应了解其定义，掌握作角的基本方法及其求法．2．求空间角的一般步骤：一作(找)，二证，三计算．作(找)出所求角是计算的基础．(1)异面直线所成的角，一般通过作平行线来求，要注意异面直线所成角的取值范围是(0，π2]．(2)直线与平面所成的角：利用定义作出角，关键是寻找到相关平面的垂线与射影，作出角后可在相应的三角形中求出角的大小，要注意其取值范围是[0，π2]．(3)二面角：求二面角的平面角，首先要作出角，然后在相应的三角形中求解，注意二面角的取值范围是[0，π]．作二面角的平面角的方法很多，常见的有：①定义法：即在棱上取点O ，在两个半平面内作与棱垂直的射线，两射线所夹的角即是二面角的平面角(如图①)；②三垂线法：若二面角α－l －β的一个半平面α内一点A 在另一平面内的射影是B ，则过A 作AO⊥l于O，连接BO，则∠AOB即是二面角α－l－β的平面角(如图②)．。

第28讲 怎么求异面直线所成角一、知识与方法1异面直线所成角的定义(线线角)直线,a b 是两异面直线,经过空间任意一点O ,分别作//,//a a b b '',则两相交直线a ',b '所成的锐角(或直角)叫作两异面直线,a b 所成的角,两条异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦2求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角是通过平移直线,把异面问题转化为共面问题来解决,根据等角定理,异面直线所成的角的大小与顶点位置无关,一般将角的顶点取在一些特殊点上(如线段端点,中点等),还可以用空间向量法求解就不用平移了.3平移法求异面直线所成角的一般步骤(1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点.(2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角.(3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.(4)取舍:因为异面直线所成角的范围是0,.2π⎛⎤⎥⎝⎦所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.4立体几何中,解计算题的一般步骤(1)作图;(2)证明; (3)计算.三步缺一不可.二、典型例题【例1】(1)在正四面体ABCD 中(如图31-所示),,E F 分别是,AB CD 的中点,则EF 和BC 所成的角为________;(2)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）.A.16C.13(3)在正四面体ABCD 中,(如图32-所示)线段MN 是棱AC 的中点和BCD 中心的连线,而线段DE 是ABD 的高.求MN 和DE 所成角的余弦值.【分析】本例3小题都是求正四面体上两异面直线所成角.通常是通过平移化空间为平面,再解三角形求得,一般情况下运用余弦定理[如第(2)(3)问的解法],也可用原图形的扩展,每个四面体都有其外接平行六面体,四面体的棱为平行六面体的面对角线,而正四面体的外接平行六面体是正方体或者说正四面体是正方体的六条面对角线所构成的内接图形,第(1)(2)问的解法二用的就是这种解法. 【解析】(1)【解法一】(平移法)如图33-所示,取BD 的中点M ,连接,EM FM ,则11//,//.22EM AD FM BC EFM ∴∠是EF 与BC 所成的角或其补角.ABCD 是正四面体,AD ∴BC =且AD BC ⊥,于是EM FM =且EM FM ⊥,即EMF 是等腰直角三角形.45EFM ︒∴∠=,即EF 与BC 所成角为45︒. 【解法二】(补体法)如图34-所示,作正四面体ABCD 的外接正方体,则,E F 分别为正方体相对两个面的中心,//EF BG ∴.于是EF 与BC 所成角即为CBG ∠,其大小为45︒. (2)【解法一】(平移法)如图35-所示,取AD 的中点F ,连接,EF CF ,则//.EF BD 故CEF ∠(或其补角)即为异面直线CE 与BD 所成的角.设正四面体的棱长为2,则1CE CF EF ===.在CEF 中,由余弦定理得222cos2CE EF CF CEF CE EF +-∠===⋅∴异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为6,故选B . 【解法二】(补体法＋向量法)在正方体中嵌套一个正四面体ABCD ,建立空间直角坐标系,如图36-所示,不妨设正方体的棱长为2,则(0,0,2),A B (2,0,0),(0,2,0),(2,2,2),C DE 是AB 的中点,(1,0,1)E ∴,又(1,2,1),CE =-,||(0,2,2),cos |cos ,|||||CE BD BD CE BD CE BD θ⋅=∴=〈〉===故选B . (3)如图37-所示,连接DN ,延长交BC 于F ,可知F 为BC 中点,连接EF ,取EF 三等分点G ,使21EG GF =.连接,GN GM ,则//GN DE 且1,3GN DE GNM =∴∠是MN 和DE 所成的角或其补角.设正四面体棱长为.a 在GMN 中,,GN GM ==连接1,,,cos 2NC MC a NC MCN ==∠=.2222112cos ,42MN MC NC MC NC MCN a MN a ∴=+-⋅⋅∠=∴=222cos 2NG MN GM GNM NG MN +-∴∠==⋅MN ∴与DE 所成角为【例2】如图38-所示,四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M 在线段PQ 上,,E F 分别为,AB BC 的中点,设异面直线EM 与AF 所成的角为θ,则cos θ的最大值为________.【分析】立体几何中动态问题具有较大的综合性,是解立体几何问题中的一个难点,通常有儿何法与向量法两种解题方法,几何法可以结合图形分析何时取得最大值,当点M 在P 处时,EM 与AF 所成角为直角,此时余弦值为0(最小),当M 到达Q 点时,角最小,从而余弦值最大.当然若设QM x =,求得cos θ关于x 的函数,借助于函数的单调性求得最大值,可谓殊途同归,结合图形中动点变化时,EM 与AF 所成角大小的变化,显示出数形结合,以形助数的魅力,这是一种很好的思维方法.当然本题极易建立空间直角坐标系,利用向量解无疑是求空间角的常用方法,易于操作. 【解法一】(平移法十函数单调性)如图39-所示,设正方形的边长为2,QM x =,则0x2.取BF 中点G ,连接,EG MG ,则//,EG AF MEG ∠或其邻补角即为异面直线EM 与AF 所成的角,设MEG θ∠=,连接EQ .在Rt AQE 中,易得QE=在Rt MQE 中,易得ME =而AF =,则EG =,过点G 作GH AD ⊥,过点M 作MR AD ⊥,则12HR x =-.在Rt GHR 中,易得GR=在Rt MRG 中,易得2222EG EM MG MG EG EM θ+-==⋅===易知()f x =在[0,2]x ∈上是减函数.∴当0x =时,max 2()5f x =,即cos θ的最大值为25.【解法二】(向量法+基本不等式)以A 为原点,分别以射线,,AB AD AQ 为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图310-所示,设1AB =,则AF =111,,0,,0,022E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设(0,,1)(01)M y y ,则1,,12EM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,cosθ∴===令81,[1,9]t y t=+∈,而281161814552yy tt+=++-,当1t=时取等号.1122cos5555θ∴=⨯=当0y=时,即点M与点Q重合时,cosθ取得最大值为25.【例3】如图311-所示,平行六面体1111ABCD A B C D-中,底面ABCD是边长为1的正方形, 1112,AA A AB A AD=∠=∠120︒=,求异面直线1AC和1A D所成角的余弦值.【分析】求两异面直线所成角的余弦值,从立体几何角度讲,通常采用平移法,但有时平移后的图形不易作出,可用补体的方法,即补体后再平移,当然,运用向量法求两异面直线所成的角是好方法.而向量法通常又分为纯向量法和坐标法.当空间直角坐标系难认建立时,可考虑纯向量的方法,还必须提醒的是两异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,而两向量所成角的范围是[0,]π,这是容易出错的地方.【解法一】(补体法)如图312-所示,补上一个同样的平行六面体2222ABCD A B C D -,则12C AD ∠或其补角即为异面直线1AC 和1A D 所成角.在12C AD 中,可算出21AD AC =21D C =故由余弦定理得12cos 7 C AD ∠==-而两异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,故异面直线1AC 和1A D . 【解法二】（纯向量法）注意到从点A 出发的三条棱长和两两夹角都是已知的,故可设AB1,,a AD b AA c ===,如图313-所示.则10,1212a b a c b c ⎛⎫⋅=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭11,,AC a b c A D b c =++=-故1()()AC AD a b c b c ⋅=++⋅-22212,()7,a b a c b c A D b c ⋅-⋅+-=-=-=112111|()2cos2AC A D AC a b c AC A Dθ⋅=++=∴=== 故异面直线1AC 和1A D 所成角的余弦值为7. 三、易错警示【例】空间四边形ABCD 中,2,1,AD AB CB CD AD ====与BC 所成的角为60,E ︒,F 分别为,AB CD 的中点,求AB 与CD 所成的角及EF 的长. 【错解】如图314-所示,过点D 作//DP CB ,过点B 作//BP ,CD DP 与BP 交于点P .1,CB CD ==∴四边形BCDP 是边长为1的菱形.则ADP ∠就是AD 与BC 所成的角,即60ADP ︒∠=. ABP ∠是AB 与CD 所成的角.在ADP 和ABP 中,,,.AB AD PD PB AP AP ===.60ADP ABP ABPADP ︒∴≅∴∠=∠=,因此,AB 与CD 所成的角为60.︒ 在ADP 中,1,60,2PD BC ADP AD ︒==∠==.则由余弦定理,得AP==.取AC 的中点为Q ,则//,//EQ BC QF AD ,且1,1,602EQ QF EQF ︒==∴∠=. 则2EF ==,因此,EF 的长为2.【评析及正解】上述解法对异面直线所成角的概念不凊晰,其实ADP ∠是AD 与BC 所成的角或其补角,所认在上述解法的基础上还应补上120ADP ︒∠=的情形.如图315-所示,不论60ADP ︒∠=还是120ADP ︒∠=,异面直线AB 与CD 所成角都为60.︒取AC 的中点Q ,则////,EQ BC PD QF //.AD 且1, 1.602EQ QF EQF ︒==∴∠=或120.EQF ︒∠=当60EQF ︒∠=时EF ==当120EQF ︒∠=时,EF ==因此,EF 的长为2. 四、难题攻略【例】将边长为1的正方形11AA O O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图316-所示,AC 长为112,3A B π长为3π,其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧. (1)求三棱锥111C O A B -的体积; (2)求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小.【分析】本题的载体为圆柱,情景有所不同,但仍然依据求两异面直线所成角的3种基本方法求解,即①立体几何平移法;②化向量的方法;③向量坐标法.【解析】(1)11133V Sh ===(2)【解法一】(平移法)如图316-所示,过C 作11//CC AA ,则11C CB ∠为异面直线1B C 与1AA 所成的角. 在11Rt CC B 中,1111,1B C CC ==.因此,1111tan 1.C CB C CB ∠=∴∠4π=∴异面直线1B C 与1AA 所成的角为.4π【解法二】(纯向量法)如图317(1)-所示,由11BC BO OC =+,且11A A OO =,得()1111111B C A A B O OC O O B O O O OC O O ⋅=+⋅=⋅+⋅1111cos 0112B O O O B OO =∠+=⨯=因此11cos ,2B C AA ==∴异面直线1B C 与1AA 所成的角为4π.【解法三】(向量坐标法)建立如图317(2)-所示空间直角坐标系,则(0,1,0)A ,111111(0,1,1),,0,,1(0,0,1),(0,1,1) 2222A C B AA B C ⎛⎫⎛⎫-==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此11111112cos ,2A ABC AA B C A A B C⋅==∴异面直线1B C 与1A A 所成的角为4π. 五、强化训练1.如图318-所示.三棱锥111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等.1160BAA CAA ︒∠=∠=,求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值.【解析】【解法一】（直接平移法）：如图①所示，作底面，由可知，为的角平分线，且面，于是，四边形为矩形.取的中点，联结交于点，则为的中点， ∴异面直线与所成角等于与所成的角，即或其补角.设三棱柱的棱长为，由题意即可得于是.故异面直线与【解法二】（补体法一）:在三棱柱的上底面补一个大小相同的三棱柱，如图②所示，联结，且交于点，则或其补角为异面直线与所成角，设，易得1AO ⊥ABC 1160BAA CAA ∠=∠=︒AO BAC ∠,AO BC BC ⊥⊥11,AAO BC AA ⊥1BC BB ⊥11BB C C AC E 1B C 1BC F F 1B C 112EF AB //1AB 1BC EF BF BFE ∠2111122BE EF AB BF BC ====222cos 2BF EF BE BFE BF EF +-∠===1AB 1BC 111ABC A B C -111222A B C A B C -22,BC AC 2AC 11A C D 12AB C ∠1AB 1BC 1BC =.在中，有，异面直线与所成角的余弦.【解法三】（补体法二）：将三棱柱补为平行六面体，再放同样的一个平行六面体，如图③所示.就是异面直线与所成的角，设棱长为，在中，易求得.在中，易求，∴，从而在中，求得.在中，由余弦定理得. 【解法四】（纯向量法）：不妨设长为，∵，∴，∴，∴. ∵，∴.∴异面直线与【解法五】（向量坐标法）：如图④所示，以为原点建立空间直角坐标系，过作平面于，则必在轴上，且，从而.设棱长为，则.∴∴，设异面直线与所成角为，则. 12122B CBC AC AD ====12AB C 12cos AB C ∠==1AB 1BC 1C BE ∠1AB 1BC 11B AB 1AB=BE =11AC E 1C E =1BC AA ⊥1BC CC ⊥1BCC 1BC =1BC E 1cos 223C BE ∠==⨯⨯AB 111111111,BC BA AA AC AB AA A B =++=+221111()2BC BA AA AC =++=12BC =221111()3AB AA A B =+=13AB =111111111()()1BC AB BA AA AC AB AA A B =++=+=1111cos 2BC AB BC AB θ===1AB 1BC A 1A 1A M ⊥ABC M M x 1cos 3A AM ∠1sin 3A AM ∠=1111,0),,0)22A B C -11115312(,,),62AB AA AB AC AA AC =+==+=1,)23-113(3BC AC AB =-=-1AB 1BC θ11116cos 6BC AB BC AB θ==。

6 异面直线的成角与间隔6.1 异面直线的成角【例3】四边形ABCD 中，E F 、分别为AD BC 、上的中点，AB CD =，异面直线AB CD、所成的角为3π，EF =，求异面直线EF AB 、所成的角．解析：如图，因为异面直线AB CD 、所成的角3π， 所以3EGF π∠=，或者23EGF π∠=，故异面直线EF AB 、所成的角为6π或者3π．【评注】两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线////a a b b a b ''''，，、所成的角的大小与点O 的选择无关，把a b ''、所成的锐角〔或者直角〕叫异面直线a b 、所成的角〔或者夹角〕．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上．其本质是化空间角为平面角，即//a a a b a b θθ''--−−−→　；//b b a b a b θθ''--−−−→；////a a b ba b a b θθ''''--−−−−→　．作法：选点----平移----定角．6.2 异面直线的间隔【例4】棱长为1的正方体中，M N P 、、分别为1111A B BB C C 、、中点，求异面直线1D P AN 、的间隔 ．【解析】连接NP ，因为N P 、分别为11BB C C 、中点，所以//NP BC ， 因为BC ⊥平面11DCC D ，所以NP ⊥平面11DCC D ，因为1D P ⊂平面11DCC D ，所以1NP D P ⊥；同理NP AN ⊥， 所以NP 就是异面直线1D P AN 、的公垂线，其间隔 是1NP =．【评注】和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段〔公垂线段〕的长度，叫做两条异面直线间的间隔．注意：公垂线要注意“相交〞的含义．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

第3节 异面直线所成的角【基础知识】异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．【规律技巧】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【典例讲解】【例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与P A 所成角的余弦值．规律方法 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．【变式探究】已知在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且点M ，N 分别是BC ，AD 的中点．(1)若直线AB 与CD 所成的角为60°，则直线AB 和MN 所成的角为________．(2)若直线AB ⊥CD ，则直线AB 与MN 所成的角为________．(2)取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM 綉12AB ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角，由于AB ⊥CD ，所以∠MPN ＝90°.又AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，从而∠PMN ＝45°，即AB 与MN 所成的角为45°.答案 (1)60°或30° (2)45°【针对训练】1、已知在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且点M ，N 分别是BC ，AD 的中点．(1)若直线AB 与CD 所成的角为60°，则直线AB 和MN 所成的角为________．(2)若直线AB ⊥CD ，则直线AB 与MN 所成的角为________．【答案】 (1)60°或30° (2)45°2、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A .16 B .36 C .13 D .33【答案】B 【解析】3、如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与P A 所成角的余弦值．【解析】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PO ⊥面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与面ABCD 所成的角，即∠PBO ＝60°，在Rt △ABO 中，AB ＝2，∠OAB ＝30°，∴BO ＝AB ·sin 30°＝1，∵PO ⊥面ABCD ，OB ⊂面ABCD ，∴PO ⊥OB ，∴在Rt △POB 中，PO ＝BO ·tan 60°＝3，∵底面菱形的面积S ＝2×34×22＝2 3. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13×23×3＝2.4、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则A 1B 与EF 所成角的大小为________．【答案】π35、已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则( )A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能【答案】D【解析】在如图所示的长方体中，m ，n 1与l 都异面，但是m ∥n 1，所以A ，B 错误；m ，n 2与l 都异面，且m ，n 2也异面，所以C 错误．6、如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．【答案】90°7、如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2.求：（Ⅰ）三角形PCD 的面积；（Ⅱ）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．（Ⅱ）如图，取PB 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.【练习巩固】1．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析 如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1，CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案 242、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．3．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为________．4．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小．解 (1)由已知可求得，正方形ABCD 的面积S ＝4，所以，四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ， 则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知， 可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形，∴tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. 故异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。

高考会考什么？——异面直线所成的角——你会了吗？一、教学目标1．掌握异面直线所成角的概念及求异面直线所成角的常用方法，掌握求角计算题的步骤：“一作，二证，三计算”。

２．思想方法是将空间问题转化为平面问题即“降维”的思想方法或利用向量的方法求解３．培养学生的空间立体感，树立信心。

二、教学重难点分析重点：异面直线所成角的寻找及求法难点：准确找到异面直线所成的角（空间问题向平面问题的转化及求解）类型一、平移法（* *）1．如下左图在正四面体 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中点，求异面直线 AE 和BD 所成角的余弦值。

2.如图右，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是。

3.如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4.右图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B． C．D．类型二、补形平移法（**）5.如图左，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．6.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若棱 BB1=BC=1，AB=3，则异面直线 A1C1与 BD1所成的角的余弦值为。

类型三、折叠问题（* ）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE －B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．。