2021届高考文科数学模拟培优卷(新课标全国I卷)

2021年新高考全国一卷数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）如果复数m2+i
1+mi
是纯虚数，那么实数m等于（）
A．﹣1B．0C．0或1D．0或﹣1
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，则∁R A＝（）
A．{x|x≤﹣2或x≥6}B．{x|﹣2≤x≤6}
C．{x|﹣6＜x≤2}D．{x|x≤﹣6或x≥2}
3．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（）
A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元
4．（5分）设α∈R，则“a＜﹣1”是“a2﹣5a﹣6＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）函数y＝（x3﹣x）•3|x|的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．（5分）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（）
A．900种B．1200种C．1460种D．1820种
7．（5分）2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，
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2021年高考文科数学模拟试卷（含答案）2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则?R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．?C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值＝（）A．B．C．2D．34．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．137 5．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．96．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．312．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a 的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）1011131282325302616发芽数y（颗）（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x ．（参考公式：回归直线方程为＝x ，其中＝，＝x）19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；BCD间的体积．（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面之和为4，离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB 的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln （1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若?x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．参考答案一、选择题1．解：因为A＝{x||2x﹣1|≥3}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，所以?R A＝（﹣1，5），B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}＝{x|x＞3或x＜﹣4}，故选：B．2．解：∵复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，∴，解得tanθ＝2．故选：C．3．解：根据茎叶图知，乙的中位数是31，∴甲的中位数也是31，即＝31，又甲的平均数是×（24+29+33+42）＝32，∴n＝9；故选：A．4．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，故选：B．5．解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣3）x+y﹣1＝0，l2：x+6by+1＝0，且l1⊥l2，∴（a﹣6）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab≤，≥8，当且仅当a＝2b ＝时，等号成立．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝tan+tan+…+tan的值，由于tan的取值周期为6，且2017＝336×6+2，故选：C．7．解：根据题意，设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，其底面面积S＝πr2，＝2πr?h，侧面积S侧若侧面积是底面积的3倍，即2πr?h＝4πr2，则有h＝3r，若|PO|≤r，则P在以O为球心，半径为r的球内，其体积V′＝，故选：C．8．解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x7+x+1≥0”，故②错误；对于④：f'（x）＝3x2+6ax+b，因为f（x）在x＝﹣1有极值0，故，解得当a＝1，b＝3时，f'（x）＝3x7+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；故选：A．9．解：作出不等式表示的平面区域如图所示，令t＝，则t∈[0，8]，t+1∈[1，3]，＝＝．而当1+t＝1时，1+t+﹣3＝1，当1+t＝3时，1+t+﹣3＝1，∴的取值范围是[，1]．故选：C．10．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，f（x）＝＝，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象向x 轴靠近，排除C；故选：D．11．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，解得x1＝1．∴，则直线l的方程为y＝，即3x+4y﹣6＝0．则圆M的圆心坐标为（1，﹣2），半径为．故选：B．12．解：函数定义域为（0，+∞），由f（x）＝0有两个根，而f （1）＝2，所以x＝1不是方程的根，即直线y＝a与函数y＝有两个交点，，．由图可知，a的取值范围是（4（1+ln4），+∞）．故选：A．二、填空题13．解：由三视图还原原几何体如图，PA⊥底面ABC，且AB＝PA＝2，∴BC⊥平面PAC，得BC⊥PC，取PB中点O，则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，∴这个几何体的外接球的体积为．故答案为：．14．解：根据题意，作出如下所示的图形：同理可得，＝+，＝++＝．故答案为：．15．解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2①，当n＝1时，．①﹣②得3（S n﹣S n﹣1）+（a n﹣a n﹣1）＝0，所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．所以．所以T50＝c1+c2+…+c50＝＝．故答案为：．16．解：根据题意知，大正方形的边长为，面积为a2+b2，小正方形的面积为（a2+b6）﹣4×ab＝a4+b2﹣2ab；∴﹣3（）+1＝0，又a＞b，故答案为：．三、解答题17．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比数列，∴＝a4?a6，即＝a1?（a1+5d）②，∴a n＝a2+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．把A（﹣1，）代入函数y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵A（﹣1，），B（5，﹣），在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，又5＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝（）×（）﹣×＝．18．解：（1）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．（2），故所求线性回归方程为．19．解：（Ⅰ）证明：由已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，得DC⊥BC，AB⊥AD，∴AB⊥平面BCD，得AB⊥DC，∴DC⊥平面ABC；∵CD＝2，∴BD＝AB＝4，BC＝2，则．由（Ⅰ）知DC⊥平面ABC，则EF⊥平面ABC．∴．∴三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积为．20．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a＝4，即a＝2，又e＝＝，可得c＝，b＝＝1，（Ⅱ）设M（m，n），由题意可得N（﹣m，﹣n），可得过M的切线的斜率为﹣，化为mx+4ny＝4，圆C的圆心为（7，0），半径为2，可得圆心到切线的距离为，故S＝?2?＝?2|n|＝≤△NAB＝4，则当△NAB的面积最大时，直线l的方程为x+8y﹣12＝0，或x﹣8y ﹣12＝0，或x+8y+12＝0，或x﹣8y+12＝0．21．解：（Ⅰ）依题意，f′（x）＝1+lnx+1＝lnx+2，故k＝f′（1）＝2，又f（1）＝3，（Ⅱ）由题意可知，g（x）＝（2﹣a）x﹣2ln（x+1）（x＞﹣1），则，∴6﹣a＞0，∴函数g（x）在上单调递减，在单调递增，①当，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，∴；②当，即时，g（x）在[0，3]单调递减，∴g（x）min＝g（3）＝8﹣3a﹣2ln4；综上，当时，；当时，g（x）min＝6﹣3a ﹣4ln2．22．解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…23．解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab＝1，或a+b＝0，①ab＝6时，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，②a+b＝0时，a，b异号，ab＜0，（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥7，a＝1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥8恒成立，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥4得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（全国卷Ⅰ）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{|3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =（ ）A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]3.已知向量(,3)k =a ，(1,4)=b ，(2,1)=c ，且(23)-⊥a b c ，则实数k =（ ） A.92-B.0C.3D.1524.使3nx⎛+ ⎝()n +∈N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A.4B.5C.6D.75.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A.0.35B.0.45C.0.55D.0.656.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A.12-B.1C.2D.127.命题"存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数8.已知50,log ,lg ,510db b a bc >===，则下列等式一定成立的是（ ）A.d ac =B.a cd =C.c ad =D.d a c =+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10.如果双曲线的离心率51e +=有（ ）A.双曲线221251x =-是黄金双曲线 B.双曲线22151y -=+是黄金双曲线 C.在双曲线22221x y a b-=中，1F 为左焦点，2A 为右顶点，1(0,)B b ，若11290F B A ∠=，则该双曲线是黄金双曲线D.在双曲线22221x y a b-=中，过焦点2F 作实轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，O 为坐标原点，若120MON ∠=，则该双曲线是黄金双曲线11.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列4个命题，其中真命题有（ ） A.若m α⊂，n α，则m n B.若m α⊥，n α，则m n ⊥ C.若m α⊥，m β⊥，则αβD.若m α，n α，则m n12.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+．给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A.(2016)(2017)0f f +-=B.函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C.直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D.函数()f x 的值域为(1,1)-第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2021年高三下学期第一次高考模拟考试（文数，word版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共１５０分．第Ⅰ卷1．答题前，考生务必将自己的学校、座位号、姓名填写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用２犅铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卷一并收回．一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）1．若复数是实数，则x的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．2．设集合，（Q为有理数集），则右图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，2，4} B．{2，4}C．{1，2} D．{1，2，3，4}3．一个长方体空屋子，长宽高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器（大小忽略不计），可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是（）A．B．C．D．4．设，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数：）数学成绩与物理成绩之间有把握有关？A．90% B．95% C．97.5% D．99%6．如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三 个数中最大的数，那么在①、②两个判断框中，应该填入下面 四个选项中的 （ ） A ．①② B ．①② C ．①② D ．①②7．设点P 是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆左、右焦点，I 为的内心，若， 则该椭圆的离心率是 （ ） A ． B ． C ． D ． 8．已知向量，且向量，则的取值范围是 （ ） A ．[1，3] B ．[0，3] C ．[3，5] D ．[1，5]9．下面四个图象中，有一个是函数32211()(1)(,0)33f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数的图象，则等于（ ）A ．-1B ．C ．1D ． 10．已知等差数列的前n 项和为，若 ，则下列四个命题中真命题的序号为（ ） ①②③；④ A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④第II 卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．实数x ，y 满足不等式组，则的取值范围是 。

2021年高考数学培优测验试卷1.已知集合{}{}22log (1)1,1,M x x N x x =-=∈>Z ∣∣则M N =( )A.(]1,3B.∅C.{}2,3D.{}1,2,32.已知复数(3i)(32i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为7，则a 的值为( ) A.1B.0C.2D.-23.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人坐下，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( ) A.234B.346C.350D.3634.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的面积为S ，若222()S a b c =+-，则tan C 的值是( )A. 43B. 34C.43-D. 34-5.若0,0a b >>,则“4a b +”是“4ab ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某水产销售店近期订购了一批成鱼，销售五天后，准备重新制定一个合理的价了获得最大收益，该批成鱼的销售单价应定为( ) （参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,3,)i i x y i n =，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆ,ˆi i i ni i nx x y y bay bx x x ==∑--==-∑-.参考数据：()()5110,260,100i i i x y x x y y ===∑--=-，()5212.5i i x x =∑-=.）A.9.75元B.10.25元C.10.75元D.11.25元7.已知等边三角形ABC 的边长为2,,22CA CB AD ACCD AE ++==,则AE EB ⋅=( )A.14-B.12-C.14 D.128.已知函数221,0()3,02x x ax x f x ax +⎧-+⎪=⎨<⎪⎩在0(0,)x ∞∈+处取得最小值，且()06f x a -<，则实数a 的取值范围是( ) A.{4} B.[4,6] C.[1,2] D.[1,6)9.已知集合210,5,2A x x ax B x x ⎧⎧⎫=+=-<<⎨⎨⎬⎩⎭⎩∣，若{35}A B x x ⋃=-<∣，则A =R( )A.(,3)(0,)-∞-⋃+∞B.(0,3)C.1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭ D.(,0][5,)-∞⋃+∞10.复数i 21i -+在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.某防汛抗旱指挥部拟安排甲、乙等5名志愿者进行为期5天的护堤安全排査工作，要求每人安排1天，每天安排1人，则甲不安排在前两天，且乙不安排在第一天和最后一天的概率为( )A.720B.310C.25D.92012.已知角α的定点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点(1,),A a (2,),Bb 且2cos23α=则a b -= ( )A. 15B.C. D . 113.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x x 甲乙，,标准差分别为σσ甲乙，,则( )A.,xx σσ<<乙甲甲乙B.,x x σσ<>乙甲甲乙C.,x x σσ><乙甲甲乙D.,x x σσ>>乙甲甲乙14.设奇函数()f x 在(0,)+∞上为单调递减函数，且(2)0f =，则不等式3()2()5f x f x x --≤的解集为 ( )A ．(,2](0,2]-∞-⋃B ．[2,0][2,)-⋃+∞C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．[2,0)(0,2]-⋃15.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.14B.35 C .34 D.4516.若()ln e(1)ln (1)f x ax x a x x x =+-->恰有1个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．[)0,+∞ B ．{}10,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C .()e,+∞D ．()0,1(1,)+∞17.已知二项式1nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数项是__________. 18.已知直线:(l y k x =和圆22:(1)1C x y +-=相切，则实数k =___________. 19.设函数6(3)3,7,(),7,x a x x f x a x ---⎧⎪=⎨>⎪⎩数列{}n a 满足(),n a f n n +=∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_______________.20.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22AB DC ==，E 为AD 的中点.将EAB 和ECD 分别沿,EB EC 折起，使得点A ,D 重合于点F ，构成四面体FBCE .若四面体FBCE 的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________. 21.直线()()1120m x m y ++--=与圆22(1)1x y -+=的位置关系是_____________.22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且()5233,S a a =+则23a a =__________.23.已知4na x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a =___________，展开式中的常数项为__________. 24.已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若13,5,7,2AB AC BC AA ====,则此球的表面积等于______________.25.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2ABC的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,D E F ，且三条边所在直线的斜率分别123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.O 为坐标原点，则( )A.22:2:1a b =B.直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C.直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D.若直线,,OD OE OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2-26.已知函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则下列说法正确的是( ) A.()f x 的值域是[0,1]B.()f x 是以π为最小正周期的周期函数C.()f x 在区间3π(π,)2上单调递增D.()f x 在[0,2π]上有2个零点27.已知函数()e e 2x x f x --=，()e e 2x xg x -+=，则()(),f x g x 满足( )A.()(), ()()f x f x g x g x -=--=B.(2)(3),(2)(3)f f g g -<-<C.(2)2()()f x f x g x =D.22[()][()]1f x g x -=28.某市有,,,A B C D 四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A 的概率为23,游览,,B C D 的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点个数,则( )A.该游客至多游览一个景点的概率为14B.3(2)8P X ==C.1(4)24P X ==D.13()6E X =29.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 和2,F P 为椭圆C 上的动点,则下列说法正确的是( )A.a =,满足1290F PF ∠=︒的点P 有两个B.a <,满足1290F PF ∠=︒的点P 有四个C.12PF F 的面积的最大值为22aD.12PF F 的周长小于4a30.下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=( )A.πsin()3x +B.πsin(2)3x - C .πcos(2)6x + D.5πcos(2)6x -31.已知函数()ln(2)ln(6)f x x x =-+-，则A. ()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2B. ()f x 在(2,6)上单调递增C. ()f x 在(2,6)上无最小值D. ()f x 的图象关于直线4x =对称32.若随机变量X 服从两点分布，其中1(0),(),()4P X E X D X ==分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )A.()()1P X E X ==B.()414E X += C.3()16D X =D.4(4)1D X +=33.在ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，已知3,45a c B ===︒.（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值.34.已知正项等差数列{}n a和它的前n 项和n S 满足212,42n n n a S a a ==+.等比数列{}n b 满足1122,a b a b ==.(1)求数列{}n a 与数列{}n b的通项公式.(2)若n n n c a b =⋅,求数列{}n c的前n 项和n T .35.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.36.如图,在四棱锥P ABC -中,平面PAB ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,PAB △为等边三角形, E 是PB 中点,平面AED 与棱PC 交于点F ．(1)求证: //AD EF ; (2)求证: PB ⊥平面AEFD ;(3)记四棱锥P AEFD -的体积为1V ,四棱锥P AEFD -的体积为2V ,直接写出12V V 的值．37.已知函数()2()?0e x ax bx cf x a ++=>的导函数()'f x 的两个零点为3-和0.(1)求()f x的单调区间;(2)若()f x 的极小值为3e -,求()f x在区间[)5,-+∞上的最大值.38.已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴上,且抛物线C 上有一点()4,P h到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C 的方程. (2)已知抛物线上一点(),4M t ,过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ,且MD ME ⊥,判断直线DE 是否过定点?并说明理由.39.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知(sin sin )sin sin b B C a A c C +=-.(1)求角A 的大小.(2)若πsin 6C ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求tan B 的值. 40.已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中2n ≥，*n N ∈.(1)求证：数列{}n a为等差数列，并求其通项公式.(2)设2nn n b a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使2n T >的n 的取值范围。

2021年全国高考数学押题试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z⋅(2−3i)=1−i，复数z的虚部是()A. 513i B. 513C. 113D. 113i2.集合A={x|y=ln(x−1)}，集合B={x||x|<2}，则B∩(∁R A)=()A. {x|−2<x≤1}B. {x|−2<x<2}C. {x|2≤x}D. {x|1<x≤2}3.重点高中对数学竞赛非常的重视，现在用茎叶图记录了甲、乙两组某次选拔赛的数学成绩，其中甲组数据的中位数恰是乙组数据的平均数，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 44.函数f(x)=2e x的图象与函数g(x)=1x+5的图象交点所在的区间可能为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.等比数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，则{a n}的前12项和为()A. 90B. 60C. 45D. 326.在四面体ABCD中，BC=BD=CD=2，AB=2√3，N是棱AD的中点，CN=√3，则异面直线AB与CN所成的角为()A. π3B. π6C. π4D. π27.排球比赛场地为长18米宽为9米的长方形，均分两个半场．现将每个半场的底线两角处分割出两个半径均是2米的四分之一圆的扇形区域(如图)，球员发球后球落在扇形区域称为“优质球”.若某名球员从一侧发球，球一定落在另一半场且落的每一个地方的可能性相同，则该名球员所发的球是“优质球”的概率是()(其中π≈3)A. 19B. 29C. 227 D. 4278. 把函数f(x)=sin(3x +φ)的图象向左平移5π12个单位后，得到函数y =g(x)的图象，若函数y =g(x)是偶函数，则下列数中可能是φ的值的为( )A. 3π4B. π3C. π6D. π49. 已知直线l ：3x +4y =15与圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)相离，过直线l 上的动点P做圆O 的一条切线，切点为C ，若△OPC 面积的最小值是√2，则r =( )A. 1B. 2√2C. 1或2√2D. 210. 如图在正方体ABCD −A′B′C′D′中，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点，点P在底面ABCD 内，且DP//平面C′MN ，D′P 与底面ABCD 所成的角为α，则sinα的最大值为( )A. 13B. √33C. √32D. 2√2311. 已知椭圆C 1和双曲线C 2有公共焦点F 1(−c,0)，F 2(c,0)，C 1和C 2在第一象限的交点为P ，∠F 1PF 2=π3且双曲线的虚轴长为实轴长的√2倍，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √33C. √22D. √212. 已知数列{a n }满足a n+1+a n 2+a n +1=0(n ∈N ∗)，且{a n }中任何一项都不为−1，设数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2021=3a 2022+2a 2022+1，则a 1的值为( )A. 23B. 1C. 32D. −23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，cos <AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ >=______． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥02x −y −3≤0x +y ≥0，则z =x+y+3x+1的最大值是______．15.已知α，β为锐角，且cos(α+β)+2cos(α−β)=sinαsinβ，则tan(α−β)的最大值是______．16.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)为单调函数且对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)−lnx)=1，若方程f(x)=tx+1有两解，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosCcosB =2a−cb．(1)求证：三内角A，B，C成等差数列；(2)若△ABC的面积为3√32，2sinA=3sinC，求△ABC的周长．18.已知如图，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥CD，EB⊥平面ABCD，EF//CD，CD=2，EB=√3，EF=1，BC=√13，且M是AD的中点．(1)求证：FM//平面BDE；(2)求三棱锥C−ABF的体积V．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F在抛物线y2=8x的准线上，且椭圆C经过点A(√6,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作长轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y=kx+t与直线l1，l2分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆经过定点F．20.“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16]内的人数为92．(1)估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；(2)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16,20]，(20,24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．21.已知函数f(x)=x−1+ae x(a∈R,e为自然对数的底数)．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2cosθy=√6sinθ(θ为参数)，曲线C2的普通方程为：x2+y2−8x=0，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，射线θ=π3与曲线C1，C2分别交于A，B两点(异于极点O)，定点M(√3,0)，求△ABM的面积．23.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+1|．(1)解不等式f(x)<2；(2)若关于x的不等式f(x)+3|x+1|<a2−2a的解集不是空集，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵z⋅(2−3i)=1−i，∴z=1−i2−3i =(1−i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=2+3i−2i+513=513+113i，∴复数z的虚部为113．故选：C．根据已知条件，结合复数虚部的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题主要考查了复数虚部的概念和复数代数形式的乘法运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵A={x|x>1}，B={x|−2<x<2}，∴∁R A={x|x≤1}，B∩(∁R A)={x|−2<x≤1}．故选：A．可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，对数函数的定义域，绝对值不等式的解法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由图可知甲组数据由低到高依次是：79，82，85，94，97，所以甲组数据的中位数为85即乙组数据的平均数为85，所以85═78+80+m+85+87+945，解得m=1，故选：A．由茎叶图确定各数据，然后根据中位数和平均数的定义可求解．本题考查茎叶图，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度．4.【答案】B+5的图象交点的横坐标，【解析】解：函数f(x)=2e x的图象与函数g(x)=1x−5的零点，即求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=2e x−1x>0，由于函数ℎ(x)是连续增函数，且ℎ(1)=2e−6<0，ℎ(2)=2e²−112故ℎ(1)ℎ(2)<0，故函数ℎ(x)的零点所在区间是(1,2)，故选：B．−5的零点，根据ℎ(1)ℎ(2)<0，可得题目转化为求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=2e x−1x函数ℎ(x)的零点所在区间．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数零点的判定定理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：∵等比数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，由等比数列的性质得：a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12也成等比数列，∴由a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，得a7+a8+a9=12，a10+a11+a12=24，∴{a n}的前12项和为：3+6+12+24=45．故选：C．由等比数列的性质得：a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12也成等比数列，由此能求出{a n}的前12项和．本题考查等比数列的前12项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：取BD的中点为M，N是棱AD的中点，MN//AB，∴∠MNC(或补角)为异面直线AB与CN所成的角，在△CMN中，MN=12AB=√3，CM=CN=√3，即△CMN是等边三角形，∴∠MNC=π3，故异面直线AB与CN所成的角为π3．故选：A．取BD的中点为M，可得∠MNC(或补角)为异面直线AB与CN所成的角，在△CMN中，可解得∠MNC．本题主要考查异面直线及其所成的角，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，两个扇形区域的面积之和S1=2×(14×π×22)≈6m2，半个场地的面积S=9×9=81m2，则该名球员所发的球是“优质球”的概率P=S1S =681=227；故选：C．根据题意，计算两个扇形区域的面积之和以及半个场地的面积，由几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：把函数f(x)=sin(3x+φ)的图象向左平移5π12个单位后，得到函数y=g(x)=sin(3x+5π4+φ)的图象，若函数y=g(x)是偶函数，则5π4+φ=kπ+π2，k∈Z，令k=1，可得φ=π4，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵圆O：x2+y2=r2(r>0)的圆心O(0,0)，当点P与圆心的距离最小时，切线长PC最小，此时△OPC的面积最小，|PO|min=|15|√32+42=3，则|PC|min=√9−r2，此时S△OPC=12|PC|r=12⋅√9−r2⋅r=√2，解得r=1或2√2．故选：C．求出圆心O到直线l的距离，利用勾股定理求得PC的最小值，代入三角形面积公式即可求得r值．本题考查直线与圆的位置关系，明确P到圆心距离最小时△OPC的面积最小是关键，是基础题．10.【答案】D【解析】解：设AD的中点为S，CD的中点为T，因为D′S//C′N，ST//MN，且D′S∩ST=S，C′N∩MN=N，D′S，ST⊂平面D′ST，C′N，MN⊂平面C′MN，所以平面D′ST//平面C′MN，故点P在ST上时，D′P//平面C′MN，不妨设正方体的棱长为1，当点P为ST的中点时，DP取得最小值√24，此时D′P 与底面ABCD 所成的角α=∠D′PD 最大， 此时sinα=DD′D′P =√98=2√23．故选：D ．设AD 的中点为S ，CD 的中点为T ，利用面面平行的判定定理的推论，可得平面D′ST//平面C′MN ，从而得到点P 在ST 上时，D′P//平面C′MN ，设正方体的棱长为1，确定点P 为ST 的中点时，DP 取得最小值D′P 与底面ABCD 所成的角最大，在三角形中由边角关系求解即可．本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：设椭圆的半长轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，双曲线的虚半轴长为b 2， 椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，由定义知：{|PF 1|+|PF 2|=2a 1|PF 1|−|PF 2|=2a 2，可得|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，设|F 1F 2|=2c ，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得：4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)⋅cos π3，化简得：a 12+3a 22=4c 2，∴a 12c2+3a 22c 2=4，即1e 12+3e 22=4，∵b 2=√2a 2，∴c 22−a 22=2a 22，故e 22=3， ∴1e 12+33=4，即e 1=√33．故选：B ．设椭圆的半长轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，双曲线的虚半轴长为b 2，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，由椭圆与双曲线的定义列式可得|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，再由余弦定理得a 12+3a 22=4c 2，求得1e 12+3e 22=4，由已知求得e 2，即可得到椭圆的离心率．本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查余弦定理等应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：由a n+1+a n 2+a n +1=0，得−a n+1−1=a n (a n +1)，所以−1an+1+1=1a n (a n +1)=1a n −1a n +1，即1a n=1an +1−1a n+1+1，所以S n =1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a1+1−1a 2+1)+(1a 2+1−1a 3+1)+⋯+(1a n+1−1a n+1+1)=1a 1+1−1a n+1+1，则S 2021=1a1+1−1a 2022+1=3a 2022+2a 2022+1；故1a1+1=3a 2022+2a 2022+1=3a 2022+3a 2022+1=3，解得a 1=−23．故选：D ．由a n+1+a n 2+a n +1=0可得−a n+1−1=a n (a n +1)，从而1a n=1an+1−1an+1+1，所以S n =1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a 1+1−1a 2+1)+(1a 2+1−1a 3+1)+⋯+(1a n +1−1a n+1+1)=1a 1+1−1a n+1+1，可得S 2021=1a 1+1−1a 2022+1=3a 2022+2a 2022+1；再结合S 2021=3a 2022+2a 2022+1即可求出a 1．本题主要考查数列的递推公式，涉及裂项相消求和法，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于中档题．13.【答案】−13【解析】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√5， 所以cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×3√5=−13． 故答案为：−13．根据平面向量的线性和数量积的坐标运算法则，即可得解．本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的线性和数量积的坐标运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】6【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y =0x −y +1=0，A(−12,12)，由z =x+y+3x+1=y+2x+1+1，其几何意义为可行域内的动点与定点P(−1,−2)连线的斜率加1，而k PA =12+2−12+1=5，则z =x+y+3x+1的最大值是6．故答案为：6．由约束条件作出可行域，由z =x+y+3x+1=y+2x+1+1，其几何意义为可行域内的动点与定点P(−1,−2)连线的斜率加1，则答案可求．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】√33【解析】解：∵cos(α+β)+2cos(α−β)=sinαsinβ，∴3cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=sinαsinβ，两边同时除以cosα可得，3cosβ+tanαsinβ=tanαsinβ，∴3cosβsinβ+tanαsin 2β=tanα，化简可得，tanα=3tanβ， ∵α，β为锐角，即tanα>0，tanβ>0，∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=2tanβ1+tanα⋅tanβ=2tanβ1+3tan 2β=21tanβ+3tanβ≤2√1tanβ⋅3tanβ=√33，当且仅当1tanβ=3tanβ，即tanβ=√33时，等号成立，故tan(α−β)的最大值是√33．故答案为：√33．根据已知条件，运用三角函数的恒等变换，可推得tanα=3tanβ，再结合正切函数的两角差公式以及均值不等式的公式，即可求解．本题主要考查了正切函数的两角差公式以及均值不等式的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】(0,1e)【解析】解：令f(x0)=1，则f(x)−lnx=x0，所以f(x)=lnx+x0，因为f(x0)=1，所以lnx0+x0=1，解得x0=1，则f(x)=lnx+1，故方程f(x)=tx+1化简可得tx=lnx，则t=lnxx，令g(x)=lnxx ，则g′(x)=1−lnxx2=0时，x=e，故当x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以当x=e时，函数有最大值g(e)=1e，当x→+∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→−∞，作出函数g(x)的图像如图所示：由图可知，实数t的取值范围为(0,1e)，故答案为：(0,1e).由题意可得f(x)=lnx+1，方程f(x)=tx+1可变形得t=lnxx，构造函数g(x)=lnxx(x>0)，利用导数得到该函数的单调性及最值，作出图像，数形结合即可．本题考查函数的图象与性质的综合运用问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，是较难的题目．17.【答案】解：(1)证明：因为cosCcosB =2a−cb，所以(2a−c)cosB=bcosC，由正弦定理可得(2sinA−sinC)cosB=sinBcosC，所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA，因为A∈(0,π)，sinA≠0，所以cosB=−12，因为B∈(0,π)，所以B=π3，又A+B+C=π，则A+C=2π3，所以2B=A+C，也即A，B，C成等差数列，得证．(2)因为2sinA=3sinC，由正弦定理可得2a=3c①，由S△ABC=12acsinB=12acsinπ3=3√32，可得ac=6，②，由①②可得a=3，c=2，因为b2=a2+c2−2accosB=7，所以b=√7，故△ABC的周长为5+√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得cosB=−12，结合范围B∈(0,π)，可得B的值，进而利用三角形内角和定理即可证明．(2)由已知利用正弦定理可得2a=3c，利用三角形的面积公式可得ac=6，联立解得a，c的值，进而根据余弦定理即可求解b的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：取BD的中点N，连接MN，NE，在△ABD中，∵M是AD的中点，∴MN//AB，且MN=12AB，又∵EF//CD，CD//AB，CD=AB，∴EF=12AB，∴MN//EF且MN=EF，则四边形MNEF为平行四边形，∴FM//EN，又∵EN⊂平面BDE，FM⊄平面BDE，∴FM//平面BDE；(2)解：∵EB⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥BE，又∵BD⊥CD，CD//AB，∴BD⊥AB，∵AB∩BE=B，∴BD⊥平面ABEF，由于CD//平面ABEF，∴C到平面ABEF的距离为BD=√BC2−CD2=3．而S△ABF=12⋅AB⋅BE=12×2×√3=√3，∴V C−ABF=13×3×√3=√3，即三棱锥C−ABF的体积是√3．【解析】(1)取BD的中点N，连接MN，NE，证明四边形MNEF为平行四边形，可得FM//EN，再由直线与平面平行的判定可得FM//平面BDE；(2)由EB⊥平面ABCD，得BD⊥BE，再证明BD⊥AB，可得BD⊥平面ABEF，从而得到C到平面ABEF的距离为BD=√BC2−CD2=3，求出三角形ABF的面积，再由棱锥体积公式求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)抛物线y2=8x的准线为x=−2，由于椭圆C的交点F在x=−2上，所以F点坐标为(−2,0)，又椭圆C经过点A(√6,1)，所以{6a2+1b2=1a2=b2+4，解得a=2√2，b=2，所以椭圆C的方程为x28+y24=1．(2)证明：由(1)知，l1的方程为x=−2√2，l2的方程为x=2√2，直线l：y=kx+t与l1，l2分别交于M，N两点，所以M(−a,−ka+t)，N(a,ka+t)，联立{y=kx+t x28+y24=1，得(1+2k2)x2+4ktx+2t2−8=0，因为直线l与椭圆C相切，所以△=0，即16k2t2−4(1+2k2)(2t2−8)=0，则t2=8k2+4，又MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2+a,ka −t)⋅(−2−a,−ka −t)=4−a 2+t 2+k 2a 2=−4+t 2−8k 2=0， 所以MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以∠MFN =90°(为定值)，所以MN 为直径的圆经过定点F(−2,0)．【解析】(1)由物线y 2=8x 的方程得准线为x =−2，推出F 点坐标为(−2,0)，又椭圆C 经过点A(√6,1)，列方程组，解得a ，b ，即可得出答案．(2)由(1)知，l 1的方程为x =−2√2，l 2的方程为x =2√2，则M(−a,−ka +t)，N(a,ka +t)，联立直线l 与椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 相切，得△=0，化简得t 2=8k 2+4，又MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则∠MFN =90°(为定值)，即可得出答案． 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交的问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由已知可得a =1÷4−(0.0250+0.0475+0.0500+0.0125)=0.1150，所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为(6×0.0250+10×0.0475+14×0.1150+18×0.0500+22×0.0125)×4=13.64． (2)因为0.1150×4×n =92，所以n =920.1150×4=200．故参与主题教育活动的时间在(16,20]的人数为0.0500×4×200=40， 参与主题教育活动的时间在(20,24]的人数为0.0125×4×200=10．则利用分层抽样抽取的人数：在(16,20]内为4人，设为a ，b ，c ，d ，在(20,24]内为1人，设为A ．从这5人中选取3人的事件空间为：{(a,b ，c)，(a,b ，d)，(a,b ，A)，(a,c ，A)，(a,d ，A)， (b,c ，d)，(b,c ，A)，(b,d ，A)，(c,d ，A)}，共10种情况， 其中全是二等奖的有4种情况， 故3人均获二等奖的概率P =410=25．【解析】(1)由频率分布直方图能求出这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值．(2)由频率分布直方图求出n =920.1150×4=200.从而参与主题教育活动的时间在(16,20]的人数为40，参与主题教育活动的时间在(20,24]的人数为10.利用分层抽样抽取的人数：在(16,20]内为4人，设为a ，b ，c ，d ，在(20,24]内为1人，设为A.从这5人中选取3人，利用列举法能求出3人均获二等奖的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)由f(x)=x −1+a e x ，得f′(x)=1−ae x ，又曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴， ∴f′(1)=0，即1−ae =0，解得a =e ； (2)f′(x)=1−a e x，①当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)为(−∞,+∞)上的增函数，所以f(x)无极值； ②当a >0时，令f′(x)=0，得e x =a ，x =lna ， x ∈(−∞,lna)，f′(x)<0；x ∈(lna,+∞)，f′(x)>0； ∴f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，故f(x)在x =lna 处取到极小值，且极小值为f(lna)=lna ，无极大值． 综上，当a ≤0时，f(x)无极值；当a >0时，f(x)在x =lna 处取到极小值ln a ，无极大值．【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．(1)求出f(x)的导数，依题意，f′(1)=0，从而可求得a 的值； (2)f′(x)=1−a e x，分①a ≤0;②a >0讨论f(x)的单调性，从而可求其极值．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =√6sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 22+y 26=1；根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2=61+2cos 2θ．曲线C 2的普通方程为：x 2+y 2−8x =0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=8cosθ．(2)由于定点M(√3,0)，所以点M 到直线θ=π3的距离d =√3sin π3=32． 故{ρ2=61+2cos 2θθ=π3，解得ρA =2，由于ρB =8cos π3=4， 所以|AB|=|ρA −ρB |=2， 所以S △ABM =12×2×32=32．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)={x −2,x ≥12−3x,−1<x <12−x +2,x ≤−1，当x ≥12时，x −2<2，解得：x <4，即12≤x <4， 当−1<x <12时，−3x <2，解得：x >−23，即−23<x <12， 当x ≤−1时，−x +2<2，解得：x >0，即不等式无解， 综上，不等式的解集是(−23,4)；(2)f(x)+3|x +1|=|2x −1|+2|x +1|=|2x −1|+|2x +2|≥3， 结合题意a 2−2a >3，解得：a <−1或a >3， 故a 的取值范围是(−∞,−1)∪(3,+∞)．【解析】(1)求出f(x)的分段函数的形式，通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出f(x)+3|x +1|的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是中档题．。

UAB2021年高三高考模拟统一考试（一）数学（文）试题 含答案数 学 (文史类) 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2－i2＋i＝( )A ． 35－45IB ． 35＋45iC ．1－45iD ．1＋35i 2．已知全集U=R ,集合A={x| 0<x<9, x ∈R}和B={x| -4<x<4, x ∈Z} 关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 3．是“直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C . 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )A ．－45B ．－1225C ．2425D ．－24255．右图是一个算法框图，则输出的k 的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．97. 已知圆C ：的圆心为抛物线 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ． B ． C ．D ．8．右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（ ）A ． B.C ． D.10．已知函数f （x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=，则f （）=（ ）A ．B ．C ．D ．11.设F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若点M 在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. 2 D..12．若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．设在的边上,, 若 (为实数),则的值为__________.14．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小明周末不在家看书的概率为__________.15．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，AB=2，BC=4，且∠ABC=60°，球心到平面ABC 的距离为 , 则球O 的表面积为_________. 16.中,,则的最小值为__________.三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是的等比中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，求使成立的所有的值.18.(本小题满分12分)已知四棱锥底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝1， E ．F 分别是线段AB ，BC 的中点，（Ⅰ）在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ；．（Ⅱ）若PB 与平面所成的角为，求三棱锥D--EFG 的体积．19．(本小题满分12分)为预防H 7N 9病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定xx 个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组 A 组 B 组 C 组 疫苗有效 673 a b 疫苗无效7790c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33．（I ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？ （II ）已知b≥465，c ≥30，求通过测试的概率．20（本小题满分12分）已知函数f （x ）=，x ∈[1，3]， （I ）求f （x ）的最大值与最小值；（II ）若f （x ）＜4﹣a t 于任意的x ∈[1，3]，t ∈[0，2]恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为A ，以为圆心为半径的圆恰好经过点A 且与直线相切（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过右焦点作斜率为K 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由。

2021年高考第一次模拟考试(数学文)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试时间120分钟,满分150分。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分，在每不题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式,其中R表示球半径。

球的表体积公式,其中R表示球半径。

一、选择题1．设全集，则等于A． B. C. D.2．在中,已知D是AB边上一点,若,且,则A． B. C. D.3．若，则的值为A． B. C. D.4．平面的一个充分不必要条件是A．存在一条直线 B. 存在一个平面C. 存在一个平面D. 存在一条直线5. 若,则下列结论正确的是A. B. C. D.6. 设等差数列的前项和为,若,则=A.54B. 45C.36D. 277. 已知偶函数在点处和切线方程是函数的导数，则A．0 B. 1 C. 2 D. 38. 连接抛物线的焦点F与点M(1,0)所得线段与抛物线交于点A,设点O为坐标原点,那么三角形OFA的面积为A． B. C. D.9.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油灶、动物性食品类及果蔬类分别有30种、10种20种、40种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。